显示找到的14个结果中的1-10个。
Catalan自同构的特征变换:反映有根平面二叉树;Deutsch 1998年在Dyck道路上的内卷。
+10 168
0, 1, 3, 2, 8, 7, 6, 5, 4, 22, 21, 20, 18, 17, 19, 16, 15, 13, 12, 14, 11, 10, 9, 64, 63, 62, 59, 58, 61, 57, 55, 50, 49, 54, 48, 46, 45, 60, 56, 53, 47, 44, 52, 43, 41, 36, 35, 40, 34, 32, 31, 51, 42, 39, 33, 30, 38, 29, 27, 26, 37, 28, 25, 24, 23, 196, 195, 194, 190, 189
链接
Emeric Deutsch公司,Dyck路的对合及其结果,离散数学。,204(1999),编号1-3,163-166。
Dana G.Korssjoen、Biyao Li、Stefan Steinerberger、Raghavendra Tripathi和Ruimin Zhang,用图论寻找实数序列的结构:一个问题列表,arXiv:2012.046252020年12月8日。
例子
0 0 0 0
\ / \ /
1 0 0 1
\ / \ /
0 1 1 0
\ / \ /
1 1
因此a(5)=7,a(7)=5。
MAPLE公司
ReflectBinTree:=n->ReflectBinTree2(n)/2;反射BinTree2:=n->(`if`((0=n),n,反射BinTReeAux(A030101型(n) );
ReflectBinTreeAux:=proc(n)局部a,b;a:=反射BinTree2(BinTree左分支(n));b:=反射BinTree2(BinTree右分支(n));返回((2^(A070939号(b)+A070939号(a) )+(b*(2)^(A070939号(a) )+a);结束;
NextSubBinTree:=proc(nn)局部n,z,c;n:=nn;c:=0;z:=0;而(c<1)doz:=2*z+(n模2);c:=c+(-1)^n;n:=地板(n/2);od;返回(z);结束;
BinTreeLeftBranch:=n->NextSubBinTree(楼层(n/2));
BinTreeRightBranch:=n->NextSubBinTree(楼层(n/(2^(1+A070939号(BinTreeLeftBranch(n)))));
数学
A014486Q[0]=正确;A014486Q[n_]:=Catch[Fold[If[#<0,Throw[False],If[#2==0,#-1,#+1]]&,0,整数位数[n,2]]==0];树[n_]:=块[{func,num=Append[IntegerDigits[n,2],0]},func:=如果[num[[1]]==0,num=删除[num,1];0,num=删除[num,1];1[功能,功能]];功能];A057163L[n_]:=函数[x,第一位置[x,FromDigits[大多数@案例[树[#]/。1->反转@*1,0|1,全部,头->真],2]][[1]]-1&/@x][Select[Range[0,2^n],A014486Q]];a057163升[11](*郑焕敏2016年12月11日*)
黄体脂酮素
(作用于S表达式(即列表结构)的这种自同构的方案实现:)
扩展
与2006年12月15日实现的德国1998年内卷化等效,相应的条目由编辑安蒂·卡图恩2007年1月16日
0, 1, 0, 3, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 7, 3, 3, 1, 0, 8, 4, 2, 3, 1, 0, 6, 6, 8, 2, 3, 1, 0, 4, 5, 7, 7, 2, 3, 1, 0, 5, 7, 6, 6, 8, 2, 3, 1, 0, 17, 8, 5, 8, 7, 7, 2, 2, 1, 0, 18, 9, 4, 4, 6, 8, 7, 3, 3, 1, 0, 20, 10, 22, 5, 5, 5, 8, 4, 2, 2, 1, 0, 21, 14, 21, 17, 4, 4, 6, 5, 8, 3, 3, 1, 0
评论
构造过程类似于原始递归函数到N的构造映射:我们有两个基本原语,A069770号(第0行)和A072796号(第1行),其中前者交换二叉树的左子树和右子树,后者交换平面一般树的两个最左子树的位置,除非树的度小于2,在这种情况下,它只是修复它。从此,偶数行是根据此表中的任何其他Catalan双射递归构造的,使用五种允许的递归类型之一:
0-应用给定的Catalan双射,然后递归到获得的新二叉树的两个子树。(行号的最后一位小数=2)
1-首先递归到旧二叉树的两个子树,然后才应用给定的Catalan双射。(最后一位=4)
