搜索： a064886-编号：a064885
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A002487号
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| 斯特恩双原子级数（或斯特恩-布罗科特序列）：a（0）=0，a（1）=1；当n>0时：a（2*n）=a（n），a（2xn+1）=a（n）+a（n+1）。
（原M0141 N0056）
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+10
373
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0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 13, 18, 5, 17, 12, 19
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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也称为fusc（n）[Dijkstra]。
a（n）/a（n+1）只运行了一次所有的约化非负有理数[Stern；Calkin和Wilf]。
如果将术语写入数组：
列0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
第0行：0
第1行：1
第2行：1,2
第3行：1,3,2,3
第4行：1,4,3,5,2,5,3,4
第5行：1，5，4，7，3，8，5，7，2，7，5，8，3，7，4，5
第6行：1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,9,7,12,5,13,8,11,10，。。。
...
然后（忽略第0行）第k行的和是3^（k-1），每列是一个算术级数，步骤只不过是原始序列Takashi Tokita（butaneko（AT）fa2.so-net.ne.jp），2003年3月8日
上述观察可以更加精确。设A（n，k），n>=0，0<=k<=2^（n-1）-1表示k>0，表示上面左对齐数组第n行和第k列中的条目。
列0、1、2、3、4…的方程式，。。。依次为（忽略第0行）：
1（n>=1），
n（n>=2），
n-1（n>=3），
2n-3（n>=3），
n-2（n>=4），
3n-7（n>=4），
...
通常，列k>0由下式给出
A（n，k）=A（k）*n-A156140型（k） 对于n>=上限（log2（k+1））+1，否则为0。
（结束）
a（n）是奇数斯特林数S_2（n+1，2r+1）[Carlitz]的个数。
Moshe Newman证明了分数a（n+1）/a（n+2）可以由前面的分数a（n）/a（n+1）=x乘以1/（2*floor（x）+1-x）生成。也可以使用后继函数f（x）=1/（floor（x）+1-frac（x））。
a（n+1）=n[Finch]中的交替位集数。
如果f（x）=1/（1+楼层（x）-压裂（x）），则f（a（n-1）/a（n））=a（n）/a（n+1），对于n>=1。如果T（x）=-1/x和f（x）=y，则f（T（y））=T（x-迈克尔·索莫斯2006年9月3日
a（n+1）是将n写成2的幂和的方式的数量，每个幂最多使用两次（n的超二元表示的数量）[Callitz；Lind]。
a（n+1）是可表示为不同的偶数订阅斐波那契数之和的第n个整数的分区数(=A054204号（n） ），转化为不同斐波那契数的和[Bicknell-Johnson，定理2.1]。
a（n+1）是奇数二项式（n-k，k）的个数，0<=2*k<=n。[Carlitz]修正为亚历山德罗·德卢卡2014年6月11日
a（2^k）=1。a（3*2^k）=a（2^（k+1）+2^k）=2。a（2^k）=1和a（2qu（k+1））=1之间的项序列是长度为2^k-1的回文，中间是a（2q+2^（k-1））=2。a（2^（k-1）+1）=a（2q-1）=k+1，对于k>1-亚历山大·阿达姆楚克，2006年10月10日
这个序列的项似乎是45度斜率的帕斯卡三角形对角线中奇数项的数目哈维尔·托雷斯（adaycalledzero（AT）hotmail.com），2009年8月6日
设M是一个无限下三角矩阵，每列中有（1，1，1、0、0、…）向下移位两次：
1;
1, 0;
1, 1, 0;
0, 1, 0, 0;
0, 1, 1, 0, 0;
0, 0, 1, 0, 0, 0;
0, 0, 1, 1, 0, 0, 0;
...
