搜索： a057161-编号：a057161
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A057163号
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| Catalan自同构的特征变换：反映有根平面二叉树；Deutsch 1998年对Dyck路径的内卷化。 |
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0, 1, 3, 2, 8, 7, 6, 5, 4, 22, 21, 20, 18, 17, 19, 16, 15, 13, 12, 14, 11, 10, 9, 64, 63, 62, 59, 58, 61, 57, 55, 50, 49, 54, 48, 46, 45, 60, 56, 53, 47, 44, 52, 43, 41, 36, 35, 40, 34, 32, 31, 51, 42, 39, 33, 30, 38, 29, 27, 26, 37, 28, 25, 24, 23, 196, 195, 194, 190, 189
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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Emeric Deutsch公司，Dyck路的对合及其结果，离散数学。，204（1999），编号1-3，163-166。
Dana G.Korssjoen、Biyao Li、Stefan Steinerberger、Raghavendra Tripathi和Ruimin Zhang，用图论寻找实数序列的结构：一个问题列表，arXiv:2012.046252020年12月8日。
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配方奶粉
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例子
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0 0 0 0
\ / \ /
1 0 0 1
\ / \ /
0 1 1 0
\ / \ /
1 1
因此a（5）=7，a（7）=5。
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MAPLE公司
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ReflectBinTree:=n->ReflectBinTree2（n）/2；反射BinTree2:=n->（`if`（（0=n），n，反射BinTReeAux(A030101型（n） ）；
ReflectBinTreeAux:=proc（n）局部a，b；a:=反射BinTree2（BinTree左分支（n））；b:=反射BinTree2（BinTree右分支（n））；返回（（2^(A070939号（b）+A070939号（a） ）+（b*（2）^(A070939号（a） ）+a）；结束；
NextSubBinTree：=proc（nn）局部n，z，c；n：=nn；c:=0；z:=0；而（c＜1）do z：＝2*z+（n mod 2）；c：=c+（-1）^n；n:=地板（n/2）；od；返回（z）；结束；
BinTreeLeftBranch:=n->NextSubBinTree（楼层（n/2））；
BinTreeRightBranch:=n->NextSubBinTree（楼层（n/（2^（1+A070939号（BinTreeLeftBranch（n）））；
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数学
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A014486Q[0]=正确；A014486Q[n_]：=Catch[Fold[If[#<0，Throw[False]，If[#2==0，#-1，#+1]]&，0，整数位数[n，2]]==0]；树[n_]：=块[{func，num=Append[IntegerDigits[n，2]，0]}，func:=如果[num[[1]]==0，num=删除[num，1]；0，num=删除[num，1]；1[功能，功能]]；功能]；A057163L[n_]：=函数[x，第一位置[x，FromDigits[大多数@案例[树[#]/。1->反转@*1，0|1，全部，磁头->True]，2]][[1]]-1&/@x][选择[范围[0，2^n]，A014486Q]]；A057163L[11](*郑焕敏2016年12月11日*）
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黄体脂酮素
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（作用于S表达式（即列表结构）的这种自同构的方案实现：）
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交叉参考
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非n
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经核准的
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0，1，0，3，1，0，2，1，0，7，3，1，0，8，4，2，3，1，0，6，6，8，2，3，1，0，4，5，7，2，3，1，0，5，7，6，8，2，3，1，0，17，8，5，8，7，2，1，0，18，9，4，6，8，7，3，1，0，20，10，22，5，5，8，4，2，2，1，0，21，14，21，17，4，4，6，5，8，3，3，1，0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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构造过程类似于原始递归函数到N的构造映射：我们有两个基本原语，A069770号（第0行）和A072796号（第1行），其中前者交换二叉树的左子树和右子树，后者交换平面一般树的两个最左子树的位置，除非树的度小于2，在这种情况下，它只是修复它。从此，偶数行是根据此表中的任何其他Catalan双射递归构造的，使用五种允许的递归类型之一：
0-应用给定的Catalan双射，然后递归到获得的新二叉树的两个子树。（行号的最后一位小数=2）
1-首先递归到旧二叉树的两个子树，然后才应用给定的Catalan双射。（最后一位=4）
2-应用给定的Catalan双射，然后递归到获得的新二叉树的右子树。（最后一位=6）
3-首先递归到旧二叉树的右子树，然后才应用给定的Catalan双射。（最后一位=8）
4-首先递归到旧二叉树的左子树，然后应用给定的Catalan双射，然后递归到新二叉树右子树。（最后一位=0）
