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加泰罗尼亚数的组合解释

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大量的组合解释属于加泰罗尼亚数是众所周知的。Richard Stanley列出了66个不同的枚举组合数学,第2卷,[一]还有几十个加泰罗尼亚补遗[二]斯坦利要求读者证明均等性[三]任何两种不同的解释表现出朴素、典雅双射 并给出了其中的一些解决方案。加泰罗尼亚和相关数字练习题的解答。[四]

加泰罗尼亚数的组合解释

下表显示了这些解释。戴克路径(斯坦利的)我是说,非交叉握手(斯坦利的n个)我是说,平面通用树(斯坦利的E类)我是说,非交叉圆形分区(斯坦利的QQ)我是说,非交叉Murasaki图(斯坦利的右后)我是说,平面二叉树(斯坦利)C类)以及(D欧拉多边形三角剖分(斯坦利的)按这样自然的方式排序双射发生在不同的解释之间。[五]

更完整的列表(大小)= 7),并有一些额外的解释(这里还没有显示请参阅:A01486/A01486PDF是的。

Calaln结构的尺寸0, 1, 2和3的解释(I)、(N)、(E)、(RC)、(C/D)和(A)。
戴克语

(基地10)

A01486A6

戴克语

(基地2)

A063171

n个 E类 QQ 右后 C类/D
0个 0个 0个

(0是空字符串)
空戴克词

CIC-I0.SVG CIC N0.VSG CIC E0.VSG CQQ0.SVG γ CIC-CD0.VSG CIC A0.VSG
2个 10个

()

CIC I1.SVG CIC N1.VSG CIC E1.VG CQQ1.VG CIC RR1.SVG CIC-CD1.VSG 中投A1.VG
2个 10个 1010个

()

CIC I2.VSG CIC N2.VSG CIC E2.SVG CQQ2.VG CIC RR2.SVG CIC-CD2.SVG 中投A2.VG
德意志北方银行 1100个

(())

CIC I3.SVG CIC N3.SVG CIC E3.SVG CQQ3.SVG CIC RR3.SVG CIC-CD3.SVG CIC A3.VG
4个 42个 十万一千零一十

()()

CIC I4.SVG CIC N4.VSG CIC E4.VSG CQQ4.VG CIC RR4.VG CIC CD4.SVG CIC A4.VG
44个 十万一千一百

()(())

CIC I5.SVG CIC N5.SVG CIC E5.SVG CQQ5.SVG CICRR5.SVG CIC-CD5.SVG CIC A5.SVG
五十 十一万零一十

(())()

CICI6VG CIC N6VSG CICE6VSG CQQ6SVG CIC RR6VG CIC-CD6VSG 中投A6VG
7 52个 110100个

(())

CIC-I7.VG CIC N7.VG CIC E7.VG CQQ7.SVG CRR7.SVG CIC-CD7.SVG CIC-A7.VG
56个 十一万一千

(())

CIC I8SVG CIC N8VSG CIC E8SVG CQQ8SVG CIC RR8SVG CIC-CD8SVG CIC A8SVG

戴克语

戴克语是来自戴克语这是由两个字符的字母组成的平衡字符串组成的语言。

平衡括号通过选择字母为{(,)},用字符“(”和“”)来获得。

空戴克词

空的Dyk字(即空字符串)用数字0表示(它实际上是一个前导0,用于零,以便它具有可见的表示)。

戴克路径(斯坦利)

(…)

非交叉握手(斯坦利)n个

(…)

平面通用树(斯坦利)E类

(…)

非交叉圆形分区(斯坦利)QQ

(…)

Noncrossing Murasaki图(斯坦利)右后

(…)

平面二叉树(斯坦利)C类)以及(D

对于平面二叉树和Dyk单词和括号之间的自然双射,考虑以下情况:“一个蠕虫爬升二叉树的深度优先,左到右的方式”(即前序遍历)。[六]是的。这里的蠕虫,在吞噬了所有的零和零时,标记了二叉树的内部和叶子(分别)的节点,除了最后一个,标记为最终将输出一个二进制字符串一个成员全平衡序列或者戴克语。

