显示找到的78个结果中的1-10个。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 9, 10, 11, 12, 16, 13, 17, 14, 18, 15, 19, 20, 21, 22, 24, 32, 23, 25, 33, 26, 34, 27, 28, 35, 36, 29, 37, 30, 38, 40, 31, 39, 41, 42, 43, 44, 48, 64, 45, 49, 65, 46, 50, 66, 47, 51, 52, 67, 68, 53, 69, 54, 56, 70, 72, 55, 57, 71, 73
例子
三角形开始：
0 [0]
1 [1]
2 [2]
3 [3, 4]
4 [5]
5 [6, 8]
6 [7, 9]
7 [10]
8 [11, 12, 16]
9 [13, 17]
10 [14, 18]
11 [15, 19, 20]
12 [21]
1, 2, 4, 3, 6, 9, 5, 7, 12, 17, 8, 10, 14, 22, 25, 13, 11, 15, 27, 30, 38, 21, 16, 19, 28, 40, 43, 59, 34, 18, 20, 33, 41, 46, 67, 64, 55, 26, 23, 35, 48, 51, 77, 72, 98, 89, 29, 24, 36, 49, 61, 85, 80, 101, 106, 144, 42, 31, 44, 56, 62, 95, 93, 132, 114, 153, 233, 47, 32, 45
评论
每个正整数在T中只出现一次；因此a是正整数的置换。第1行由斐波那契数列组成。要从中的数组T'中获取TA094607号，将T’中的每个数字加1，然后将第1行右移一位，并用1填充初始位置。
例子
T的西北角：
1 2 3 5 8
4 6 7 10 11
9 12 14 15 19
17 22 27 28 33
斯特恩双原子级数（或斯特恩-布罗科特序列）：a（0）=0，a（1）=1；当n>0时：a（2*n）=a（n），a（2xn+1）=a（n）+a（n+1）。
（原M0141 N0056）
+10
376
0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 13, 18, 5, 17, 12, 19
评论
也称为fusc（n）[Dijkstra]。
a（n）/a（n+1）只运行了一次所有的约化非负有理数[Stern；Calkin和Wilf]。
如果将术语写入数组：
列0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
第0行：0
第1行：1
第2行：1,2
第3行：1,3,2,3
第4行：1,4,3,5,2,5,3,4
第5行：1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5
第6行：1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,9,7,12,5,13,8,11,10，。。。
...
然后（忽略第0行）第k行的和是3^（k-1），每列是一个算术级数，步骤只不过是原始序列Takashi Tokita（butaneko（AT）fa2.so-net.ne.jp），2003年3月8日
上述观察可以更加精确。设A（n，k），n>=0，0<=k<=2^（n-1）-1，对于k>0，表示上面左对齐数组的第n行和第k列中的条目。
列0、1、2、3、4…的方程式，。。。依次为（忽略第0行）：
1（n>=1），
n（n>=2），
n-1（n＞＝3），
2n-3（n>=3），
n-2（n>=4），
3n-7（n>=4），
...
通常，列k>0由下式给出
A（n，k）=A（k）*n-A156140型（k） 对于n>=上限（log2（k+1））+1，否则为0。
（结束）
a（n）是奇数斯特林数S_2（n+1，2r+1）[Carlitz]的个数。
Moshe Newman证明了分数a（n+1）/a（n+2）可以由前面的分数a（n）/a（n+1）=x乘以1/（2*floor（x）+1-x）生成。也可以使用后继函数f（x）=1/（floor（x）+1-frac（x））。
a（n+1）=n[Finch]中的交替位集数。
如果f（x）=1/（1+楼层（x）-压裂（x）），则f（a（n-1）/a（n））=a（n）/a（n+1），对于n>=1。如果T（x）=-1/x和f（x）=y，则f（T（y））=T（x-迈克尔·索莫斯2006年9月3日
a（n+1）是将n写成2的幂和的方法数，每个幂最多使用两次（n的双曲表示数）[Carlitz；Lind]。
a（n+1）是第n个整数的分区数，可表示为不同的偶数下标Fibonacci数的和(=A054204号（n） ），转化为不同斐波那契数的和[Bicknell-Johnson，定理2.1]。
a（n+1）是奇数二项式（n-k，k）的个数，0<=2*k<=n。[Carlitz]修正为亚历山德罗·德卢卡2014年6月11日
a（2^k）=1。a（3*2^k）=a（2^（k+1）+2^k）=2。a（2^k）=1和a（2qu（k+1））=1之间的项序列是长度为2^k-1的回文，中间是a（2q+2^（k-1））=2。a（2^（k-1）+1）=a（2q-1）=k+1，对于k>1-亚历山大·阿达姆楚克2006年10月10日
这个序列的项似乎是45度斜率的帕斯卡三角形对角线中奇数项的数目哈维尔·托雷斯（adaycalledzero（AT）hotmail.com），2009年8月6日
设M是无限下三角矩阵，每列中的（1，1，1，0，0，0，…）下移两次：
1;
1, 0;
1, 1, 0;
0, 1, 0, 0;
0, 1, 1, 0, 0;
0, 0, 1, 0, 0, 0;
0, 0, 1, 1, 0, 0, 0;
...
