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A104227 RaMaNuja素数Ryn: A(n)是最小的数,如果x>=a(n),则pi(x)-pi(x/2)>n,其中pi(x)是素数<=x。 一百四十六
2, 11, 17,29, 41, 47,59, 67, 71,97, 101, 107,127, 149, 151,167, 179, 181,227, 229, 233,239, 241, 263,269, 281, 307,311, 347, 349,367, 373, 401,409, 419, 431,409, 419, 431,γ,γ,γ,γ, 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,1

评论

参考他的贝特朗假设的证明,Ramanujan提出了一个推广:“从这里我们很容易地推断出π(x)-pi(x/2)>1, 2, 3,4, 5,…,如果x>=2, 11, 17,29, 41,……,因为A(n)是素数(以它们的极小性),所以我称之为“RAMANUJIN Primes”。

参见附加引用和链接中提到的A14327.

2n log 2n<a(n)<4n log 4n为n>=1,素数(2n)<a(n)<素数(4n),若n>1。此外,a(n)~(2n)为n->无穷大。

Shanta Laishram证明了(n)<所有(n)=1的素数(3n)。

A(n)-3n log 3n有时是正的,但随着n(n)~2n log 2n的增加而增加,频率为负。应该有一个常数m,对于n>=m,我们有一个(n)<3n log 3n。

A(n)=rn n的良好逼近(1…1000)是A16996(n)=圆(k*n*(log(k*n)+1)),k=2.216从第一个1000个RAMANUUNA素数经验地确定,它近似于{k*n}-Th素数,它又近似于第n个RaMaNuhan-Prime和Abs(A16996(n)-Ryn)<2×SqrtA16996(n)n在[1…1000 ]中。由于Rn~~素数(2n)~2n*(log(2n)+1)~2n*log(2n),而A16996(n)~素数(k*n)~k*n*(log(k*n)+1)~k*n*log(k*n),A16996(n)/rnn~k/ 2=2.216/2=1.108,这意味着大约10%的渐近高估(更好的近似需要k依赖于n,并且渐近为2)。丹尼尔骗局7月29日2009

设pnn为n次素数。如果pnn>=3在该序列中,则所有整数(pnn+1)/ 2,(pnn+3)/2,…,(p*(n+1)-1)/2是复合数。-弗拉迪米尔谢维列夫8月12日2009

由q(n)表示从右到a(n)/ 2的素数的素数。然后,在(n)和2q(n)之间存在素数。反过来,一般来说,不是真的,即在序列之外存在素数,但具有这样的性质(例如,109)。-弗拉迪米尔谢维列夫8月14日2009

Mathematica程序FASTRAAMANUJIN PROMELLIST使用Laishram的结果A(n)<Prime(3n)。

参见序列A16452对于一般化,我们称之为RaMaunik k-素数。-弗拉迪米尔谢维列夫,SEP 01 2009

乔纳森·索道,5月22日2010:(开始)

约46%的素数<19000是RAMANUJAN素数。孪生素数<19000的约78%是RAMANUJIN素数。

约15%的素数<19000是孪生素数较小的。26%的RAMANUUN1素数<19000是孪生素数较小的。

跳转的原因是在“RAMANUUJIN Primes和贝特朗的假设”的第7节中,以及在“RAMANUJIN PRIMES:界限,运行,双胞胎,和差距”的第4节。(参见表1的修正版本的ARXIV链接。)

请参阅夏皮罗2008,以阐明拉马努扬对贝特朗公设假设的证明。(结束)

(10 ^ n)-r素数:2, 97, 1439,19403, 242057, 2916539,34072993, 389433437,…-Robert G. Wilson五世,五月07日2011,更新02八月2012

r素数<10 ^ n:1, 10, 72,559, 4459, 36960,316066, 2760321,…-Robert G. Wilson五世,八月02日2012

