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| A105278号 |
| 行读取三角形：T（n，k）=二项式（n，k）*（n-1）/（k-1）！。 |
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44
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1, 2, 1, 6, 6, 1, 24, 36, 12, 1, 120, 240, 120, 20, 1, 720, 1800, 1200, 300, 30, 1, 5040, 15120, 12600, 4200, 630, 42, 1, 40320, 141120, 141120, 58800, 11760, 1176, 56, 1, 362880, 1451520, 1693440, 846720, 211680, 28224, 2016, 72, 1, 3628800, 16329600
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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T（n，k）是完全由k链组成的n个元素上的部分有序集（偏序集）的数量。例如，T（4,3）=12，因为{a，b，c，d}上正好有12个偏序集，它们完全由3条链组成。让ab表示a≤b，并使用斜线“/”分隔链，12个偏序集可以由a/b/cd、a/b/dc、a/c/bd、a/c/db、a/d/bc、a/d/cb、b/c/ad、b/c/da、b/d/ac、b/d/ca、c/d/ab和c/d/ba给出，其中链的列表是任意的（例如，a/b/cd=a/cd/b=…cd/b/a）-丹尼斯·沃尔什2007年2月22日
矩阵乘积|S1|。两种斯特林数的S2。
这个Lah三角形是Jabotinsky型的下三角矩阵。参见中给出的列e.g.f.和D.e.Knuth参考A008297号. -沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
三种组合解释：T（n，k）是（1）将[n]={1，…，n}拆分为k个非空列表集合（“划分为列表集合”）的方法数，（2）将[n]拆分为n+1-k个非交叉非空集有序集合（“拆分为非交叉集列表”）的方式数，（3）带有标记为1,2，…，的n+1-k峰值的Dyck n路径数，。。。，n+1-k的顺序-大卫·卡兰2008年7月25日
给定A（n，k）=T（n，k）*A（n-k）和B（n，k）=T（n，k）*B（n-k）的矩阵A和B，则A*B=D，其中D（n，k）=T（n，k）*[A（.）+B（.）]^（n-k），本影-汤姆·科普兰2008年8月21日
例如，对于A（n，k）=T（n，k）*A（n-k）的行多项式，f.是exp[A（.）*D_x*x^2]exp（x*T）=exp（x*T）exp[（.）！*Lag（.，-x*T，1）*A！Lag（n，x，1）是一个1阶规范化拉盖尔多项式-汤姆·科普兰2008年8月29日
f=1/（1-x）的第二类Bell多项式的系数三角形。B（n，k）{x1，x2，x3，…}=B（n、k）{1/（1-x）^2，…，（j-1）！/（1-x-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年3月4日
行和列偏移量为0的三角形是相对于序列n的广义Riordan数组（exp（x），x）*（n+1）！由Wang和Wang定义（广义Riordan数组（exp（x），x）关于序列n！是帕斯卡三角形A007318号关于序列n^2是A021009型未签名）-彼得·巴拉，2013年8月15日
关于QCD中回路积分的关系，请参见Gopakumar和Gross以及Blaizot和Nowak的第33页-汤姆·科普兰2016年1月18日
同时还计算了n维Shi排列的k维平面数-舒黑楚杰2019年4月26日
当展开上升阶乘（x）^k=x（x+1）时，数字T（n，k）显示为系数。。。（x+k-1）在下降阶乘（x）_k=x（x-1）的基础上。。。（x-k+1）。具体来说，（x）^n=Sum_{k=1..n}T（n，k）（x）_k-杰里米·马丁2021年4月21日
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
J-P.Blaizot和M.Nowak，大N_c约束和湍流，arXiv:0801.1859[hep-th]，2008年。
David Callan，集合、列表和非交叉分区，arXiv:0711.4841[math.CO]，2007-2008年。
R.Gopakumar和D.Gross，掌握主字段，arXiv:hep-th/94110211994年。
D.E.Knuth，卷积多项式《数学杂志》，第2卷（1992年），第67-78页。
Kornelia Ufniarz和Grzegorz Siudem，正则系综的组合起源，arXiv:2008.00244[math-ph]，2020年。
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配方奶粉
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T（n，k）=Sum_{m=n..k}|S1（n，m）|*S2（m，k），k>=n>=1，其中斯特灵三角形S2（n，m）：=A048993号和S1（n，m）：=A048994号.