a（2*n）=r*a（n），a（2xn+1）=a（n，n）+a（n+1）；r=1-加里·亚当森2010年5月29日
可能是每个对角线的不同条目数A223541型这意味着正好有一个（n+1）数字可以表示为具有x+y=n的nim乘积2^x*2^y-蒂尔曼·彼得斯克2013年3月27日
设f（m，n）是整数n在区间[a（2^（m-1）），a（2*m-1）]中的频率。设phi（n）为Euler的totiten函数(A000010号). 猜想：对于所有整数m，n n<=m f（m，n）=phi（n）-尤拉门迪2014年9月8日
在字母表{-，+}:chf（1）='-'上定义Christoffel单词的序列chf（n）；chf（2*n+0）=否定（chf（n））；chf（2*n+1）=否定（串联（chf（n），chf（n+1）））。那么chf（n）单词的长度为fusc（n）=a（n）；chf（n）单词中“-”符号的数量是c-fusc（n）=A287729号（n） ；chf（n）单词中“+”符号的数量是s-fusc（n）=A287730型（n） ●●●●。请参见以下示例-I.V.塞洛夫2017年6月1日
对于Z中的所有n，序列可以扩展为a（n）=a（-n），a（2*n）=a（n），a-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
以德国数学家莫里茨·亚伯拉罕·斯特恩（Moritz Abraham Stern，1807-1894）命名，有时也以法国钟表匠兼业余数学家阿奇尔·布罗科（Achille Broco，1817-1878）命名-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月6日
参考文献
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链接
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配方奶粉
a（n+1）=（2*k+1）*a（n）-a（n-1），其中k=楼层（a（n-1）/a（n））-大卫·S·纽曼2001年3月4日
设e（n）=A007814号（n） =2除以n的最高幂的指数。然后a（n+1）=（2k+1）*a（n）-a（n-1），n>0，其中k=e（n）。此外，楼层（a（n-1）/a（n））=e（n），与D.Newman公式一致Dragutin Svertan（dsvrtan（AT）math.hr）和Igor Urbiha（Urbiha（AT）数学.hr），2002年1月10日
Calkin和Wilf得出0.9588<=limsup a（n）/n^（log（phi）/log（2））<=1.1709，其中phi是黄金平均值。这个上确界是1吗-贝诺伊特·克洛伊特2004年1月18日。库恩斯和泰勒表示，限制是A246765型= 0.9588... -凯文·莱德2021年1月9日
a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/2）}（二项式（n-k-1，k）mod 2）-保罗·巴里2004年9月13日
a（n）=和{k=0..n-1}（二项式（k，n-k-1）mod 2）-保罗·巴里2005年3月26日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=v^3+2*u*v*w-u^2*w-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，x），A（x^2），A-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.：x*产品{k>=0}（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1）））[卡利茨]。
a（n）=a（n-2）+a（n-1）-2*（a（n-2）mod a（n-1））-迈克留下来2006年11月6日
a（n）=和{k=1..n}k（k，n-k）*a（n-k），其中k（n，k）=1，如果0<=k AND k<=n AND n-k<=2 AND k（n、k）=0 else。（当使用这样的K系数时，K的几个不同参数或K的多个不同定义可能会导致相同的整数序列。例如，如果我们在上述定义中去掉条件K<=n，则我们得出A002083号=Narayana-Zidek-Capell数字。）-托马斯·维德2008年1月13日
a（k+1）*a（2^n-k）-a（k）*a；a（2^n-k）+a（k）=a（2~（n+1）+k）。这两个公式都适用于0≤k≤2^n-1。通用公式：G（z）=a（1）+a（2）*z+a（3）*z^2+…+a（k+1）*z^k+。。。定义f（z）=（1+z+z^2），然后G（z）=lim f（z*f（z^（2^n））*…=（1+z+z^2）*G（z^2Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月11日
a（k+1）*a（2^n-k）-a（k）*aArie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
a（2^n+k）=a（2*n-k）+a（k）（0<=k<=2^n）Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
设g（z）=a（1）+a（2）*z+a（3）*z^2+…+a（k+1）*z^k+。。。，f（z）=1+z+z^2。那么g（z）=lim_{n->infinity}f（z）*f（z^2）*f*f（z^（2^n）），g（z）=f（z）*g（z^2）Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
对于0<=k<=2^n-1，写k=b（0）+2*b（1）+4*b（2）+…+2^（n-1）*b（n-1，其中b（0）、b（1）等为0或1。用条目X（1,1）=X（2,2）=1，X（1,2）=1-b（m），X（2,1）=b（m。设P（n）=X（0）*X（1）**X（n-1）。矩阵P的项是序列的成员：P（1,1）=a（k+1），P（1,2）=aArie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月20日
设f（x）=A030101型（x） ；如果2^n+1<=x<=2^（n+1）且y=2^（n+1）-f（x-1），则a（x）=a（y）Arie Werksma，2008年7月11日
等于曝气[1,1,1,0,0,0，0,0]的无限卷积A000079号-1倍，即[1,1,1,0,0,0-0,0,1,0]*[1,0,10,1,0，0,00,0]*[1,0,0，0，0,1]-Mats Granvik公司和加里·亚当森2009年10月2日；已由更正Mats Granvik公司2009年10月10日
