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加泰罗尼亚数的组合解释

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大量组合解释属于加泰罗尼亚数字是已知的。Richard Stanley在他的计数组合学,第二卷,[1]还有几十个加泰罗尼亚补遗。[2]斯坦利要求读者证明等基数[3]任何两种不同的解释通过展示简单、优雅双射 并给出了一些解决方法加泰罗尼亚语和相关数字练习的解决方案。[4]

加泰罗尼亚数的组合解释

下表显示了解释戴克小路(斯坦利的),非交叉握手(斯坦利的n),平面通用树斯坦利的e),非交叉圆形隔墙(斯坦利的qq),非交叉Murasaki图(斯坦利的rr),平面二叉树(斯坦利的(c)以及(d))还有欧拉多边形三角剖分(斯坦利的)以一种自然的方式双射在不同的解释之间发生。[5]

更完整的列表(根据大小=7),并附加一些解释(此处尚未显示)请看:A014486/A014486.pdf.

加泰罗尼亚结构尺寸0、1、2和3的解释(i)、(n)、(e)、(qq)、(rr)、(c/d)和(a)。
戴克语

(基数10)

A014486号

戴克语

(基数2)

A063171号

() (n) (e) (qq) (rr) (c/d) ()
0 0 0

(0为空字符串)
空话

CIC i0.svg svg第0.0版 CIC e0.svg CIC qq0.svg   CIC cd0.svg CIC a0.svg
1 2 10

()

CIC i1.svg 中投n1.svg CIC e1.svg 中投qq1.svg 中电投rr1.svg CIC cd1.svg 中投a1.svg
2 10 1010

()()

CIC i2.svg 中投n2.svg 中电投e2.svg CIC qq2.svg 中电投rr2.svg CIC cd2.svg 中电投a2.svg
12 1100

(())

CIC i3.svg 中电投n3.svg CIC e3.svg CIC qq3.svg 中电投rr3.svg CIC cd3.svg 中投a3.svg
4 42 101010

()()()

CIC i4.svg 中电投n4.svg CIC e4.svg 中投Q4.svg 中电投rr4.svg CIC cd4.svg 中投a4.svg
5 44 101100

()(())

CIC i5.svg 中投n5.svg CIC e5.svg CIC qq5.svg 中电投rr5.svg 中投cd5.svg 中投a5.svg
6 50 110010

(())()

CIC i6.svg svg第6.CIC号 中投e6.svg CIC qq6.svg 中电投rr6.svg CIC cd6.svg CIC a6.svg
7 52 110100

(()())

CIC i7.svg 中电投n7.svg CIC e7.svg 中投qq7.svg 中电投rr7.svg 中投cd7.svg CIC a7.svg
8 56 111000

((()))

CIC i8.svg 中投n8.svg CIC e8.svg 中投qq8.svg 中电投rr8.svg 中投cd8.svg 中投a8.svg

戴克语

戴克语是来自戴克语,这是一种由两个字符组成的平衡字符串组成的语言。

平衡括号是通过选择{(,)},带有字符“(”和“)”获得的。

空话

空的Dyck字(即空字符串)由数字0表示(实际上是一个前导0,用于零,因此它有一个可见的表示)。

戴克路(斯坦利的)

(...)

非交叉握手(斯坦利的n)

(...)

飞机将军树(斯坦利的e)

(...)

非交叉圆形隔墙(斯坦利的qq)

(...)

非交叉Murasaki图(Stanley'srr)

(...)

平面二叉树(斯坦利的(c)以及(d))

对于平面二叉树与Dyck词和括号之间的自然双射,考虑以下“蠕虫先深度爬升二叉树,从左到右的方式”(即预序遍历)的情况,插图改编自[6]. 在这里,蠕虫在吞食了二叉树的内部节点和叶节点的所有1和0之后,除了最后一个标记为,将最终输出一个二进制字符串,的成员完全平衡序列或者戴克语。

bintreewithformandguidelines.svg

欧拉多边形三角剖分(斯坦利的)

(...)

加泰罗尼亚数组合解释的自同构

如果你发现双射在任何这样的解释和一些著名的解释之间,比如括号平面二叉树它们由A014486号(直接或通过一系列其他类似的双射词), 任何旋转,反思或其他对称运算这些解释中 可以编码为整数序列,如中所述加泰罗尼亚自同构.

序列

这个空话,一个非常重要的词戴克语,包含在以下序列中。

戴克语(整套戴克语,第一个术语是空话)(参见A063171号评论)

{, (), ()(), (()), ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((())), ()()()(), ()()(()), ()(())(), ()(()()), ()((())), (())()(), (())(()), (()())(), (()()()), (()(())), ((()))(), ((())()), ((()())), (((()))), ()()()()(), ()()()(()), ()()(())(), ()()(()()), ()()((())), ()(())()(), ()(())(()), ()(()())(), ()(()()()), ()(()(())), ()((()))(), ()((())()), ()((()())), ()(((()))), (())()()(), (())()(()), (())(())(), (())(()()), (())((())), (()())()(), (()())(()), (()()())(), (()()()()), (()()(())), (()(()))(), (()(())()), (()(()())), (()((()))), ((()))()(), ((()))(()), ((())())(), ((())()()), ((())(())), ((()()))(), ((()())()), ((()()())), ((()(()))), (((())))(), (((()))()), (((())())), (((()()))), ((((())))), ...}

戴克语按升序解释为二进制数。用“and”代替“1”和“expressions”A063171号.)

{0、10、1010、1100、101010、101100、110010、110100、111000、10101010、10101100、10110010、10110100、10111000、11001010、11001100、11010010、11010100、11011000、11100010、11100100、11101000、11110000、1010101010、1010101100,…}

二进制文件戴克语(A063171号)以十进制表示。(参见A014486号.)

{0,2,10,12,42,44,50,52,56,170,172,178,180,184,202,204,210,212,216,226,228,232,240,682,684,690,692,696,714,716,722,724,728,738,740,744,752,810,812,818,820,824,842,844,850,852,856,866,868,872,880,}

加泰罗尼亚数字:提供的平衡圆括号的计数“(”和“(分别用“1”和“0”表示)(参见。A000108号)

{1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700,1767263190,6564120420,24466267020,}=
{{{{{{{{{{{{{{{{{{{10}},{{1100}},{{{101010},{101100},{110010},{110100},{111000}{{10101010{10110010},{10110110},{10111000},{10111000},{11001 11000}{110010{1{1{1{{11001100},{11010010},{11010100},{11011000},{11100010},{11100100},{11101000},{11110000},{11110000},…}

另请参见

笔记

  1. R、 P.斯坦利,加泰罗尼亚语及相关数字练习,节选自计数组合学,第二卷,1998年6月23日版本。
  2. R、 P.斯坦利,加泰罗尼亚补遗,2011年4月30日版本。
  3. 平等基数被称为等电位,均势,等势性,或等基数.
  4. R、 P.斯坦利,加泰罗尼亚语和相关数字练习的解决方案.
  5. 需要澄清(加泰罗尼亚数字的组合解释双射出现在不同的解释之间”).
  6. 马丁·加德纳,加泰罗尼亚数字:在意外的地方出现的整数序列,1976年6月《科学美国人》,第122页(数学游戏专栏)