搜索： a095263-编号：a095265
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A001333号
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| 连分式的分子收敛到sqrt（2）。
（原名M2665 N1064）
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+10
354
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1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, 8119, 19601, 47321, 114243, 275807, 665857, 1607521, 3880899, 9369319, 22619537, 54608393, 131836323, 318281039, 768398401, 1855077841, 4478554083, 10812186007, 26102926097, 63018038201, 152139002499, 367296043199
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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从（0,0）开始，具有（1,0）、（-1,0）或（0,1）类型步数的n步非自助交叉路径数[Stanley]。
n步数单侧谨慎步行，东、西、北三步-高善珍2011年4月26日
长度为n-1的三元字符串的数量不允许包含子字（0,2）和（2,0）-奥利维尔·热拉德2012年8月28日
对称2n X 2或（2n-1）X 2纵横填字游戏网格的数量：所有白色方块都是边连接的；网格每边至少有一个白色正方形；180度旋转对称-埃里希·弗里德曼
a（n+1）是将分子放置在2Xn梯形晶格上，使分子不相互接触的方法数。
换句话说，a（n+1）是n梯形图P_2XP_n中独立顶点集和顶点覆盖的数量-埃里克·韦斯特因2017年4月4日
a（2*n+1）与b（2*n+1）：=A000129号（2*n+1），n>=0，给出了Pell方程a^2-2*b^2=-1的所有（正整数）解。
a（2*n）与b（2*n）：=A000129号（2*n），n>=1，给出佩尔方程a^2-2*b^2=+1的所有（正整数）解（见艾默生参考文献）。
对于n>0，（s（0），s（1）。。。，s（n）），当i=1,2，。。。，n、 s（0）＝2、s（n）＝2-赫伯特·科西姆巴2004年6月2日
系列F（x，1）中的项指数，其中F由方程式F（x、y）=xy+F（x^2*y，x）确定-乔纳森·松多2004年12月18日
字母表A中的n个单词的数量=｛0，1，2｝，其中两个邻居最多相差1。-冯卓贤（cheokyin_restart（AT）yahoo.com.hk），2006年8月30日
考虑映射f（a/b）=（a+2b）/（a+b）。从a=b=1开始，在每个新的（约化的）有理数上重复进行映射，得到以下序列1/1、3/2、7/5、17/12、41/29。。。收敛到2^（1/2）。序列包含分子-阿玛纳斯·穆尔西2003年3月22日[由Paul E.Black（Paul.Black（AT）nist.gov）修订，2006年12月18日]
一般来说，连分式的分母a（k，n）和分子b（k，n）收敛到sqrt（（k+1）/k），如下所示：
设a（k，0）=1，a（k、1）=2k；对于n>0，a（k，2n）=2*a（k、2n-1）+a（k和2n-2；
设b（k，0）=1，b（k、1）=2k+1；对于n>0，b（k，2n）=2*b（k，2n-1）+b（k，2n-2）和b（k，2n+1）=（2k）*b（k，2n）+b（k，2n-1）。
例如，sqrt（2/1）的收敛从1/1、3/2、7/5、17/12、41/29开始。
一般来说，如果a（k，n）和b（k，n）是连分式的分母和分子，分别收敛到上面定义的sqrt（（k+1）/k），那么
k*a（k，2n）^2-a（k、2n-1）*a（k，2n+1）=k=k*a
b（k，2n-1）*b；
例如，如果k=1和n=3，则b（1，n）=a（n+1）和
1*a（1,6）^2-a（1,5）*a（1.7）=1*169^2-70*408=1；
1*a（1,4）*a（1.6）-a（1,5）^2=1*29*169-70^2=1；
b（1,5）*b（1,7）-1*b（1,6）^2=99*577-1*239 ^2=2；
b（1,5）^2-1*b（1,4）*b（1.6）=99 ^2-1*41*239=2。
（完）
设M=每列中有斐波那契级数的三角形，但最左边的列向上移动一行。A001333号=lim_{n->infinidy}M^n，被视为序列的左移向量-加里·亚当森2010年7月27日
a（n）是当有1类1和2类其他自然数时n的组成数-米兰Janjic2010年8月13日
设U为单位极限矩阵（参见[Jeffery]）
U=U_（8,2）=（0 0 1 0）
(0 1 0 1)
(1 0 2 0)
(0 2 0 1).
