搜索: 编号:a000079
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A000079号
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| 2的幂:a(n)=2^n。 (原名M1129 N0432)
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+0 3120
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1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648, 4294967296, 8589934592
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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2^0=1是2的唯一奇幂。
n个集合的子集数。
n有2^(n-1)个组合(有序分区)(参见Riordan示例)。这是优先标记序列的未标记模拟A000670号.
这也是1..n+1的弱单峰置换数,也就是只有一个局部最大值的置换数。例如,a(4)=16:12345、12354、12453、12543、13452、13542、14532和15432及其反转-乔恩·佩里2003年7月27日[证据:见下一行!另见A087783号.]
证明:n必须出现在某处,前面的子集有2^(n-1)个可能的选择。这些必须以递增顺序出现,其余必须以递减顺序跟随n。量化宽松政策-N.J.A.斯隆2003年10月26日
a(n+1)是不是任何数量(不同的)早期术语之和的最小数字。
几乎完美数被称为最小缺陷数或轻微缺陷数(Singh 1997)。“近完美数”是指几乎完美数(sigma(n)=2n-1)和准完美数(sigma(n)=2n+1)吗?没有已知的准完美或最不丰富或稍过多的数字(Singh 1997)。
帕斯卡三角形第n行中的数字之和;(x+1)^n展开式中x的系数之和。
Collatz猜想(冰雹序列最终将达到数字1,无论最初选择哪个正整数)可以重述为(冰雹序列最终将达到2的幂,无论最初选择哪个正整数)。
用p(n)作为n的整数分区数,p(i)是n的第i个分区的部分数,d(i)为n的第i个分区的不同部分数,m(i,j(产品{j=1..d(i)}m(i,j)!))-托马斯·维德2005年5月18日
n元集上对称和反对称的二元关系数。另外,n元集上对称、反对称和传递的二元关系数。
a(n)是包含n个加法的加法链最短的最大数-大卫·W·威尔逊2006年4月23日
对于n>=1,a(n)等于函数f:{1,2,…,n}->{1,2}的数目,因此对于{1,2中的固定x和{1,2]}中的固定y,我们有f(x)!=y.-Aleksandar M.Janjic和米兰Janjic2007年3月27日
设P(A)是n元集A的幂集,则A(n)是P(A)的元素对{x,y}的个数,其中x=y-罗斯·拉海耶2008年1月9日
a(n)是用n个台阶跑上楼梯的不同方式的数量,台阶大小为1、2、3。。。和r(r<=n),其中顺序很重要,并且每个步骤的数量或大小没有限制-穆罕默德·阿扎里安2008年5月21日
a(n)是[n+1]上的置换数,使得每个初始段都是整数区间。例如:a(3)计数1234、2134、2314、2341、3214、3241、3421、4321。映射“p->p的上升”是这些置换到[n]子集的双射。置换p的上升是一个位置i,使得p(i)<p(i+1)。所示排列分别映射到123、23、13、12、3、2、1和空集-大卫·卡伦2008年7月25日
a(n)似乎与修改后的一元数的除数相匹配(不包括2、3和5)。所检查的范围非常有限,如PARI示例所示-比尔·麦克阿欣,2008年10月29日
连续k,使得phi(k)/k=1/2,其中phi是Euler的总方向函数-阿图尔·贾辛斯基2008年11月7日
对于n>=0,a(n)是高度为n的完整二叉树中的叶子数。对于n>0,a-K.V.Iyer公司2009年5月4日
n+1个元素的排列,其中没有元素在其原始位置的右边超过一个位置。例如,三个元素有4个这样的排列:123、132、213和312。四个元素的8个这样的排列是1234、1243、1324、1423、2134、2143、3124和4123-约尔格·阿恩特2009年6月24日
这些是2-光滑数,是没有素因子大于2的正整数-迈克尔·波特2009年10月4日
a(n)是最大的数字m,使得从r=m开始达到1所需的{r-(最大除数d<r)}的迭代步数等于n。示例(a(5)=32):32-16=16;16 - 8 = 8; 8 - 4 = 4; 4 - 2 = 2; 2 - 1 = 1; 数字32有5个步骤,是最大的步骤。请参见A105017标准,A064097号,A175125型. -雅罗斯拉夫·克里泽克2010年2月15日
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1,a(n)等于n的2色组成数,因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月17日
等于A001405号与右移变量卷积:(1+2x+4x^2+…)=(1+x+2x^2+3x^3+6x^4+10x^5+…)*(1+x+x^2+2x^3+3x^4+6x^5+…)-加里·亚当森2011年11月23日
n+1集合的奇数子集的数目。例如,{1,2,3,4}有2^3个奇数大小的子集,即{1},{2},{3},{4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}和{2,3,4}。另外,请注意2^n=Sum_{k=1..floor((n+1)/2)}C(n+1,2k-1)-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