奇数行>2是行0、1、2、4、6、8…的组合。。。（即其中一个基元A069770号或A072796号（或递归组合之一）和来自右侧同一数组的任何Catalan双射。请参阅scheme-functions index-for-recursive-sgtb和index-fort-composed-sgtb，了解如何计算此表中递归和普通组合的位置。
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链接
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黄体脂酮素
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（Scheme函数显示如何计算此表中出现foo递归组合（矩形0-4）或lhs和rhs普通组合的行，其中foo、lhs、rhs也是此表的索引）：
（定义（index-for-recursive-sgtb foo矩形类型）（+2（*10 foo）（*2矩形类型））
（define（index-for-composed-sgtb lhs-rhs）（let（（new-lhs（cond（（<lhs2）lhs））（（偶数？lhs（1+（/lhs2））））（else（error“Only the primitive Catalan bijectionsA069770号（0）&A072796号（1） 或者递归组合的加泰罗尼亚双宾语（偶数>=2）可以出现在组合的左侧。不允许奇数：“lhs）））（1+（packA054238（*2 new-lhs）rhs）））
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交叉参考
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此表的前21行：。
本表中发生的其他加泰罗尼亚双射诱发的EIS突变。只给出了第一个已知事件。对合用*标记，其他用其逆：配对。
有关（某些）加泰罗尼亚自同构的更实用枚举系统，请参见表A089840号及其各种“递归推导”。
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关键词
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作者
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经核准的
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0, 1, 3, 2, 8, 7, 5, 6, 4, 22, 21, 18, 20, 17, 13, 12, 15, 19, 16, 10, 11, 14, 9, 64, 63, 59, 62, 58, 50, 49, 55, 61, 57, 46, 48, 54, 45, 36, 35, 32, 34, 31, 41, 40, 52, 60, 56, 43, 47, 53, 44, 27, 26, 29, 33, 30, 38, 39, 51, 42, 24, 25, 28, 37, 23, 196, 195, 190, 194, 189
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这相当于Donaghey在其论文“……上的自同构”第81页上给出的地图M，也相当于Donathey-Shapiro论文图片（23）中描述的转换过程。
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参考文献
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D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4卷，第4分册：生成所有树——组合生成的历史，vi+120页。ISBN 0-321-33570-8 Addison-Wesley专业版；第1版（2006年2月6日）。
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链接
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罗伯特·多纳吉和路易斯·夏皮罗，莫茨金数《组合理论》，A辑，第23卷，第3期（1977年），第291-301页。
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配方奶粉
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作为相关排列的组合：
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MAPLE公司
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地图（CatalanRankGlobal，地图（DonagheysM，A014486号)); 或地图（CatalanRankGlobal，地图（DeepRotateTriangularization，A014486号));
DonagheysM:=n->pars2binexp（多纳海斯MP（binexp2pars（n）））；
DonagheysMP:=h->`if`（（0=nops（h）），h，[op（DonaghiesMP（car（h），DonagheesMP（cdr（h）]）；
深度旋转三角化：=proc（nn）局部n，s，z，w；n：=binrev（nn）；z:=0；w:=0；而（1=（n mod 2））做s：=深度旋转三角化（BinTreeRightBranch（n））*2；z:=z+（2^w）*s；w：=w+箱宽（s）；z:=z+（2^w）；w：=w+1；n:=地板（n/2）；od；返回（z）；结束；
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黄体脂酮素
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（在S表达式上实现此自同构的Scheme函数，三种不同的变体）：
（定义(*A057505号bt）（let loop（（lt-bt）（nt（list）））（cond（（not（pair？lt）））nt）（else（loop（car-lt）（cons(*A057505号（cdr-lt））nt）））
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交叉参考
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囊性纤维变性。A080981号（这个自同构的“原始元素”），A079438号,A079440号,A079442号,A079444号,A080967号,A080968号,A080972号,A080272号,A080292号,A083929号,A080973号,A081164号,123050英镑,A125977号,A126312号.
