搜索: 编号:a000166
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A000166号
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| 次阶乘或伦次数,或错位:n个元素没有固定点的排列数。 (原名M1937 N0766)
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+0 517
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1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, 32071101049, 481066515734, 7697064251745, 130850092279664, 2355301661033953, 44750731559645106, 895014631192902121, 18795307255050944540, 413496759611120779881, 9510425471055777937262
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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欧拉不仅给出了序列的前十项左右,还证明了a(n)=(n-1)*(a(n-1”+a(n-2))和a(n。
a(n)是矩阵的永久值,对角线上为0,其他地方为1尤瓦尔·德克尔,2003年11月1日
a(n)是长度n的脱位数。长度n的脱位是{1,2,…,n}的置换p,其中p的所有上升中最小的是偶数(如果没有上升,则取n)。例如:a(3)=2,因为我们有213和312(i=2时的最小上升)。见J.Désarménien链接和Bona参考(第118页)-Emeric Deutsch公司,2007年12月28日
a(n)是高度为n并且在最后一列中具有偶数个单元的deco-polyominoe的数目。deco-polyomino是一种有向柱凸多面体,其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得-Emeric Deutsch公司2007年12月28日
归因于尼古拉斯·伯努利(Nicholas Bernoulli)提出的概率问题。见大卫·M·伯顿(David M.Burton)第6版《数学史》第494页第15题-穆罕默德·阿扎里安2008年2月25日
a(n)是{1,2,…,n}与p(1)=1并且在连续位置没有从右到左的最小值。例如a(3)=2,因为我们有231和321-Emeric Deutsch公司2008年3月12日
a(n)是{1,2,…,n}与p(n)!=的置换数pn并且在连续位置上没有从左到右的最大值。例如a(3)=2,因为我们有312和321-Emeric Deutsch公司2008年3月12日
完备图K_n的布尔复数同伦型中楔形(n-1)-球的个数-布里吉特·坦纳2008年6月4日
序列中唯一的质数是2霍华德·伯曼(Howard_Berman(AT)hotmail.com),2008年11月8日
a(n)是{1,2,…,n}正好有一个小上升的排列数。置换(p_1,p_2,…,p_n)中的小上升是位置i,使得p_{i+1}-p_i=1。(例如:a(3)=2,因为我们有312和231;见查拉兰比德斯参考文献,第176-180页。)(另见大卫、肯德尔和巴顿,第263页-N.J.A.斯隆2014年4月11日]
a(n)是{1,2,…,n}正好有一个小下降的排列数。置换(p_1,p_2,…,p_n)中的一个小下降是位置i,使得p_i-p_{i+1}=1。(例如:a(3)=2,因为我们有132和213。)(结束)
a(n)是长度n-1的所有非错位的最大不动点的值之和。例如:a(4)=9,因为长度3的非错位分别为123、132、213和321,具有最大的不动点3、1、3和2。
a(n)是长度n+1的非错位数,其中最大和最小不动点之间的差值为2。例如:a(3)=2,因为我们有1’43’2和32’14’;a(4)=9,因为我们有1'23'54、1'43'52、1'53'24、52'34'1、52'14'3、32'54'1、213'45'、243'15'和413'25'(标记了极端不动点)。
(结束)
a(n),n>=1,也是带有n个珠子的无序项链的数量,标记从1到n不等,其中每条项链有>=2个珠子。这就产生了M2多项式公式,其中包含了不包含以下第1部分的分区。由于M2(p)计算分区p给出的具有循环结构的排列,因此该公式给出了没有不动点(没有1个循环)的排列数,即错位,从而得到子因子及其递推关系和输入。假设每条没有珠子的项链在计数中有一个因子1,因此a(0)=1。这一评论来源于Malin Sjodahl发现的一系列关于某些夸克和胶子图的组合问题的重复出现(2010年2月27日)-沃尔夫迪特·朗2010年6月1日
a(n)是{1,2,…,n,n+1}的排列数,从1开始,没有序列。置换(p_1,p_2,…,p_n)中的序列是这样的位置i,即p_{i+1}-p_i=1。例如:a(3)=2,因为我们有1324和1432。
a(n)是{1,2,…,n}的排列数,这些排列不以1开头并且没有序列。置换(p_1,p_2,…,p_n)中的序列是这样的位置i,即p_{i+1}-p_i=1。例如:a(3)=2,因为我们有213和321。
(结束)
