%I M0256 N0090#387 2024年3月22日07:32:49

%S 0,1,2,2,3,3,4,4,4，4,5,5,6,6,6，6,7,8,8,8，9,9，9,9,10,11,11，

%电话：11,11,11,12,12,12,12,13,14,14,14，14,15,15,15，15,16,16，

%U 16,16,16,17,17,18,18,18,18,18,18,19,19,19,19,20,20,21,21,21,21,21,21

%Nπ（N），素数<=N。有时称为PrimePi（N），以将其与数字3.14159区分开来。。。

%C A010051的部分和（素数的特征函数）_杰里米·加德纳，2002年8月13日

%π（n）和素数（n）是反函数：a（A000040（n））=n，A000040（n）是最小的数m，使得A000040（a（m））=A000040（n）。A000040（a（n））=n，如果（且仅当）n是素数_Jonathan Sondow，2004年12月27日

%C参见A143227中提到的其他参考和链接_Jonathan Sondow，2008年8月3日

%C N越大越好的下界是至少有T个素数小于N，其中递归函数T是：T=N-N*Sum_{i=0..T（sqrt（N））}A005867（i）/A002110（i）.-_本·保罗·瑟斯顿（Ben Paul Thurston），2010年8月23日

%C将2n划分为两个部分的数量，其中最小部分为素数。-_韦斯利·伊万·赫特，2013年7月20日

%C等价于黎曼假设：abs（a（n）-li（n））<sqrt（n）*log（n）/（8*Pi），对于n>=2657，其中li（n）是对数积分（Lowell Schoenfeld）_伊利亚·古特科夫斯基，2016年7月5日

%C第二个Hardy-Littlewood猜想，即对于整数x和最小值为{x，y}>=2的y，π（x）+pi（y）>=pi（x+y），已知它适用于足够大的（x，y）（Udrescu 1975）_Peter Luschny_，2021年1月12日

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%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%素数定理给出了a（n）~n/log（n）的渐近表达式。

%F对于x>1，pi（x）<（x/log x）*（1+3/（2 log x））。对于x>=59，pi（x）>（x/log x）*（1+1/（2 log x））。[Rosser和Schoenfeld]

%F对于x>=355991，pi（x）<（x/log（x。对于x>=599，pi（x）>（x/log（x。[杜萨特]

%F对于x>=55，x/（log（x）+2）<pi（x）<x/（对数（x）-4）。[罗瑟]

%F对于n>1，A138194（n）<=a（n）≤A138195（n，切比雪夫，1850）_Reinhard Zumkeller_，2008年3月4日

%F对于n>=33，a（n）=1+和{j=3..n}（（j-2）！-j*地板（（j-2）/j） ）（哈代和赖特）；对于n>=1，a（n）=n-1+Sum_{j=2..n}（楼面（（2-总和i=1..j}（楼（j/i）-楼（j-1）/i））（Ruiz和Sondow 2000）_Benoit Cloitre_，2003年8月31日

%F a（n）=A001221（A000142（n））_Benoit Cloitre_，2005年6月3日

%F G.F.：和{p素数}x^p/（1-x）=b（x）/（1-x_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2006年6月15日

%F a（n）=A036234（n）-1.-_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年3月23日

%F From _Enrique Pérez Herrero_，2010年7月12日：（开始）

%F a（n）=总和{i=2..n}层（（i+1）/A000203（i））。

%F a（n）=总和{i=2..n}楼层（A000010（n）/（i-1））。

%F a（n）=总和{i=2..n}层（2/A000005（n））。（结束）

%F设pf（n）表示整数n的素因子集。然后a（n）=卡（pf（n！/floor（n/2）！）_Peter Luschny_，2011年3月13日

%F a（n）=-总和{p<=n}μ（p）.-_韦斯利·伊万·赫特，2013年1月4日

%F a（n）=（1/2）*Sum_｛p＜＝n｝（μ（p）*d（p）*sigma（p）*phi（p））+Sum_｛p＜＝n｝p^2。-_Wesley Ivan Hurt_，2013年1月4日