a（2^（p+2）*n+2^（p+1）-1）-a（2^（p+1）*n=2^p-1）=A007306号（n+1），p>=0和n>=0-约翰内斯·梅耶尔2013年2月7日
a（n*2^m）=a（n），m>0，n>0-尤拉门迪2014年7月3日
a（k+1）*a（2^m+k）-a（k）*a-尤拉门迪2014年11月7日
（2^（m+1）+（k+1））*a（2^m+k）-a（2^m+1）+k）*a-尤拉门迪2014年11月7日
a（5*2^k）=3。a（7*2^k）=3。a（9*2^k）=4。a（11*2^k）=5。a（13*2^k）=5。a（15*2^k）=4。一般情况下：a（（2j-1）*2^k）=A007306号（j） ，j>0，k>=0（参见Adamchuk的评论）-尤拉门迪2016年3月5日
a（2^m+2^m'+k'）=a（2^m'+k'）*（m-m'+1）-a（k'），m>=0，m'<=m-1，0<=k'<2^m'-尤拉门迪2016年7月13日
设n是一个自然数，[b_mb_（m-1）…b_1b_0]是b_m=1的二元展开式。
设L=Sum_{i=0..m}b_i是等于1（L>=1）的二进制位数。
设{m_j:j=1..L}是b_m_j=1、j=1..L和0<=m_1<=m_2<=…<=m_L=米。
如果L=1，则c_1=1，否则设{c_j:j=1..（L-1）}为系数集，使得c_（j）=m_（j+1）-m_j+1，1<=j<=L-1。
设f是定义在{1..L+1}上的函数，使得f（1）=0，f（2）=1，f（j）=c_（j-2）*f（j-1）-f（j-2，3<=j<=L+1。
那么a（n）=f（L+1）（参见示例）。（结束）
a（2^（m+2）+2^（m+1）+k）-a（2^（m+1）+2^m+k）=2*a（k），m>=0，0<=k<2^m。
a（2^（m+2）+2^（m+1）+k）-a（2^（m+1）+k）=a（2*m+k），m>=0，0<=k<2*m。
a（2^m+k）=a（k）*（m-楼层（log_2（k））-1）+a（2#楼层（log_2[k））+1）+k），m>=0，0<k<2^m，a（2*m）=1，a（0）=0。
（结束）
a（2^m）=1，m>=0。
a（2^r*（2*k+1））=a。
（结束）
例子
Stern的双原子数组开始：
1,1,
1,2,1,
1,3,2,3,1,
1,4,3,5,2,5,3,4,1,
1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5,1,
1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,9,7,12,5,13,8,11,3,10,7,11,4,9,...
...
a（91）=19，因为91_10=1011011_2；b6=b4=b3=b1=b0=1，b5=b2=0；L=5；m_1=0，m_2=1，m_3=3，m_4=4，m_5=6；c1=2，c2=3，c3=2，c 4=3；f（1）=1，f（2）=2，f（3）=5，f（4）=8，f（5）=19-尤拉门迪2016年7月13日
a（n）是Christoffel单词chf（n）的长度：
1 '-' 1 1
2 '+' 2 1
3 '+-' 2 2
4 '-' 3 1
5 '--+' 3 3
6 '-+' 3 2
…（结束）
G.f.=x+x ^2+2*x ^3+x ^4+3*x ^5+2*x ^6+3*x ^7+x ^8+-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
MAPLE公司
A002487号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则n elif n mod 2=0，则procname（n/2）；else procname（（n-1）/2）+procname（（n+1）/2）；fi；结束：seq(A002487号（n） ，n=0..91）；
A002487号：=proc（m）局部a，b，n；a:=1；b:=0；n：=米；当n>0时，如果类型（n，奇数）为do，则b:=a+b，否则a:=a+b结束if；n:=地板（n/2）；结束do；b；结束进程：seq(A002487号（n） ，n=0..91）；#程序改编自E.Dijkstra，《计算机文选》，施普林格出版社，1982年，第232页Igor Urbiha（Urbiha（AT）math.hr），2002年10月28日。自A007306号（n） =a（2*n+1），此程序可适用于A007306号将b:=0替换为b:=1。
A002487号：=proc（n:：integer）局部k；选项记忆；如果n=0，则0 elif n=1，然后1再加上（K（K，n-1-K）*进程名（n-K），K=1。。n） end-if-end进程：
K:=进程（n:：integer，K:：integer）局部KC；如果0<=k，k<=n，n-k<=2，则KC:=1；否则KC:=0；结束条件：；结束进程：seq(A002487号（n） ，n=0..91）#托马斯·维德2008年1月13日
#下一个Maple计划：
a： =proc（n）选项记住`如果`（n<2，n，
（q->a（q）+（n-2*q）*a（n-q））（iqoo（n，2））
结束时间：
fusc:=proc（n）局部a，b，c；a:=1；b:=0；
对于convert（n，base，2）do中的c
如果c=0，则a:=a+b，否则b:=a+bfiod；
b端：
seq（fusc（n），n=0..91）#彼得·卢什尼2022年11月9日
数学
a[0]=0；a[1]＝1；a[n_]：=如果[EvenQ[n]，a[n/2]，a[（n-1）/2]+a[（n+1）/2]]；表[a[n]，{n，0，100}]（*程序结束*）
一个[l]：=转置[{l，l+RotateLeft[l]}]//展平；
NestList[Onemore，{1}，5]//Flatten（*给出[a（1），…]*）（*Takashi Tokita，2003年3月9日*）
ToBi[l_]：=表[2^（n-1），{n，长度[l]}]。反向[l]；地图[长度，
拆分[Sort[Map[ToBi，Table[IntegerDigits[n-1，3]，{n，500}]]]（*give[a（1），…]*）（*Takashi Tokita，2003年3月10日*）
a[0]=0；a[1]=1；
压扁[表[｛a[2*n]=a[n]，a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]｝，｛n，0，50｝]](*霍斯特·曼宁格2021年6月9日*）
