显示找到的22个结果中的1-10个。
按行读取的不规则三角形：T（n，k）=S1（n，k）*2^k，其中S1（n，k）是第一类相关的斯特林数（参见。2008年8月06日)（n>=0，0<=k<=楼层（n/2））。
+20
0
1, 0, 0, 2, 0, 4, 0, 12, 12, 0, 48, 80, 0, 240, 520, 120, 0, 1440, 3696, 1680, 0, 10080, 29232, 19040, 1680, 0, 80640, 256896, 211456, 40320, 0, 725760, 2493504, 2429280, 705600, 30240, 0, 7257600, 26547840, 29430720, 11285120, 1108800, 0, 79833600, 307992960, 378595008, 177580480, 27720000, 665280
评论
T（n，k）是恰好具有k个圈的圈色n错构的数目；有两种颜色可供选择。
例子
三角形开始：
[0] 1;
[1] 0;
[2] 0, 2;
[3] 0, 4;
[4] 0, 12, 12;
[5] 0, 48, 80;
[6] 0, 240, 520, 120;
[7] 0, 1440, 3696, 1680;
[8] 0, 10080, 29232, 19040, 1680;
[9] 0, 80640, 256896, 211456, 40320;
...
MAPLE公司
b： =proc（n）选项记忆；展开（`if`（n=0，1，add(
2*x*b（n-j）*二项式（n-1，j-1）*（j-1）！，j=2…n））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..楼层（n/2）））（b（n））：
数学
S1[0,0]=1；S1[_，0]=0；S1[n_，k_]/；k>商[n，2]=0；
S1[n_，k_]：=S1[n，k]=（n-1）*（S1[n-1，k]+S1[n-2，k-1]）；
T[n_，k_]：=S1[n，k]*2^k；
次阶乘或伦次数，或错位：n个元素没有固定点的排列数。
（原名M1937 N0766）
+10
526
1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, 32071101049, 481066515734, 7697064251745, 130850092279664, 2355301661033953, 44750731559645106, 895014631192902121, 18795307255050944540, 413496759611120779881, 9510425471055777937262
评论
欧拉不仅给出了序列的前十项左右，还证明了a（n）=（n-1）*（a（n-1”+a（n-2））和a（n。
a（n）是矩阵的永久值，对角线上为0，其他地方为1尤瓦尔·德克尔，2003年11月1日
a（n）是长度n的脱位数。长度n的脱位是{1,2，…，n}的置换p，其中p的所有上升中最小的是偶数（如果没有上升，则取n）。例如：a（3）=2，因为我们有213和312（i=2时的最小上升）。见J.Désarménien链接和Bona参考（第118页）-Emeric Deutsch公司2007年12月28日
a（n）是高度为n且在最后一列中具有偶数个细胞的deco多聚体的数量。装饰多面体是一种定向柱-凸多面体，其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得-Emeric Deutsch公司2007年12月28日
归因于尼古拉斯·伯努利（Nicholas Bernoulli）提出的概率问题。见大卫·M·伯顿（David M.Burton）第6版《数学史》第494页第15题-穆罕默德·阿扎里安2008年2月25日
a（n）是{1,2，…，n}与p（1）=1并且在连续位置没有从右到左的最小值。例如a（3）=2，因为我们有231和321-Emeric Deutsch公司2008年3月12日
a（n）是{1,2，…，n}与p（n）！=的置换数pn并且在连续位置上没有从左到右的最大值。例如a（3）=2，因为我们有312和321-Emeric Deutsch公司2008年3月12日
完备图K_n的布尔复数同伦型中楔形（n-1）-球的个数-布里吉特·坦纳2008年6月4日
序列中唯一的质数是2霍华德·伯曼（Howard_Berman（AT）hotmail.com），2008年11月8日
a（n）是{1,2，…，n}正好有一个小上升的排列数。置换（p_1，p_2，…，p_n）中的小上升是位置i，使得p_{i+1}-p_i=1。（例如：a（3）=2，因为我们有312和231；见查拉兰比德斯参考文献，第176-180页。）（另见大卫、肯德尔和巴顿，第263页-N.J.A.斯隆2014年4月11日]
a（n）是{1,2，…，n}具有恰好一个小下降的排列的数目。置换（p_1，p_2，…，p_n）中的一个小下降是位置i，使得p_i-p_{i+1}=1。（例如：a（3）=2，因为我们有132和213。）（结束）
a（n）是长度n-1的所有非错位的最大不动点的值之和。例如：a（4）=9，因为长度3的非错位分别为123、132、213和321，具有最大的不动点3、1、3和2。
a（n）是长度n+1的非错位数，其中最大和最小不动点之间的差值为2。例如：a（3）=2，因为我们有1’43’2和32’14’；a（4）=9，因为我们有1'23'54、1'43'52、1'53'24、52'34'1、52'14'3、32'54'1、213'45'、243'15'和413'25'（标记了极端不动点）。
（结束）
a（n），n>=1，也是带有n个珠子的无序项链的数量，标记从1到n不等，其中每条项链有>=2个珠子。这就产生了M2多项式公式，其中包含了不包含以下第1部分的分区。因为M2（p）计数由分区p给出的具有循环结构的排列，所以这个公式给出了没有不动点（没有1-循环）的排列的数量，即无序，因此给出了具有递归关系和输入的子因子。假设每条没有珠子的项链在计数中贡献因子1，因此a（0）=1。这一评论来源于Malin Sjodahl发现的一系列关于某些夸克和胶子图的组合问题的重复出现（2010年2月27日）-Wolfdieter Lang公司2010年6月1日
a（n）是{1,2，…，n，n+1}的排列数，从1开始，没有序列。置换（p_1，p_2，…，p_n）中的序列是这样的位置i，即p_{i+1}-p_i=1。示例：a（3）=2，因为我们有1324和1432。
a（n）是{1,2，…，n}的排列数，这些排列不以1开头并且没有序列。置换（p_1，p_2，…，p_n）中的序列是这样的位置i，即p_{i+1}-p_i=1。例如：a（3）=2，因为我们有213和321。
（结束）
增加有色1-2棵树，为最右边的非叶分支选择两种颜色，除了最左边的路径上，最左边的道路上没有超度数为1的顶点-文锦Woan2011年5月23日
a（n）是n人博弈中的最大完全混合纳什均衡数，每个博弈有2个纯期权-雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日
n维置换面体的子多面体的内部晶格点的数目，其顶点对应于避开132和312的置换-罗伯特·戴维斯2016年10月5日
考虑n个半径不同的圆，其中每个圆要么放在某个较大的圆内，要么包含一个较小的圆（不允许有公共点）。然后a（n）给出了此类组合的数量-安东·扎哈罗夫2016年10月12日
将具有子串n1但在{12,23，…，（n-1）n}中没有子串的[n]的置换称为d_n1。如果我们根据它们的起始数字对它们进行划分，我们将得到（n-1）个大小相等的类A000166号（n-2）（以数字1开头的类是空的，因为我们必须有子串n1）。因此d_n1=（n-1）*A000166号（n-2）和A000166号（n-2）是dn1中每个非空类的大小。例如，d_71=6*44=264，因此d_71中有264个排列分布在6个非空大小类中A000166号(5) = 44. （要从更基本的排列递归获得d_n1中的排列，请参阅下面的链接“禁止模式”。）-恩里克·纳瓦雷特2017年1月15日
此外，还包括n冠图中的最大匹配数和最小边覆盖数-埃里克·韦斯特因2017年6月14日和12月24日
取模为正整数k的序列a（n）是周期的，当k为偶数时，精确周期除以k，当k是奇数时，周期除以2*k。这源于所有n和k的同余a（n+k）=（-1）^k*a-彼得·巴拉2017年11月21日
a（n）是一个有n个顶点的有向无自循环图（不一定连通）的不同可能解的数目，每个顶点的进出度正好为1-帕特里克·霍洛帕宁2018年9月18日
如M.Wachs和V.Reiner所注意到的，a（n）是n个对象集合（在大小为n！的向量空间中）上的随机到顶部和随机到随机洗牌算子的核的维数。请参阅下面的Reiner、Saliola和Welker参考-纳迪娅·拉弗雷涅尔2019年7月18日
a（n）是与n个参与者交换秘密圣诞老人礼物的不同排列数-帕特里克·霍洛帕宁2019年12月30日