对于n>=1显然是一元字母表上不同有限语言的数量,其最小正则表达式的字母宽度为n(已验证为n=17),请参阅Gruber/Lee/Shallit链接-赫尔曼·格鲁伯2012年5月9日
这是词典学上最早的序列,不包含长度为3的算术级数Daniel E.Frohardt,2013年4月3日
a(n-2)是{1..n}的双分区数(即将分区设置为两部分),使得1和2不在同一子集中-乔恩·佩里2013年5月19日
数n,使得第n个分圆多项式的根模为2;数n,使得第n个分圆多项式具有偶数个奇数系数-埃里克·施密特2013年7月31日
现在人们对非幂次-2“几乎完美数字”的了解更多,如Dagal所述-乔纳森·沃斯邮报2013年9月1日
适合于n X n框的对称Ferrers图的数量-格雷厄姆·霍克斯,2013年10月18日
编号n,使σ(2n)=2n+σ(n)-贾汉格·科尔迪2013年11月23日
a(1)。。。,a(floor(n/2))是方阵集(0,1)上的所有永久值,n阶矩阵>=2,行和列和为2-弗拉基米尔·舍维列夫2013年11月26日
以2为基数展开的数字正好有一位设置为1,因此以2为底的数字之和等于1-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
a(n)是最大的数字k,使得(k^n-2)/(k-2)是一个整数(对于n>1);(k^a(n)+1)/(k+1)决不是整数(对于k>1和n>0)-德里克·奥尔,2014年5月22日
小数列b(n)=最小数k>0,使得2^k以n个相同数字结尾,由{1,18,39}给出。重复数字分别为{2、4、8}。请注意,这些是2的连续幂(2^1,2^2,2^3),这些是只有一位数字的2(2^k,k>0)的幂。此外,这个序列是有限的。2的幂的n位结尾数,n个或更多数字id为4*5^(n-1)。因此,对于b(4)的存在,只需检查小于等于4*5^3=500的指数。由于b(4)不存在,显然不存在其他数字-德里克·奥尔2014年6月14日
使2^k以n个连续递减的数字结尾的最小数字k>0是由{1,5,25}给出的3个数字序列。连续递减的数字是{2,32,432}。2^k有100个不同的3位数结尾。没有k值可以使2^k以“987”、“876”、“765”、“654”、“543”、“321”或“210”结尾。2^k以'432'结尾的k值由25 mod 100给出。对于k=25+100*x,对于x={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…},“432”运行之前的数字分别是{4,6,8,0,2,4,8,2,…}。因此,我们看到“432”之前的数字永远不会是5。所以,这个序列是完整的-德里克·奥尔2014年7月3日
a(n)是长度n避开经典意义上的231和321的排列数,它们是递增一元二叉树的宽度第一搜索读取单词。有关更多详细信息,请参阅避免231排列的条目A245898型. -曼达·里尔2014年8月5日
这是一个B_2序列:对于i<j,差异a(j)-a(i)都是不同的。这里2*a(n)<a(n+1)+1,所以a(n-托马斯·奥多夫斯基2014年9月23日
a(n)计算图G(1-顶点;1-循环,1-循环)上的n次行走(闭合)-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
a(n-1)计算图G(1-顶点;1-循环,2-循环,3-循环,4-循环,…)上的行走次数(闭合)-大卫·尼尔·麦格拉思2015年1月1日
b(0)=4;b(n+1)是不在序列中的最小数,使得b(n+1)-Prod_{i=0..n}b(i)除以b(n+1)-Sum_{i=0..n}b。则b(n)=a(n),对于n>2-德里克·奥尔2015年1月15日
a(n)对长度为n+2的第一个元素为2的排列进行计数,使得该排列正好具有一个下降-冉·潘,2015年4月17日
a(0)-a(30)出现在旧巴比伦时期(约公元前1900-1600年)的碑文M 08613(参见CDLI链接)中,错误地出现了a(26)-a(30)-查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月3日
单调映射f:[0..n]->[0..n]的个数,它们是序递增的(i<=f(i))和幂等的(f(f(i。换句话说,第n序数上的单数(视为词缀范畴)。任何单子f通过考虑其单子代数集=不动点{i|f(i)=i}来确定包含n的[0..n]的子集。相反,包含n的[0..n]的任何子集S通过S}中的函数i|->min{j|i<=j,j确定[0..n'上的单体-诺姆·齐尔伯格2016年12月11日
考虑位于圆上的n个点。然后,对于n>=2,a(n-2)给出了用不相交弦连接两个相邻点的方法数-安东·扎哈罗夫2016年12月31日
满足本福德定律[Diaconis,1977;Berger-Hill,2017]-N.J.A.斯隆2017年2月7日
另外,n个空图中独立顶点集和顶点覆盖的数量-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
此外,当n>4时,n减半立方体图中的最大团数-埃里克·韦斯特因2017年12月4日
与指数n-1的海藻代数相对应的n组分对数-尼克·迈尔斯,2018年6月25日
模a(n)的乘法整数群是循环的当且仅当n=0,1,2。对于n>=3,它是两个循环群的乘积-宋嘉宁,2018年6月27日
k^n是n X n矩阵M_(i,j)=二项式(k+i+j-2,j)-二项式的行列式(i+j-2,j),在这种情况下,k=2-托尼·福斯特三世2019年5月12日
a(n-1)是{1,2,…,n}的子集的数量,这些子集具有作为集合大小的元素。例如,对于n=4,a(3)=8,并且子集是{1}、{1,2}、}2,3}、[2,4}、[1,2,3}、[1,3,4]、{2,3,4}、{1,2,3,4}-恩里克·纳瓦雷特,2020年11月21日
a(n)是具有231-avoiding的自逆(n+1)序置换数。例如,a(3)=8:[1234,1243,1324,1432,2134,2143,3214,4321]-宇春记2021年2月26日