增加有色1-2棵树,为最右边的非叶分支选择两种颜色,除了最左边的路径上,最左边的道路上没有超度数为1的顶点-文锦Woan2011年5月23日
a(n)是n人博弈中的最大完全混合纳什均衡数,每个博弈有2个纯期权-雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日
n维置换面体的子多面体的内部晶格点的数目,其顶点对应于避开132和312的置换-罗伯特·戴维斯2016年10月5日
考虑n个半径不同的圆,其中每个圆要么放在某个较大的圆内,要么包含一个较小的圆(不允许有公共点)。然后a(n)给出了此类组合的数量-安东·扎哈罗夫2016年10月12日
将具有子串n1但在{12,23,…,(n-1)n}中没有子串的[n]的置换称为d_n1。如果我们根据它们的起始数字对它们进行划分,我们将得到(n-1)个大小相等的类A000166号(n-2)(以数字1开头的类是空的,因为我们必须有子串n1)。因此d_n1=(n-1)*A000166号(n-2)和A000166号(n-2)是dn1中每个非空类的大小。例如,d_71=6*44=264,因此d_71中有264个排列分布在6个非空大小类中A000166号(5) = 44. (要从更基本的排列递归获得d_n1中的排列,请参阅下面的链接“禁止模式”。)-恩里克·纳瓦雷特,2017年1月15日
此外,还包括n冠图中的最大匹配数和最小边覆盖数-埃里克·韦斯特因2017年6月14日和12月24日
取模为正整数k的序列a(n)是周期的,当k为偶数时,精确周期除以k,当k是奇数时,周期除以2*k。这源于所有n和k的同余a(n+k)=(-1)^k*a-彼得·巴拉2017年11月21日
a(n)是一个有n个顶点的有向无自循环图(不一定连通)的不同可能解的数目,每个顶点的进出度正好为1-帕特里克·霍洛帕宁2018年9月18日
如M.Wachs和V.Reiner所注意到的,a(n)是n个对象集合(在大小为n!的向量空间中)上的随机到顶部和随机到随机洗牌算子的核的维数。请参阅下面的Reiner、Saliola和Welker参考-纳迪亚·拉弗雷尼埃,2019年7月18日
a(n)是与n个参与者进行秘密圣诞老人礼物交换的不同排列的数量-帕特里克·霍洛帕宁2019年12月30日
a(2*n+1)是偶数。更一般地说,a(m*n+1)可以被m*n整除,它是从a(n+1)=n*(a(n)+a(n-1))=n*A000255号(n-1)对于n>=1。a(2*n)是奇数;事实上,a(2*n)==1(mod 8)。其他可除性属性包括a(6*n)==1(mod 24)、a(9*n+4)==a(9*n+7)==0(mod 9)、b(10*n)==1(mod 40)、a-彼得·巴拉2022年4月5日
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参考文献
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配方奶粉
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a(n)+A003048号(n+1)=2*n!.-D.G.Rogers,2006年8月26日
a(n)={(n-1)!/exp(1)},n>1,其中{x}是最近的整数函数-西蒙·普劳夫,1993年3月[使用偏移量1,偏移量为0的版本见下文-查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月25日]
当n>0时,a(0)=1,a(n)=圆形(n!/e)=地板(n!/e+1/2)。
a(n)=n*求和{k=0..n}(-1)^k/k!。
D-有限,递归a(n)=(n-1)*(a(n-1)+a(n-2)),n>0。
a(n)=n*a(n-1)+(-1)^n。
例如:exp(-x)/(1-x)。
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)*(-1)^(n-k)*k!=求和{k=0..n}(-1)^(n-k)*n/(n-k)-保罗·巴里2004年8月26日
例如,f.y(x)满足y'=x*y/(1-x)。
在Maple记数法中,表示为[-1,无穷大]上正函数的n阶矩:a(n)=int(x^n*exp(-x-1),x=-1..无穷大),n=0,1。a(n)是函数exp(-1-x)*Heaviside(x+1)的汉堡矩-卡罗尔·彭森2005年1月21日
a(n)=积分{x=0..oo}(x-1)^n*exp(-x)dx-杰拉尔德·麦加维2006年10月14日
a(n)=n/e+(-1)^n*(1/(n+2-1/(n+3-2/(n+4-3/(n+5-…))))。渐近结果(Ramanujan):(-1)^n*(a(n)-n/e) ~1/n-2/n^2+5/n^3-15/n^4+。。。,其中序列[1,2,5,15,…]是贝尔数的序列A000110号. -彼得·巴拉2008年7月14日
威廉·沃恩(William Vaughn)(沃恩(AT)cvs.rochester.edu),2009年4月13日:(开始)
a(n)=积分{p=0..1}(对数(1/(1-p))-1)^n dp。
证明:使用代换1=log(e)和y=e(1-p),上述积分可以转换为(-1)^n/e)积分{y=0..e}(log(y))^ndy。
从CRC积分表中,我们发现(log(y))^n的反导数是(-1)^n!求和{k=0..n}(-1)^ky(log(y))^k/k!。