（完）
对于n>=1，三角形的行和
米/克|。。0.....1.....2.....3.....4.....5.....6.....7
==================================================
.0..|..1
.1..|..1.....2
.2..|..1.....2.....4
.3..|..1.....4.....4.....8
.4..|..1.....4....12.....8....16
.5..|..1.....6....12....32....16....32
.6..|..1.....6....24....32....80....32....64
.7..|..1.....8....24....80....80...192....64...128
a（n）也是将k个非攻击性wazir放在2Xn板上的方法数，总和k>=0（wazir是跳跃者[0,1]）-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年5月8日
序列a（n）和b（n）：=A000129号（n） 是婆罗门笈多矩阵的特殊情况下的权力条目-有关详细信息，请参阅Suryanarayan的论文。此外，正如Suryanarayan所说，如果我们设置A=2*（A（n）+b（n））*b（n），b=A（n）*（A（n）+2*b（n）），C=A（n）^2+2*A（n）*b（n）+2*b（n）^2，我们得到勾股关系A^2+b^2=C^2的积分解，其中A和b是连续整数-罗曼·维图拉2012年7月28日
皮萨诺周期长度：1、1、8、4、12、8、6、4、24、12、24、8、28、6、24、八、16、24、40、12-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）是以下六个3X3二进制矩阵中任意一个的n次幂的左上条目：[1，1，1，1,1；1，0，0]或[1，1,1；1，1；0；1，1,0]或[1]，1，1-；1，0,1，0]或者[1，1-；1,1,0；1,0,1]或[1,1，1,1,1；1,1,1，1]-R.J.马塔尔2014年2月3日
对于n>0，a（n+1）是τ^n（1）的长度，其中τ是同态：1->101，0->1。见宋和吴-米歇尔·马库斯2020年7月21日
对于n>0，a（n）是具有n个元素的非同构拟平凡半群的数目，参见Devillet，Marichal，Teheux。A292932型是标记拟平凡半群的数目-彼得·吉普森2021年3月28日
对于n>=2，4*a（n）是用两种颜色的正方形和一种颜色的多米诺骨牌平铺这个长度为n-1的T形图形的方法数；这里显示的是长度为5的图（对应于n=6），它有4*a（6）=396个不同的瓷砖。
._
|_|_ _ _ _
|_|_|_|_|_|
|_|
（完）
12*a（n）=循环Kautz有向图CK（3，4）中长度为n的走数-米克尔·A·菲尔2024年2月15日
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参考文献
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约翰·德比希尔（John Derbyshire），《Prime Obsession》，约瑟夫·亨利出版社，2004年4月，见第16页。
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Maribel Díaz Noguera[Maribel Del Carmen Díaz Noguera]、Rigoberto Flores、Jose L.Ramirez和Martha Romero Rojas，广义斐波那契多项式Fib的加泰罗尼亚恒等式。问，62:2（2024），100-111。
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链接
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Wipawee Tangjai，整数的非标准三元表示，Thai J.Math（2020）特刊：2019年数学年会，269-283。
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公式
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a（n）=2a（n-1）+a（n-2）；
a（n）=（（1-sqrt（2））^n+（1+sqrt）（2）^n）/2。
通用公式：（1-x）/（1-2*x-x^2）=1/（1-x/（1-2*x/（1+x）））-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=（-i）^n*T（n，i），T（n、x）第一类切比雪夫多项式A053120号i^2=-1。
a（n）=a（n-1）+A052542号（n-1），n>1。a（n）/A052542号（n） 收敛到sqrt（1/2）马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年4月29日
例如：exp（x）cosh（x*sqrt（2））-保罗·巴里2003年5月8日
a（n）=Sum_{k=0.floor（n/2）}二项式（n，2k）2^k-保罗·巴里2003年5月13日
对于n>0，a（n）^2-（1+（-1）^（n））/2=Sum_{k=0..n-1}（（2k+1）*A001653号（n-1-k））；例如，17^2-1=288=1*169+3*29+5*5+7*1；7^2 = 49 = 1*29 + 3*5 + 5*1. -查理·马里昂2003年7月18日
a（n）=[1,1；2,1]^n的左上项和右下项-加里·亚当森2008年3月12日
如果p[1]＝1，并且p[i]＝2，（i＞1），并且如果A是由A[i，j]＝p[j-i+1]，（i＜＝j），A[i，j]＝-1，（i＝j+1）和A[i，j]＝0定义的n阶Hessenberg矩阵，否则。然后，对于n>=1，a（n）=det a-米兰Janjic2010年4月29日
对于n>=2，a（n）=F_n（2）+F_（n+1）（2），其中F_n。A049310型)：F_n（x）=和{i=0..floor（（n-1）/2）}二项式（n-i-1，i）x^（n-2*i-1）-弗拉基米尔·舍维列夫2012年4月13日
Dirichlet g.f.：（PolyLog（s，1-sqrt（2）-伊利亚·古特科夫斯基，2016年6月26日
a（n）=圆（（1/2）*sqrt（Product_{k=1..n}4*（1+sin（k*Pi/n）^2））），对于n>=1-格雷格·德累斯顿2021年12月28日
和{n>=1}1/a（n）=1.57664795163932759111917828913332473-R.J.马塔尔2024年2月5日
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例子
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汇聚点为1、3/2、7/5、17/12、41/29、99/70、239/169、577/408、1393/985、3363/2378、8119/5741、19601/13860、47321/33461、114243/80782等=A001333号/A000129号.