a（2*n+1）是偶数。更一般地说，a（m*n+1）可以被m*n整除，它是从a（n+1）=n*（a（n）+a（n-1））=n*A000255美元（n-1）对于n>=1。a（2*n）是奇数；事实上，a（2*n）==1（mod 8）。其他可除性属性包括a（6*n）==1（mod 24）、a（9*n+4）==a（9*n+7）==0（mod 9）、b（10*n）==1（mod 40）、a-彼得·巴拉2022年4月5日
参考文献
U.Abel，错位数的一些新恒等式，Fib。问，56:4（2018），313-318。
M.Bona，排列组合学，查普曼和霍尔/CRC，博卡拉顿，佛罗里达州，2004年。
Miklos Bona，编辑，《枚举组合学手册》，CRC出版社，2015年，第32页。
R.A.Brualdi和H.J.Ryser：组合矩阵理论，1992年，第7.2节，第202页。
Ch.A.Charalambides，枚举组合数学，查普曼和霍尔/CRC，博卡拉顿，佛罗里达州，2002年。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第182页。
佛罗伦斯·南丁格尔·大卫和D.E.巴顿，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第168页。
Florence Nightingale David、Maurice George Kendall和D.E.Barton，对称函数和联合表，剑桥，1966年，第263页，表7.5.1，第1行。
P.R.de Montmart，《论十三的游戏》（1713），再版于《统计史注释读物》，H.A.David和A.W.F.Edwards主编，Springer-Verlag，2001年，第25-29页。
J.M.de Saint-Martin，《正交》，第61期，第14-19页，2006年，EDP-Sciences Les Ulis（法国）。
H.Doeriry，《初等数学100大问题》，纽约州多佛，1965年，第19页。
莱昂哈特·尤勒（Leonhart Euler），《解决方案》（Solution quaestionis curiosae ex doctrina combinationum），梅莫尔科学院圣佩特斯堡3号（1809/1810），第57-64页；同样是E738在他的作品集，第一辑，第7卷，第435-440页。
J.M.甘地，关于对数，数学。学生，31（1963），73-83。
A.Hald，《1750年前概率统计及其应用史》，纽约威利出版社，1990年（第19章）。
欧文·卡普兰斯基（Irving Kaplansky）、约翰·里奥登（John Riordan），《管理问题》（The problème des ménages）。脚本数学。12 (1946), 113-124. 参见等式（1）。
阿诺德·考夫曼（Arnold Kaufmann），“应用组合简介”，巴黎，1968年。见第92页。
Florian Kerschbaum和Orestis Terzidis，《信息和通信安全新兴趋势中的私人合作基准筛选》，计算机科学讲稿，第3995/2006卷。
E.Lozansky和C.Rousseau，Winning Solutions，Springer，1996年；见第152页。
P.A.MacMahon，组合分析，2卷。，切尔西，纽约，1960年，见第102页。
M.S.Petković，“非攻击车”，著名数学家难题，第265-268页，Amer。数学。Soc.（AMS），2009年。
V.Reiner、F.Saliola和V.Welker。对称乱序算子谱，美国数学学会回忆录，第228卷，Amer。数学。国际扶轮社普罗维登斯，2014年，第1-121页。参见第VI.9节。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第65页。
H.J.Ryser，组合数学。美国数学协会，Carus数学专著，1963年，第23页。
T.Simpson，具有唯一固定点和反射点的排列。Ars Combin.39（1995），97-108。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
大卫·威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社，纽约，1986年，1987年修订版。见第122页。
D.B.West，组合数学，剑桥，2021年，第82页。
H.S.Wilf，《生成功能学》，纽约学术出版社，1990年，第147页，等式5.2.9（q=1）。
链接
Joerg Arndt，生成随机排列，博士论文，澳大利亚国立大学，堪培拉，澳大利亚，（2010年）。
埃托尔·阿尔扎（Etor Arza）、阿里茨·佩雷斯（Aritz Perez）、伊尔金·伊鲁鲁茨基（Ekhine Irurozki）和乔苏·塞贝里奥（Josu Ceberio），求解二次指派问题的Hamming距离下Mallows模型核，arXiv:1910.08800[stat.ML]，2019年。
V.波罗的海，关于某些类型的强限制置换的个数，申请。一张光盘。数学。4 (2010), 119-135; Doi:10.2298/AADM1000008B。
亚瑟·T·本杰明和乔尔·奥恩斯坦，错位复发的双射证明，斐波纳契夸脱。，55(5):28-29, 2017.
H.Bergeron、E.M.F.Curado、J.P.Gazeau和L.M.C.S.Rodrigues，关于组合序列和不完全Gamma函数的注记，arXiv预印本arXiv:1309.6910[math.CO]，2013。
Natasha Blitvić和Einar Steingriímsson，排列、力矩、测量，arXiv:2001.00280[math.CO]，2020年。
斯特凡诺·卡帕雷利、玛格丽塔·玛丽亚·费拉里、伊曼纽尔·穆纳里尼和诺玛·扎加格里亚·萨尔维，“Rencontres问题”的推广，J.国际顺序。21 (2018), #18.2.8.
拉波·西奥尼和卢卡·费拉里，Queuesort算法下的预映像，arXiv预打印arXiv:2102.07628[math.CO]，2021；离散数学。，344 (2021), #112561.
R.Davis和B.Sagan，图案避免多边形，arXiv预印本arXiv：1609.01782[math.CO]，2016。
J.Désarménien，未经授权的名义解释，塞姆·洛思。梳子。B08b（1982）11-16。
Emeric Deutsch和S.Elizalde，排列的最大不动点和最小不动点，arXiv:0904.2792[math.CO]，2009年。
托米斯拉夫·多什利奇和达科·维尔扬，一些组合序列的对数行为，离散数学。308（2008），第11期，2182-2212。MR2404544（2009j:05019）。
P.Duchon和R.Duvignau，排列的新一代树，FPSAC 2014，美国芝加哥；离散数学与理论计算机科学（DMTCS）论文集，2014，679-690。
Hannah Fry和Brady Haran，秘密圣诞老人的问题，Numberphile视频（2016）。
杰森·富尔曼和罗伯特·古拉尼克，简单群和本原群中的去换，arXiv:math/0208022[math.GR]，2002年。
J.M.甘地，关于对数，数学。学生，31（1963），73-83。[带注释的扫描副本]
兹比格涅夫·戈文别夫斯基和马特乌什·克里姆扎克，递归树的保护数2019年，第十六届分析算法与组合数学研讨会（ANALCO）会议记录。
R.K.Guy和R.J.Nowakowski，捕鼠器，预印本，1993年2月10日。[带注释的扫描副本]
Amihay Hanany、Vishnu Jejjala、Sanjaye Ramgoolam和Rak-Kyeong Seong，Brane瓷砖的一致性和失谐，arXiv:1512.09013[hep-th]，2015年。
迈赫迪·哈萨尼，偏差和应用《整数序列杂志》，第6卷（2003年），#03.1.2。
哈萨尼先生，通过e进行计数和计算，arXiv:math/0606613[math.CO]，2006年。
侯庆华、孙振伟和温敏华，一些组合序列的单调性，arXiv:1208.3903[math.CO]，2012-2014年。
谢拉利·卡德罗夫（Shirali Kadyrov）和法鲁赫·马斯胡洛夫（Farukh Mashurov），Pi和E的广义连分式展开，arXiv:1912.03214[math.NT]，2019年。
I.Kaplansky和J.Riordan，管理问题，脚本数学。12, (1946), 113-124. [带注释副本的扫描]
瓦茨拉夫·科特索维奇，非攻击性棋子2013年第6版，第220页。
Chercheur药片，52.组合第10-11页，1890年12月1日。
E.卢卡斯，无名之地（对一些选定页面进行注释扫描）。
T.Mansour和M.Shattuck，按循环中的后续数计算排列，离散。数学。，339 (2016), 1368-1376.