a（2*n）=r*a（n），a（2xn+1）=a（n，n）+a（n+1）；r=1-加里·亚当森2010年5月29日
可能是每个对角线的不同条目数A223541型。这意味着正好有一个（n+1）数字可以表示为nim-product 2^x*2^y，其中x+y=n-蒂尔曼·彼得斯克2013年3月27日
设f（m，n）是整数n在区间[a（2^（m-1）），a（2*m-1）]中的频率。设phi（n）为Euler的totiten函数(A000010美元). 猜想：对于所有整数m，n n<=m f（m，n）=phi（n）-尤拉门迪2014年9月8日
在字母表{-，+}:chf（1）='-'上定义Christoffel单词的序列chf（n）；chf（2*n+0）=否定（chf（n））；chf（2*n+1）=否定（串联（chf（n），chf（n+1）））。那么chf（n）单词的长度为fusc（n）=a（n）；chf（n）单词中“-”符号的数量是c-fusc（n）=A287729号（n） ；chf（n）单词中“+”符号的数量是s-fusc（n）=A287730型（n） 。请参见以下示例-I.V.塞洛夫2017年6月1日
对于Z中的所有n，序列可以扩展为a（n）=a（-n），a（2*n）=a（n），a-迈克尔·索莫斯，2019年6月25日
以德国数学家莫里茨·亚伯拉罕·斯特恩（Moritz Abraham Stern，1807-1894）命名，有时也以法国钟表匠兼业余数学家阿奇尔·布罗科（Achille Broco，1817-1878）命名-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月6日
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参考文献
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链接
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理查德·斯坦利（Richard P.Stanley）和赫伯特·威尔夫（Herbert S.Wilf），尾部双原子序列的精炼，未发布。
理查德·斯坦利（Richard P.Stanley）和赫伯特·威尔夫（Herbert S.Wilf），尾部双原子序列的精炼[缓存副本，具有权限]
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配方奶粉
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a（n+1）=（2*k+1）*a（n）-a（n-1），其中k=楼层（a（n-1）/a（n））-大卫·S·纽曼2001年3月4日
设e（n）=A007814号（n） =2除以n的最高幂的指数。然后a（n+1）=（2k+1）*a（n）-a（n-1），n>0，其中k=e（n）。此外，地板（a（n-1）/a（n））=e（n），符合D.Newman的公式Dragutin Svertan（dsvrtan（AT）math.hr）和Igor Urbiha（Urbiha（AT）数学.hr），2002年1月10日
Calkin和Wilf得出0.9588<=limsup a（n）/n^（log（phi）/log（2））<=1.1709，其中phi是黄金平均值。这个上确界是1吗-贝诺伊特·克洛伊特2004年1月18日。库恩斯和泰勒表示，限制是A246765型= 0.9588... -凯文·莱德2021年1月9日
a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/2）}（二项式（n-k-1，k）mod 2）-保罗·巴里2004年9月13日
a（n）=和{k=0..n-1}（二项式（k，n-k-1）mod 2）-保罗·巴里2005年3月26日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=v^3+2*u*v*w-u^2*w-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，x），A（x^2），A-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.：x*产品{k>=0}（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1）））[卡利茨]。
a（n）=a（n-2）+a（n-1）-2*-迈克留下来2006年11月6日
a（n）=和{k=1..n}k（k，n-k）*a（n-k），其中k（n，k）=1，如果0<=k AND k<=n AND n-k<=2 AND k（n、k）=0 else。（当使用这样的K系数时，K的几个不同参数或K的多个不同定义可能会导致相同的整数序列。例如，如果我们在上述定义中去掉条件K<=n，则我们得出A002083号=Narayana-Zidek-Capell数字。）-托马斯·维德，2008年1月13日