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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MAPLE公司
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地图（CatalanRankGlobal，地图（DonagheysA057506，CatalanSequences（196））；#其中CatalanSequences（n）给出了术语A014486号（0..n）。
DonagheysA057506:=n->pars2binexp（深反转（DonagheesA057505（深反转）（binexp2pars（n））））；
DonagheysA057505:=h->`if`（（0=nops（h）），h，[op（DonagheesA057505（car（h）；
deepreverse:=proc（a）如果0=nops（a）或list<>whattype（a），则（a）else[op（deepreversion（cdr（a））），deeprevere（a[1]）]；fi；结束；
#其余所需的Maple-functions：请参阅给定的OEIS Wiki页面。
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黄体脂酮素
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（方案）
（定义(*A057506号bt）（let循环（（lt-bt）（nt（list）））（cond（（not（pair？lt）））nt）（else（loop（cdr-lt）（consnt(*A057506号（汽车））
;; 可以在OEIS Wiki页面上找到函数CatalanRankSexp和CatalanUnrankSexp。
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经核准的
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这是当“非交叉握手”，即斯坦利的解释（n），“在圆周上连接2n个点的n条不相交弦”旋转时，自然数的排列。
当平面树的根位置（Stanley的解释（e））围绕顶点连续改变时，也会产生相同的排列。
要很好地说明根顶点的旋转是如何工作的，请参阅Torsten Mütze论文（2014年5月20日修订版第24页）中的图6“有序根树的旋转”。
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链接
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托尔斯滕·穆策，中间层猜想的证明，arXiv预印本arXiv:1404.4442[math.CO]，2014年（第24页）。
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配方奶粉
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作为相关排列的组合：
不变性标识：
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MAPLE公司
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地图（CatalanRankGlobal，地图（RotateHandshakes，A014486号));
RotateHandshakes:=n->pars2binexp（RotateHandshakesP（binexp2pars（n）））；
旋转握手P:=h->`if`（（0=nops（h）），h，[op（car（h），cdr（h）]）；#这就是诀窍！在Lisp中：（defon RotateHandshakesP（h）（追加（汽车h）（列表（cdr h）））
car:=proc（a）如果0=nops（a），那么（[]）else（op（1，a））：fi:end：#名称来自Lisp，取列表的第一个元素（head）。
cdr:=proc（a）如果0=nops（a），那么（[]）else（a[2..nops（a）]）：fi:end:#也是。获取列表的其余部分（尾部）。
PeelNextBalSubSeq:=proc（nn）局部n，z，c；如果（0=nn），则返回（0）；fi；n：=nn；c:=0；z:=0；而（1=1）做z:=2*z+（n模2）；c：=c+（-1）^n；n:=楼层（n/2）；如果（c>=0），则返回（（z-2^（floor_log_2（z）））/2）；fi；od；结束；
RestBalSubSeq:=proc（nn）局部n，z，c；n：=nn；c:=0；而（1=1）做c:=c+（-1）^n；n:=地板（n/2）；如果（c>=0），则断裂；fi；od；z：=0；c:=-1；而（1=1）做z:=2*z+（n模2）；c：=c+（-1）^n；n:=地板（n/2）；如果（c>=0），则返回（z/2）；fi；od；结束；
pars2binexp:=进程（p）局部e、s、w、x；如果（0=nops（p）），则返回（0）；fi；e:=0；对于p do x中的s：=pars2binexp（s）；w:=地板_日志2（x）；e：=e*2^（w+3）+2^（w+2）+2*x；od；返回（e）；结束；
binexp2pars:=proc（n）选项记忆`如果`（（0=n），[]，binexp2parsR（binrev（n）））；结束；
binexp2parsR:=n->[binexp2pars（PeelNextBalSubSeq（n）），op（binexp2bars（RestBalSubSeq（n）））]；
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黄体脂酮素
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（在S表达式、“构造性”和“破坏性”变体上实现这种自同构的Scheme函数）：
（定义(*A057501号s） （cond（（null？s）（list））（else（append（cars）（列表）））
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交叉参考