利用e(log(e))^r=e对于任何r>=0,以及0(log求和{k=0..n}(-1)^k/k!,这是公式部分的第9行。(结束)
a(n)=exp(-1)*Gamma(n+1,-1)(不完整的Gamma函数)-马克·范·霍伊2009年11月11日
通用公式:1/(1-x^2/(1-2x-4x^2/-(1-4x-9x^2//(1-6x-16x^2/(1-8x-25x^2/.(1-……(连分数))-保罗·巴里2009年11月27日
a(n)=Pano1(n)}M2(p)中的和{p,n>=1,其中Pano1。对于没有第1部分的分区,请参见下面给出的特征数组A145573号Abramowitz-Stegun(A-S)订单A002865号(n) 此类分区的总数。数组按A-St顺序给出每个分区的M2编号A036039美元. -沃尔夫迪特·朗2010年6月1日
a(n)=((-1)^n)*(n-1)*超几何([-n+2,2],[],1),n>=1;n=0时为1-沃尔夫迪特·朗2010年8月16日
a(n)=(-1)^n*超几何([-n,1],[],1),n>=1;n=0时为1。根据二项式卷积,例如f-沃尔夫迪特·朗2010年8月26日
积分{x=0..1}x^n*exp(x)=(-1)^n*(a(n)*e-n!)。
O.g.f.:求和{n>=0}n^n*x^n/(1+(n+1)*x)^(n+1-保罗·D·汉纳2011年10月6日
G.f.:超几何([1,1],[],x/(x+1))/(x+1)-马克·范·霍伊2011年11月7日
连续分数:
一般来说,例如f.(1+a*x)/exp(b*x)=U(0),其中U(k)=1+a*x/(1-b/(b-a*(k+1)/U(k+1)))。对于a=-1,b=-1:exp(-x)/(1-x)=1/U(0)。
例如:(1-x/(U(0)+x))/(1-x),其中U(k)=k+1-x+(k+1)*x/U(k+1。
例如:1/Q(0),其中Q(k)=1-x/(1-1/(1-(k+1)/Q(k+1。
G.f.:1/U(0),其中U(k)=1+x-x*(k+1)/(1-x*(k+1)/U(k+1))。
G.f.:Q(0)/(1+x),其中Q(k)=1+(2*k+1)*x/((1+x)-2*x*(1+x*)*(k+1)/(2*x*。
G.f.:1/Q(0),其中Q(k)=1-2*k*x-x ^2*(k+1)^2/Q(k+1)。
G.f.:T(0),其中T(k)=1-x^2*(k+1)^2/。(结束)
如果n>=0,则0=a(n)*(a(n+1)+a(n+2)-a(n+3))+a-迈克尔·索莫斯2014年1月25日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*(k+x)^k*(k+x+1)^-彼得·巴拉2017年2月19日
a(n)=求和{j=0..n}求和{k=0..nneneneep二项式(-j-1,-n-1)*abs(斯特林1(j,k))。
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*Pochhammer(n-k+1,k)(比照。A008279号). (结束)
a(n)=n!-和{j=0..n-1}二项式(n,j)*a(j)-阿洛伊斯·海因茨2019年1月23日
a(n)=KummerU(-n,-n,-1)-彼得·卢什尼2022年5月10日
a(n)=(-1)^n*Sum_{k=0..n}Bell(k)*Stirling1(n+1,k+1)-梅利卡·特布尼2022年7月5日
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例子
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a(2)=1,a(3)=2和a(4)=9,因为可能性是{BA},{BCA,CAB}和{BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA}-亨利·博托姆利2001年1月17日
完备图K_4的布尔复数是同伦等价于9个3-球面的楔形。
n=6时的项链问题:没有第1部分的分区和n=6的M2编号:有A002865号(6) =4个这样的分区,即A-St顺序的(6)、(2,4)、(3^2)和(2^3),M2编号为5!,分别为90、40和15,加起来等于265=a(6)。这对应于一条有6颗珠子的项链,两条分别有2颗和4颗珠子的项链,两条各有3颗珠子的项链和三条各有2颗珠子的项链-沃尔夫迪特·朗2010年6月1日
G.f.=1+x^2+9*x^3+44*x^4+265*x^5+1854*x^6+14833*x^7+133496*x^8+。。。
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MAPLE公司
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A000166号:=proc(n)选项记住;如果n<=1,则1-n其他(n-1)*(进程名(n-1,+进程名(n-2));fi;结束;
a: =n->n*总和((-1)^k/k!,k=0..n):序列(a(n),n=0..21)#零入侵拉霍斯2007年5月17日
ZL1:=[S,{S=Set(Cycle(Z,card>1))},标记]:seq(计数(ZL1,大小=n),n=0..21)#零入侵拉霍斯2007年9月26日
