A006351-出口

抵消

1,2

有关与系列还原根树、n的分区以及其他组合结构中的系统发育树的简单关系，请参阅中的注释A000311号. -汤姆·科普兰2021年1月6日

参考文献

Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第417页。

P.A.MacMahon，《轭列和多部分组成与被称为“树”的分析形式的联系》，Proc。伦敦数学。《社会学》第22卷（1891年），330-346页；在Coll.重印。论文一，第600-616页。第333页给出A000084号= 2*A000669号.

P.A.MacMahon，《电阻的组合》，《电工》，28（1892），601-602；在Coll.重印。论文一，第617-619页。

J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第142页。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题5.40（a），S（x）。

链接

阿洛伊斯·海因茨，n=1..200时的n，a（n）表

F.Bergeron、Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。

维罗妮卡·比托蒂（Veronica Bitonti）、主教黛布（Bishal Deb）和阿兰·索卡尔（Alan D.Sokal），几类增树的王冠型连分数（T分数），arXiv:2412.10214[math.CO]，2024。见第58页。

彼得·卡梅隆，计算两个与树相关的图《电气杂志》，第2卷，#R4。[来自阿伦·梅耶洛维茨2010年9月30日]

弗雷德里克·查波顿（Frédéric Chapoton）、弗洛伦特·希弗特（Florent Hivert）和珍妮·克里斯托普·诺维利（Jean-Christophe Novelli），形式分数和树状子运算的集合运算，arXiv预印本arXiv:1307.0092[math.CO]，2013

Diego Dominici，嵌套导数：计算反函数级数展开式的简单方法，arXiv:math/0501052[math.CA]，2005年。

布莱恩·德雷克，标记树的一个反演定理和格路径下面积的一些极限（示例1.5.1），博士论文，布兰迪斯大学，2008年。

史蒂文·芬奇，串并联网络

史蒂文·芬奇，串并联网络2003年7月7日。[经作者许可，缓存副本]

史蒂文·芬奇，数学常数II《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018年。

ISCGI、，Cograph图

宋河、费腾、张勇，弦相关器：递归展开、逐部积分和散射方程，arXiv:1907.06041[hep-th]，2019年。也在中高能物理杂志(2019), 2019:85.

Walter Knödel，尤伯·泽福伦根莫纳什。数学。, 55 (1951), 20-27.

弗拉基米尔·克鲁奇宁，求逆生成函数系数表达式的方法，arXiv:121.3244[math.CO]，2012年。

Z.A.Lomnicki，双端串并联网络，高级申请。探针。, 4 (1972), 109-150.

迈克尔·莫菲特，拓扑网络优化的搜索策略《AAAI人工智能会议论文集》，36（9）（2022），10299-10308。

John W.Moon，串并联网络的一些计数结果《离散数学年鉴》。，33（1987），199-226（例如U（x））。

N.J.A.斯隆，变换

序列反转的索引项

《月球》（1987）中提到的序列索引条目

与树相关的序列的索引项[来自阿伦·梅耶洛维茨2010年9月30日]

配方奶粉

对于n>=2，A006351号（n） =2*A000311号（n）=A005640号（n） /2^n.行和A140945号.

例如，f.是2*log（1+x）-x的反转。

也是指数变换A000311号，用1+总和b_nx^n/n定义b！=exp（1+总和a_n x ^n/n！）。

例如：A（x），B（x）=x*A（x。 -弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年1月18日

发件人彼得·巴拉2011年9月5日：（开始）

生成函数A（x）满足自治微分方程A’（x）=（1+A）/（1-A），其中A（0）=0。因此，反函数A^-1（x）=int{t=0..x}（1-t）/（1+t）=2*log（1+x）-x产生A（x）=-1-2*W（-1/2*exp（（x-1）/2）），其中W是Lambert W函数。

A（x）的展开式可以通过使用[Dominici，定理4.1]的方法对上述积分进行反演来获得结果A（n）=D^（n-1）（1），该结果在x=0时进行计算，其中D表示算子g（x）->D/dx（（1+x）/（1-x）*g（x。与进行比较A032188号.

