%I M1691 N0668#370 2024年1月6日09:20:27

%第1,2,6,3021023103003051051096996902230928706469693230页，

%电话：200560490130742073813481030425026352721013082761331670030，

%电话：6148897825884914103258915891584771900447301922760350154212639070117283813594069709832707858321551080267055879090

%N素数（第一定义）：前N个素数的乘积。有时写素数（n）#。

%C关于素数的第二个定义，请参见A034386：2到n范围内素数的乘积。

%C a（n）是具有n个不同质因子的最小数n（即，ω（n）=n，参见A000121）_Lekraj Beedassy，2002年2月15日

%C Phi（n）/n是每个primarial的新最小值_Robert G.Wilson v_，2004年1月10日

%C在埃拉托斯特尼（Eratosthenes）筛子第n次筛分过程后，最小的筛分次数为n次_Lekraj Beedassy，2005年3月31日

%显然，每个项都是φ（x）*sigma（x）/x^2的新最小值。6/Pi^2<σ（x）*φ（x）/x^2<1，对于n>1。-_Jud McCranie_，2005年6月11日

%C设f是一个乘法函数，f（p）>f（p^k）>1（p素数，k>1），f（p>f（q）>1（p，q素数，p<q）。当n>=1时，f的记录最大值出现在n#处。类似地，如果0<f（p）<f（p^k）<1（p素数，k>1），0<f_David W.Wilson，2006年10月23日

%C Wolfe和Hirshberg给出了？，30030, ?, ... 作为一个谜。

%C不同素数除数的记录_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2008年4月6日

%C对于n>=2，a（n）的数字根是3的倍数_Parthasarathy Nambi，2009年8月19日（经Zak Seidov修正，2015年8月30日）。

%C连续素数比率之和的分母（参见A094661）_弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基（Vladimir Joseph Stephan Orlovsky），2009年10月24日

%C记录值出现在A001221中。-Melinda Trang（mewithlinda（AT）yahoo.com），2010年4月15日

%C可以证明至少有T个素数小于N，其中递归函数T是：T=N-N*sum（A005867（i）/A002110（i），i=0..T（sqrt（N））。例如，这可以表明对于29^2>N>23^2，至少有.16*N个数小于N_本·保罗·瑟斯顿（Ben Paul Thurston），2010年8月23日

%C Parthasarathy Nambi的上述评论是根据数字求和产生同余数mod 9的观察得出的，因此3的任何倍数的数字根都是3的倍数。当n>=2时，素数（n）可被3整除_Christian Schulz，2013年10月30日

%C重复次数（即值的计数）与值的关系图中的峰值（即局部最大值），是通过取相邻范围内所有不同奇素数对的差而产生的，以初等数6或更大的给定的规则周期间隔出现。较大的初生体产生较大的（相对）峰值，但其范围必须比初生体大50%以上，才能容易观察到。二次峰出现在可被6整除的“近初级”的间隔处（例如42）。见A259629。此外，在从p（2）=3开始的适度连续范围内，在两个、三个或更多不同奇素数的所有可能和的局部峰值中，可以观察到间隔为6和30的周期性_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2015年7月1日

%C如果一个数字k和a（n）是互质，并且k<（素数（n+1））^b<a（n），其中b是整数，那么k的素数因子小于b，计算多重性（即bigomega（k）<b，参见A001222）_Isaac Saffold_，2017年12月3日

%C如果n>0，则a（n）有2^n个幺正除数（A034444），a（n）是一个记录；即，如果k＜a（n），则k的酉除数比a（n）的酉除数少_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2018年6月26日

%C酉过剩数：具有酉丰度指数记录值的数字k，所有m的A034448（k）/k>A034448m/m，2019年4月20日

%C Psi（n）/n是每个初等函数的新最大值（Psi=A001615）[链接中的证明：Patrick Sole和Michel Planat，命题1，第2页]；与评论2004相比：Phi（n）/n是每个primarial的新最小值_Bernard Schott_，2020年5月21日

%C“primorial”一词是哈维·杜布纳（1987）创造的_Amiram Eldar，2021年4月16日

%C a（n）^（1/n）约为（n log n）/e.-Charles R Greathouse IV_，2023年1月3日

%C A267124的后续序列_Frank M Jackson，2023年4月14日

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%F（n）：exp（（1+o（1））*n*log（n））的渐近表达式，其中o（1丹福（Dan.Fux（AT）OpenGaia.com或danfux（AT）OpenGaia.com），2001年4月8日