A(n)=rnn= r{{ 0.5,n}在“广义RAMANUJIN素数”中。

所有RAMANUJIN素数都在A164368. -弗拉迪米尔谢维列夫8月30日2011

如果n趋向无穷大,则LimSUP(A(n))A080359(N-1))= FIFTY;猜想:也LimSUP(A(n))A080359(n)= FITY(参见A1823 66-弗拉迪米尔谢维列夫4月27日2012

或最大素数X,使得(x/2,x]中素数的数目等于n。这个等价定义强调了Ramanujan和LabOS素数之间的一个重要类比。A080359-弗拉迪米尔谢维列夫4月29日2012

关于Rn n-素数(2n)的研究问题在A337 39以及在N-RAMANUJIN素数上A225907. -乔纳森·索道12月16日2013

关于Rn n-素数(2n)的几个问题A337 39Christian Axler在《论广义拉马努金素数》中得到了回答。-乔纳森·索道2月13日2014

Srimavaon引理(2014):素数(k n)<素数(k)/2,如果rnn=素数(k)和n> 1。证明:通过Ryn的极小性,区间(素数(k)/ 2,素数(k))包含n个素数和素数(k n)<素数(k)/ 2。-乔纳森·索道5月10日2014

对于一些n和k,我们看到A168421(k)=a(n),以形成类似于坎宁安链的素数链。例如(和第一个例子),A168421(2)=7,连接A(2)=11=11。A168421(3),链接A(3)=17=A168421(4),链接A(4)=29=A168421(6),链接A(6)=47。注意,链接不必是像Q=2*p+ 1或q=2×p-1的形式。-约翰·W·尼克尔森2月22日2015

扩展SONDOW的2010个评论:约48%的素数<10 ^ 9是RAMANUJIN素数,其中约76%的较小的孪生素数<10 ^ 9是RAMANUJAN素数。-达纳·杰克布森,SEP 06 2015

SONDOW、尼克尔森和NOE的2011猜想:π(R{{M*n})<=M*PI(Ryn)为m>1和n>=nUm(参见)A19413A19414在2015,石春阳和Aln ToubEe被证明为n>10 ^ 300。-乔纳森·索道,十二月01日2015

Berliner、迪安、Hook、Marr、Mbirika和McBee(2016)在定理18中证明了图k{{m,n}是n>=r{{M-1 }-m的素数;A241465. -乔纳森·索道5月21日2017

OkHuin(2012)使用RAMANUJIN素数来证明“一元字母表上的明确的有限自动机”引理8。乔纳森·索道5月30日2017

SeulCre和VIDAL(2016)在“关于指数多项式零点的实投影的非隔离”的注释9中应用RAMANUJAN素数。乔纳森·索道5月30日2017

Axle和Le-Mman(2017)计算K>1+ε的第一K-RAMANUJIN素数;A27 718A27 719A29039. -乔纳森·索道7月30日2017

推荐信

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维基百科拉马努金素数

杨春春和阿兰·吐布,关于RAMANUJIN素数上界和下界的估计,Ramanujan J.,在线2015年8月14日,1-11。

公式

a(n)=1+max {k:pi(k)-pi(k/2)=n- 1 }。

A(n)=A8080360(n-1)+ 1,n>1。

A(n)>A080359(n)。-弗拉迪米尔谢维列夫8月20日2009

A1937(n)<=a(n)<A1938(n)。

A(n)=2A084140(n)-1,n>1。-乔纳森·索道12月21日2012

A(n)=素数(2n)+A337 39(n)=A3538(n)+A(n+1)/ 2。-乔纳森·索道12月16日2013

A(n)=max {Prime P:PI(P)-PI(P/2)=n}(见SeVELV 2012)。-乔纳森·索道3月23日2016

A(n)=A000 000A179196(n)。-马塔尔9月21日2017

例子

A(1)=2是贝特朗的假设:PI(x)-PI(x/2)>=1,对于所有x>=2。

a(2)=11,因为a(2)<8 log 8<17和π(n)-pi(n/2)>1,n=16, 15,…,11,但pi(10)-pi(5)=1。

考虑A(9)=71。然后,最近素数>71/2是37,并且在(9)和2*37之间,即在71和74之间,存在素数(73)。[弗拉迪米尔谢维列夫,8月14日2009日-修正乔纳森·索道6月17日2013