对于任何固定的k>0,a(n)是用长度为1、2、…的平铺来平铺长度为n+1的条带的方法数。。。k、 其中,长度k的平铺可以是黑色或白色,但第一个平铺不能是黑色-格雷格·德累斯顿和Bora Bursal,2023年8月31日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
V.E.Tarakanov,二元矩阵的组合问题,组合分析,MSU,5(1980),4-15。(俄语)
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链接
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乔纳森·比格利和劳拉·普德威尔,彩色瓷砖和排列《整数序列杂志》,第24卷(2021年),第21.10.4条。
阿诺·伯杰和西奥多·希尔,什么是本福德定律?、通知、Amer。数学。《社会》,64:2(2017),132-134。
托比亚斯·博格(Tobias Boege)和托马斯·卡勒(Thomas Kahle),高斯曲面的构造方法,arXiv:1902.11260[math.CO],2019年。
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彼得·卡梅隆,计数注意事项Peter Cameron的博客,2017年5月15日。
Giulio Cerbai、Anders Claesson和Luca Ferrari,限制堆栈的堆栈排序,arXiv:1907.08142[cs.DS],2019年。
M.Coons和H.Winning,三的两模幂的幂,J.国际顺序。18 (2015) # 15.6.1.
肯尼思·阿德里安·达格尔(Keneth Adrian P.Dagal)和何塞·阿尔纳多·德里斯(Jose Arnaldo B.Dris),用丰度指数判定几乎完全数,arXiv:1308.6767v1[math.NT],2013年8月14日。
V.Dergachev和A.Kirillov,海藻型李代数的指数,J.谎言理论10(2)(2000)331-343。
David Eppstein,2048年的变革,arXiv:1804.07396[cs.DM],2018年。
P.Flajolet和R.Sedgewick,分析组合数学, 2009; 见第18页
乔尔·盖伊和文森特·皮劳,Weyl偏序集的弱序,arXiv:1804.06572[math.CO],2018年。
赫尔曼·格鲁伯、乔纳森·李和杰弗里·沙利特,枚举正则表达式及其语言,arXiv:1204.4982v1[cs.FL],2012年。
P.A.MacMahon,数字合成理论回忆录,菲尔翻译。伦敦皇家学会,184(1893),835-901。
奥古斯汀·穆纳吉,整数合成与高阶共轭,J.国际顺序。,第21卷(2018年),第18.8.5条。
G.Pfeiffer,计算传递关系《整数序列杂志》,第7卷(2004年),第04.3.2条。
Michael Z.Spivey和Laura L.Steil,k二项式变换和Hankel变换《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.1.1条。
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配方奶粉
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a(n)=2^n。
a(0)=1;a(n)=2*a(n-1)。
G.f.:1/(1-2*x)。
例如:exp(2*x)。
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)。
a(n+1)=a(n)XOR 3*a(n,其中XOR是二进制异或运算符-菲利普·德尔汉姆2005年6月19日
a(n)=箍筋S2(n+1,2)+1-罗斯·拉海耶2008年1月9日
a(n+2)=6a(n+1)-8a(n),n=1,2,3。。。a(1)=1,a(2)=2-尤拉门迪2008年8月6日
a(n)=ka(n-1)+(4-2k)a(n-2),对于任意整数k和n>1,其中a(0)=1,a(1)=2-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月5日
a(n)=和{l_1=0..n+1}和{l_2=0..n}。。。求和{l_i=0..n-i}。。。求和{l_n=0..1}增量(l_1,l_2,…,l_i,…,l_n),其中如果有l_i<=l_(i+1)和l_(i+1)!=否则,δ(l_1,l_2,…,l_i,…,l_n)=1-托马斯·维德2009年2月25日
a(0)=1,a(1)=2;a(n)=a(n-1)^2/a(n-2),n>=2-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月22日
如果p[i]=i-1,并且A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[i,j]=p[j-i+1],(i<=j),A[i、j]=-1,(i=j+1),否则A[i和j]=0。那么,对于n>=1,a(n-1)=det a-米兰Janjic,2010年5月2日
如果p[i]=Fibonacci(i-2),并且如果A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[i,j]=p[j-i+1],(i<=j),A[i、j]=-1,(i=j+1),否则A[i和j]=0。那么,对于n>=2,a(n-2)=det a-米兰Janjic,2010年5月8日
倒数之和,1/1+1/2+1/4+1/8+…+1/(2^n)+…=2. -穆罕默德·阿扎里安,2010年12月29日
a(n)=超几何([-n],[],-1)-彼得·卢什尼2011年11月1日
2^n=和{k=1..层((n+1)/2)}C(n+1,2k-1)-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