a（k+1）*a（2^n-k）-a（k）*a；a（2^n-k）+a（k）=a（2~（n+1）+k）。这两个公式都适用于0≤k≤2^n-1。通用公式：G（z）=a（1）+a（2）*z+a（3）*z^2+…+a（k+1）*z^k+。。。定义f（z）=（1+z+z^2），然后G（z）=lim f（z*f（z^（2^n））*…=（1+z+z^2）*G（z^2Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月11日
a（k+1）*a（2^n-k）-a（k）*aArie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
a（2^n+k）=a（2*n-k）+a（k）（0<=k<=2^n）Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
设g（z）=a（1）+a（2）*z+a（3）*z^2+…+a（k+1）*z^k+。。。，f（z）=1+z+z^2。那么g（z）=lim_{n->infinity}f（z）*f（z^2）*f*f（z^（2^n）），g（z）=f（z）*g（z^2）Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
对于0<=k<=2^n-1，写k=b（0）+2*b（1）+4*b（2）+…+2^（n-1）*b（n-1，其中b（0）、b（1）等为0或1。用条目X（1,1）=X（2,2）=1，X（1,2）=1-b（m），X（2,1）=b（m。设P（n）=X（0）*X（1）**X（n-1）。矩阵P的项是序列的成员：P（1,1）=a（k+1），P（1,2）=aArie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月20日
设f（x）=A030101型（x） ；如果2^n+1<=x<=2^（n+1）且y=2^（n+1）-f（x-1），则a（x）=a（y）Arie Werksma，2008年7月11日
等于充气[1,1,0,0,0,0,0]的无穷卷积乘积A000079号-1倍，即[1,1,1,0,0,0-0,0,1,0]*[1,0,10,1,0，0,00,0]*[1,0,0，0，0,1]-Mats Granvik公司和加里·亚当森2009年10月2日；已由更正Mats Granvik公司2009年10月10日
a（2^（p+2）*n+2^（p+1）-1）-a（2^（p+1）*n=2^p-1）=A007306号（n+1），p>=0和n>=0-约翰内斯·梅耶尔2013年2月7日
a（n*2^m）=a（n），m>0，n>0-尤拉门迪，2014年7月3日
a（k+1）*a（2^m+k）-a（k）*a-尤拉门迪2014年11月7日
（2^（m+1）+（k+1））*a（2^m+k）-a（2^m+1）+k）*a-尤拉门迪2014年11月7日
a（5*2^k）=3。a（7*2^k）=3。a（9*2^k）=4。a（11*2^k）=5。a（13*2^k）=5。a（15*2^k）=4。一般情况下：a（（2j-1）*2^k）=A007306号（j） ，j>0，k>=0（参见Adamchuk的评论）-尤拉门迪2016年3月5日
a（2^m+2^m'+k'）=a（2*m'+k'）*（m-m'+1）-a（k'），m>=0，m'<=m-1，0<=k'<2^m'-尤拉门迪2016年7月13日
设n是一个自然数，[b_mb_（m-1）…b_1b_0]是b_m=1的二元展开式。
设L=Sum_{i=0..m}b_i是等于1（L>=1）的二进制位数。
设{m_j:j=1..L}是b_m_j=1、j=1..L和0<=m_1<=m_2<=…<=m_L=米。
如果L=1，则c_1=1，否则设{c_j:j=1..（L-1）}为系数集，使得c_（j）=m_（j+1）-m_j+1，1<=j<=L-1。
设f是定义在{1..L+1}上的函数，使得f（1）=0，f（2）=1，f（j）=c_（j-2）*f（j-1）-f（j-2，3<=j<=L+1。
那么a（n）=f（L+1）（参见示例）。（结束）
a（2^（m+2）+2^（m+1）+k）-a（2^（m+1）+2^m+k）=2*a（k），m>=0，0<=k<2^m。
a（2^（m+2）+2^（m+1）+k）-a（2^（m+1）+k）=a（2*m+k），m>=0，0<=k<2*m。
a（2^m+k）=a（k）*（m-楼层（log_2（k））-1）+a（2#楼层（log_2[k））+1）+k），m>=0，0<k<2^m，a（2*m）=1，a（0）=0。
（结束）
a（2^m）=1，m>=0。
a（2^r*（2*k+1））=a。
（结束）
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例子
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Stern的双原子数组开始：
1,1,
1,2,1,
1,3,2,3,1,
1,4,3,5,2,5,3,4,1,
1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5,1,
1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,9,7,12,5,13,8,11,3,10,7,11,4,9,...