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其他相关排列：A057161号,A057163号,A057503号,A057505号,A057508号,A057509号,A057511号,A069770号,A069771号,A069772美元,A069773号,A069888号,A069889号,A082313号,A082314号,A085173号,A086427号,A123501型,A127291号,A127292号.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A074679号
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| 加泰罗尼亚自同构的签名置换：如果可能，将二叉树向左旋转，否则交换其边。 |
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0, 1, 3, 2, 6, 7, 8, 4, 5, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 11, 12, 13, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 23, 24, 59, 25, 26, 27, 60, 61, 62, 28, 29, 63, 30, 31, 32, 64, 33, 34, 35, 36, 107, 108, 109, 110, 111
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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此自同构对未标记的有根平面二叉树（字母A、B、C表示位于这些节点上的任意子树，（）表示隐含的终端节点）上的以下变换产生影响
……B……C……A……B
....\./.........\./
.A.…x…-->。。。。x..C…………..A..（）。。。。。。。。。()..答：。。
..\./.............\./...................\./....-->....\./...
…x…………..x。。。。
（a、（b、c））->（a、b）。c） ______（（））-->（）。a）
也就是说，如果可能的话，我们将二叉树向左旋转，否则（如果树的右手边是终端节点）交换左右子树（使终端节点结束于左手边），即应用自同构*A069770号。请看中的示例A069770号看看这将如何生成给定的整数序列。
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链接
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黄体脂酮素
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（此自同构的方案实现。这些作用于S表达式，即列表结构：）
（构造版本：）（定义(*A074679号s） （cond（（非（配对））s）（（配对（cdr）s））（cons（配对（汽车）（cadr））（cddrs）））（else（配对（cdr）（汽车）））
（破坏性版本：）（定义(*A074679号! s） （条件（（对）（条件（对））
（定义（robl！s）（let（（ex-car（cars）））（set-car！s（cddrs））（set-cdr！（cdr s）ex-car）（swap！（cdrs））
（定义（交换！s）（let（（ex-car（car s）））（set-car！s（cdr s））（set-cdr！s ex-car）s））
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交叉参考
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这种自同构有几个变体，其中第一个子句是相同的（如果可能的话，将二叉树向左旋转），但如果右手边是空的，则会执行其他操作（不仅仅是交换边）：A082335号,A082349号,A123499型,A123695号。以下自同构可以从该自同构递归导出：A057502号,A074681号,A074683号,A074685号,A074687号,A074690号,A089865号,2006年1月,A122321号,A122332号。另见一些类似的：A069773号,A071660型,A071656号,A071658号,A072091号,A072095型,A072093型.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0、1、3、2、7、8、6、5、4、17、18、20、21、22、16、19、15、12、13、14、11、10、9、45、46、48、49、50、54、55、57、58、59、61、62、63、64、44、47、53、56、60、43、52、40、31、32、41、34、35、36、42、51、39、30、33、38、29、26、27、37、28、25、24、23、129、130、132、133、134
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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二叉树的这种自同构首先交换根的左子树和右子树，然后递归地转到（新的）右子树上，在那里执行相同的操作。这是一个Catalan双射，它扩展到无限二叉树的唯一自同构，在本例中是A153141号。请参阅此处的进一步评论。
注：芬兰语的名字是“Niks”。
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参考文献
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A.Karttunen，论文准备中。
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链接
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黄体脂酮素