和{n>=1}mobius(n)/a(n)=0.10201133481781036474303639318-R.J.马塔尔2012年8月12日
例如:1+2*x/(U(0)-x),其中U(k)=6*k+1+x^2/(6*k+3+x^2/(6*k+5+x^ 2/U(k+1));(连分数,3步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月4日
a(n)=det(|s(i+2,j)|,1<=i,j<=n),其中s(n,k)是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月4日
a(n)=det(|ps(i+1,j)|,1<=i,j<=n),其中ps(n,k)是第一类Legendre-Sterling数(A129467号). -米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.:W(0),其中W(k)=1+2*x*(k+1)/(1-2*x*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月28日
a(n-1)=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}多项式(t1+t2+…+t_n;t1,t2,…,t_n)-米尔恰·梅卡2013年12月6日
构造幂矩阵T(n,j)=[A^*j]*[S^*(j-1)],其中A(n)=(1,1,1,…)和S(n)=(0,1,0,0,…)(其中*是卷积运算)。那么a(n-1)=和{j=1..n}T(n,j)-大卫·尼尔·麦格拉思2015年1月1日
和{n>=0}(-1)^n*a(n)/n!=经验(-2)=A092553号.(结束)
通用格式:(r(x)*r(x^2)*r其中r(x)=A090129号(x) =(1+2x+2x^2+4x^3+8x^4+…)-加里·亚当森2016年9月13日
a(n)=n+1+Sum_{k=3..n+1}(2*k-5)*J(n+2-k),其中Jacobsthal数J(n)=A001045美元(n) ●●●●-迈克尔·艾伦2022年1月12日
积分{x=0..Pi}cos(x)^n*cos(n*x)dx=Pi/a(n)(见Nahin,第69-70页)-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年5月17日
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例子
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三元集{1,2,3}有2^3=8个子集,即{-,1,2,3,12,13,23,123}。
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MAPLE公司
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isA000079:=进程(n)
局部fs;
fs:=numtheory[因子集](n);
如果n=1,则
真;
elif nops(fs)<>1则
假;
elif-op(1,fs)=2,则
真;
其他的
假;
结束条件:;
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数学
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表[2^n,{n,0,50}]
线性递归[{2},{2},{0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
系数列表[级数[1/(1-2x),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
嵌套列表[2#&,1,40](*哈维·P·戴尔2019年10月7日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)单峰(n)=局部(x,d,um,umc);umc=0;对于(c=0,n!-1,x=numtoperm(n,c);d=0;um=1;对于(j=2,n),如果(x[j]<x[j-1],d=1);如果(x[j]>x[j-1]&&d==1,um=0);如果(um==0,中断);如果(um==1,打印(x));umc+=um);城市管理委员会
(PARI)x=1;对于(n=0,1000,写入(“b000079.txt”,n,“”,x);x+=x)\\哈里·史密斯2009年4月26日
(哈斯克尔)
a000079=(2^)
a000079_list=迭代(*2)1
(岩浆)[0..40]]中的[2^n:n(*或*)[n le 2选择n其他5*自我(n-1)-6*自我(n-2):n(在[1..40]]]中)//文森佐·利班迪2014年2月17日
(Scala)(列表填充(20)(2:BigInt)).scanLeft(1:BigIn)(_*_)//阿隆索·德尔·阿特,2020年1月16日
(Python)
定义a(n):返回1
打印([a(n)代表范围(34)中的n])#迈克尔·布拉尼基2022年7月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000225号,A038754号,A133464号,A140730型,A037124号,A001787号,A001788号,A001789号,A003472号,A054849号,A002409号,A054851号,A140325号,A140354号,A000041号,A152537号,A001405号,A007318号,A000120号,A000265号,A000593号,A001227号,A077020型,A077021美元.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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