%F a（n）=A054842（A002275（n））。

%F二项式变换=A136104:（1，3，11，55，375，3731，…）。等于A121572的二项式变换：（1，1，3，17，119，1509，…）_Gary W.Adamson_，2007年12月14日

%F a（0）=1，a（n+1）=素数（n）*a（n）.-_Juri-Stepan Gerasimov，2010年10月15日

%F a（n）=产品{i=1..n}A000040（i）.-_Jonathan Vos Post，2008年7月17日

%F a（A051838（n））=A116536（n）*A007504（A05183（n）_Reinhard Zumkeller_，2011年10月3日

%F A000005（a（n））=2^n.-_Carlos Eduardo Olivieri_，2015年6月16日

%F a（n）=A035345（n）-A005235（n），对于n>0.-_Jonathan Sondow，2015年12月2日

%F对于所有n>=0，a（n）=A276085（A000040（n+1）），a（n+1”）=A27.6086（A143293（n））_Antti Karttunen_，2016年8月30日

%F A054841（a（n））=A002275（n）-Michael De Vlieger_，2016年8月31日

%F a（n）=A270592（2*n+2）-A270592（2*n+1），如果0≤n≤4（由_Alon Kellner_对所有n进行推测）_Jonathan Sondow，2018年3月25日

%F和{n>=1}1/a（n）=A064648_Amiram Eldar，2020年10月16日

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=A132120.-_Amiram Eldar，2021年4月12日

%e a（9）=23#=2*3*5*7*11*13*17*19*23=223092870除以26个素数A204189的算术级数中的差5283234035979900_Jonathan Sondow，2012年1月15日

%p A002110：=n->mul（i），i=1..n）；

%t文件夹列表[Times，1，Prime[Range[20]]]

%t素数[n_]：=乘积[素数[i]，{i，n}]；阵列[初级，20]（*何塞·玛丽亚·格劳·里巴斯，2010年2月15日*）

%t连接[{1}，分母[Accumulate[1/Prime[Range[20]]]]（*哈维·P·戴尔，2012年4月11日*）

%o（哈斯克尔）

%o a002110 n=产品$take n a000040_list

%o a002110_list=扫描（*）1 a000040_list

%o--_Reinhard Zumkeller_，2012年2月19日，2011年5月3日

%o（岩浆）[1]cat[&*[NthPrime（i）：i in[1..n]]：n in[1..20]]；//_Bruno Berselli，2012年10月24日

%o（Magma）[1]cat[&*PrimesUpTo（p）：PrimesUpTo（60）中的p]；//_Bruno Berselli，2015年2月8日

%o（PARI）a（n）=prod（i=1，n，prime（i））\\_Washington Bomfim_，2008年9月23日

%o（PARI）p=1；对于（n=0.100，如果（n，p*=素数（n））；write（“b002110.txt”，n，“”，p））\\哈里·史密斯，2009年11月13日

%o（PARI）a（n）=factorback（primes（n））\\_David a.Corneth_，2018年5月6日

%o（Python）

%o从sympy导入primarial

%o定义a（n）：如果n<1，则返回1

%o[a（n）代表范围（51）内的n]#_Indranil Ghosh，2017年3月29日

%o（Sage）[sloane.A002110（n）代表n in（1..20）]#_Giuseppe Coppoletta_，2014年12月5日

%o（方案）；带有记忆宏定义

%o（定义（A002110n）（如果（零？n）1（*（A000040n）（A002110（-n 1））））_Antti Karttunen，2016年8月30日

%Y A034386给出了原始数字的第二个版本。

%Y A005117和A064807的子序列。除第一项外，A083207的子序列。

%Y参见A001615、A002182、A002201、A003418、A005235、A006862、A034444（酉除数）、A03444、A034388、A03438、A033188、A035345、A03534、A036691（复合数）、AO49345（一元基数表示）、A057588、A060735（和整数倍数）、A061742（正方形）、A072938、A079266、A087315、A094348、A106037、A121572、A053589、A0648、A132120，A260188。

%Y参考A061720（第一差），A143293（部分和）。

%Y另请参阅A276085、A276086。

%Y以下分数都相互关联：总和1/n:A001008/A002805，总和1/prime（n）:A024451/A002110和A106830/A034386，总和1/non-prime（m）:A282511/A282512，总和1/composite（n）：A250133/A296358。

%K nonn，简单，好，核心

%0、2

%A·N·J·A·斯隆和J·H·康威_