2-应用给定的Catalan双射,然后递归到获得的新二叉树的右子树。(最后一位=6)
3-首先递归到旧二叉树的右子树,然后才应用给定的Catalan双射。(最后一位=8)
4-首先递归到旧二叉树的左子树,然后应用给定的Catalan双射,然后递归到新二叉树右子树。(最后一位=0)
奇数行>2是行0、1、2、4、6、8…的组合。。。(即其中一个基元A069770号或A072796号,或递归组合中的一个),以及在右手侧来自相同阵列的任何加泰罗尼亚语双射。请参阅scheme-functions index-for-recursive-sgtb和index-fort-composed-sgtb,了解如何计算此表中递归和普通组合的位置。
黄体脂酮素
(Scheme函数显示如何计算此表中出现foo递归组合(矩形0-4)或lhs和rhs普通组合的行,其中foo、lhs、rhs也是此表的索引):
(define(递归sgtb foo recttype的索引)(+2(*10 foo)(*2 recttype))
(define(index-for-composed-sgtb lhs-rhs)(let((new-lhs(cond((<lhs2)lhs))((偶数?lhs(1+(/lhs2))))(else(error“Only the primitive Catalan bijectionsA069770号(0) &A072796号(1) 或者递归组合的加泰罗尼亚双宾语(偶数>=2)可以出现在组合的左侧。不允许奇数:“lhs)))(1+(packA054238(*2 new-lhs)rhs)))
交叉参考
此表的前21行:。
本表中发生的其他加泰罗尼亚双射诱发的EIS突变。只给出了第一个已知事件。对合用*标记,其他用其逆:配对。
有关(某些)加泰罗尼亚自同构的更实用枚举系统,请参见表A089840号及其各种“递归推导”。
0, 1, 3, 2, 8, 7, 5, 6, 4, 22, 21, 18, 20, 17, 13, 12, 15, 19, 16, 10, 11, 14, 9, 64, 63, 59, 62, 58, 50, 49, 55, 61, 57, 46, 48, 54, 45, 36, 35, 32, 34, 31, 41, 40, 52, 60, 56, 43, 47, 53, 44, 27, 26, 29, 33, 30, 38, 39, 51, 42, 24, 25, 28, 37, 23, 196, 195, 190, 194, 189
评论
这相当于Donaghey在其论文“……上的自同构”第81页上给出的地图M,也相当于Donathey-Shapiro论文图片(23)中描述的转换过程。
参考文献
D.E.Knuth,《计算机编程的艺术》,第4卷,第4分册:生成所有树——组合生成的历史,vi+120页。ISBN 0-321-33570-8 Addison-Wesley专业版;第1版(2006年2月6日)。
链接
罗伯特·多纳吉和路易斯·夏皮罗,莫茨金数《组合理论》,A辑,第23卷,第3期(1977年),第291-301页。
MAPLE公司
地图(CatalanRankGlobal,地图(DonagheysM,A014486号)); 或地图(CatalanRankGlobal,地图(DeepRotateTriangularization,A014486号));
DonagheysM:=n->pars2binexp(多纳海斯MP(binexp2pars(n)));
DonagheysMP:=h->`if`((0=nops(h)),h,[op(DonaghiesMP(car(h),DonagheesMP(cdr(h)]);
深度旋转三角化:=proc(nn)局部n,s,z,w;n:=binrev(nn);z:=0;w:=0;而(1=(n mod 2))做s:=深度旋转三角化(BinTreeRightBranch(n))*2;z:=z+(2^w)*s;w:=w+箱宽(s);z:=z+(2^w);w:=w+1;n:=地板(n/2);od;返回(z);结束;
黄体脂酮素
(在S表达式上实现此自同构的Scheme函数,三种不同的变体):
(定义(*A057505号bt)(let loop((lt-bt)(nt(list)))(cond((not(pair?lt)))nt)(else(loop(car-lt)(cons(*A057505号(cdr-lt))nt)))
;; 直接处理非负整数的版本(definec是来自安蒂·卡图恩的IntSeq-library):
交叉参考
囊性纤维变性。A080981号(此自同构的“原始元素”),A079438美元,A079440号,A079442号,A079444号,A080967号,A080968号,A080972号,A080272号,A080292号,A083929号,A080973号,A081164号,A123050型,A125977号,126312英镑.