nmax=100；系数列表[系列[x*乘积[（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1））），{k，0，Floor[Log[2，nmax]]+1}]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2022年10月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<2，n>0，a（n\2）+if（n%2，a（n\2+1））}；
（PARI）fusc（n）=局部（a=1，b=0）；当（n>0时，如果（位和（n，1），b+=a，a+=b）；n> >=1）；b条\\查尔斯·格里特豪斯四世2008年10月5日
（PARI）A002487号（n，a=1，b=0）=对于（i=0，logint（n，2），如果（位测试（n，i），b+=a，a+=b））；b条\\M.F.哈斯勒，2017年2月12日，2019年2月14日更新
（哈斯克尔）
a002487 n=a002487_列表！！n个
a002487_list=0:1:船尾[1]，其中
stern fuscs=fuscs“++stern fuscos”，其中
fuscs'=交错fuscs$zipWith（+）fuscs$（尾部fuscs）++[1]
交错[]ys=ys
交错（x:xs）ys=x:interleave ys-xs
（右）
N<-50#任意
a<-1
for（n in 1:n）
{
a[2*n]=a[n]
a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]
一
}
一
（方案）
;; 例如，可以在以下内容中找到memoization-macro definec的实现：http://oeis.org/wiki/Memoization网站
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
定义a（n）：如果n<2，则返回n；如果n%2==0，则返回a（（n-1）//2）+a（（n+1）//2#印地瑞尼Ghosh2017年6月8日；已由更正雷扎·K·加齐2021年12月27日
（Python）
定义a（n）：
a、 b=1,0
当n>0时：
如果n和1：
b+=a
其他：
a+=b
n>>=1
返回b
（鼠尾草）
M=[1，0]
对于n位中的b（）：
M[b]=M[0]+M[1]
返回M[1]
（茱莉亚）
使用Nemo
函数A002487List（len）
a、 a=QQ（0），[0，1]
对于1:len中的n
a=next_calkin_wilf（a）
推！（A，分母（A））
结束
A结束
A002487列表（91）|>打印#彼得·卢什尼，2018年3月13日
（R） #给定n，通过考虑n的二进制表示来计算a（n）
a<-函数（n）{
b<-作为数字（intToBits（n））
l<-总和（b）
m<-其中（b==1）-1
d<-1
如果（l>1）对于（j in 1：（l-1））d[j]<-m[j+1]-m[j]+1
f<-c（0，1）
如果（3中的j：（l+1））f[j]<-d[j-2]*f[j-1]-f[j-2]的（l>1）
返回（f[l+1）
（R） #将序列计算为向量a，而不是如上所述的函数a（）。
A<-c（1，1）
maxlevel<-5#（可选）
for（m in 1:maxlevel）{
A[2^（m+1）]<-1
对于（k in 1:（2^m-1））{
r<-m-楼层（log2（k））-1
A[2^r*（2*k+1）]<-A[2^r*2*k）]+A[2^r（2*k+2）]
}}
（岩浆）[&+[（二项式（k，n-k-1）mod 2）：k in[0..n]]：n in[0..100]]//文森佐·利班迪，2019年6月18日
（Python）
定义A002487号（n） ：对于范围（n）中的k，返回和（int（not（n-k-1）&~k））#柴华武2022年6月19日
交叉参考
囊性纤维变性。A000123号,A000360型,A001045号,A002083号,A011655号,A020950型,A026741美元,A037227号,A046815号,A070871号,A070872号,A071883号,A073459号,A084091号,A101624号,A126606号,A174980型,A174981号,A178239号,A178568号,A212288型,A213369型,A260443型,77万美元,A277325号,A287729号,208730元,A293160型.
a（n）=斐波那契（n）-1。
（原M1056 N0397）
+10
280
0, 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 1596, 2583, 4180, 6764, 10945, 17710, 28656, 46367, 75024, 121392, 196417, 317810, 514228, 832039, 1346268, 2178308, 3524577, 5702886, 9227464, 14930351, 24157816, 39088168
评论
a（n）是英国钟声艺术中从一个变化到下一个变化（n-1个钟声）的允许转换规则数。这也是对称群S_{n-1}中的对合数，它可以表示为来自{1，2，…，n-1}的连续数转置的乘积。例如，对于n=6，我们从（12）、（12）（34）、。看我1983年的数学。程序。外倾角。Phil Soc.论文亚瑟·T·怀特，写信给N.J.A.斯隆1986年12月18日
{1，2，…，n-1}的置换数p，使得max|p（i）-i|=1。例：a（4）=2，因为只有{1，2，3}的排列132和213满足给定条件-Emeric Deutsch公司，2003年6月4日[对于a（5）=4，我们有2143、1324、2134和1243-乔恩·佩里2013年9月14日]
001-长度为n-3的无效二进制字的数量。a（n）是{1，…，n-1}分成两个块的分区数，其中一个块中只能出现1或2个连续整数字符串，并且至少有一个2字符串。例如，a（6）=7，因为{1，2，3，4，5}的枚举分区是124/35，134/25，14/235，13/245，1245/3，145/23，125/34-奥古斯汀·穆纳吉2005年4月11日
a（n+2）是高度为n的AVL树中的最小元素数。-Lennert Buytenhek（buytenh（AT）wantstofly.org），2010年5月31日
a（n）是n-1阶斐波那契树中的分支节点数。n阶斐波那契树（n>=2）是一个完整的二叉树，其左子树是n-1阶斐波纳契树，右子树是n-2阶斐波那契树；顺序为0和1的每个斐波那契树都定义为一个节点（参见Knuth参考，第417页）-Emeric Deutsch公司2010年6月14日