将[Bergeron等人，定理1]应用于结果x=int{t=0..A（x）}1/phi（t），其中phi（t）=（1+t）/（1-t）=1+2*t+2*t^2+2*t*t^3+。..，给出了该序列的以下组合解释：a（n）给出了n个顶点上平面递增树的数量，其中，超出度k>=1的每个顶点可以是2种颜色中的一种。下面给出了一个示例。（结束）

A134991号给出（b.+c.）^n=0^n，对于（b_n）=A000311号（n+1）和（c0）=1，（c1）=-1，和（cn）=-2*A000311号（n） =-A006351号（n）否则。例如，本影，（b.+c.）^2=b_2*c_0+2b_1*c_1+b_0*c_2=0。 -汤姆·科普兰2011年10月19日

G.f.：1/S（0），其中S（k）=1-x*（k+1）-x*；（续分数）。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月18日

a（n）=（n-1）！*求和（k=1..n-1，C（n+k-1，n-1）*求和（j=1..k，（-1）^（j）*C（k，j）*sum（l=0..j，（C（j，l）*（j-l）！*2^（j-l）*（-1）^l*搅拌1（n-l+j-1，j-l））/（n-l+j-1）！))))，n>1，a（1）=1。 -弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年1月24日

例如：A（x）=exp（B（x））-1，其中B（xA000311号. -弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年9月25日

a（n）=总和{k=0..n-1}A201637号（n-1，k）*2^（n-k-1）。 -彼得·卢什尼2012年11月16日

G.f.：-1+2/Q（0），其中Q（k）=1-k*x-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月1日

a（n）~sqrt（2）*n^（n-1）/（2*log（2）-1）^（n1/2）*exp（n））。 -瓦茨拉夫·科特索维奇2013年7月17日

G.f.：Q（0）/（1-x），其中Q（k）=1-x*（k+1）/；（续分数）。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月10日

a（1）=1；a（n）=a（n-1）+和{k=1..n-1}二项式（n-1，k）*a（k）*a（n-k）。 -伊利亚·古特科夫斯基2020年8月28日

猜想：a（n）=A379459型（n-2,0）=A379460型（n-1,0），对于n>1，a（1）=1。 -米哈伊尔·库尔科夫2025年1月16日

例子

D^3（1）=（12*x^2+56*x+52）/（x-1）^6。在x=0时计算得出a（4）=52。

a（3）=8:在3个顶点上的8个可能增加的平面树，其超度数k>=1的顶点有2种颜色，B或W，如下所示

.......................................................

.1B..1B段。.1瓦..1瓦。….1亿。……1瓦。…….1亿。……1W。...

.|...|...|...|...../.\....../..\....../..\....../..\...

.2B..2瓦。.2B..2瓦。..2...3....2....3....3....2....3....2..

.|...|...|...|.........................................

.3...3...3...3.........................................

G.f.=x+2*x^2+8*x^3+52*x^4+472*x^5+5504*x^6+78416*x^7+。..

MAPLE公司

读取转换；t1:=2*ln（1+x）-x；t2：=系列（t1，x，10）；t3:=系列（t2，‘revogf’）；t4：=系列结石（%）；

#N表示所有串并联网络，S=串联网络，P=并联网络；

规范：=[N，N=并集（Z，S，P），S=集（并集（Z,P），卡>=2），P=集（联合（Z，S），卡>=2）}，标记]：A006351号：=n->combstruct[count]（规范，大小=n）；

A006351元：=n->加（组合[eulerin2]（n-1，k）*2^（n-k-1），k=0..n-1）：

序列(A006351号（n），n=1..18）； #彼得·卢什尼2012年11月16日

数学

最大值=18；f[x_]：=2*对数[1+x]-x；Rest[CoefficientList[Inverse Series[Series[f[x]，{x，0，max}]，x]，x]]*Range[max]！ (*Jean-François Alcover公司2011年11月25日*）

黄体脂酮素

（最大值）a（n）：=如果n=1，则1其他（（n-1）！*和（二项式（n+k-1，n-1）*和（（-1）^（j）*二项式！*2^（j-l）*（-1）^l*stirling1（n-l+j-1，j-1））/（n-l+j-1）！，l，0，j），j，1，k），k，1，n-1））； /*弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年1月24日*/

（鼠尾草）#使用[eulerian2来自A201637号]

定义A006351号（n）：返回添加(A201637号（0..n-1）中k的（n-1，k）*2^（n-k-1）

[A006351号（n）对于（1..18）中的n#彼得·卢什尼2012年11月16日

（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（serlaplace（serreverse（2*log（1+x）-1*x））\\乔格·阿恩特2013年5月1日

交叉参考

囊性纤维变性。A000311号,A000084号（对于未标记的情况），A032188号.A140945号.

囊性纤维变性。A133314号,A134991号,A135494号.

上下文中的序列：A007832号 A111088号 A367371型*A300697型 A277499型 A089467号

相邻序列：A006348号 A006349号 A006350型*A006352号 A006353号 A006354号

关键词

非n,容易的,美好的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的