加泰罗尼亚自同构的符号置换:“Donaghey’s map M”的(逆),作用于A014486号.
+10 41
0, 1, 3, 2, 8, 6, 7, 5, 4, 22, 19, 20, 15, 14, 21, 16, 18, 13, 11, 17, 12, 10, 9, 64, 60, 61, 52, 51, 62, 53, 55, 41, 39, 54, 40, 38, 37, 63, 56, 57, 43, 42, 59, 47, 50, 36, 33, 48, 34, 29, 28, 58, 44, 49, 35, 30, 46, 32, 27, 25, 45, 31, 26, 24, 23, 196, 191, 192, 178, 177
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地图(CatalanRankGlobal,地图(DonagheysA057506,CatalanSequences(196));#其中CatalanSequences(n)给出了术语A014486号(0..n)。
DonagheysA057506:=n->pars2binexp(深反转(DonagheesA057505(深反转)(binexp2pars(n))));
DonagheysA057505:=h->`if`((0=nops(h)),h,[op(DonagheysA057505(car(h))),DonagheysA057505(cdr(h))]);
deepreverse:=proc(a)如果0=nops(a)或list<>whattype(a),则(a)else[op(deepreversion(cdr(a))),deeprevere(a[1])];fi;结束;
#其余需要的Maple-functions:请参阅给定的OEIS Wiki页面。
黄体脂酮素
(方案)
(定义(*A057506号bt)(let循环((lt-bt)(nt(list)))(cond((not(pair?lt)))nt)(else(loop(cdr-lt)(consnt(*A057506号(汽车))
;; 可以在OEIS Wiki页面上找到函数CatalanRankSexp和CatalanUnrankSexp。
加泰罗尼亚自同构的特征变换:旋转非交叉和弦(握手)安排;旋转由编码的一般树的根位置A014486号.
+10 40
0, 1, 3, 2, 7, 8, 5, 4, 6, 17, 18, 20, 21, 22, 12, 13, 10, 9, 11, 15, 14, 16, 19, 45, 46, 48, 49, 50, 54, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 31, 32, 34, 35, 36, 26, 27, 24, 23, 25, 29, 28, 30, 33, 40, 41, 38, 37, 39, 43, 42, 44, 47, 52, 51, 53, 56, 60, 129, 130, 132, 133, 134
评论
这是当“非交叉握手”,即斯坦利的解释(n),“在圆周上连接2n个点的n条不相交弦”旋转时,自然数的排列。
当平面树的根位置(Stanley的解释(e))围绕顶点连续改变时,也会产生相同的排列。
要很好地说明根顶点的旋转是如何工作的,请参阅Torsten Mütze论文(2014年5月20日修订版第24页)中的图6“有序根树的旋转”。
链接
托尔斯滕·穆策,中间层猜想的证明,arXiv预印本arXiv:1404.4442[math.CO],2014年(第24页)。
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地图(CatalanRankGlobal,地图(RotateHandshakes,A014486号));
RotateHandshakes:=n->pars2binexp(RotateHandshakesP(binexp2pars(n)));
旋转握手P:=h->`if`((0=nops(h)),h,[op(car(h),cdr(h)]);#这就是诀窍!在Lisp中:(defon RotateHandshakesP(h)(追加(汽车h)(列表(cdr h)))
car:=proc(a)如果0=nops(a),那么([])else(op(1,a)):fi:end:#名称来自Lisp,取列表的第一个元素(head)。
cdr:=proc(a)如果0=nops(a),那么([])else(a[2..nops(a)]):fi:end:#也是。获取列表的其余部分(尾部)。
PeelNextBalSubSeq:=proc(nn)局部n,z,c;如果(0=nn),则返回(0);fi;n:=nn;c:=0;z:=0;而(1=1)做z:=2*z+(n模2);c:=c+(-1)^n;n:=地板(n/2);如果(c>=0),则返回((z-2^(floor_log_2(z)))/2);fi;od;结束;