理查德·马丁（Richard J.Martin）和迈克尔·卡尼（Michael J.Kearney），某些组合递归的积分表示《组合数学》：35:3（2015），309-315。
伊曼纽尔·穆纳里尼，q-偏差标识，国际期刊。，第23卷（2020年），第20.3.8条。
Andrew O'Desky和David Harry Richman，失范与p-adic不完全伽马函数，arXiv:2012.04615[math.NT]，2020年。
M.Rumney和E.J.F.Primrose，与子因子序列相连的序列，注3207，数学。加兹。52 (1968), 381-382. [带注释的扫描副本]
E.Sandifer，Euler是如何做到的，去量程.
Michael Z.Spivey和Laura L.Steil，k二项式变换和Hankel变换《整数序列杂志》，第9卷（2006年），第06.1.1条。
R.J.Stones、S.Lin、X.Liu和G.Wang，关于拉丁矩形数的计算，图与组合数学（2016）32:1187-1202；DOI 10.1007/s00373-015-1643-1。
L.Takacs，巧合问题《精确科学史档案》，第21卷第3期，1980年9月。第229-244页，第3段。
王晨英、彼得·米斯卡和伊斯特凡·梅佐，r-无序数，《离散数学》340.7（2017）：1681-1692。
赫伯特·S·威尔夫，错位理论中的双射《数学杂志》，57（1）：37-401984年。
H.S.Wilf，生成函数学，第2版。，纽约学术出版社，1994年，第176页，等式5.2.9（q=1）。
配方奶粉
a（n）+A003048号（n+1）=2*n！.-D.G.Rogers，2006年8月26日
a（n）={（n-1）！/exp（1）}，n>1，其中{x}是最近的整数函数-西蒙·普劳夫，1993年3月[使用偏移量1，偏移量为0的版本见下文-查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月25日]
当n>0时，a（0）=1，a（n）=圆形（n！/e）=地板（n！/e+1/2）。
a（n）=n*求和{k=0..n}（-1）^k/k！。
D-有限，递归a（n）=（n-1）*（a（n-1）+a（n-2）），n>0。
a（n）=n*a（n-1）+（-1）^n。
例如：exp（-x）/（1-x）。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（-1）^（n-k）*k！=求和{k=0..n}（-1）^（n-k）*n/（n-k）-保罗·巴里2004年8月26日
例如，f.y（x）满足y'=x*y/（1-x）。
在Maple记数法中，表示为[-1，无穷大]上正函数的n阶矩：a（n）=int（x^n*exp（-x-1），x=-1..无穷大），n=0，1。a（n）是函数exp（-1-x）*Heaviside（x+1）的汉堡矩-卡罗尔·彭森2005年1月21日
a（n）=积分{x=0..oo}（x-1）^n*exp（-x）dx-杰拉尔德·麦卡维2006年10月14日
a（n）=n/e+（-1）^n*（1/（n+2-1/（n+3-2/（n+4-3/（n+5-…））））。渐近结果（Ramanujan）：（-1）^n*（a（n）-n/e） ~1/n-2/n^2+5/n^3-15/n^4+。。。，其中序列[1,2,5,15，…]是贝尔数的序列A000110号. -彼得·巴拉2008年7月14日
威廉·沃恩（William Vaughn）（沃恩（AT）cvs.rochester.edu），2009年4月13日：（开始）
a（n）=积分{p=0..1}（对数（1/（1-p））-1）^n dp。
证明：使用代换1=log（e）和y=e（1-p），上述积分可以转换为（-1）^n/e）积分{y=0..e}（log（y））^ndy。
从CRC积分表中，我们发现（log（y））^n的反导数是（-1）^n！求和{k=0..n}（-1）^ky（log（y））^k/k！。
利用e（log（e））^r=e对于任何r>=0，以及0（log求和{k=0..n}（-1）^k/k！，这是公式部分的第9行。（结束）
a（n）=exp（-1）*Gamma（n+1，-1）（不完整的Gamma函数）-马克·范·霍伊2009年11月11日
通用公式：1/（1-x^2/（1-2x-4x^2/-（1-4x-9x^2//（1-6x-16x^2/（1-8x-25x^2/.（1-……（连分数））-保罗·巴里2009年11月27日
a（n）=Pano1（n）}M2（p）中的和{p，n>=1，其中Pano1。对于没有第1部分的分区，请参见下面给出的特征数组A145573号按照Abramowitz Stegun（A-S）顺序A002865号（n） 此类分区的总数。数组按A-St顺序给出每个分区的M2编号A036039号. -沃尔夫迪特·朗2010年6月1日
a（n）=（（-1）^n）*（n-1）*超几何（[-n+2，2]，[]，1），n>=1；n=0时为1-沃尔夫迪特·朗2010年8月16日
a（n）=（-1）^n*超几何（[-n，1]，[]，1），n>=1；对于n＝0为1。根据由于例如f引起的二项式卷积-沃尔夫迪特·朗2010年8月26日
积分{x=0..1}x^n*exp（x）=（-1）^n*（a（n）*e-n！）。
O.g.f.：求和{n>=0}n^n*x^n/（1+（n+1）*x）^（n+1-保罗·D·汉纳2011年10月6日
G.f.：表层（[1,1]，[]，x/（x+1））/（x/1）-马克·范·霍伊2011年11月7日
连续分数：
一般来说，例如f.（1+a*x）/exp（b*x）=U（0），其中U（k）=1+a*x/（1-b/（b-a*（k+1）/U（k+1）））。对于a=-1，b=-1:exp（-x）/（1-x）=1/U（0）。
例如：（1-x/（U（0）+x））/（1-x），其中U（k）=k+1-x+（k+1）*x/U（k+1。
例如：1/Q（0），其中Q（k）=1-x/（1-1/（1-（k+1）/Q（k+1。
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1+x-x*（k+1）/（1-x*（k+1）/U（k+1））。
G.f.：Q（0）/（1+x），其中Q（k）=1+（2*k+1）*x/（（1+x）-2*x*（1+x*）*（k+1）/（2*x*。
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-2*k*x-x^2*（k+1）^2/Q（k+1）。
G.f.：T（0），其中T（k）=1-x^2*（k+1）^2/（x^2*（k+1）^2-（1-2*x*k）*（1-2*x-2*x*k）/T（k+1））。（结束）
如果n>=0，则0=a（n）*（a（n+1）+a（n+2）-a（n+3））+a-迈克尔·索莫斯2014年1月25日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*（k+x）^k*（k+x+1）^-彼得·巴拉2017年2月19日