a（n+3）是长度为n的不同三股正编织线的数量（参见Burckel）-马克西姆·波里根2011年4月4日
a（n+1）是n的最大部分为2的组成数-乔格·阿恩特2013年5月21日
a（n+2）是高度n的大粒级DAG（有向无环图）的叶数。高度n的大粒级DAG是n=1的单个节点；对于n>1，ggpDAG（n-1）的每个叶都有两个子节点，其中相邻的两个新节点对合并为单个节点当且仅当它们具有不相交的祖父母和相同的greatgrandparent时。结果：a（n）=2*a（n-1）-a（n-3）-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2014年7月6日
我们可以建立杰拉尔德·麦卡维的猜想在公式部分中提到，但我们需要n>4。我们需要以下4个先决条件。
（1） a（n）=F（n）-1，其中{F（nA000045号（2）（Binet形式）F（n）=（d^n-e^n）/sqrt（5），其中d=phi和e=1-phi，de=-1和d+e=1。因此，a（n）=（d（n）-e（n））/sqrt（5）-1。（3） 证明floor（x）=y等价于证明x-y位于半开区间[0，1）)包含子序列{s（t）}{t>=n+2}。利用这些先决条件，我们可以分析这个猜想。
使用先决条件（2）和（3），我们看到我们必须证明，对于所有n>4，d（（d^（n-1）-e^（n_1））/sqrt（5）-1）-（d^n-e^n）/sqert（5）+1+c位于区间[0，1）。但de=-1，意味着de^=e^（n-2）（e^2+1）/sqrt（5）+e+c位于[0，1）中。显然，对于任何特定的n，当c=2*（1-d）和c=（1+d）*（1-d）时，e（n，c）都有极值（最大值，最小值）。因此，通过使用先决条件（4）来完成证明。它足以验证e（5，2*（1-德））=0，e（6，2*在[0，1）中。
（结束）
a（n）可以表示为具有n个顶点的路径上不同非空匹配的数目。（匹配是不相交边的集合。）-安德鲁·彭兰2017年2月14日
此外，对于n>3，字典上最早的正整数序列，使得{phi*a（n）}严格位于{phi*a（n-1）}和{phi*a（n-2）}之间-伊凡·内雷廷，2017年3月23日
序列数（e（1）。。。，e（n-2）），0<=e（i）<i，这样就没有e（i！=的三元组i<j<ke（j）<=e（k）。[Martinez和Savage，2.5]
序列数（e（1）。。。，e（n-2）），0<=e（i）<i，使得不存在e（i）>=e（j）<=e（k）和e（i）的三元组i<j<k！=e（k）。[Martinez和Savage，2.5]
（结束）
a（n+2）是最长数组的长度，其局部最大元素最多可以在n个显示中找到。请参阅亚历山大·库利科夫（Alexander S.Kulikov）的拼图链接-德米特里·卡梅内茨基2020年8月8日
a（n+2）是不包含连续元素的{1,2，…，n}的非空子集的数目。例如，{1,2,3,4}的a（6）=7个子集是{1}、{2}、}3}、[4]、{1,3}，{1,4}和{2,4}-穆格·奥卢科格鲁2021年3月21日
a（n+3）是偶数移位中长度n的允许模式数（也就是说，a（n=3）是长度n的二进制字的数目，其中任何两次出现1之间有偶数个0）。例如，a（7）=12，偶数移位中长度4的12个允许模式为0000、0001、0010、0011、0100、0110、0111、1000、1001、1100、1110、1111-佐兰·苏尼克2022年4月6日
猜想：对于k是正奇整数，序列{a（k^n）：n>=1}是强可除序列；也就是说，对于n，m>=1，gcd（a（k^n），a（k^m））=a（k^gcd（n，m））-彼得·巴拉2022年12月5日
通常，具有签名（c，d）的二阶线性递归的和将是具有签名（c+1，d-c，-d）的三阶递归-加里·德特利夫斯2023年1月5日
参考文献
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上。
GCHQ，GCHQ拼图书，企鹅出版社，2016年。参见第28页。
M.Kauers和P.Paule，《混凝土四面体》，Springer 2011年，第64页。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第3卷，第2版，Addison-Wesley，Reading，马萨诸塞州，1998年，第417页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第155页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
尤卡斯（J.L.Yucas），《计算二进制林登单词的特殊集合》（Counting special set of binary Lyndon words），《阿尔斯·科姆》，31（1991），21-29。
链接
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凯西·阿彻和亚伦·盖里，避免模式链的排列能力，arXiv:2312.14351[math.CO]，2023。见第15页。
穆罕默德·阿扎里安，斐波那契数列的生成函数《密苏里数学科学杂志》，第2卷，第2期，1990年春季，第78-79页。Zentralblatt MATH，Zbl 1097.11516。
穆罕默德·阿扎里安，爬楼梯问题的推广II《密苏里数学科学杂志》，第16卷，第1期，2004年冬季，第12-17页。
亚历山大·伯斯坦（Alexander Burstein）和图菲克·曼苏尔（Toufik Mansour），计算某些子单词模式的出现次数，arXiv:math/0204320[math.CO]，2002-2003年。
范忠和R.L.Graham，原始杂耍序列，美国数学。月刊115（3）（2008）185-194。
Ligia Loretta Cristea、Ivica Martinjak和Igor Urbiha，超斐波那契序列与多主题数，arXiv:1606.06228[math.CO]，2016年。
Michael Dairyko、Samantha Tyner、Lara Pudwell和Casey Wynn，二叉树中的非相似模式避免.电子。J.Combin.19（2012），第3期，论文22，21页MR2967227发件人N.J.A.斯隆2013年2月1日
Emeric Deutsch公司，问题Q915，数学。《杂志》，第74卷，第5期，2001年，第404页。