15个3 X 2纵横填字格，白色方块用o表示：
喔喔喔喔哦喔喔喔噢喔喔喔。哦，哦，哦……哦。。哦哦。面向对象
哦哦。哦，哦，哦……哦。。喔喔喔喔哦喔喔喔。喔喔。
G.f.=1+x+3*x^2+7*x^3+17*x^4+41*x^5+99*x^6+239*x^7+577*x^8+。。。
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MAPLE公司
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A001333号：=proc（n）选项记忆；如果n=0，则1 elif n=1，然后1其他2*进程名（n-1）+进程名（n-2）fi结束；
数字：=50；A001333号：=n->圆形（（1/2）*（1+sqrt（2））^n）；
使用（数字理论）：cf:=cfrac（sqrt（2），1000）：[seq（n个数字（cf，i），i=0..50）]；
a： =n->（M->M[2,1]+M[2,2]）（<<2|1>，<1|0>>^n）：
A001333列表：=proc（m）局部A，P，n；答：=[1，1]；P:=[1,1]；
对于从1到m-2的n，做P:=ListTools:-部分和（[op（A），P[-2]]）；
A:=[op（A），P[-1]]od；A端：A001333List（32）#彼得·卢什尼2022年3月26日
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数学
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插入[Table[Numerator[FromContinuedFraction[ContinuedFraction[Sqrt[2]，n]]，{n，1，40}]，1，1](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月8日*）
表[（（1-Sqrt[2]）^n+（1+Sqrt[2]）^n）/2，{n，0，29}]//简化(*罗伯特·威尔逊v2006年5月2日*）
a[0]=1；a[1]=1；a[n]：=a[n]=2a[n-1]+a[n-2]；表[a@n，{n，0，29}](*罗伯特·威尔逊v2006年5月2日*）
表[MatrixPower[{{1，2}，{1，1}}，n][[1，1]]，{n，0，30}](*罗伯特·威尔逊v2006年5月2日*）
加入〔｛1｝，分子〔Convergents〔Sqrt〔2〕，30〕〕(*哈维·P·戴尔2011年8月22日*）
表[（-I）^n切比雪夫T[n，I]，{n，10}](*埃里克·韦斯特因2017年4月4日*）
系数列表[级数[（-1+x）/（-1+2x+x^2），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
表[Sqrt[（ChebyshevT[n，3]+（-1）^n）/2]，{n，0，20}](*埃里克·韦斯特因2018年4月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n＜0，（-1）^n，1）*contfracpnqn（向量（abs（n），i，1+（i>1））[1，1]}/*迈克尔·索莫斯2012年9月2日*/
（PARI）{a（n）=polchebyshev（n，1，I）/I^n}/*迈克尔·索莫斯2012年9月2日*/
（PARI）a（n）=实（（1+quadgen（8））^n）\\米歇尔·马库斯2021年3月16日
（PARI）{默认（realprecision，2000）；对于（n=0，4000，a=contfracpnqn（向量（n，i，1+（i>1）））[1，1]；如果（a>10^（10^3-6），中断）；写入（“b001333.txt”，n，“”，a）；）}\\哈里·史密斯2009年6月12日
（Sage）来自Sage.combinat.sloane_functions import recur_gen2
it=复发基因2（1，1，2，1）
[接下来（it）表示范围（30）内的i]##零入侵拉霍斯2008年6月24日
（鼠尾草）[lucas_number2（n，2，-1）/2代表范围（0，30）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月30日
（哈斯克尔）
a001333 n=a001333_列表！！n个
a001333_list=1:1:zipWith（+）
a001333_list（映射（*2）$tail a001333-list）
（岩浆）[1..35]]中的[n le 2选择1其他2*自我（n-1）+自我（n-2）：n//文森佐·利班迪2018年11月10日
（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义a（n）：如果n<2，则返回1，否则返回2*a（n-1）+a（n-2）
打印（[a（n）代表范围（32）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年11月13日
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交叉参考
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以下序列（和其他序列）属于同一家族：A001333号,A000129号,A026150型,A002605号,A046717号,A015518号,A084057号,A063727号,A002533号,A002532号,A083098号,A083099号,A083100型,A015519号.
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关键词
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非n,辅因子,容易的,核心,美好的,压裂,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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2.91万加元
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| p-（1,1,1,1,1，…）的逆，其中p（S）=1-S-S^2-S^3。 |
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+10
57
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1, 3, 9, 26, 74, 210, 596, 1692, 4804, 13640, 38728, 109960, 312208, 886448, 2516880, 7146144, 20289952, 57608992, 163568448, 464417728, 1318615104, 3743926400, 10630080640, 30181847168, 85694918912, 243312448256, 690833811712, 1961475291648, 5569190816256
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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假设s=（c（0），c（1），c是序列，p（S）是多项式。设S（x）=c（0）*x+c（1）*x^2+c（2）*x*^3+。。。和T（x）=（-p（0）+1/p（S（x）））/x。取p（S）=1-S得到S的“INVERT”变换，因此p-INVERT是“INVERT”变换的推广（例如。，A033453号).