a（n）=求和{j=0..n}求和{k=0..nneneneep二项式（-j-1，-n-1）*abs（斯特林1（j，k））。
a（n）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*Pochhammer（n-k+1，k）（参见。A008279号). （结束）
a（n）=n！-和{j=0..n-1}二项式（n，j）*a（j）-阿洛伊斯·海因茨2019年1月23日
a（n）=KummerU（-n，-n，-1）-彼得·卢什尼2022年5月10日
a（n）=（-1）^n*Sum_{k=0..n}Bell（k）*Stirling1（n+1，k+1）-梅利卡·特布尼2022年7月5日
例子
a（2）=1，a（3）=2和a（4）=9，因为可能性是{BA}，{BCA，CAB}和{BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA}-亨利·博托姆利，2001年1月17日
完备图K_4的布尔复数是同伦等价于9个3-球面的楔形。
n=6时的项链问题：没有第1部分的分区和n=6的M2编号：有A002865号（6） =4个这样的分区，即A-St顺序的（6）、（2,4）、（3^2）和（2^3），M2编号为5！，分别为90、40和15，加起来等于265=a（6）。这相当于一条项链有6个珠子，两条项链分别有2个和4个珠子、两条项链各有3个珠子和三条项链各两个珠子-沃尔夫迪特·朗2010年6月1日
G.f.=1+x^2+9*x^3+44*x^4+265*x^5+1854*x^6+14833*x^7+133496*x^8+。。。
MAPLE公司
A000166号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则1-n其他（n-1）*（进程名（n-1，+进程名（n-2））；fi；结束；
a： =n->n*sum（（-1）^k/k！，k=0..n）：序列（a（n），n=0..21）#零入侵拉霍斯2007年5月17日
ZL1:=[S，{S=Set（Cycle（Z，card>1））}，标记]：seq（计数（ZL1，大小=n），n=0..21）#零入侵拉霍斯2007年9月26日
使用（combstruct）：a:=proc（m）[ZL，{ZL=Set（Cycle（Z，card>=m））}，标记]；结束时间：A000166号：=a（2）：seq（计数(A000166号，大小=n），n=0..21）#零入侵拉霍斯2007年10月2日
Z:=（x，m）->m^2*总和（x^j/（m-j）^2） ，j=0..m）：R:=（x，n，m）->Z（x，m）^n:f:=（t，n，m）->总和（系数（R（x，n，m），x，j）*（t-1）^j*（n*m-j）！，j=0..n*m）：序列（f（0，n，1），n=0..21）#零入侵拉霍斯2008年1月22日
a： =proc（n）如果`mod`（n，2）=1，那么求和（2*k*阶乘（n）/阶乘（2*k+1），k=1..楼（（1/2）*n））其他1+求和（2*k*阶乘（n#Emeric Deutsch公司2008年2月23日
G（x）：=2*exp（-x）/（1-x）：f[0]：=G（x#零入侵拉霍斯2009年4月3日
seq（简化（KummerU（-n，-n，-1）），n=0..23）#彼得·卢什尼2022年5月10日
数学
a[0]＝1；a[n]：=n*a[n-1]+（-1）^n；a/@范围[0，21](*罗伯特·威尔逊v*)
a[0]＝1；a[1]＝0；a[n_]：=圆形[n！/E]/；n>=1(*迈克尔·塔克提科斯2006年5月26日*）
范围[0，20]！系数列表[系列[Exp[-x]/（1-x），｛x，0，20｝]，x]
dr[｛n_，a1_，a2_｝]：=｛n+1，a2，n（a1+a2）｝；转座[NestList[dr，{0，0，1}，30]][[3]](*哈维·P·戴尔2013年2月23日*）
a[n]：=（-1）^n超几何PFQ[{-n，1}，{}，1]；(*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*）
a[n_]：=n！序列系数[Exp[-x]/（1-x），｛x，0，n｝]；(*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*）
递归表[{a[n]==n*a[n-1]+（-1）^n，a[0]==1}，a，{n，0，23}](*雷·钱德勒2015年7月30日*）
nxt[{n，a}]：={n+1，a（n+1）+（-1）^（n+1；嵌套列表[nxt，{0，1}，25][[全部，2]](*哈维·P·戴尔2019年6月1日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，1，n*a（n-1）+（-1）^n）}/*迈克尔·索莫斯2003年3月24日*/
（PARI）{a（n）=n！*polceoff（exp（-x+x*O（x^n））/（1-x），n）}/*迈克尔·索莫斯2003年3月24日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，m^m*x^m/（1+（m+1）*x+x*O（x^n））^（m+1）），n）}/*保罗·D·汉纳*/
（PARI）a（n）=如果（n，四舍五入（n！/exp（1）），1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月17日
（Python）请参阅Hobson链接。
（最大值）
s[0]：1$
s[n]：=n*s[n-1]+（-1）^n$
（哈斯克尔）
a000166 n=a000166_列表！！n个
a000166_list=1:0:zipWith（*）[1..]
（zipWith（+）a000166_list$tail a000166_列表）
（Python）
对于范围（10*2）内的n：
x、 m=x*n+m，-m
（岩浆）I:=[0，1]；[1] cat[n le 2选择I[n]else（n-1）*（Self（n-1）+Self（n-2））：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2016年1月7日
交叉参考
囊性纤维变性。A000142号,A002467号,A003221号,A000522号,A000240型,A000387号,A000449号,A000475号,A129135号,A092582号,A000255美元,A002469号,A159610型,A068985号,A068996号,A047865号,A038205号,A008279号,A281682型.
囊性纤维变性。A101560号,A101559号,A000110号,A101033号,A101032号,A000204号,A100492号,A099731号,A000045号,A094216号,A094638号,A000108号.