克里斯蒂安·埃尼斯（Christian Ennis）、威廉·霍兰德（William Holland）、奥马尔·穆贾瓦尔（Omer Mujawar）、阿迪特·纳拉亚南（Aadit Narayanan）、弗兰克·诺伊布兰德（Frank Neubrander）、玛丽·诺伊布兰德（Marie Neubranter）和克里斯蒂娜·西米诺（Christina Simino），随机二进制序列中的单词I，arXiv:2107.01029[math.GM]，2021。
Fumio Hazama，旋律空间的图形谱，离散数学。，311 (2011), 2368-2383. 见表2.1。
多夫·贾登，递归序列1966年，耶路撒冷莱马特马提卡河。[注释扫描副本]见第96页。
塔马拉·科根（Tamara Kogan）、L.Sapir、A.Sapir和A.Sapier，解非线性方程的斐波那契迭代过程族，《应用数值数学》110（2016）148-158。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
劳拉·普德威尔，树木中的模式避免，（演讲中的幻灯片，提到了许多序列），2012年。
亚瑟·T·怀特，响铃更改，数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.94（1983），第2期，203-215。
配方奶粉
a（0）=-1，a（1）=0；此后a（n）=a（n-1）+a（n-2）+1。
通用格式：x^3/（（1-x-x^2）*（1-x））-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中，去掉了开头的0
a（n）＝2*a（n-1）-a（n-3）-R.H.哈丁2011年4月2日
a（n）=-1+（a*B^n+C*D^n）/10，其中a，C=5+-3*sqrt（5），B，D=（1+-sqrt（五））/2-拉尔夫·斯蒂芬2003年3月2日
a（1）=0，a（2）=0、a（3）=1，然后a（n）=上限（phi*a（n-1）），其中phi是黄金比率（1+sqrt（5））/2-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月6日
猜想：对于所有c，使得2*（2-Phi）<=c<（2+Phi）*（2-Phi），对于n>4，我们有a（n）=floor（Phi*a（n-1）+c）-杰拉尔德·麦卡维2004年7月22日。如果n>3更改为n>4，则情况属实，请参阅“评论”部分中的证明-罗素·杰·亨德尔2015年3月15日
a（n）=和{k=0..floor（（n-2）/2）}二项式（n-k-2，k+1）-保罗·巴里2004年9月23日
a（n+3）=和{k=0..floor（n/3）}二项式（n-2*k，k）*（-1）^k*2^（n-3*k）-保罗·巴里2004年10月20日
a（n+1）=总和（二项式（n-r，r）），r=1，2。。。这是t字符串和k块的一般情况下t=2和k=2的情况：a（n+1，k，t）=总和（二项式（n-r*（t-1），r）*S2（n-rx（t-1，k-1）），r=1，2-奥古斯汀·穆纳吉2005年4月11日
a（n）=和{k=0..n-2}k*Fibonacci（n-k-3）-罗斯·拉海耶2006年5月31日
a（n）=3X3矩阵[1,1,0；1,0,0；1,0，1]^（n-1）中的项（3,2）-阿洛伊斯·海因茨2008年7月24日
对于n>=4，a（n）=上限（φ*a（n-1）），其中φ是黄金比率-弗拉基米尔·舍维列夫2010年7月4日
无两个前导零的闭合形式g.f.：1/（1-2*x-x^3）；（（5+2*sqrt（5）））*（（1+sqrt；带有两个前导0的g.f.的闭合形式：x^2/（1-2*x-x^3）；（（5+平方码（5））*（1+平方码-蒂姆·莫纳汉2011年7月10日
G.f.：Q（0）*x^2/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+2-x^2）/（x*（4*k+4-x^ 2）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月30日
例如：1-exp（x）+2*exp（x/2）*sinh（sqrt（5）*x/2）/sqrt（6）-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月15日
a（n）=和{i=0..n-2}斐波那契（i）.-乔治·达拉基什维利（mcnamara_gio（AT）yahoo.com），2005年4月2日道格·贝尔，2017年6月1日]
a（n+2）=Sum_{j=0..floor（n/2）}Sum_{k=0..j}二项式（n-2*j，k+1）*二项式（j，k）-托尼·福斯特三世2017年9月8日
a（4*n）=斐波那契（2*n+1）*Lucas（2*n-1）=A081006号（n） ；
a（4*n+1）=斐波那契（2*n）*Lucas（2*n+1=A081007号（n） ；
a（4*n+2）=斐波那契（2*n）*Lucas（2*n+2）=A081008号（n） ；
a（4*n+3）=斐波那契（2*n+2）*Lucas（2*n+1）=A081009型（n） ●●●●。（结束）
G.f.：x^3/（（1-x-x^2）*（1-x））=Sum_{n>=0}（-1）^n*x^（n+3）*（Product_{k=1..n}（k-x）/Product_{k=1..n+2}（1-k*x））（伸缩级数）-彼得·巴拉2024年5月8日
MAPLE公司
a： =n->（矩阵（[1，1，0]，[1，0，0]）^（n-1））[3，2]；seq（a（n），n=1..50）#阿洛伊斯·海因茨2008年7月24日
数学
斐波那契[Range[40]]-1（*或*）线性递归[{2，0，-1}，{0，0，1}，40](*哈维·P·戴尔2013年8月23日*）
连接[{0}，累加[Fibonacci[Range[0，39]]](*阿隆索·德尔·阿特2017年10月22日，基于乔治·达拉基什维利的公式*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，fibonacci（n）-1）}；
（岩浆）[斐波那契（n）-1:n in[1..150]]//文森佐·利班迪2011年4月4日
（哈斯克尔）
a000071 n=a000071_list！！n个
a000071_list=映射（减去1）$tail a000045_list
交叉参考
囊性纤维变性。A000045号,A054761号,A119282号,A001654号,A005968号,A005969号,A098531号,A098532号,A098533号,A128697号,A001611号,157725英镑,A001911号,A157726号,A006327元,A157727号,A157728号,A157729号,A167616号,158950英镑,A105488号,A105489号,A014417号,A104326号.