BurtReWoWordMaldStudio.Svg

欧拉多边形三角剖分(斯坦利)

(…)

加泰罗尼亚数组合解释的自同构

只要找到一个明确的双射在任何这样的解释和一些众所周知的解释之间括号平面二叉树编码的A01486A6(要么直接,要么通过其他这样的双射序列)旋转反思或其他对称运算这些解释可以被编码为整数序列,如在加泰罗尼亚自同构是的。

序列

这个空戴克词一个非常重要的词戴克语,包含在下面的序列中。

戴克语(全部集合)戴克语第一个词是空戴克词(见)A063171评论)

{, (), ()(), (()), ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((())), ()()()(), ()()(()), ()(())(), ()(()()), ()((())), (())()(), (())(()), (()())(), (()()()), (()(())), ((()))(), ((())()), ((()())), (((()))), ()()()()(), ()()()(()), ()()(())(), ()()(()()), ()()((())), ()(())()(), ()(())(()), ()(()())(), ()(()()()), ()(()(())), ()((()))(), ()((())()), ()((()())), ()(((()))), (())()()(), (())()(()), (())(())(), (())(()()), (())((())), (()())()(), (()())(()), (()()())(), (()()()()), (()()(())), (()(()))(), (()(())()), (()(()())), (()((()))), ((()))()(), ((()))(()), ((())())(), ((())()()), ((())(())), ((()()))(), ((()())()), ((()()())), ((()(()))), (((())))(), (((()))()), (((())())), (((()()))), ((((())))), ...}

戴克语按升序解释二进制数。(用“”和“0”替换“1”)产生良好的括号表达式,参见A063171

{ 0, 10, 1010、1100, 101010, 101100、110010, 110100, 111000、10101010, 10101100, 10110010、10110100, 10111000, 11001010、11001100, 11010010, 11010100、11011000, 11100010, 11100100、11101000, 11110000, 1010101010、1010101100、…}

二进制戴克语A063171以十进制表示。(见A01486A6

{ 0, 2, 10,12, 42, 44,50, 52, 56,170, 172, 178,180, 184, 202,204, 210, 212,216, 226, 228,232, 240, 682,684, 690, 692,696, 714, 716,722, 724, 728,738, 740, 744,738, 740, 744,γ,γ,γ,…,}

加泰罗尼亚数以下内容:给出平衡括号的计数。“(和)“”(分别由“1”和“0”表示)(参见A000 0108

{ 1, 1, 2、5, 14, 42、132, 429, 1430、4862, 16796, 58786、208012, 742900, 2674440、9694845, 35357670, 129644790、477638700, 1767263190, 6564120420、24466267020、…} =
{{{} 1010 },{{}} },{{ }},{} } } {} } } {} } } {} } } {} } } {} } } } {} } } } {} } } {} } } } {} } } }{} } }{} } }{} } }{} } }{} }{} }},{}},{ }},{ }},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}}},}},{}},{}},{}},}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}}},}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},{}},}}…{{{{}}},{{{ 10 }}},

另见

笔记

  1. 上移 R. P. Stanley加泰罗尼亚及其相关数字练习摘录自枚举组合数学,第2卷,1998年6月23日版本。
  2. 上移 R. P. Stanley加泰罗尼亚补遗2011年4月30日的版本。
  3. 上移 平等基数不同的称呼等容量均等性等势性,或均等性是的。
  4. 上移 R. P. Stanley加泰罗尼亚及相关数字练习题的解答是的。
  5. 上移 需要澄清“加泰罗尼亚数(…)的组合解释,以这种自然的方式排序双射发生在不同的解释之间
  6. 上移 马丁·加德纳加泰罗尼亚数字:一个在意想不到的地方实现的整数序列,1976年6月科学美国人,第122页(数学游戏专栏)