RestBalSubSeq:=proc(nn)局部n,z,c;n:=nn;c:=0;而(1=1)做c:=c+(-1)^n;n:=地板(n/2);如果(c>=0),则断裂;fi;od;z:=0;c:=-1;而(1=1)做z:=2*z+(n模2);c:=c+(-1)^n;n:=地板(n/2);如果(c>=0),则返回(z/2);fi;od;结束;
pars2binexp:=进程(p)局部e、s、w、x;如果(0=nops(p)),则RETURN(0);fi;e:=0;对于p do x中的s:=pars2binexp(s);w:=地板_日志2(x);e:=e*2^(w+3)+2^(w+2)+2*x;od;返回(e);结束;
binexp2pars:=proc(n)选项记忆`如果`((0=n),[],binexp2parsR(binrev(n));结束;
binexp2parsR:=n->[binexp2pars(PeelNextBalSubSeq(n)),op(binexp2bars(RestBalSubSeq(n)))];
黄体脂酮素
(在S表达式、“构造性”和“破坏性”变体上实现这种自同构的Scheme函数):
(定义(*A057501号s) (cond((null?s)(list))(else(append(cars)(列表)))
;; 直接处理非负整数的版本(definec是来自安蒂·卡图恩的IntSeq-library):
交叉参考
其他相关排列:A057161号,A057163号,A057503美元,A057505号,A057508号,A057509号,A057511号,A069770号,A069771号,A069772美元,A069773号,A069888号,A069889号,A082313号,A082314号,A085173号,A086427号,A123501型,1972年1月,A127292号.
作者
安蒂·卡图恩2000年9月3日;2014年6月6日修订的条目
加泰罗尼亚自同构的签名置换:如果可能,将二叉树向左旋转,否则交换其边。
+10 37
0, 1, 3, 2, 6, 7, 8, 4, 5, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 9, 10, 22, 11, 12, 13, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 23, 24, 59, 25, 26, 27, 60, 61, 62, 28, 29, 63, 30, 31, 32, 64, 33, 34, 35, 36, 107, 108, 109, 110, 111
评论
这种自同构在未标记的有根平面二叉树上影响以下变换(字母A、B、C表示位于这些节点上的任意子树,()表示隐含的终端节点。)
……B……C……A……B
....\./.........\./
.A.…x…-->。。。。x…C………………..A.()。。。。。。。。。()..答:。。
..\./.............\./...................\./....-->....\./...
…x…………..x。。。。
(a、(b、c))->(a、b)。c) ______(())-->()。a)
也就是说,如果可能的话,我们将二叉树向左旋转,否则(如果树的右手边是终端节点)交换左右子树(使终端节点结束于左手边),即应用自同构*A069770号。请看中的示例A069770号看看这将如何生成给定的整数序列。
黄体脂酮素
(此自同构的方案实现。这些作用于S表达式,即列表结构:)
(构造版本:)(定义(*A074679号s) (cond((非(配对))s)((配对(cdr)s))(cons(配对(汽车)(cadr))(cddrs)))(else(配对(cdr)(汽车)))
(破坏性版本:)(定义(*A074679号! s) (条件((对)(条件(对))
(定义(robl!s)(let((ex-car(cars)))(set-car!s(cddrs))(set-cdr!(cdr s)ex-car)(swap!(cdrs))
(define(swap!s)(let((ex car(car s)))(set car!s(cdr s))(set cdr!s ex car)s)
交叉参考
这种自同构有几个变体,其中第一个子句是相同的(如果可能的话,将二叉树向左旋转),但如果右手边是空的,则会执行其他操作(不仅仅是交换边):A082335号,A082349号,A123499型,A123695号。以下自同构可以从该自同构递归导出:A057502美元,A074681美元,A074683号,A074685号,A074687号,A074690号,A089865号,A120706号,A122321号,A122332号。另见一些类似的:A069773号,A071660型,A071656号,A071658号,A072091号,A072095型,A072093型.