E2（n，k），E2（0，k）=δ{0，k}的二阶欧拉数。按行读取的三角形，E2（n，k）表示0<=k<=n。
+10
17
1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 8, 6, 0, 1, 22, 58, 24, 0, 1, 52, 328, 444, 120, 0, 1, 114, 1452, 4400, 3708, 720, 0, 1, 240, 5610, 32120, 58140, 33984, 5040, 0, 1, 494, 19950, 195800, 644020, 785304, 341136, 40320, 0, 1, 1004, 67260, 1062500, 5765500, 12440064, 11026296, 3733920, 362880
评论
二阶欧拉数E2（n，k）是n阶Stirling置换的个数，正好是k个下降；这里最后一个索引被定义为下降。更正式地说，让Q_n表示多集{1,1,2,2，…，n，n}的置换集，其中对于所有j，j的两次出现之间的所有项都大于j，则E2（n，k）=卡（Q_n中的{s，des（s）=k}），其中des（s=card（{j:s（j）>s（j+1）}）是s的下降数。
还有长度为n，带有k个不同字母的Riordan梯形单词的数量（见Riordan 1976，第9页）。
还有n+1个具有k个叶子的顶点上的有根平面树的数量（见Janson 2008，第543页）。
设b（n）=（1/2）*Sum_{k=0..n-1}（-1）^k*E2（n-1，k+1）/C（2*n-1，k+1）。显然b（n）=Bernoulli（n，1）=-n*Zeta（1-n）=Integral_{x=0..1}F_n（x）对于n>=1。这里F_n（x）是带符号的Fubini多项式(A278075型). （见Rzadkowski和Urlinska，示例4。）
参考文献
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《混凝土数学》，第二版，Addison-Wesley，Reading，MA，1994年，第270页。
链接
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，广义斯特林排列与森林：高阶欧拉数和沃德数，《组合数学电子杂志》22（3），2015年。
I.Gessel和R.P.Stanley，斯特林多项式J.Combin，《理论》，A 24，24-331978年。
G.Rzadkowski、M.Urlinska、，欧拉数的推广，arXiv:161206635【math.CO】，2016年
配方奶粉
E2（n，k）=E2（n-1，k）*k+E2（n-1，k-1）*（2*n-k），对于n>0和0<=k<=n，E2（0,0）=1；在所有其他情况下，E（n，k）=0。
E2（n，k）=和{j=0..n-k}（-1）^（n-j）*二项式（2*n+1，j）*斯特林1（2*n-k-j+1，n-k-j/1）。
E2（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（2*n+1，k-j）*Stirling2（n+j，j）。
斯特林1（x，x-n）=（-1）^n*和{k=0..n}E2（n，k）*二项式（x+k-1，2*n）。
斯特林2（x，x-n）=和{k=0..n}E2（n，k）*二项式（x+n-k，2*n）。
E2poly（n，x）=和{k=0..n}E2（n，k）*x^k，作为行多项式。
E2poly（n，x）=x*（x-1）^（2*n）*d_{x}（（1-x）^。
E2poly（n，x）=（1-x）^（2*n+1）*Sum_{k=0..n}（k^（n+k）/k*（x*exp（-x））^k。
W（n，k）=[x^k]（1+x）^n*E2poly（n，x/（1+x））是沃德数A269939型.
E2（n，k）=[x^k]（1-x）^n*Wpoly（n，x/（1-x））；Wpoly（n，x）=和{k=0..n}W（n，k）*x^k。
W（n，k）=和{j=0..k}E2（n，j）*二项式（n-j，n-k）。
E2（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*W（n，j）*二项式（n-j，k-j）。
x-t*（exp（x）-1）关于x的成分逆（参见B.Drake）：
T（n，k）=[T^k]（n+1）*（1-t）^（2*n+1）*[x^（n+1）]逆级数（x-t*（exp（x）-1），x）。
E2（n，k）=和{j=0..n-k+1}（-1）^（n-k-j+1）*AS1（n+j，j）*二项式（n-j，n-k-j+1），当n>=1时。
对于n>=1，AS2（n，k）=Sum_{j=0..n-k}二项式（j，n-2*k）*E2（n-k，n-k-j），其中AS2（n，k）是相关的第二类斯特林数(A008299号,A137375型).
E2（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*AS2（n+j，j）*二项式（n-j，k-j）。
例子
三角形开始：
[0] 1;
[1] 0, 1;
[2] 0, 1, 2;
[3] 0, 1, 8, 6;
[4] 0, 1, 22, 58, 24;
[5] 0, 1, 52, 328, 444, 120;
[6] 0, 1, 114, 1452, 4400, 3708, 720;
[7] 0, 1, 240, 5610, 32120, 58140, 33984, 5040;
[8] 0, 1, 494, 19950, 195800, 644020, 785304, 341136, 40320;
[9] 0, 1, 1004, 67260, 1062500, 5765500, 12440064, 11026296, 3733920, 362880.
.
为了说明第3行的生成函数：（1-x）^7*（x*exp（-x）+16*x^2*exp。该多项式的系数给出第3行。
.
正好有k个下降的3阶斯特灵排列：（当计算下降时，可以假设排列后面附加了一个不可见的“0”。）
T[3，k=0]：
T[3，k=1]:112233；
T[3，k=2]:331122；223311; 221133; 133122; 122331; 122133; 113322; 112332;
T[3，k=3]:332211；331221; 233211; 221331; 133221; 123321
MAPLE公司
#使用重复：
E2:=proc（n，k）选项记忆；
如果k=0且n=0，则返回1 fi；如果n<0，则返回0 fi；
E2（n-1，k）*k+E2（n-1，k-1）*（2*n-k）结束：seq（E2（n，k），k=0..n），n=0..9）；
#使用行生成函数：
E2egf:=n->（1-x）^（2*n+1）*加（k^（n+k）/k*（x*exp（-x））^k，k=0..n）；
T:=（n，k）->系数（E2egf（n），x=0，k）：seq（打印（seq（T（n，j），j=0..n）），n=0..7）；
#使用内置函数：
E2:=（n，k）->`如果`（k=0，k^n，组合：-eulerian2（n，k-1））：
#使用成分反转（序列反转）：
E2三角形：=proc（N）局部r，s，C；顺序：=N+2；
s：=求解（y=级数（x-t*（exp（x）-1），x），x
r:=n->-n*（t-1）^（2*n-1）*系数（s，y，n）；C:=[seq（展开（r（n）），n=1..n）]；
seq（打印（seq（系数（C[n+1]，t，k），k=0..n）），n=0..n-1）结束：E2三角形（10）；
数学
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k==0，Boole[n==0]，如果[n<0，0，k T[n-1，k]+（2 n-k）T[n-1，k-1]]；表[T[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平
（*通过行多项式：*）
E2poly[n_]：=如果[n==0，1，
展开[Simplify[x（x-1）^（2n）D[（（1-x）^[1-2n）E2poly[n-1]），x]]]；
表[系数列表[E2poly[n]，x]，{n，0，9}]//展平
（*系列逆转*）
还原[gf_，len_]：=模[{S=逆级数[Series[gf，{x，0，len+1}]，x]}，
表[系数列表[（n+1）！（1-t）^（2n+1）系数[S，x，n+1]，t]，
{n，0，len}]//展平]；还原[x+t-t Exp[x]，6]
黄体脂酮素
（PARI）
E2poly（n）=如果（n==0，1，x*（x-1）^（2*n）*衍生物（（1-x）^；
{用于（n=0，9，打印（Vecrev（E2poly（n）））}
（PARI）T（n，k）=总和（j=0，n-k，（-1）^（n-j）*二项式（2*n+1，j）*斯特林（2*n-k-j+1，n-k-j+1,1））\\米歇尔·马库斯2021年2月11日
（SageMath）#查看笔记本链接。
具有n片叶子（根的阶数为0或>=2）的标记系列减少的移动植物（圆根树）的数量。
+10
16
1, 1, 5, 41, 469, 6889, 123605, 2620169, 64074901, 1775623081, 54989743445, 1882140936521, 70552399533589, 2874543652787689, 126484802362553045, 5977683917752887689, 301983995802099667861, 16239818347465293071401, 926248570498763547197525, 55847464116157184894240201
评论
当偏移量为0时，a（n）=将多集合{1,1,2,2，…，n，n}划分为严格递减列表（称为块）的分区数，这样列表中所有块的串联都具有Stirling属性：i的两次出现之间的所有条目都超过i，1<=i<=n。例如，用斜线分隔块，a（2）=5计数为1/1/2/2；1/2/2/1; 2/2/1/1; 1/2/2 1; 2/2 1/1，但不是，例如，2 1/2/1，因为它没有通过i=2的斯特林试验-大卫·卡伦2011年11月21日
链接
F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格出版社，1992年，第24-48页。
配方奶粉
“CIJ”（项链，不清楚，有标签）变换下的双人床（索引2+）。
母函数A（x）满足A（0）=0的自治微分方程A'（x）=（1-A）/（1-2*A）。因此，反函数A^-1（x）=int{t=0..x}（1-2*t）/（1-t）=2*x+log（1-x）。A（x）的展开式可以通过使用[Dominici，定理4.1]的方法对上述积分进行反演来获得结果A（n）=D^（n-1）（1），该结果在x=0时进行计算，其中D表示算子g（x）->D/dx（（1-x）/（1-2*x）*g（x。与进行比较A006351号.