在下面的p-INVERT序列指南中，使用s=（1,1,1,1,1，…）=A000012号，在某些情况下，t（1,1,1,1,1，…）是引用序列的移位版本：
p（S）t（1,1,1,1,1，…）
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链接
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公式
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G.f.：（-1+x-x^2）/（-1+4 x-4 x ^2+2 x ^3）。
当n>=4时，a（n）=4*a（n-1）-4*a（n-2）+2*a（n-3）。
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数学
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z=60；s=x/（1-x）；p=1-s-s^2-s^3；
删除[CoefficientList[Series[s，{x，0，z}]，x]，1](*A000012号*)
删除[系数列表[系列[1/p，｛x，0，z｝]，x]，1](*A291000型*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A052530号
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| a（n）=4*a（n-1）-a（n-2），其中a（0）=0，a（1）=2。 |
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+10
31
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0, 2, 8, 30, 112, 418, 1560, 5822, 21728, 81090, 302632, 1129438, 4215120, 15731042, 58709048, 219105150, 817711552, 3051741058, 11389252680, 42505269662, 158631825968, 592022034210, 2209456310872, 8245803209278, 30773756526240
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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如果（b^2+c^2）/（b*c+1）=4中的b=a（n），则a（n-1）和a（n+1）是c的解，并且除此序列中的连续项对外，没有其他解对。囊性纤维变性。A061167号. -亨利·博托姆利2001年4月18日
对于序列的所有k项，3*k^2+4是一个完美的正方形。极限{n->oo}a（n）/a（n-1）=2+sqrt（3）-格雷戈里·理查德森2002年10月6日
a（n）=整数2*n分成偶数部分的次数，其中每个部分2*i有2*i种颜色。（Dedrickson，定理3.2.6）下面给出了一个示例。囊性纤维变性。A052529号,A095263号. -彼得·巴拉2013年9月17日
除了初始值1之外，这是p（S）=1-2*S-2*S^2的（1,1,1,1,1，…）的p-INVERT；看见A291000型. -克拉克·金伯利，2017年8月24日
a（n+1）是图P_n的生成树数，其中P_n是一个具有两个额外顶点u和v的2Xn网格，其中u与（1,1）和（2,1）相邻，v与（1，n）和（2，n）相邻-凯文·朗2018年5月4日
a（n）也是m X n Mobius带的完美匹配数Tesler公式的输出，其中m是偶数，n是奇数，专门化为m=2。（捻度在长度n侧。）-萨拉·玛丽·贝尔卡斯特罗，2022年2月15日
通常，满足（x^2+y^2）/（x*y+1）=k^2的x和y的值是具有初始项0和k以及签名（k^2，-1）的二阶递推的任意两个相邻项。这也可以表示为一阶递归a（n+1）=（k^2*a（n）+sqrt（（k^4-4）*a（n^2+4*k^2））/2，n>1-加里·德特利夫斯2024年2月27日
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链接
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哈塞内·贝尔巴希尔、索梅亚·梅尔瓦·特布图和拉兹洛·内梅特，椭圆链和相关序列，国际期刊。，第23卷（2020年），第20.8.5条。
Daniel Birmajer、Juan B.Gil和Michael D.Weiner，（an+b）-颜色成分，arXiv:1707.07798[math.CO]，2017年。
C.R.Dedrickson三世，合成、双射和枚举论文，2012年，佐治亚州南部大学Jack N.Averitt研究生院。
J.-P.Ehrmann等人。，问题POLYA002，整数对（x，y），其中（x^2+y^2）/（1+pxy）是整数。
A.F.Horadam，一类广义数列的基本性质《斐波纳契季刊》，第3卷，第3期，1965年，第161-176页。
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公式
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总尺寸：2*x/（1-4*x+x^2）。
偶数的逆变换：a（n）=2*Sum_{k=1..n}k*a（n-k）-弗拉德塔·乔沃维奇2001年4月27日
a（n）=总和（-（1/3）*（-1+2*α）*α^（-1-n），α=（1-4*Z+Z^2）的根，
a（n）=（（（2+sqrt（3））^（n+1）-（2平方（3）^。（完）
a（n）=（2*sinh（2n*arcsinh（1/sqrt（2）））/sqrt（3）-赫伯特·科辛巴2008年4月24日
a（n）=（（3-2*sqrt（3））/3）*（2-sqrt-文森佐·利班迪2010年11月20日
a（n）=楼层（2+平方米（3））^n/sqrt（3）-扎克·塞多夫2011年3月31日
a（n）=（（2+平方码（3））^n-（2-平方码（三））^n）/sqrt（三）。（有关构造，请参见Horadam。）-Johannes靴子2012年1月8日
a（n+1）=2*a（n）+sqrt（3*a（n）^2+4），n>1-加里·德特利夫斯2024年2月27日
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例子
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彩色成分。a（2）=8：有两个4组成的偶数部分，即4和2+2。用素数表示零件的着色，8种颜色的组合是4、4’、4’’、4‘’、2+2、2+2'、2’+2和2’+2'-彼得·巴拉2013年9月17日
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MAPLE公司
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spec:=[S，{S=序列（Prod（并集（Z，Z），序列（Z），序列（Z）））}，未标记]：seq（combstruct[count]（spec，size=n），n=0..20）；
s:=sqrt（3）：a:=n->（（2-s）^n-（s+2）^n）/（s*（s-2）*（s+2））：
seq（简化（a（n）），n=0..24）#彼得·卢什尼2020年4月28日
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数学
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p=1；c=2；a[0]=0；a[1]=c；a[n]：=a[n]=p*c^2*a[n-1]-a[n-2]；表[a[n]，{n，0，20}]