...
a（91）=19，因为91_10=1011011_2；b6=b4=b3=b1=b0=1，b5=b2=0；L=5；m1=0，m2=1，m3=3，m4=4，m5=6；c1=2，c2=3，c3=2，c 4=3；f（1）=1，f（2）=2，f（3）=5，f（4）=8，f（5）=19-尤拉门迪2016年7月13日
a（n）是Christoffel单词chf（n）的长度：
1 '-' 1 1
2 '+' 2 1
3 '+-' 2 2
4 '-' 3 1
5 '--+' 3 3
6 '-+' 3 2
…（完）
G.f.=x+x ^2+2*x ^3+x ^4+3*x ^5+2*x ^6+3*x ^7+x ^8+-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
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MAPLE公司
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A002487号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则n elif n mod 2=0，则procname（n/2）；其他进程名（n-1）/2）+进程名（n+1）/2）；fi；结束：连续(A002487号（n） ，n=0..91）；
A002487号：=proc（m）局部a，b，n；a:=1；b:=0；n：=米；当n>0时，如果类型（n，奇数）为do，则b:=a+b，否则a:=a+b结束if；n:=地板（n/2）；结束do；b；结束进程：seq(A002487号（n） ，n=0..91）；#程序改编自E.Dijkstra，《计算机文选》，施普林格出版社，1982年，第232页Igor Urbiha（Urbiha（AT）math.hr），2002年10月28日。自A007306号（n） =a（2*n+1），此程序可适用于A007306号将b:=0替换为b:=1。
A002487号：=proc（n:：integer）局部k；选项记忆；如果n=0，则0 elif n=1，然后1再加上（K（K，n-1-K）*进程名（n-K），K=1。。n） end-if-end进程：
K:=进程（n:：integer，K:：integer）局部KC；如果0<=k，k<=n，n-k<=2，则KC:=1；否则KC:=0；结束条件：；结束进程：seq(A002487号（n） ，n=0..91）#托马斯·维德2008年1月13日
#下一个Maple计划：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<2，n，
（q->a（q）+（n-2*q）*a（n-q））（iquo（n，2））
结束时间：
fusc:=proc（n）局部a，b，c；a:=1；b:=0；
对于convert（n，base，2）do中的c
如果c=0，则a:=a+b，否则b:=a+bfiod；
b端：
seq（fusc（n），n=0..91）#彼得·卢施尼2022年11月9日
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数学
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a[0]＝0；a[1]=1；a[n_]：=如果[EvenQ[n]，a[n/2]，a[（n-1）/2]+a[（n+1）/2]]；表[a[n]，{n，0，100}]（*程序结束*）
一个[l]：=转置[{l，l+RotateLeft[l]}]//展平；
NestList[Onemore，{1}，5]//Flatten（*给出[a（1），…]*）（*Takashi Tokita，2003年3月9日*）
ToBi[l_]：=表[2^（n-1），{n，长度[l]}]。反向[l]；地图[长度，
拆分[Sort[Map[ToBi，Table[IntegerDigits[n-1，3]，{n，500}]]]（*give[a（1），…]*）（*Takashi Tokita，2003年3月10日*）
a[0]=0；a[1]=1；
压扁[表[{a[2*n]=a[n]，a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]}，{n，0，50}]](*霍斯特·H·曼宁格2021年6月9日*）
nmax=100；系数列表[系列[x*乘积[（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1））），{k，0，Floor[Log[2，nmax]]+1}]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2022年10月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<2，n>0，a（n\2）+if（n%2，a（n\2+1））}；
（PARI）fusc（n）=局部（a=1，b=0）；当（n>0时，如果（位和（n，1），b+=a，a+=b）；n> >=1）；b条\\查尔斯·格里特豪斯四世2008年10月5日
（PARI）A002487号（n，a=1，b=0）=对于（i=0，logint（n，2），如果（位测试（n，i），b+=a，a+=b））；b条\\M.F.哈斯勒，2017年2月12日，2019年2月14日更新
（哈斯克尔）
a002487 n=a002487_列表！！n个
a002487_list=0:1:船尾[1]，其中
stern fuscs=fuscs“++stern fuscos”，其中
fuscs'=交错fuscs$zipWith（+）fuscs$（尾部fuscs）++[1]
交错[]ys=ys
交错（x:xs）ys=x:interleave ys-xs