将[Bergeron等人，定理1]应用于结果x=int{t=0..A（x）}1/phi（t），其中φ（t）=（1-t）/（1-2*t）=1+t+2*t^2+4*t^3+8*t^4+。。。对这个序列的组合解释如下：a（n）给出了n个顶点上的平面递增树的数目，其中每个超度数k>=1的顶点可以用2^（k-1）的方式着色。下面给出了一个示例。（结束）
exp（-2w）（1-z*w）^（-1/z）从0到无穷大w.r.t.w的积分给出了偏移量为0的级数的o.g.f。因此，a（n）=和（j=1到无穷大）：St1d（n，j）/（2^（n+j-1）），其中St1dA132393号偏移=1；例如，a（3）=5=0/2^3+2/2^4+11/2^5+35/2^6+85/2^7+-汤姆·科普兰2011年9月15日
有符号o.g.f.，其中Γ（v，x）是不完整的伽马函数（参见A111999型其中u＝1），是g（z）＝（2/z）^（-（1/z）-1）exp（2/z）Γ（（1/z）+1,2/z）/z-汤姆·科普兰2011年9月16日
偏移量为0时，a（n）=总和[T（n+k，k），k=1..n]，其中T（n，k）是第一类相关的斯特林数(2008年8月06日). 例如，a（3）=41=6+20+15-大卫·卡伦2011年11月21日
a（n）=总和（k=0..n-1，（n+k-1）*总和（j=0..k，1/（k-j）*总和（l=0..j，（2^l*（-1）^（n+l+1）*stirling1（n-l+j-1，j-l））/（l！*（n-l+j-1）！）），n> 0-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2012年2月6日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1+（k+1）*x-2*x*（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月1日
a（n）~n^（n-1）/（2*exp（n）*（1-log（2））^（n-1/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年1月8日
例子
D^3（1）=（24*x^2-64*x+41）/（2*x-1）^6。在x=0时计算得出a（4）=41。
a（3）=5：用字母a、b、c…表示顶点的颜色。。。。3个顶点上的5个可能增加的平面树，其超度数k的顶点以2^（k-1）颜色出现，如下所示
.
1a1a1b1a1b
| / \ / \ / \ / \
2a 2 3 2 3 3 2
|
三
MAPLE公司
阶数：=20；t1:=求解（级数（ln（1-A）+2*A），A）=x，A）；A000311号：=n->n*系数（t1，x，n）；
#偏移量为0时：
a:=n->加（组合：-eulerian2（n，k）*2^k，k=0..n）：
seq（a（n），n=0..19）#彼得·卢什尼2015年7月9日
数学
对于[y=x+O[x]^21；oldy=0，y==oldy，oldy=y；y=（（1-y）对数[1-y]+x*y+y-x）/（2y-1），空]；表[n！系数[y，x，n]，{n，1，20}]
Rest[CoefficientList[Inverse Series[Series[2*x+Log[1-x]，{x，0，20}]，x]，x]*Range[0，20](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年1月8日*）
黄体脂酮素
（最大值）a（n）：=总和（（n+k-1）*总和（1/（k-j）*总和（（2^l*（-1）^（n+l+1）*stirling1（n-l+j-1，j-l））/（l！*（n-l+j-1）！），l、 0，j），j，0，k），k，0，n-1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁，2012年2月6日*/
（PARI）N=66；x='x+O（'x^N）；
Q（k）=如果（k>N，1，1+（k+1）*x-2*x*（k+1；
gf=1/Q（0）；Vec（玻璃纤维）\\乔格·阿恩特2013年5月1日
（PARI）{my（n=20）；Vec（serlaplace（serreverse（2*x+log（1-x+O（x*x^n）））}\\安德鲁·霍罗伊德2018年1月16日
按行读取的三角形：T（n，k）是一个n个集的排列数，其中k个循环的大小大于1（0<=k<=floor（n/2））。
+10
14
1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 20, 3, 1, 84, 35, 1, 409, 295, 15, 1, 2365, 2359, 315, 1, 16064, 19670, 4480, 105, 1, 125664, 177078, 56672, 3465, 1, 1112073, 1738326, 703430, 74025, 945, 1, 10976173, 18607446, 8941790, 1346345, 45045, 1, 119481284, 216400569, 118685336
链接
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，特殊类型下降和例外的Foata变换，arXiv:2101.01928[math.CO]，2021。参见定理2。第5页。
配方奶粉
例如：exp（x*（1-y））/（1-x）^y.三角形的二项式变换2008年8月06日.exp（x）*（（-x-log（1-x））^k）/k！例如第k列的f。
总和{k=0..层（n/2）}k*T（n，k）=A001705号（n-1）对于n>=1。
总和{k=0..层（n/2）}（-1）^k*T（n，k）=1999年（n-1）对于n>=1。（结束）
例子
三角形（n，k）开始于：
1;
1;
1, 1;
1, 5;
1, 20, 3;
1, 84, 35;
1, 409, 295, 15;
1, 2365, 2359, 315;
...
MAPLE公司
egf:=proc（k:：nonnegint）选项记忆；x->经验（x）*（（-x-ln（1-x））^k）/k！结束；T： =（n，k）->系数（级数（egf（k）（x），x=0，n+1），x，n）*n！；seq（seq（T（n，k），k=0..n/2），n=0..30）#阿洛伊斯·海因茨2008年8月14日
#第二个Maple项目：
b： =proc（n）选项记忆；展开（`if`（n=0，1，add（b（n-i））*
`如果`（i>1，x，1）*二项式（n-1，i-1）*（i-1）！，i=1…n））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n））：
#第三个Maple项目：
T： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k<0或k>2*n，0，
`if`（n=0，1，加（T（n-i，k-` if`（i>1，1，0））*
mul（n-j，j=1..i-1），i=1..n））
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=0..n/2），n=0..15）#阿洛伊斯·海因茨2017年7月16日
数学
最大值=12；egf=支出[x*（1-y）]/（1-x）^y；s=序列[egf，{x，0，max}，{y，0，max}]//正常；t[n_，k_]：=级数系数[s，{x，0，n}，{y，0，k}]*n！；t[0,0]=t[1,0]=1；表[t[n，k]，{n，0，max}，{k，0，n/2}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年1月28日*）
交叉参考
k=0-10列给出：A000012号,A006231号,289950加元,A289951型,A289952型,A289953型,A289954型,A289955型,A289956型,A289957型,A289958型.
