A006351-OEIS公司

A006351号

具有n个标记边的系列平行网络的数量。Cayley和MacMahon也将其称为yoke-chains。
（原名M1885）

1, 2, 8, 52, 472, 5504, 78416, 1320064, 25637824, 564275648, 13879795712, 377332365568, 11234698041088, 363581406419456, 12707452084972544, 477027941930515456, 19142041172838025216, 817675811320888020992, 37044610820729973813248, 1774189422608238694776832 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`1,2`
	评论	`有关与系列还原根树、n的分区以及其他组合结构中的系统发育树的简单关系，请参阅中的注释A000311号. -汤姆·科普兰2021年1月6日`
	参考文献	`Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第417页。` `P.A.MacMahon，《轭列和多部分组成与被称为“树”的分析形式的联系》，Proc。伦敦数学。《社会学》第22卷（1891年），330-346页；在Coll.重印。论文一，第600-616页。第333页给出A000084号= 2*A000669号.` `P.A.MacMahon，《电阻的组合》，《电工》，28（1892），601-602；在Coll.重印。论文一，第617-619页。` `J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第142页。` `N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。` `R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题5.40（a），S（x）。`
	链接	`阿洛伊斯·海因茨，n=1..200时的n，a（n）表` `F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。` `P.J.Cameron，计算两个与树相关的图《电气杂志》，第2卷，#R4。[发件人阿伦·梅耶洛维茨2010年9月30日]` `F.Chapoton、F.Hivert和J.-C.Novelli，形式分数和树状子运算的集合运算，arXiv预印本arXiv:1307.0092[math.CO]，2013` `D.多米尼克，嵌套导数：计算反函数级数展开式的简单方法，arXiv:math/0501052[math.CA]，2005年。` `B.德雷克，标记树的一个反演定理和格路径下面积的一些极限（示例1.5.1），提交给布兰迪斯大学文理研究生院学院的论文。` `S.R.Finch，串并联网络` `S.R.Finch，串并联网络2003年7月7日。[经作者许可，缓存副本]` `史蒂文·R·芬奇，数学常数II，《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018。` `ISCGI、，Cograph图` `宋河、费腾、张勇，弦相关器：递归展开、逐部积分和散射方程，arXiv:1907.06041[hep-th]，2019年。也在中高能物理杂志(2019), 2019:85.` `W.Knoedel，尤伯·泽福伦根莫纳什。数学。，55 (1951), 20-27.` `弗拉基米尔·克鲁奇宁，求逆生成函数系数表达式的方法，arXiv:121.3244[math.CO]，2012年。` `Z.A.Lomnicki，双端串并联网络，高级申请。探针。，4（1972）第109-150页。` `M.D.Moffitt，拓扑网络优化的搜索策略《AAAI人工智能会议论文集》，36（9）（2022），10299-10308。` `J.W.Moon，串并联网络的一些计数结果，《离散数学年鉴》。，33（1987），199-226（例如U（x））。` `N.J.A.斯隆，变换` `序列反转的索引项` `《月球》（1987）中提到的序列索引条目` `与树相关的序列的索引项[发件人阿伦·梅耶洛维茨2010年9月30日]`
	公式	`对于n>=2，A006351号（n） =2A000311号（n）=A005640号（n） /2^n.行和A140945号.` `例如，f.是2log（1+x）-x的反转。` `也是指数变换A000311号，定义b为1+总和b_n x ^n/n！=exp（1+总和a_nx^n/n！）。` `例如：A（x），B（x）=xA（x-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年1月18日` `发件人彼得·巴拉2011年9月5日：（开始）` `母函数A（x）满足A（0）=0的自治微分方程A'（x）=（1+A）/（1-A）。因此，反函数A^-1（x）=int{t=0..x}（1-t）/（1+t）=2log（1+x）-x产生A（x）=-1-2W（-1/2exp（（x-1）/2）），其中W是Lambert W函数。` `A（x）的展开式可以通过使用[Dominici，定理4.1]的方法对上述积分进行反演来获得结果A（n）=D^（n-1）（1），该结果在x=0时进行计算，其中D表示算子g（x）->D/dx（（1+x）/（1-x）g（x。与进行比较A032188号.` `将[Bergeron等人，定理1]应用于结果x=int{t=0..A（x）}1/phi（t），其中phi（t）=（1+t）/（1-t）=1+2t+2t^2+2tt^3+。。。，导致了对序列的以下组合解释：a（n）给出了n个顶点上平面递增树的数量，其中，超出度k>=1的每个顶点可以是2种颜色中的一种。下面给出了一个示例。（结束）` `A134991号给出（b.+c.）