嵌套列表[2#+Sqrt[4+3#^2]&，0，200](*扎克·塞多夫2011年3月31日*）
线性递归[{4，-1}，{0，2}，25](*T.D.诺伊2012年1月9日*）
系数列表[序列[2x/（1-4x+x^2），{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2023年5月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{poly002（p，c，m）=局部（v，w，j，a）；w=0；打印1（w，“，”）；v=c；打印1；
poly002（1,2,25）
（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；concat（[0]，Vec（2*x/（1-4*x+x^2））\\G.C.格鲁贝尔2019年2月25日
（PARI）第一（n）=n=最大（n，2）；my（res=向量（n））；res[1]=0；res[2]=2；对于（i=3，n，res[i]=4*res[i-1]-res[i-2]）；资源\\大卫·A·科内斯2020年4月28日
（哈斯克尔）
a052530 n=a052530_列表！！n个
a052530_列表=
0:2:zipWith（-）（map（*4）$tail a052530_list）a052530-list
（岩浆）I:=[0，2]；[n le 2选择I[n]else 4*Self（n-1）-Self[n-2）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2019年2月25日
（鼠尾草）（2*x/（1-4*x+x^2））.系列（x，30）.系数（x，稀疏=假）#G.C.格鲁贝尔2019年2月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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百科全书（AT）pommard.inia.fr，2000年1月25日
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 5, 12, 28, 65, 151, 351, 816, 1897, 4410, 10252, 23833, 55405, 128801, 299426, 696081, 1618192, 3761840, 8745217, 20330163, 47261895, 109870576, 255418101, 593775046, 1380359512, 3208946545
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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a（n+1）给出了Riordan数组的对角和（1/（1-x），x/（1-x）^3）-保罗·巴里2005年10月11日
a（n+2）是所有布尔n个字符串的和，是1的游程长度的乘积。例如，布尔7字符串（0,1,1,0,1,1）有两次1s运行。它们的长度2和3是6到a（9）的乘积。8个布尔3字符串对a（5）的贡献如下：000（空乘积）、001、010、100、101都贡献1011和110贡献2111贡献3-大卫·卡伦2007年11月29日
[a（n），a（n+1），a[n+2）]，n>0，=[0,1,0；0,0,1；1，-2,3]^n*[1,1,1]-加里·亚当森2008年3月27日
在没有初始1和1∶1、2、5、12、28的情况下，这也是T_{1,0}变换对1的变换；请参见Choulet链接-理查德·乔利特2009年4月11日
不使用第一个1:通过T_{0,0}转换对1进行转换（请参阅Choulet链接）-理查德·乔利特2009年4月11日
起始（1,2,5,12，…）=（1,1,2,3,4,5，…）的INVERT变换和三角形的行和159974英镑. -加里·亚当森2009年4月28日
a（n+1）也是321个可避免可分置换的数目。（如果置换同时避免了2413和3142，则置换是可分离的。）-文斯·瓦特，2009年9月21日
a（n+1）是（1,1,2,3,4,5，…）序列阵列的特征序列-保罗·巴里2010年11月3日
如果没有首字母1，a（n）=的行和A182097号（n）*A007318号（n，k）；即，三角数组T（n，k）将二项式（帕斯卡）三角形乘以Padovan序列，其中a（0）=1，a（1）=0，a（2）=1-鲍勃·塞尔科2013年6月28日
a（n+1）是3X3矩阵[1，1，1；0，1；1，0，1]或[1，1,0；1，1，1,1；1，0,1]或[1,1，1；1,1，0；0,1，1]中任意一个的n次方的左上角条目-R.J.马塔尔2014年2月3日
a（n）是3X3矩阵[1，0，1；1，1，1；0，1，1]或3X3阵[1，1，0；0，1,1；1，1]n次幂的左上角项-R.J.马塔尔2014年2月3日
序列数（e（1）。。。，e（n-1）），0<=e（i）<i，这样就不存在e（i！=的三元组i<j<ke（j）＜e（k）和e（i）＜＝e（k）。[Martinez和Savage，2.8]-埃里克·施密特2017年7月17日
a（n+1）是字母{0,1,2}中长度为n的单词数，这些单词不包含子字符串01或12，并且不以2开头，也不以0结尾-伊塞思·罗德里格斯。2020年9月11日
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链接
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米克洛斯·博纳和丽贝卡·史密斯，排列及其正方形中的图案回避，arXiv:1901.00026【math.CO】，2018年。参见H（z），示例4.1。
Michael Dairyko、Samantha Tyner、Lara Pudwell和Casey Wynn，二叉树中的非相似模式避免，电子。J.Combin.19（2012），第3期，论文22，21页MR2967227发件人N.J.A.斯隆2013年2月1日
斯托扬·迪米特洛夫，按洗牌方法和队列排序，arXiv:2103.04332[math.CO]，2021。
Phan Thuan Do、Thi Thu Huong Tran和Vincent Vajnovszki，避免（有色）规则模式集的排列的穷尽生成，arXiv:1809.00742[cs.DM]，2018年。
布莱恩·霍普金斯和华王，限制颜色n色成分，arXiv:2003.05291[math.CO]，2020年。
贾黄和埃尔科·莱顿，几种群胚的结合交换谱，arXiv:2401.15786[math.CO]，2024。见第18页。
H.Magnusson和H.Ulfarsson，置换模式定理的发现和证明算法，arXiv预印本arXiv:1211.7110[math.CO]，2012。
严春艳和林志聪，避免模式对的反转序列，arXiv:1912.03674[math.CO]，2019年。
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公式
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a（n）=3*a（n-1）-2*a（n-2）+a（n-3）。
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n+k-1，3*k）-保罗·巴里2004年7月6日
G.f.：（1-2*x）/（1-3*x+2*x^2-x^3）-保罗·巴里2005年7月6日
G.f.：1+x/（1-x/（1-x/（1-x/（1+x/（1-1-x））））-迈克尔·索莫斯2012年3月31日
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例子