（右）
N<-50#任意
a<-1
for（n in 1:n）
{
a[2*n]=a[n]
a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]
一
}
一
（方案）
;; 例如，可以在以下内容中找到memoization-macro definec的实现：http://oeis.org/wiki/Memoization网站
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
定义a（n）：如果n<2，则返回n；如果n%2==0，则返回a（（n-1）//2）+a（（n+1）//2#印地瑞尼Ghosh，2017年6月8日；已由更正雷扎·K·加齐2021年12月27日
（Python）
定义a（n）：
a、 b=1,0
当n>0时：
如果n&1：
b+=a
其他：
a+=b
n>>=1
返回b
（鼠尾草）
M=[1,0]
对于n位中的b（）：
M[b]=M[0]+M[1]
返回M[1]
（朱莉娅）
使用Nemo
函数A002487List（len）
a、 a=QQ（0），[0，1]
对于n in 1:len
a=next_calkin_wilf（a）
推！（A，分母（A））
结束
A结束
A002487列表（91）|>打印#彼得·卢施尼2018年3月13日
（R） #给定n，通过考虑n的二进制表示来计算a（n）
a<-函数（n）{
b<-作为数字（intToBits（n））
l<-总和（b）
m<-其中（b==1）-1
d<-1
如果（l>1）对于（j in 1：（l-1））d[j]<-m[j+1]-m[j]+1
f<-c（0，1）
如果（3中的j：（l+1））f[j]<-d[j-2]*f[j-1]-f[j-2]的（l>1）
返回（f[l+1]）
（R） #将序列计算为向量a，而不是如上所述的函数a（）。
A<-c（1，1）
maxlevel<-5#（可选）
for（m in 1:maxlevel）{
A[2^（m+1）]<-1
for（k in 1:（2^m-1））{
r<-m-楼层（log2（k））-1
A[2^r*（2*k+1）]<-A[2^r*2*k）]+A[2^r（2*k+2）]
}}
（岩浆）[&+[（二项式（k，n-k-1）mod 2）：k in[0..n]]：n in[0..100]]//文森佐·利班迪2019年6月18日
（Python）
定义A002487号（n） ：对于范围（n）中的k，返回和（int（not（n-k-1）&~k））#柴华武2022年6月19日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000123号,A000360型,A001045号,A002083号,A011655号,A020950型,A026741号,A037227美元,A046815号,A070871号,A070872号,A071883号,A073459号,A084091号,A101624号,A126606号,A174980型,A174981号,A178239号,A178568号,A212288型,A213369型,A260443型,A277020型,A277325号,A287729号,208730元,A293160型.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A007051号
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| a（n）=（3^n+1）/2。
（原名M1458）
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+10
202
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1, 2, 5, 14, 41, 122, 365, 1094, 3281, 9842, 29525, 88574, 265721, 797162, 2391485, 7174454, 21523361, 64570082, 193710245, 581130734, 1743392201, 5230176602, 15690529805, 47071589414, 141214768241, 423644304722, 1270932914165, 3812798742494, 11438396227481
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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具有n条边且高度最多为4的有序树的数量。
所有偶数自然数组成n部分的数量<=2（0作为一部分计算），见示例-阿迪·达尼2011年5月14日
考虑映射f（a/b）=（a+2*b）/（2*a+b）。从a=1，b=2开始，对每个新的（约化的）有理数重复进行映射，得到序列1/2，4/5，13/14，40/41。。。收敛到1。序列包含分母=（3^n+1）/2。N的相同映射，即f（a/b）=（a+N*b）/（a+b）给出了收敛到N^（1/2）的分数-阿玛纳斯·穆尔西2003年3月22日
cosh（x）展开式的第二二项式变换-保罗·巴里2003年4月5日
数量（0），s（1）。。。，s（2n+2）），使得0<s（i）<6和|s（i。。。，2n+2，s（0）=1，s（2 n+2）=1-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
正则语言L在{1,2,3}^*上的密度（即L中长度为n的字符串数）由正则表达式11*+11*2（1+2）*+11x2（1+2）*3（1+2+3）*描述-内尔马·莫雷拉，2004年10月10日