^n=0^n，对于（b_n）=A000311号（n+1）和（c_0）=1，（c_1）=-1，和（c_n）=-2A000311号（n） =-A006351号（n）否则。例如，本影，（b.+c.）^2=b_2c_0+2b_1c_1+b_0c_2=0-汤姆·科普兰2011年10月19日` `G.f.：1/S（0），其中S（k）=1-x（k+1）-x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月18日` `a（n）=（n-1）求和（k=1..n-1，C（n+k-1，n-1）求和（j=1..k，（-1）^（j）C（k，j）sum（l=0..j，（C（j，l）（j-l）2^（j-l）（-1）^l斯特林1（n-l+j-1，j-l！））），n> 1，a（1）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年1月24日` `例如：A（x）=exp（B（x））-1，其中B（xA000311号. -弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年9月25日` `a（n）=总和{k=0..n-1}A201637号（n-1，k）2^（n-k-1）-彼得·卢什尼2012年11月16日` `G.f.：-1+2/Q（0），其中Q（k）=1-kx-x（k+1）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月1日` `a（n）~sqrt（2）n^（n-1）/（2log（2）-1）^（n1/2）exp（n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年7月17日` `G.f.：Q（0）/（1-x），其中Q（k）=1-x（k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月10日` `a（1）=1；a（n）=a（n-1）+和{k=1..n-1}二项式（n-1，k）a（k）a（n-k）-伊利亚·古特科夫斯基2020年8月28日`
	例子	`D^3（1）=（12x^2+56x+52）/（x-1）^6。在x=0时计算得出a（4）=52。` `a（3）=8:在3个顶点上的8个可能增加的平面树，其超度数k>=1的顶点有2种颜色，B或W，如下所示` `.......................................................` `.1B..1B。。1瓦。。1瓦。。。。。1B。。。。。。。1瓦。。。。。。。。1B。。。。。。。。1瓦。。。。` `.\|...\|...\|...\|...../.\....../..\....../..\....../..\...` `.2B..2W。。2B。。2瓦。。。2...3....2....3....3....2....3....2..` `.\|...\|...\|...\|.........................................` `.3...3...3...3.........................................` `G.f.=x+2x^2+8x^3+52x^4+472x^5+5504x^6+78416x^7+。。。`
	MAPLE公司	`读取转换；t1:=2ln（1+x）-x；t2：=系列（t1，x，10）；t3:=系列（t2，‘revogf’）；t4：=系列结石（%）；` `#N表示所有串并联网络，S=串联网络，P=并联网络；` `规范：=[N，N=并集（Z，S，P），S=集（并集（Z,P），卡>=2），P=集（联合（Z，S），卡>=2）}，标记]：A006351号：=n->combstruct[count]（规范，大小=n）；` `A006351号：=n->加（组合〔欧拉2〕（n-1，k）2^（n-k-1），k=0..n-1）：` `序列(A006351号（n），n=1..18）#彼得·卢什尼2012年11月16日`
	数学	`最大值=18；f[x_]：=2Log[1+x]-x；Rest[CoefficientList[Inverse Series[Series[f[x]，{x，0，max}]，x]，x]]Range[max]！(Jean-François Alcover公司2011年11月25日）`
	黄体脂酮素	`（最大值）a（n）：=如果n=1，则1其他（（n-1）求和（二项式（n+k-1，n-1）求和（（-1）^（j）二项式（k，j）求和（二项式（j，l）（j-l）2^（j-l）（-1）^l斯特林1（n-l+j-1，j-l！，l、 0，j），j，1，k），k，1，n-1））/弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年1月24日/` `（鼠尾草）#使用[eulerian2来自A201637号]` `定义A006351号（n）：返回添加(A201637号（0..n-1）中k的（n-1，k）2^（n-k-1）` `[A006351号（n）对于（1..18）中的n#彼得·卢什尼2012年11月16日` `（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（serlaplace（serreverse（2log（1+x）-1*x））\\乔格·阿恩特2013年5月1日`
	交叉参考	`参见。A000311号,A000084号（对于未标记的情况），A032188号.A140945号.` `参见。2013年3月14日,A134991号,A135494号.` `上下文中的序列：A007832号 A111088号 A367371型A300697型 A277499型 A089467号` `相邻序列：A006348号 A006349号 A006350型A006352号 A006353号 A006354号`
	关键字	`非n,容易的,美好的`
	作者	`N.J.A.斯隆`
	状态	`经核准的`