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G.f.=1+x+x^2+2*x^3+5*x^4+12*x^5+28*x^6+65*x^7+151*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-2,1}，{1，1，1}，30](*哈维·P·戴尔2017年8月11日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..40]]中的[n le 3选择1其他3*自我（n-1）-2*自我（n-2）+自我（n-3）：n//文森佐·利班迪2012年2月14日
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n=0-n；polceoff（（1-x+x^2）/（1-2*x+3*x^2-x^3）+x*O（x^n），n），n=n-1/*迈克尔·索莫斯2012年3月31日*/
（SageMath）
@缓存函数
如果（n<3）：返回1
else：返回3*a（n-1）-2-a（n-2）+a（n-3）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 4, 13, 41, 129, 406, 1278, 4023, 12664, 39865, 125491, 395033, 1243524, 3914488, 12322413, 38789712, 122106097, 384377665, 1209982081, 3808901426, 11990037126, 37743426307, 118812495276, 374009739309, 1177344897715
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n+1）是（a+B+C+D）^n中不同矩阵乘积的数量，其中换向器[a，B]=[a，C]=[B，C]=0，但D不与a，B或C交换-保罗·D·汉纳和马克斯·阿列克谢耶夫2006年2月1日
起始（1，4，13，…）=三角级数（1，3，6，10，…）的INVERT变换。例如：a（5）=129=（1，1，4，13，41）和（15，10，6，3，1）的逐项乘积=（15+10+24+39+41）-加里·亚当森2009年4月10日
a（n）是当存在i^2/2+i/2不同类型的i（i=1,2，…）时，n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
Dedrickson（第4.2节）给出了n的有色成分之间的双射，其中每个部分k有一个二项式（k+1,2）颜色，以及长度为n-1的0,1,2,3字符串，避免了10、20和21。囊性纤维变性。A095263号。有关按零件数对二项式（k+1,2）彩色成分进行序列计数的细化，请参见127893年. -彼得·巴拉2013年9月17日
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上，第80页。
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链接
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D.Birmajer、J.B.Gil和M.D.Weiner，有限字母表上限制词的计数，J.国际顺序。19（2016）#16.1.3，示例14。
C.R.Dedrickson三世，合成、双射和枚举论文，佐治亚州南方大学Jack N.Averitt研究生院，2012年。
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公式
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a（n）=和{a=0..n}（和{b=0..nneneneep（和{c=0..n}c（n-b-c，a）*c（n-a-c，b）*c，n-a-b，c））。
通用格式：（1-x）^3/（1-4*x+3*x^2-x^3）。
当n>=4时，a（n）=4*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）。
a（n）=Sum_{alpha=RootOf（-1+4*x-3*x^2+x^3）}（1/31）*（6-5*alpha-3*alpha^2）*alpha ^（-1-n）。
对于n>0，a（n）=求和{k=0..n-1}求和{i=0..k}求并{j=0..i}a（j）-贝诺伊特·克洛伊特，2003年1月26日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n+2*k-1，n-k）-弗拉德塔·乔沃维奇2003年3月23日
如果p[i]=i（i+1）/2，并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det a-米兰Janjic2010年5月2日
递归方程：a（n）=Sum_{k=1..n}1/2*k*（k+1）*a（n-k），a（0）=1-彼得·巴拉2013年9月19日
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MAPLE公司
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规范：=[S，{S=序列（Prod（Z，Sequence（Z），Sequence[Z），序列（Z））]，未标记]：seq（combstruct[计数]（规范，大小=n），n=0..20）；
f： =gfun:-直肠（{a（n+4）-4*a（n+3）+3*a（n+2）-a（n+1），a（0）=1，a（1）=1、a（2）=4、a（3）=13}、a（n）、`记住`）：
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数学
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系数列表[级数[（-1+x）^3/（-1+4*x-3*x^2+x^3），{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2012年6月22日*）
线性递归[{4，-3，1}，{1，1，4，13}，30](*哈维·P·戴尔2015年10月4日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I：=[1、1、4、13、41、129]；[n le 6选择I[n]else 4*Self（n-1）-3*Self-（n-2）+Self：n in[1..40]]//文森佐·利班迪2012年6月22日
（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；向量（（1-x）^3/（1-4*x+3*x^2-x^3））\\G.C.格鲁贝尔2019年5月12日
（鼠尾草）（（1-x）^3/（1-4*x+3*x^2-x^3））.系列（x，30）.系数（x，稀疏=假）#G.C.格鲁贝尔2019年5月12日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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百科全书（AT）pommard.inia.fr，2000年1月25日
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状态
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经核准的
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1, 3, 8, 19, 44, 102, 237, 551, 1281, 2978, 6923, 16094, 37414, 86977, 202197, 470051, 1092736, 2540303, 5905488, 13728594, 31915109, 74193627, 172479257, 400965626, 932131991, 2166943978, 5037533578, 11710844769, 27224411129, 63289077427