T（n，k）=C（n，k）*（n-1）/（k-1）！。
n*Sum_{k=1..n}T（n，k）=A103194号（n） =和{k=1..n}T（n，k）*k^2。
例如，第k列：（x^（k-1）/（1-x）^（k+1））/（k-1）！，k> =1。
Sheffer（此处为Jabotinsky）a序列[1,1,0，…]的递归（请参阅下面的W.Lang链接A006232号)：T（n，k）=（n/k）*T（n-1，m-1）+n*T（n-1，m）-沃尔夫迪特·朗，2007年6月29日
例如f.在本影上是exp[（.）！*L（.，-t，1）*x]=exp[t*x/（1-x）]/（1-x）^2，其中L（n，t，1）=和{k=0..n}t（n+1，k+1）*（-t）^k=和{k=0..n}二项式！是关联的1阶拉盖尔多项式-汤姆·科普兰2007年11月17日
对于这个Lah三角形，第n行多项式由下式给出
不！C（B.（x）+1+n，n）=（-1）^n C（-B.（x）-2，n），其中C（x，n）=x/（n！（x-n）！），
二项式系数，以及B_n（x）=exp（-x）（xd/dx）^n exp（x。A008277号). 例如。，
2! C（-B（-x）-2,2）=（-B。（x）-2）（-B.（x）-3）=B_2（x）+5*B_1（x）+6=6+6x+x^2。
不！C（B（x）+1+n，n）=n！e^（-x）和{j>=0}C（j+1+n，n）x^j/j！是对应的Dobinski关系。请参见Copeland链接以了解与反向Mellin变换的关系-汤姆·科普兰2011年11月21日
设E（x）=Sum_{n>=0}x^n/（n！*（n+1）！）。那么生成函数是exp（t）*E（x*t）=1+（2+x）*t+（6+6*x+x^2）*t^2/（2！*3！）+（24+36*x+12*x^2+x^3）*t*3/（3！*4！）+-彼得·巴拉2013年8月15日
P_n（x）=L_n（1+x）=n*滞后n（-（1+x）；1） ，其中P_n（x）是的行多项式A059110型; L_n（x），的Lah多项式A105278号; 和Lag_n（x；1），即一阶Laguerre多项式。这些关系源自迭代运算符（x^2D）^n和（（1+x）^2D，^n与D=D/dx之间的关系-汤姆·科普兰2018年7月23日
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例子
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T（1.1）=C（1,1）*0/0! = 1,
T（2.1）=C（2.1）*1/0! = 2,
T（2.2）=C（2.2）*1/1! = 1,
T（3.1）=C（3.1）*2/0！=6,
T（3.2）=C（3.2）*2/1! = 6,
T（3.3）=C（3.3）*2/2! = 1,
Sheffer a序列递推：T（6,2）=1800=（6/3）*120+6*240。
B（n，k）=
1/（1-x）^2；
2/（1-x）^3，1/（1-x）^4；
6/（1-x）^4，6/（1-x）^5，1/（1-x）^6；
24/（1-x）^5，36/；
三角形T（n，k）开始于：
n\k 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
1: 1
2: 2 1
3：6 6 1
4: 24 36 12 1
5: 120 240 120 20 1
6: 720 1800 1200 300 30 1
7: 5040 15120 12600 4200 630 42 1
8: 40320 141120 141120 58800 11760 1176 56 1
9: 362880 1451520 1693440 846720 211680 28224 2016 72 1
...
第n=10:[3628800、16329600、21772800、12700800、3810240、635040、60480、3240、90、1]行-沃尔夫迪特·朗2013年2月1日
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MAPLE公司
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三角形：对于从1到13的n做序列（二项式（n，k）*（n-1）/（k-1）！，k=1…n）od；
序列：seq（seq（二项式（n，k）*（n-1）/（k-1）！，k=1..n），n=1..13）；
#将（1，0，0，…）添加为列0。
BellMatrix（n->（n+1）！，9); #彼得·卢什尼2016年1月27日
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数学
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nn=9；a=x/（1-x）；f[list_]：=选择[list，#>0&]；压扁[Map[f，Drop[Range[0，nn]！系数列表[Series[Exp[ya]，{x，0，nn}]，{x，y}]，1]](*杰弗里·克雷策2011年12月11日*）
nn=9；扁平[表[（j-k）！二项式[j，k]二项式[j-1，k-1]，{j，nn}，{k，j}]](*简·曼加尔丹2013年3月15日*）
行=10；
t=范围[行]！；
T[n_，k_]：=腹部[n，k，T]；
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a105278 n k=a105278_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a105278_row n=a105278-tabl！！（n-1）
a105278_tabl=[1]：f[1]2其中
f xs i=ys:f ys（i+1）其中
ys=zipWith（+）（[0]++xs）（zipWith（*）[i，i+1..]（xs++[0]））
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（n，k）*阶乘（n-1）/阶乘（k-1）：k in[1..n]]：n in[1..15]]//文森佐·利班迪2014年10月31日
（Perl）使用理论“：all”；说join“，”，map{my$n=$_；map{stirling（$n，$_，3）}1..$n；}1..9; #达娜·雅各布森2017年3月16日
（GAP）平面（列表（[1..10]，n->列表（[1.n]，k->二项式（n，k）*阶乘（n-1）/阶乘（k-1）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月25日
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交叉参考
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作者
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经核准的
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