作者
安蒂·卡图恩2002年9月11日,描述于2006年10月10日澄清。
0, 1, 3, 2, 7, 8, 6, 5, 4, 17, 18, 20, 21, 22, 16, 19, 15, 12, 13, 14, 11, 10, 9, 45, 46, 48, 49, 50, 54, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 44, 47, 53, 56, 60, 43, 52, 40, 31, 32, 41, 34, 35, 36, 42, 51, 39, 30, 33, 38, 29, 26, 27, 37, 28, 25, 24, 23, 129, 130, 132, 133, 134
评论
二叉树的这种自同构首先交换根的左子树和右子树,然后递归地转到(新的)右子树上,在那里执行相同的操作。这是一个Catalan双射,它扩展到无限二叉树的唯一自同构,在本例中是A153141号。请参阅此处的进一步评论。
注:芬兰语的名字是“Niks”。
黄体脂酮素
(此自同构的方案实现。这些作用于S表达式,即列表结构:)
作者
安蒂·卡图恩2002年4月16日;2008年12月20日修订的条目
0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 3, 1, 0, 4, 2, 2, 1, 0, 5, 7, 3, 2, 1, 0, 6, 8, 4, 3, 2, 1, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 8, 4, 7, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 9, 5, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 10, 17, 8, 8, 8, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 11, 18, 9, 7, 6, 8, 5, 5, 3, 2, 1, 0, 12, 20, 10, 9, 7, 7, 7, 4, 4, 3, 2, 1, 0, 13, 21, 12, 10, 9, 6
交叉参考
参见本表前22行:第0行(身份置换):A001477号, 1:A082345号, 2:A130936号, 3:A073288号, 4:A130942号, 5:A130940型, 6:A130938号, 7:A130944号, 8:A130946号, 9:A130952号, 10:A130950型, 11:A130948号, 12:A057161号, 13:A130962号, 14:130964英镑, 15:A069767号, 16:A130966号, 17:A074688号, 18:A130954号, 19:A130956号, 20:A130960型, 21:A130958号,其他行:169:A069770号, 3617:A082339号, 65167:A057501号.
1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 2, 8, 1, 0, 1, 1, 0, 20, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 60, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 181, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 14, 584, 5, 0, 2, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1916, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 1, 42, 6476, 14, 0, 5, 0, 0, 14, 1, 2, 1, 1, 0, 22210, 0, 0, 0, 0, 0, 42, 0, 1, 0, 1, 1
交叉参考
本表中出现的EIS序列很少。仅给出第一个已知事件(如果尚未证明/不清楚,则标记为?):
0, 1, 3, 2, 8, 6, 7, 4, 5, 22, 19, 20, 14, 15, 21, 16, 17, 9, 10, 18, 11, 12, 13, 64, 60, 61, 51, 52, 62, 53, 54, 37, 38, 55, 39, 40, 41, 63, 56, 57, 42, 43, 58, 44, 45, 23, 24, 46, 25, 26, 27, 59, 47, 48, 28, 29, 49, 30, 31, 32, 50, 33, 34, 35, 36, 196, 191, 192, 177, 178
评论
这是欧拉三角剖分凸多边形时产生的自然数排列,由序列编码A014486号以一种简单的方式(通过二叉树,参见链接部分中给出的三角五边形旋转的图示)顺时针旋转。
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a(n)=CatalanRankGlobal(RotateTriangularizationR(A014486号[n] ))
RotateTriangularizationR:=n->ReflectBinTree(Rotatetriangularize(ReflectBinTree(n)));
与(组);A057162号_循环计数:=proc(upto_n)本地u,n,a,r,b;a:=[];对于从0到upto_n的n,做b:=[];u:=(二项式(2*n,n)/(n+1));对于从0到u-1的r,做b:=[op(b),1+CatalanRank(n,旋转三角化(CatalanUnrank(n、r)))];od;a:=[op(a),(`if`((n<2),1,nops(convert(b,'disjcyc')))];od;返回(a);结束;
黄体脂酮素
(在S表达式上实现此自同构的Scheme函数,三种不同的变体):
(定义(*A057162号bt)(let loop((lt-bt)(nt(list)))(cond((not(pair?lt))nt)(else(loop(cdr-lt)(consnt(car-lt))))
作者
安蒂·卡图恩2000年8月18日;2014年6月6日修订的条目
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