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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公式
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通用格式：（1+x^2）/（1-3*x+2*x^2-x^3）。
a（n）=1 X 3矩阵[1,1,2]中的项（1,1）。[3,1,0；-2,0,1；1,0,0]^n-阿洛伊斯·海因茨2008年7月24日
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MAPLE公司
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a： =n->（<<1|1|2>>.<3|1|0>，<-2|0|1>，<1|0|0>>^n）[1$2]：
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数学
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线性递归[{3，-2，1}，{1，3，8}，30](*哈维·P·戴尔2019年7月10日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）[n le 3选择Fibonacci（2*n）else 3*Self（n-1）-2*Self（n-2）+Self（n-3）:n[1..31]]//G.C.格鲁贝尔2021年4月19日
（鼠尾草）
@缓存函数
定义A095263号（n） ：返回和（（0..n//2）中j的二项式（n+j+2，3*j+2））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 7, 17, 40, 93, 216, 502, 1167, 2713, 6307, 14662, 34085, 79238, 184206, 428227, 995507, 2314273, 5380032, 12507057, 29075380, 67592058, 157132471, 365288677, 849193147, 1974134558, 4589306057, 10668842202
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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...1;
...2,...1;
...3,...三，。。。1;
...7,...5,...4,...1;
..17,..10,...7,...5,...1;
..40,..24,..13,...9,...6,...1;
..93,..57,..31,..16,..11,...7,...1;
从第二行开始，一行的和给出下一行的第一项。对角线差是第一项。第一列是a（n）。
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链接
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公式
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a（n+1）=a（n）+a（n-1）+（n-1）*a（1）+（n-2）*a（2）+…+n>=3时为2*a（n-2）。
外径：1+x*（2-3*x+2*x^2）/（1-3*x+2*x^2-x^3）。
a（n+3）=3*a（n+2）-2*a（n+1）+a（n）。（完）
a（0）=1，a（n）=1 X 3矩阵[7,3,2]中的项（1,3）。[3,1,0；-2,0,1；1,0,0]^（n-1）（n>0）-阿洛伊斯·海因茨2008年7月24日
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MAPLE公司
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a： =n->`如果`（n=0，1，（<<7|3|2>>。<3|1|0>，<-2|0|1>，<1|0|0>>^（n-1））[1，3]）：
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数学
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线性递归[{3，-2，1}，{1，2，3，7，17}，51](*G.C.格鲁贝尔2016年10月11日；2021年4月19日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[3，7，17]；[1，2]目录[n le 3 select I[n]else 3*自我（n-1）-2*自我（n-2）+自我（n-3）：[1..51]]中的n//G.C.格鲁贝尔2021年4月19日
（鼠尾草）
@缓存函数
定义A095263号（n） ：返回和（（0..n//2）中j的二项式（n+j+2，3*j+2））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A277666型
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| k元字母表{A_1，A_2，…，A_k}上n长度单词的数字A（n，k）避免连续字母A_i，A_{i+1}；方阵A（n，k），n>=0，k>=0。 |
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+10
10
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1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 3, 3, 1, 0, 1, 4, 7, 4, 1, 0, 1, 5, 13, 16, 5, 1, 0, 1, 6, 21, 42, 37, 6, 1, 0, 1, 7, 31, 88, 136, 86, 7, 1, 0, 1, 8, 43, 160, 369, 440, 200, 8, 1, 0, 1, 9, 57, 264, 826, 1547, 1423, 465, 9, 1, 0, 1, 10, 73, 406, 1621, 4264, 6486, 4602, 1081, 10, 1, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,8
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链接
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公式
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k列的G.f:1/（1+Sum_{j=1..k}（k+1-j）*（-x）^j）。
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例子
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A（3,3）=16:000002020021022102101112002022102112202222（使用三元字母{0,1,2}）。
方阵A（n，k）开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
0, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, ...
0, 1, 4, 16, 42, 88, 160, 264, ...
0, 1, 5, 37, 136, 369, 826, 1621, ...