使用(combstruct):a:=proc(m)[ZL,{ZL=Set(Cycle(Z,card>=m))},标记];结束时间:A000166号:=a(2):seq(计数(A000166号,尺寸=n),n=0..21)#零入侵拉霍斯2007年10月2日
Z:=(x,m)->m^2*总和(x^j/(m-j)^2) ,j=0..m):R:=(x,n,m)->Z(x,m)^n:f:=(t,n,m)->总和(系数(R(x,n,m),x,j)*(t-1)^j*(n*m-j)!,j=0..n*m):序列(f(0,n,1),n=0..21)#零入侵拉霍斯2008年1月22日
a: =proc(n)如果`mod`(n,2)=1,那么求和(2*k*阶乘(n)/阶乘(2*k+1),k=1..楼((1/2)*n))其他1+求和(2*k*阶乘(n#Emeric Deutsch公司2008年2月23日
G(x):=2*exp(-x)/(1-x):f[0]:=G(x#零入侵拉霍斯2009年4月3日
seq(简化(KummerU(-n,-n,-1)),n=0..23)#彼得·卢什尼2022年5月10日
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数学
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a[0]=1;a[n]:=n*a[n-1]+(-1)^n;a/@范围[0,21](*罗伯特·威尔逊v*)
a[0]=1;a[1]=0;a[n_]:=圆形[n!/E]/;n>=1(*迈克尔·塔克提科斯2006年5月26日*)
范围[0,20]!系数列表[级数[Exp[-x]/(1-x),{x,0,20}],x]
dr[{n,a1,a2}]:={n+1,a2,n(a1+a2)};转座[NestList[dr,{0,0,1},30]][[3]](*哈维·P·戴尔2013年2月23日*)
a[n]:=(-1)^n超几何PFQ[{-n,1},{},1];(*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*)
a[n_]:=n!序列系数[Exp[-x]/(1-x),{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*)
递归表[{a[n]==n*a[n-1]+(-1)^n,a[0]==1},a,{n,0,23}](*雷·钱德勒2015年7月30日*)
nxt[{n,a}]:={n+1,a(n+1)+(-1)^(n+1;嵌套列表[nxt,{0,1},25][[全部,2]](*哈维·P·戴尔2019年6月1日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<1,1,n*a(n-1)+(-1)^n)}/*迈克尔·索莫斯2003年3月24日*/
(PARI){a(n)=n!*polceoff(exp(-x+x*O(x^n))/(1-x),n)}/*迈克尔·索莫斯2003年3月24日*/
(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,m^m*x^m/(1+(m+1)*x+x*O(x^n))^(m+1)),n)}/*保罗·D·汉纳*/
(PARI)a(n)=如果(n,四舍五入(n!/exp(1)),1)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月17日
(Python)请参阅Hobson链接。
(最大值)
s[0]:1$
s[n]:=n*s[n-1]+(-1)^n$
(哈斯克尔)
a000166 n=a000166_列表!!n个
a000166_list=1:0:zipWith(*)[1..]
(zipWith(+)a000166_list$tail a000166_列表)
(Python)
对于范围(10*2)内的n:
x、 m=x*n+m,-m
(岩浆)I:=[0,1];[1] cat[n le 2 select I[n]else(n-1)*(Self(n-1//文森佐·利班迪2016年1月7日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000142号,A002467号,A003221号,A000522号,A000240型,A000387号,A000449号,A000475号,A129135号,A092582号,A000255号,A002469号,A159610型,A068985号,A068996号,A047865号,A038205号,A008279号,A281682型.
囊性纤维变性。A101560号,A101559号,A000110号,A101033号,A101032号,A000204号,A100492号,A099731型,A000045号,A094216号,A094638号,A000108号.
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关键词
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核心,非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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经核准的
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