Computing 𝜋(𝑥): the Meissel-Lehmer method

Lagarias, J. C.; Miller, V. S.; Odlyzko, A. M.

doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777285-5

计算$\pi（x）$：Meissel-Lehmer方法
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数学。压缩机。44(1985), 537-560请求权限

摘要：

德国天文学家E.D.F.Meissel在19世纪70年代发现了一种计算单个值$\pi（x）$的方法，该值是质数$\leqsleat x$的计数函数。他的方法基于部分筛选函数的递归，并用它计算$\pi（{10^9}）$。D.H.Lehmer简化并扩展了Meissel方法。我们介绍了Meissel-Lehmer方法的进一步改进，该方法结合了一些新的筛选技术。我们对所得到的算法进行了渐近运行时间分析，表明对于每一个$\varepsilon>0$，它最多使用$O（{x^{2/3+\varepsilon}}）$算术运算来计算$\pi（x）$，并使用长度为$[{log_2}x]+1$位的字在随机存取机（RAM）上最多使用$0（{x_{1/3+\varebsilon}）$storage locations。使用并行处理器可以进一步加快算法的速度。我们证明了一种算法，当给定M（M）RAM并行处理器，在每个并行处理器上最多使用$O（{x^{1/3+\varepsilon}}）$个存储位置，最多计算$\pi（x）$个时间（{M^{-1}}{x^}2/3+\varebsilon}{}），前提是$M\leqsleat{x^{1/3}}$。实现了该算法的一个变体，并用于计算$\pi（4次{10^{16}}）$。

参考文献

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期刊：数学。压缩机。44(1985), 537-560
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