0, 1, 6, 86, 440, 1547, 4264, 9953, ...
0, 1, 7, 200, 1423, 6486, 22012, 61112, ...
0, 1, 8, 465, 4602, 27194, 113632, 375231, ...
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MAPLE公司
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A： =proc（n，k）选项记忆`如果`（n<0，0，`如果`（n=0，1，
-加（（-1）^j*（k+1-j）*A（n-j，k），j=1..k））
结束时间：
seq（seq（A（n，d-n），n=0..d），d=0..14）；
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数学
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A[n_，k_]：=A[n，k]=如果[n<0，0，如果[n==0，1，-和[（-1）^j*（k+1-j）*A[n-j，k]，{j，1，k}]]；
表[A[n，d-n]，{d，0，14}，{n，0，d}]//压扁(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗，2018年6月8日，来自Maple*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A052921号
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| 展开（1-x）/（1-3*x+2*x^2-x^3）。 |
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+10
9
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1, 2, 4, 9, 21, 49, 114, 265, 616, 1432, 3329, 7739, 17991, 41824, 97229, 226030, 525456, 1221537, 2839729, 6601569, 15346786, 35676949, 82938844, 192809420, 448227521, 1042002567, 2422362079, 5631308624, 13091204281, 30433357674, 70748973084, 164471408185
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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a（n）是n个（十进制）数字整数x的数目，使得x的所有数字都是奇数，6x的所有数位都是偶数-罗伯特·伊斯雷尔2014年4月17日
a（n）是字母{0,1,2}中长度为n且不包含子字符串01或12且不以0结尾的单词数-伊塞斯·K·罗德里格斯。2020年9月11日
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链接
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I.M.Gessel和Ji Li，成分和斐波那契恒等式，J.国际顺序。16 (2013) 13.4.5.
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公式
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通用格式：（1-x）/（1-3*x+2*x^2-x^3）。
a（n）=3*a（n-1）-2*a（n-2）+a（n-3），其中a（0）=1，a（1）=2，a（2）=4。
a（n）=Sum_{alpha=RootOf（-1+3*z-2*z^2+z^3）}（1/23）*（8-5*alpha+7*alpha^2）*alpha（-1-n）。
a（n）=和{k=0..n+1}C（n+k+1，n-2*k）。（完）
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例子
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G.f.=1+2*x+4*x^2+9*x^3+21*x^4+49*x*x^5+114*x^6+265*x^7+。。。
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MAPLE公司
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规范：=[S，{S=序列（并集（Z，Z，Prod（序列（Z），Z，Z）））}，未标记]：seq（组合结构[count]（规范，大小=n），n=0..29）；
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数学
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线性递归[{3，-2，1}，{1，2，4}，40](*文森佐·利班迪2012年2月14日*）
系数列表[级数[（1-x）/（1-3*x+2*x^2-x^3），{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2019年11月9日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[1,2,4]；[n le 3选择I[n]else 3*自我（n-1）-2*自我（n-2）+自我（n-3）：[1..40]]中的n//文森佐·利班迪2012年2月14日
（PARI）我的（x='x+O（'x^40））；Vec（（1-x）/（1-3*x+2*x^2-x^3））\\G.C.格鲁贝尔2019年10月16日
（鼠尾草）
P.<x>=PowerSeriesRing（ZZ，prec）
返回P（（1-x）/（1-3*x+2*x^2-x^3））.list（）
（间隙）a:=[1,2,4]；；对于[4..40]中的n，做a[n]：=3*a[n-1]-2*a[n-2]+a[n-3]；od；a#G.C.格鲁贝尔2019年10月16日
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），30）；系数（R！（（1-x）/（1-3*x+2*x^2-x^3））//马吕斯·A·伯蒂2019年10月16日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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百科全书（AT）pommard.inia.fr，2000年1月25日
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状态
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经核准的
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2, 6, 15, 35, 81, 188, 437, 1016, 2362, 5491, 12765, 29675, 68986, 160373, 372822, 866706, 2014847, 4683951, 10888865, 25313540, 58846841, 136802308, 318026782, 739322571, 1718716457, 3995531011, 9288482690, 21593102505, 50197873146, 116695897118, 271285047567
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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链接
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公式
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通用名称：z*（2+z^2）/（1-3*z+2*z^2-z^3）。
a（n+3）=3*a（n+2）-2*a（n+1）+a（n）（n>=0）-理查德·乔利特2009年4月7日
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MAPLE公司
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a： =n->（<<6|2|1>>。<3|1|0>，<-2|0|1>，<1|0|0>>^n）[1，3]：
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数学
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线性递归[{3，-2，1}，{2，6，15}，41](*G.C.格鲁贝尔2021年4月12日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[2,6,15]；[n le 3在[1..41]]中选择I[n]else 3*Self（n-1）-2*Self（n-2）+Self（n-3）:n//G.C.格鲁贝尔2021年4月12日
（鼠尾草）
P.<x>=PowerSeriesRing（ZZ，prec）
返回P（x*（2+x^2）/（1-3*x+2*x^2-x^3））.list（）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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