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（此自同构的方案实现。这些作用于S表达式，即列表结构：）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 3, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 5, 7, 3, 2, 1, 0, 6, 8, 4, 3, 2, 1, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 8, 4, 7, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 9, 5, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 10, 17, 8, 8, 8, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 11, 18, 9, 7, 6, 8, 5, 5, 3, 2, 1, 0, 12, 20, 10, 9, 7, 7, 7, 4, 4, 3, 2, 1, 0, 13, 21, 12, 10, 9, 6
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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链接
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交叉参考
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参见本表前22行：第0行（身份置换）：A001477号, 1:A082345号, 2:A130936号, 3:A073288美元, 4:A130942号, 5:130940英镑, 6:A130938号, 7:A130944号, 8:A130946号, 9:A130952号, 10:A130950型, 11:A130948号, 12:A057161号, 13:A130962号, 14:A130964号, 15:A069767号, 16:A130966号，第17页：A074688号, 18:130954英镑, 19:A130956号, 20:A130960型, 21:A130958号，其他行：169：A069770号, 3617:A082339号, 65167:A057501号.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1，1，1，0，1，1，1，2，1，1，0，3，0，1，1，2，8，1，0，1，0，20，0，0，1，1，5，60，2，0，1，0，1，1，0，181，0，0，0，0，0，0，0，1，1，14，584，5，0，2，0，1，1，0，1916，0，0，0，5，0，1，42，6476，14，0，5，0，14，1，2，1，1，022210，0，0，0，0，0，42，0，1，0，1，1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,8
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评论
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链接
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交叉参考
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本表中出现的EIS序列很少。仅给出第一个已知事件（如果尚未证明/不清楚，则标记为？）：
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 3, 2, 8, 6, 7, 4, 5, 22, 19, 20, 14, 15, 21, 16, 17, 9, 10, 18, 11, 12, 13, 64, 60, 61, 51, 52, 62, 53, 54, 37, 38, 55, 39, 40, 41, 63, 56, 57, 42, 43, 58, 44, 45, 23, 24, 46, 25, 26, 27, 59, 47, 48, 28, 29, 49, 30, 31, 32, 50, 33, 34, 35, 36, 196, 191, 192, 177, 178
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这是欧拉三角剖分凸多边形时产生的自然数排列，由序列编码A014486号以一种简单的方式（通过二叉树，参见链接部分中给出的三角五边形旋转的图示）顺时针旋转。
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链接
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配方奶粉
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作为相关排列的组合：
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MAPLE公司
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a（n）=CatalanRankGlobal（RotateTriangularizationR(A014486号[n] ））
RotateTriangularizationR:=n->ReflectBinTree（Rotatetriangularize（ReflectBinTree（n）））；
与（组）；A057162号_循环计数：=proc（upto_n）局部u，n，a，r，b；a:=[]；对于从0到upto_n的n，做b:=[]；u:=（二项式（2*n，n）/（n+1））；对于从0到u-1的r，做b:=[op（b），1+CatalanRank（n，旋转三角化（CatalanUnrank（n、r）））]；od；a:=[op（a），（`if`（（n<2），1，nops（convert（b，'disjcyc'）））]；od；返回（a）；结束；
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黄体脂酮素
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（在S表达式上实现此自同构的Scheme函数，三种不同的变体）：
（定义(*A057162号bt）（let loop（（lt-bt）（nt（list）））（cond（（not（pair？lt））nt）（else（loop（cdr-lt）（consnt（car-lt））））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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