字母表A=｛A，b，c｝中包含偶数A的n个单词的数量。-冯志贤（cheokyin_restart（AT）yahoo.com.hk），2006年8月30日
设P（A）是一个n元集A的幂集。然后A（n）=P（A）的元素对{x，y}的个数，其中0）x和y不相交，x不是y的子集，y不是x的子集，或1）x=y-罗斯·拉海耶2008年1月10日
a（n+1）给出了长度为n且基态<2>的原始周期多重杂耍序列的个数-史蒂夫·巴特勒2008年1月21日
a（n）也是（n链的）幂等序保和降序部分变换的个数-阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月2日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=5，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=（-1）^n*charpoly（a，2）-米兰Janjic2010年1月27日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=6，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=（-1）^（n-1）*charpoly（a，3）-米兰Janjic2010年2月21日
如果s（n）是形式s（1）=2，s（n。
用m（1，n）=1和m（i，j）=Sum_{k=1..i-1}m（k，j）+Sum_}k=1..j-1}m。反对角线（n-1）中的项之和=a（n）-J.M.贝戈2013年7月16日
Engel展开式为3到基数b：=3/2，定义见A181565号，相关级数展开式3=b+b^2/2+b^3/（2*5）+b^4/（2x5*14）+。。。。囊性纤维变性。A034472号.
矩阵A^n的对角元素（以及比反对角元素多一个），其中A=（2,1；1,2）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年8月17日
当x等于n个不同素数的乘积时，a（n）等于下列方程的整数解数：1/x=1/y+1/z，其中0<x<y<z。
如果z＝k*y，其中k是分数>=1，则解可以给出为：y＝（（k+1）/k）*x和z＝（k+1）*x。
这里k可以等于x的任何除数，也可以等于两个除数之比。
例如，对于x=2*3*5=30（三个不同素数的乘积），k将具有以下14个值：1、6/5、3/2、5/3、2、5/2、3、10/3、5、6、15/2、10、15、30。
作为k=10/3的例子，我们将y=39，z=130和1/39+1/130=1/30。
在这里，找到分数的数量相当于将n个球（不同的素数）分布到两个没有空箱子的箱子（分子和分母）中，而这些箱子可以使用第二类斯特林数找到。（n）的另一个定义是：a（n）=2^n+Sum_{i=2..n}Stirling2（i，2）*二项式（n，i）。
（结束）
a（n+1）是加泰罗尼亚数字C（i）的最小i（参见A000108号)对于n>0，可被3^n整除。这是根据富兰克林·T·亚当斯-沃特斯用于确定素数除以C（n）的多重性。我们需要找到以3为基数的最小数字才能获得给定的计数。应用于素数3时，1是计数的最小数字，但需要后跟不能在末尾的2才能计数。因此，以3为底的形式1{n-1乘以}20=（3^（n+1）+1）/2+1=a（n+1，+1）是实现计数n的最小数字，这意味着权利要求-彼得·肖恩2020年3月6日
设A是n阶Toeplitz矩阵，定义为：A[i，j]=1，如果i<j；如果i>j，A[i，j]=-1；A[i，i]=2。然后，对于n>=1，a（n）=det a-德米特里·埃菲莫夫2021年10月28日
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参考文献
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J.M.Borwein、D.H.Bailey和R.Girgensohn，《数学实验》，A K Peters有限公司，马萨诸塞州纳蒂克，2004年。x+357页，见第47页。
阿迪·达尼（Adi Dani），《自然数的拟合成》，《马其顿数学家大会第三届会议记录》，29 IX-2 X 2005年，第225-238页。
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
P.Ribenboim，《素数记录簿》。Springer-Verlag，纽约州，第二版，1989年，第60页。
P.Ribenboim，《大黄金小书》，斯普林格出版社，纽约，1991年，第53页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Jean-Luc Baril、Pamela E.Harris和JoséL.Ramírez，扁平加泰罗尼亚语单词，arXiv:2405.05357[math.CO]，2024。见第6页。
A.M.Baxter和L.K.Pudwell，避免成对图案的递增序列，预印本，《组合数学电子杂志》，第22卷，第1期（2015年），论文编号P1.58。
Beáta Bényi和Toshiki Matsusaka，多贝努利数组合学的推广，arXiv:2106.05585[math.CO]，2021。
S.Butler和R.Graham，枚举（多路）杂耍序列，arXiv:0801.2597[math.CO]，2008年。
F.Castro-Velez、A.Diaz-Lopez、R.Orellana、J.Pastrana和R.Zevallos，有符号排列具有相同峰值集的排列数，arXiv预印本arXiv:1308.6621[math.CO]，2013。