枫树

A104227= PROC(n:整数)

γ-局部R;

如果n=1,则

(2);

如果结束;

(3)n*(Laishram×n-1);上极限的THM THRM 3阿西夫:1105.2249

虽然确实如此

第二类A056171(r)=n,然后为…1。谢维列夫JIS 14(2012)12 1.1

α,α,α,α,α,α,β,β;

如果是;

(a)

最后一步:

结束进程:

SEQA104227(n),n=1…200);马塔尔9月21日2017

Mathematica

(RAMANUJAN Primelist[n]:=用[{K,PrimePi[k]-PrimePi[k/2 ]},{k,天花板[n[[**n*log [4×n]]}]},表[1 +第一[最后选择],最后[α] ==I-1和]],{ i,1,n}〕;RAMANUJIN PRIMELLIST(54))(*)乔纳森·索道8月15日2009*)

(FuffReMaNujayPrimelist[n])= [{t=表[{k,PrimePi][K]-PrimePi](k/2)},{k,Prime(3×n}}}},表1 [第一] [最后[选择],最后[α] ]=I-1和],{ i,1,n}〕;

NN=1000;R=表〔0,{NN}};S=0;D[I[ Primeq[k],s++];如果[Primeq[k/2 ],s- ];如果[s< nn,r[[s+4] ]=k],{k,Prime(3×nN}});r= r+1(*)诺德11月15日2010*)

黄体脂酮素

(Perl)使用nRead:“ALL”;我的$R= RAMANUJANYPRIMES(1000);说“[@ $R]”;达纳·杰克布森,SEP 06 2015

(PARI)RAMANUJANYPRIMEOLLIST(n)={My(L=向量(n),S=0,k=1);(k=1,素数(3×n)-1,If(ISime(k),s++);If(k% 2=0和&素数(k/2),s-);如果(s<n,L[s+1)=k+1));塞蒂什比斯尼02三月2017

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 699(贝特朗素数)A056171(PI(n)-PI(n/2))。

囊性纤维变性。A000 0720A000 7053A014085A060715A084139A084140A14323A1432A1432A14326A14327A8080360A080359A164368A16428A1645A164333A16429A164171.

囊性纤维变性。A16996(圆(kn*(log(kn)+ 1)),k=2.216作为Rnn= n次RaMaunuz素数的近似值。

囊性纤维变性。A163160(圆(kn*(log(kn)+ 1))-ryn,其中k=2.216,rnn= n次RaMaNuhan-Prime)。

囊性纤维变性。A178127(双胞胎RAMANUJIN素数较小)A178128(孪生素数的较小,如果它是RAMANUJAN素数)。

囊性纤维变性。A181661(RAMANUJA素数小于10 ^ n)。

囊性纤维变性。A174635(非拉马努金素数)A174602A174161(运行Ramanujan和非拉马努金素数)。

囊性纤维变性。A1899A1899(最长跑的长度)。

囊性纤维变性。A19124(求和常数:1/a(n)^ 2)。

囊性纤维变性。A19220(2 -或衍生的RAMANUJIN素数R’n),A19221A1928A1928A1928A225907.

囊性纤维变性。A1937(0.25-RAMANUJAN素数)A1938(0.75-RAMANUJIN素数)。

囊性纤维变性。A19413A19414A21249A21254A337 39A3538A27 718A27 719A16452A29039A241465.

囊性纤维变性。A18500-A18500(模块化的RAMANUJIN PREMES)。

不与RAMANUUN1数字或RAMANUUTAUτ函数混淆,A000 0595.

语境中的顺序:A019364 A164368 A19465*A214934 A338 66 A117155

相邻序列:γA104269 A104270 A104171*A104263 A10427 A104255

关键词

诺恩

作者

乔纳森·索道2月27日2005

地位

经核准的

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最后修改6月1日15:45 EDT 2020。包含334762个序列。(在OEIS4上运行)