T（n，k）=[x^k]（-1）^n*和{k=0..n}E2（n，n-k）*（1+x）^（n-k）其中E2（n，k）是二阶欧拉数。按行读取的三角形，T（n，k）表示n>=1和0<=k<=n。
+10
13
-1, 3, 2, -15, -20, -6, 105, 210, 130, 24, -945, -2520, -2380, -924, -120, 10395, 34650, 44100, 26432, 7308, 720, -135135, -540540, -866250, -705320, -303660, -64224, -5040, 2027025, 9459450, 18288270, 18858840, 11098780, 3678840, 623376, 40320, -34459425, -183783600, -416215800
评论
箍筋1（n，n-m）=A008275美元（n，n-m）=和{k=0..m-1}a（m，k）*二项式（n，2*m-k）。
关于细分多项式卷积的一般结果A133932号，在u1=1和u_n=-t的情况下，可以在这里应用，以获得这些无符号多项式的卷积的结果-汤姆·科普兰，2016年9月20日
参考文献
查尔斯·乔丹（Charles Jordan），《有限差分演算》，切尔西1965年，第152页。表C_{m，nu}。
链接
S.Butler、P.Karasik、，关于嵌套和的注记，J.国际顺序。13（2010），10.4.4，第4页。
L.Takacs，关于不同森林的数量，SIAM J.离散数学。，3 (1990), 574-581. 表3给出了三角形的无符号版本。
配方奶粉
如果m<k+1，a（m，k）=0；a（1,0）=-1；a（m，-1）：=0；a（m，k）=-（2*m-k-1）*（a（m-1，k）+a（m-l，k-1））其他。
发件人汤姆·科普兰，2010年5月5日（2011年9月12日更新）：（开始）
从0到无穷大w.r.t.w的积分
exp[-w（u+1）]（1+u*z*w）^（1/z）给出了u中倒行多项式的幂级数f（u，z），单位为zA111999型，与对角线的Euler变换有关A008275美元.
通过将z^n替换为x^（n+1）/（n+1！；
g（u，x）=x-u^2 x ^2/2！+（2u^3+3u^4）x^3/3！-（6 u^4+20 u^5+15 u^6）x^4/4！+，与f（u，z）相关联的一个例如f。
其中h（u，x）=1/（dg^（-1）/dx）=（1+u*x）/（1+（1+u）*u*x，
g（u，x）=exp[x*h（u，t）d/dt]t，在t=0时进行评估。此外，dg（u，x）/dx=h（u，g（u、x））。
（结束）
对于m，k>0，a（m，k）=总和（j=2到2m-k+1）：（-1）^（2m-k+1+j）C（2m-k+1，j）St1d（j，m），
其中C（n，j）是二项式系数，St1d（j，m）是A008275美元对于（j-m）>0，否则为0，
例如，St1d（1,1）=0，St1d2,1=-1，St1d-3,1=-3，St1d:4,1=-6。（结束）
发件人汤姆·科普兰，2011年9月3日（2011年9月12日更新）：（开始）
从0到无穷大w.r.t.w的积分
exp[-w*（u+1）/u]（1+u*z*w）^（1/（u^2*z））给出了u中行多项式的幂级数F（u，z），单位为zA111999型.
通过将z^n替换为x^（n+1）/（n+1！；
G（u，x）=x-x^2/2！+（3+2 u）x ^3/3！-（15+20 u+6 u^2）x^4/4！+，例如，用于A111999型与F（u，z）相关。
G^（-1）（u，x）=（（1+u）*u*x-log（1+u*x））/u^2是比较。G（u，x）在x中的逆。
H（u，x）=1/（dG^（-1）/dx）=（1+u*x）/（1+（1+u）*x），
G（u，x）=exp[x*H（u，t）d/dt]t，在t=0时计算。此外，dG（u，x）/dx=H（u，G（u、x））。
（结束）
f（u，z）和f（u，z）可用不完全伽马函数Γ（v，p）表示（参见EqWorld中幂律函数的拉普拉斯变换）：
K（p，s）=p^（-s-1）exp（p）Γ（s+1，p），
f（u，z）=K（p，s）/（u*z），其中p=（u+1）/（u*z）和s=1/z，以及
F（u，z）=K（p，s）/（u*z），其中p=（u+1）/（u ^2*z）和s=1/（u ^2*z）。
（结束）
例子
三角形开始：
[1] -1;
[2] 3, 2;
[3] -15, -20, -6;
[4] 105, 210, 130, 24;
[5] -945, -2520, -2380, -924, -120;
[6] 10395, 34650, 44100, 26432, 7308, 720;
[7] -135135, -540540, -866250, -705320, -303660, -64224, -5040;
[8] 2027025, 9459450, 18288270, 18858840, 11098780, 3678840, 623376, 40320.
MAPLE公司
系数列表：=p->op（多项式工具：-系数列表（p，x））：
E2:=（n，k）->组合[eulerian2]（n，k）：
多边形：=n->（-1）^n*加（E2（n，n-k）*（1+x）^（n-k），k=0..n）：
seq（CoeffList（poly（n）），n=1..8）#彼得·卢什尼2021年2月5日
数学
a[m_，k_]：=a[m，k]=其中[m<k+1，0，And[m==1，k==0]，-1，k==-1，0，True，-（2 m-k-1）*（a[m-1，k]+a[m-1，k-1]）]；表[a[m，k]，{m，9}，{k，0，m-1}]//展平(*迈克尔·德弗利格，2016年9月23日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A008517号（二阶欧拉三角形），用于|Stirling1（n，n-m）|的类似公式。
按行读取的三角形T（n，k）：相关的第一类斯特林数（n>=0和0<=k<=floor（n/2））。
+10
9
1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 6, 3, 0, 24, 20, 0, 120, 130, 15, 0, 720, 924, 210, 0, 5040, 7308, 2380, 105, 0, 40320, 64224, 26432, 2520, 0, 362880, 623376, 303660, 44100, 945, 0, 3628800, 6636960, 3678840, 705320, 34650, 0, 39916800, 76998240, 47324376, 11098780, 866250, 10395
评论
这个三角形的有符号版本由指数Riordan数组[1，log（1+t）-t]给出。其行和为（-1）^n*（1-n）。另一个版本是[1，log（1-t）+t]，其行总和是1-n-保罗·巴里2008年5月10日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第256页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第75页。
配方奶粉
T（n，k）=和{j=0..n-k}二项式（j，n-2*k）*E2（n-k，j），其中E2是二阶欧拉数(A008517号). -彼得·卢什尼2016年1月13日
还有序列g（k）=k的Bell变换！如果k>0，则为0。有关Bell变换的定义，请参见A264428型. -彼得·卢什尼，2016年1月13日
例子
第0行到第7行是：
1;
0,
0, 1;
0, 2,
0, 6, 3;
0, 24, 20,
0, 120, 130, 15;
0, 720, 924, 210;
MAPLE公司
A106828号：=（n，k）->加法（二项式（j，n-2*k）*组合：-欧拉2（n-k，j），j=0..n-k）：
seq（打印（seq(A106828号（n，k），k=0..iquo（n，2）），n=0..9）#彼得·卢什尼2011年4月20日（2016年1月13日修订）
A106828号：=proc（n，k）选项记忆；如果k=0，则k^n elif k=1，则（n-1）！elif n<=2*k-1，然后0 else（n-1）*（进程名（n-1，k）+进程名（n-2，k-1））fi结束：seq（（seq(A106828号（n，k），k=0..iquo（n，2）），n=0..12）#彼得·卢什尼2021年8月24日
数学
Eulerian2[n_，k_]：=欧拉2[n，k]=如果[k==0，1，如果[k==n，0，Eulerian 2[n-1，k]（k+1）+欧拉2[n-1，k-1]（2n-k-1）]]；
T[n_，k_]：=和[二项式[j，n-2k]欧拉2[n-k，j]，{j，0，n-k}]；
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a106828 n k=a106828_tabf！！不！！k个
a106828_row n=a106828-tabf！！n个
a106828_tabf=映射（fst.fst）$迭代f（（[1]，[0]），1），其中
f（（美国，vs），x）=
（（vs，map（*x）$zipWith（+）（[0]++us）（vs++[0]）），x+1）
#计算完整三角形0<=k<=n。
g=λk：如果k>0，则为阶乘（k），否则为0
s=[g（k）代表k in（0..n）]
返回bell_transform（n，s）
（PARI）E2（n，m）=总和（k=0，n-m，（-1）^（n+k）*二项式（2*n+1，k）*斯特林（2*n-m-k+1，n-m-k+1,1））\\A008517号
T（n，k）=如果（n==0）&&（k==0，1，和（j=0，n-k，二项式（j，n-2*k）*E2（n-k，j+1））\\米歇尔·马库斯2021年12月7日