Alexander Diaz Lopez、Pamela E.Harris、Erik Insko和Darleen Perez Lavin，经典Coxeter群的峰集，arXiv预印本arXiv:1505.04479[math.GR]，2015。
P.Duncan和Einar Steingrimsson，上升序列中的模式回避，arXiv预印本arXiv:1109.3641[math.CO]，2011。
彼得·格雷戈（Petr Gregor）、托尔斯滕·穆策（Torsten Mütze）和纳姆拉塔（Namrata），通过置换语言的组合生成。六、 二叉树，arXiv：2306.08420[cs.DM]，2023年。
彼得·格雷戈（Petr Gregor）、托尔斯滕·穆策（Torsten Mütze）和纳姆拉塔（Namrata），避免二叉树的模式——生成、计数和双投影莱布尼茨国际诉讼。信息学（LIPIcs），第34届国际交响乐团。阿尔戈。公司。（ISAAC 2023）。见第33.13页。
F.K.Hwang和C.L.Mallows，枚举嵌套分区和连续分区J.Combina.理论系列。A 70（1995），第2期，323-333。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser，2013年。参见第100页。图书网站
谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔，简单的标记网格图案，arXiv预印本arXiv:1201.1323[math.CO]，2012。
埃尔科·莱顿（Erkko Lehtonen）和塔马斯·沃尔德豪斯（Tamás Waldhauser），图代数的结合谱I.基础，无向图，反结合图，arXiv:2011.07621[math.CO]，2020年。
Kin Y.Li，问题83《数学神剑》，4（1999），第4期，第3页。
Toufik Mansour和Mark Shattuck，用加泰罗尼亚序列避免经典模式Filomat 31，No.3，543-558（2017）。定理3.7。
N.Moreira和R.Reis，有限集划分语言的密度《整数序列杂志》，8（2005），第05.2.8条。
L.Pudwell，树木中的模式避免，（演讲中的幻灯片，提到了许多序列），2012年。
L.Pudwell和A.Baxter，避免成对图案的递增序列2014年7月7日，东田纳西州立大学，幻灯片，排列模式。
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配方奶粉
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a（n）＝3*a（n-1）-1。
当n>1时，a（n）=4*a（n-1）-3*a（n-2），a（0）=1，a（1）=2。
通用名称：（1-2*x）/（1-x）*（1-3*x））。（结束）
例如：exp（2*x）*cosh（x）-保罗·巴里2003年4月5日
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n，2*k）*2^（n-2*k）-保罗·巴里2003年5月8日
该序列也是第二类前3个斯特林数的部分和：对于n>=0，a（n）=S（n+1，1）+S（n+1,2）+S；或者，它是[n+1]分成3个或更少部分的分区数-迈克·扎布罗基2004年6月21日
对于c=3，a（n）=（c^n）/c！+求和{k=1..c-2}（（k^n）/k*（和{j=2..c-k}（（-1）^j）/j！））或=和{k=1..c}g（k，c）*k^n其中g（1，1）=1，g（1、c）=g（1；c-1）+（（-1）^（c-1））/（c-1）！对于c>1，g（k，c）=g（k-1，c-1）/k，对于c>1和2<=k<=c-内尔马·莫雷拉2004年10月10日
序列的第i项是2X2矩阵M=（（2，1），（1，2））的第i次幂的项（1，1）-西蒙·塞韦里尼2005年10月15日
如果p[i]=fibonacci（2i-3），并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=det a-米兰Janjic2010年5月8日
a（n）=M^n*[1，1，0，0，0，…]，最左边的列项；其中M=一个无限双对角矩阵，所有1都在超对角线中，（1,2,3，…）在主对角线和其余零中-加里·亚当森2011年6月23日
a（n）=M^n*{1,1,0,0,0，…]，顶项；其中M是一个无限双对角矩阵，所有1都在超对角线中，（1,2,3，…）作为主对角线，其余0为零-加里·亚当森2011年6月24日
a（2*m+1）=产品{k=-m.m}（2+i*tan（Pi*k/（2*m+1））），
a（2*m）=产品{k=-m.m-1}（2+i*tan（Pi*（2*k+1）/（4*m））），
其中i是假想单位。（结束）
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例子
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a（3）=14，因为所有偶数自然数组成的3部分<=2的成分都是
对于0：（0,0,0）
对于2:（0,1,1），（1,0,1）
对于4:（0,2,2），（2,0.2），（2,2,0），（1,1,2）
对于6:（2,2,2）。
（结束）
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MAPLE公司
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ZL:=[S，{S=并集（序列（Z），序列（并集（Z，Z，Z）））}，未标记]：seq（组合结构[计数]（ZL，大小=n）/2，n=0..25）#零入侵拉霍斯2008年6月19日