n表示为斐波那契数之和的次数（1允许作为一部分出现两次）。
（原名M0249 N0088）
+10
36
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 6, 5, 6, 6, 5, 6, 4, 5, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 6, 7, 8, 6, 7, 5, 5, 8, 7, 9, 9, 8, 10, 7, 8, 10, 8, 10, 8, 7, 10, 8, 9, 9, 7, 8, 5, 6, 9, 8, 11, 10, 9, 12, 9, 11, 13, 10, 12, 9, 8, 12, 10, 12, 12, 10, 12, 8, 9, 12, 10, 13, 11, 9, 12, 9, 10, 11, 8, 9, 6, 6, 10, 9
评论
划分为不同斐波那契部分的分区数（1计为两个不同的斐波那奇数）。
序列的逆欧拉变换具有生成函数sum_{n>0}x^F（n）-x^{2F（n。
参考文献
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
扎伊·乔·白（Zai-Qiao Bai）和史蒂文·芬奇（Steven R.Finch），斐波那契和卢卡斯表示，斐波纳契夸脱。54（2016），第4期，319-326。见第324页的表1。
D.A.Klarner，将N表示为特殊序列中不同元素的总和，第1部分,第2部分，纤维。夸脱。，4（1966年），289-306和322。
MAPLE公司
使用（组合）：p:=乘积（（1+x^fibonacci（i）），i=1..25）：s:=系列（p，x，1000）：对于从0到250的k进行打印f（`%d，`，系数（s，x，k））od：
数学
nmax=91；s=总数/@子集[Select[表[Fibonacci[i]，{i，nmax}]，#<=nmax&]]；
表[Count[s，n]，{n，0，nmax}](*罗伯特·普莱斯2020年8月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=局部（a，m，f）；如果（n<0，0，A=1+x*O（x^n））；m=1；而（f=fibonacci（m））<=n，A*=1+x^f；m++）；波尔科夫（A，n））
将n划分为Fibonacci部分的分区数（单个类型为1）。
（原M0556）
+10
33
1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 17, 22, 27, 33, 41, 49, 59, 71, 83, 99, 115, 134, 157, 180, 208, 239, 272, 312, 353, 400, 453, 509, 573, 642, 717, 803, 892, 993, 1102, 1219, 1350, 1489, 1640, 1808, 1983, 2178, 2386, 2609, 2854, 3113, 3393, 3697, 4017, 4367, 4737
评论
分区允许重复项，但项的顺序无关紧要（1+2=2+1）-罗恩·诺特2003年10月22日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
配方奶粉
G.f.：产品{i>=2}1/（1-x^fibonacci（i））-罗恩·诺特2003年10月22日
a（n）=f（n，1,1），其中f（x，y，z）=如果x<y，则0^x否则f（x-y，y，z）+f（x、y+z，y）-莱因哈德·祖姆凯勒2009年11月11日
通用公式：1+Sum_{i>=2}x^斐波那契（i）/Product_{j=2..i}（1-x^Fibonacci（j））-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月7日
例子
a（4）=4，因为4的4个分区只使用斐波那契数，允许重复，是1+1+1+1、2+2、2+1+1、3+1。
MAPLE公司
F： =组合[fibonacci]：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n＝0，1，`如果`（i＜2，0，
b（n，i-1）+`如果`（F（i）>n，0，b（n-F（i，i）））
结束时间：
a： =proc（n）局部j；对于来自ilog的j[（1+sqrt（5））/2]（n+1）
而F（j+1）<=n do od；b（n，j）
结束时间：
数学
系数列表[系列[1/乘积[1-x^斐波那契[i]，{i，2，21}]，{x，0，53}]，x](*罗伯特·威尔逊v2006年3月28日*）
nmax=53；
s=表格[Fibonacci[n]，{n，nmax}]；
表[计数[整数分区@n，x_/；子集Q[s，x]]，{n，0，nmax}](*罗伯特·普莱斯2020年7月31日*）
F=斐波那契；
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<2，0，
b[n，i-1]+如果[F[i]>n，0，b[n-F[i]，i]]]；
a[n_]：=模块[{j}，对于[j=地板@原木[（1+平方[5]）/2，n+1]，
F[j+1]<=n，j++]；b[n，j]]；
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
导入数据。MemoCombinators（内存2，积分）
a003107 n=a003107列表！！n个
a003107_list=映射（p'2）[0..]其中
p'=memo2积分p
p _ 0=1
p k m | m<fib=0
|否则=p'k（m-fib）+p'（k+1）m，其中fib=a000045 k
（PARI）f（x，y，z）=如果