（Python）
从数学导入阶乘
如果k==0，则返回k**n；如果k==1，则返回阶乘（n-1）；如果n<=2*k-1，则返回0*(A106828号（n-1，k）+A106828号（n-2，k-1）
对于范围（14）中的n：打印([A106828号（n，k）范围内的k（n//2+1）]）
3, 20, 130, 924, 7308, 64224, 623376, 6636960, 76998240, 967524480, 13096736640, 190060335360, 2944310342400, 48503818137600, 846795372595200, 15618926924697600, 303517672703078400, 6198400928176128000, 132720966600284160000, 2973385109386137600000
评论
a（n）也是n个元素的排列数，没有任何不动点，正好有两个循环-山珍高2010年9月15日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第256页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第75页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
高善珍，限制结构排列（筹）。
配方奶粉
a（n）=（n-1）*求和{i=2..n-2}1/i=（n-1）*（Psi（n-1）+γ-1）-弗拉德塔·乔沃维奇2003年8月19日
交替符号：Ramanujan多项式psi_3（n-2，x）的计算值为1-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月16日
例如：（（x+log（1-x））^2）/2。[由更正弗拉德塔·乔沃维奇2008年5月3日]
a（n）=总和{i=2..楼层（（n-1）/2）}n/（（n-i）*i）+总和{i=天花板（n/2）..地板（n/2/（2*（n-i）*i）-山珍高2010年9月15日
a（n）=（n+3）*（h（n+2）-1），偏移量为0，其中h（n）=总和（1/k，k=1..n）-加里·德特利夫斯2010年9月11日
猜想：（-n+2）*a（n）+（n-1）*（2*n-5）*a-R.J.马塔尔2015年7月18日
猜想：a（n）+2*（-n+2）*a（n-1）+（n^2-6*n+10）*a（n-2）+（n-3）*（n-4）*a（n-3）=0-R.J.马塔尔2015年7月18日
例子
a（4）=3，因为我们有：（12）（34），（13）（24），（14）（23）-杰弗里·克里策2012年11月3日
数学
nn=25；a=对数[1/（1-x）]-x；下降[Range[0，nn]！系数列表[系列[a^2/2，{x，0，nn}]，x]，4](*杰弗里·克里策2012年11月3日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=（n-1）*总和（i=2，n-2，1/i）\\米歇尔·马库斯2016年2月6日
相关斯特林数：二阶互易斯特林数（Fekete）a（n）=[[n，3]]。每个轨道中至少有2个元素的n集的3轨道置换数。
（原名M4988 N2145）
+10
7
15, 210, 2380, 26432, 303660, 3678840, 47324376, 647536032, 9418945536, 145410580224, 2377609752960, 41082721413120, 748459539843840, 14345340443665920, 288650580508961280, 6085390148673177600, 134167064248901376000, 3088040233895705088000, 74077507611407752704000, 1849221425299053367296000
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第256页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第75页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
配方奶粉
交替符号：Ramanujan多项式psi_4（n-3，x）的计算值为1-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月16日
猜想：（n-2）*（n-4）*a（n）-（n-1）*（3*n^2-21*n+35）*a-R.J.马塔尔2015年7月18日
猜想：3*（-n+4）*a（n）+（9*n^2-59*n+90）*a-R.J.马塔尔2015年7月18日
数学
nn=25；a=对数[1/（1-x）]-x；丢弃[Range[0]，nn]！系数列表[序列[a^3/3！，{x，0，nn}]，x]，6](*杰弗里·克里策2012年11月3日*）
扩展
更多术语来自Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2000年12月14日
（一）+A132440号)^3:规范化广义拉盖尔多项式n！的系数*滞后（n，3-n，-x）。
+10
7
1, 3, 1, 6, 6, 1, 6, 18, 9, 1, 0, 24, 36, 12, 1, 0, 0, 60, 60, 15, 1, 0, 0, 0, 120, 90, 18, 1, 0, 0, 0, 0, 210, 126, 21, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 336, 168, 24, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 504, 216, 27, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 720, 270, 30, 1
评论
关联的拉盖尔多项式n*Lag（n，3-n，-x）与矩形3×n棋盘的rook多项式的关系为R（3，n，x）=n*x^n*Lag（n，3-n，-1/x），它也是完全二部图k（m，n）或二列的匹配多项式或k边匹配数的生成函数（有关详细信息，请参阅Wikipedia）。
配方奶粉
T（n，k）=二项式（3，n-k）*n/k！=二项式（n，k）*3/（3-n+k）！。
例如：exp（y*x）（1+y）^3，所以这是一个Appell多项式序列，其中降算子L=D=D/dx和升算子R=x+3/（1+D）。
逆矩阵的例子是exp（x*y）/（1+y）^3。
乘以Pascal矩阵的第n对角线A007318号通过d（0）=1，d（1）=3，d（2）=6，d（3）=6，以及d（n）=0，对于n>3，得到T。
行多项式：n*滞后（n，3-n，-x）=x^（n-3）*3*滞后（3，n-3，-x）=
（3！/（3-n）！）*K（-n，3-n+1，-x），其中K是Kummer的合流超几何函数（当c趋于零时，n+c的极限）。
操作上，n！滞后（n，3-n，-：xD:）=x^（n-3）*：Dx:^n*x^*二项式（xD+3，n）=n*二项式（3，n）*K（-n，3-n+1，-：xD:）其中：对于任意两个运算符，AB:^n=A^n*B^n。
第n行多项式：n*和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*滞后（k，3，-x）-彼得·巴拉2021年7月25日
例子
三角形开始：
1;
3, 1;
6, 6, 1;
6, 18, 9, 1;
0, 24, 36, 12, 1;
0, 0, 60, 60, 15, 1;
...
数学
表[二项式[3，n-k]n！/k！，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(*文森佐·利班迪2017年7月28日*）
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=二项式（3，n-k）*n/k！
tabl（nn）=用于（n=0，nn，用于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印）\\米歇尔·马库斯2017年7月28日
（PARI）行（n）=Vecrev（n！*pollaguerre（n，3-n，-x））\\米歇尔·马库斯2021年2月6日
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（3，n-k）*阶乘（n）/阶乘（k）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2017年7月28日
交叉参考
....................................
第0行：1
第n行：n*滞后（n，3-n，-x）
....................................
....................................
第n行：x^（n-3）*3*滞后（3，n-3，-x）
....................................
第一：x^（-2）*3！滞后（3，-2，-x）=cf.x^（-2）*[x^2*A062139号（1，k，x）]
第二：x^（-1）*3！滞后（3，-1，-x）=x^（-1）*A111596号（3，k，-x）
第三：x^0*3！滞后（3,0，-x）=x^0*A021009型（3，k，-x）
第四名：x^1*3！滞后（3,1，-x）=x^1*A105278号（3，k，x）
第六名：x^3*3！滞后（3,3，-x）=x^3*A062137号（3，k，-x）
搜索在0.033秒内完成
| 