%F a（1）=0，然后，对于所有k>=1，重复k A001223（k）次_Jean-Christophe Hervé，2013年10月29日

%Fa（n）=n/（log（n）-1-Sum_｛k=1..m｝A233824（k）/log（n）^k+O（1/log（n）^｛m+1｝）），m＞0.-_Jonathan Sondow，2013年12月19日

%F a（n）=A001221（A003418（n））_Eric Desbiaux，2014年5月1日

%F a（n）=和{j=2..n}H（-sin^2（Pi*（Gamma（j）+1）/j）），其中H（x）是Heaviside阶跃函数，取H（0）=1.-_Keshav Raghavan，2016年6月18日

%F a（A014076（n））=（1/2）*（A014075（n）+1）-n+1。-_Christopher Heiling，2017年3月3日

%F From _Steven Foster Clark，2018年9月25日：（开始）

%F a（n）=总和{m=1..n}A143519（m）*楼层（n/m）。

%F a（n）=总和{m=1..n}A001221（m）*A002321（楼层（n/m）），其中A002322（）是Mertens函数。

%F a（n）=总和{m=1..n}|A143519（m）|*A002819（floor（n/m）），其中A002818（）是Liouville Lambda求和函数，|x|是x的绝对值。

%F a（n）=总和{m=1..n}A137851（m）/m*H（楼层（n/m）），其中H（n）=总和{m=1..n}1/m是调和数函数。

%F a（n）=总和{m=1..log_2（n）}A008683（m）*A025528（楼层（n^（1/m）。

%F（结束）

%F总和{k=2..n}1/a（k）~（1/2）*log（n）^2+O（log（n））（de Koninck and Ivić，1980）_Amiram Eldar，2021年3月8日

%F a（n）~1/（n^（1/n）-1）_托马斯·奥多夫斯基，2023年1月30日

%e有3个素数<=6，即2、3和5，所以pi（6）=3。

%p与（数字理论）；A000720:=π；[序列（A000720（i），i=1..50）]；

%t A000720[n_]：=PrimePi[n]；表[A000720[n]，{n，1，100}]

%t数组[PrimePi[#]&，100]

%t累计[表[Boole[PrimeQ[n]]，{n，100}]]（*哈维·P·戴尔，2015年1月17日*）

%o（PARI）A000720=向量（100，n，ω（n！））\\仅供说明；更好地使用A000720=primepi

%o（PARI）向量（300，j，primepi（j））\\_Joerg Arndt_，2008年5月9日

%o（Sage）[prime_pi（n）for n in range（179）]#_Zerinvary Lajos_，2009年6月6日

%o（岩浆）[1..200]]中的[#PrimesUpTo（n）：n；//_Bruno Berselli，2011年7月6日

%o（哈斯克尔）

%o a000720 n=a000720_列表！！（n-1）

%o a000720_list=scanl1（+）a010051_list--_Reinhard Zumkeller_，2011年9月15日

%o（Python）

%o来自sympy import primepi

%o表示范围（1100）内的n：print（primepi（n），end='，'）#_Stefano Spezia_，2018年11月30日

%Y参考A048989、A000040、A132090、A137588、A139328、A104272、A143223、A143224、A143225、A143226、A143227。

%Y参见A143538、A036234、A033844、A034387、A03438、A179215、A010051、A212210-A212213、A233824、A056171、A304483。

%Y参考A099802：素数<=2n。

%Y Cf.A060715：n到2n之间的素数（不含）。

%Y Cf.A035250：n和2n（含）之间的素数。

%Y参考A038107：素数<n^2。

%Y参考A014085：n^2和（n+1）^2之间的素数。

%Y参考A007053：素数<=2^n。

%Y Cf.A036378：2的幂之间的素数p，2^n<p<=2^（n+1）。

%Y参考A006880：素数<10^n。

%Y Cf.A006879：n位数的素数。

%Y参考A033270：奇数素数<=n。

%Y有关a（n）的大值列表，请参见，例如，A005669（n）=a（A002386（n）），A214935（n）=a（A205827（n）。

%K nonn，核心，简单，好

%氧1,3

%A _N.J.A.斯隆_

%E由_Lekraj Beedassy提供的其他链接，2003年12月23日

%E由M.F.Hasler_编辑，2018年4月27日和（恢复链接）2018年12月21日