1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 4, 5, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 6, 5, 5, 5, 6, 4, 4, 6, 5, 5, 5, 6, 4, 4, 4, 5, 4, 4, 7, 6, 6, 6, 8, 5, 5, 7, 6, 6, 6, 8, 6, 6, 6, 7, 5, 5, 8, 6, 6, 6, 7, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 8, 7, 7, 7, 9, 6, 6, 9, 8, 8, 8, 10, 7, 7, 7, 8, 6, 6, 10, 8, 8, 8, 10, 6, 6, 8
黄体脂酮素
（PARI）
L（n）=斐波那契（n+1）+斐波那奇（n-1）；
N=66；x='x+O（'x^N）；
gf=prod（n=0，11，1+x ^L（n））；
\\gf=触头（n=1，11，1+x^L（n））*（1+x*2）；\\相同的g.f。
1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35
配方奶粉
当n>3时，a（0）=a（1）=a（2）=1，a（3）=2，a（n）=α（n-1）+a（n-2）-a（n-3）。G.f.：（1-x^2+x^3）/（1-x-x^2+x^3）-菲利普·德尔汉姆2006年9月28日
数学
数组[Floor[#/2]&，61]/。0 -> 1 (*迈克尔·德弗利格2020年3月10日*）
黄体脂酮素
（PARI）｛对于（n=01000，如果（n<3，a=1，如果（n%2，a++））；写入（“b065033.txt”，n，“”，a））｝\\哈里·史密斯，2009年10月3日
（哈斯克尔）
n作为斐波那契型序列中不同元素之和的表示数，从1、4、5、9、14、23、37、60…开始。。。。
+10
21
1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 3, 2, 0, 0, 2, 3, 1, 0, 0, 3, 3, 0, 0, 2, 4, 2, 0, 0, 3, 3, 0, 0, 1, 4, 3, 0, 0, 3, 5, 2, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 2, 5, 3, 0, 0, 3, 4, 1, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 3, 6, 3, 0, 0, 5, 5, 0, 0, 2, 6, 4, 0, 0, 4, 6, 2, 0, 0, 5, 5, 0, 0, 3, 6, 3, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 1, 5, 4, 0, 0
链接
J.Berstel，斐波那契表示练习《RAIRO/Informatique Theoryque》，第35卷，第6期，2001年，第491-498页，阿尔多·德卢卡60周年纪念版。
D.A.Klarner，将N表示为特殊序列中不同元素的总和，第1部分,第2部分，纤维。夸脱。，4（1966年），289-306和322。
数学
imax=10；
f[1]=1；f[2]=4；f[n]：=f[n]=f[n-1]+f[n-2]；
p=乘积[1+x^f[i]，{i，1，imax}]；
满足3i+j=n的所有正整数对（i，j）上模2的二项式系数之和。
+10
13
1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 5, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 3, 5, 2, 5, 4, 6, 3, 7, 5, 8, 1, 6, 4, 5, 3, 7, 4, 7, 2, 6, 5, 7, 3, 8, 5, 8, 2, 7, 5, 7, 4, 9, 6, 10, 3, 9, 7, 10, 5, 12, 8, 13, 1
评论
a（n）是在{0,1,3}中带有e_k的“向量”（…，e_k，e_{k-1}，…，e_0）的个数，如果2^k>4j，则求和{k}e_k 2^k=n.a（2^n-1）=F（n+1）*a（2~k+1}+j）+a（j）=a（2_k+j）+a（2~2^{k-1{+j）。该序列对应于作为斯特恩双原子序列的对（3,1）[A002487号]对应于（2,1）和古尔德序列[A001316号]对应于（1,1）。与A000119号，表示n为不同斐波那契数之和的次数。
链接
克里斯蒂娜·巴伦丁和乔治·贝克，由自相似序列枚举的分区，arXiv：2303.11493【数学CO】，2023年。
S.Northshield公司，帕斯卡三角形模2的和《国会数学家》，200，第35-52页，2010年。
配方奶粉
重现性；a（0）=a（1）=1，a（2*n）=a。
通用公式：A（x）=产品{i>=0}（1+x^（2^i）+x^（3*2^i，））=（1+x+x^3）*A（x^2）。
a（n-1）<<n^x，其中x=log_2（φ）=0.69424-查尔斯·格里特豪斯四世2011年12月27日
MAPLE公司
p:=乘积（（1+x^（2^i）+x^1（3*2^i）），i=0..25）：s:=系列（p，x，1000）：对于从0到250的k，执行打印f（`%d，`，系数（s，x，k））od：
数学
a[0]＝a[1]＝1；a[n_？EvenQ]：=a[n]=a[n/2]；a[n_？奇Q]：=a[n]=a[（n-1）/2]+a[（n-1）/2-1]；表[a[n]，{n，0，64}](*Jean-François Alcover公司，2011年9月29日*）
嵌套[Append[#1，If[EvenQ@#2，#1[[#2/2+1]]，总计@#1[[#2；；#2+1]]&@@{#1，（#2-1）/2}]]@@{#，长度@#}&，{1，1}，10^4-1](*迈克尔·德弗利格2019年2月19日*）
作者
Sam Northshield（samuel.Northshield（AT）plattsburg.edu），2006年8月7日
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