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数学
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系数列表[级数[（1-2 x）/（1-x）（1-3 x）），{x，0，40}]，x](*哈维·P·戴尔2011年6月20日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（3^n+1）/2:n英寸[0..30]]//文森佐·利班迪2015年11月23日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A056449号,A064881号-A064886号,A008277号,A007581号,A056272号,A056273号,A000392号,A000079号,A034472号,A147292号,A003462号,A065363号,A071919号,A007583号,A083065型,A083066号.
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关键词
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容易的,非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A049456号
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| 三角形T（n，k）=Farey级数变量第n行第k项分数的分母。这也是Stern的按行读取的双原子数组（版本1）。 |
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+10
29
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1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 13
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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第n行的长度为2^（n-1）+1。
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参考文献
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J.C.Lagarias，《数论与动力系统》，S.A.Burr主编，第35-72页，《数理的不合理有效性》，Proc。交响乐。申请。数学。，46 (1992). 阿默尔。数学。Soc公司。
W.J.LeVeque，《数论专题》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，2卷。，1956年，第1卷，第154页。
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链接
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C.朱利和R.朱利，斯特恩双原子序列的引物，光纤。夸脱。，17（1979）、103-108、246-248和318-320（但要注意错误）。
D.H.Lehmer，关于斯特恩双原子级数阿默尔。数学。《1929年第36（2）月刊》，第59-67页。
D.H.Lehmer，关于斯特恩双原子级数阿默尔。数学。1929年《月刊》第36（1）期，第59-67页。[注释和更正的扫描副本]
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配方奶粉
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每一行都是通过复制前一行，但插入相邻项对的和来获得的。例如，在1 2 1之后，我们得到1 1+2 2 2+1 1。
票价树的第1行是0/1，1/1。通过在每对术语之间插入中位数，从第n-1行获得第n行。
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例子
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0/1, 1/1; 0/1, 1/2, 1/1; 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1; 0/1, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 1/1; 0/1, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, ... =A049455号/A049456号
数组开始
1...............................1
1...............2...............1
1.......3.......2.......3.......1
1...4...3...5...2...5...3...4...1
1.5.4.7.3.8.5.7.2.7.5.8.3.7.4.5.1
.................................
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MAPLE公司
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选项记忆；
如果n=1，则
如果k>=0且k<=1，则
1;
其他的
0 ;
结束条件：；
elif类型（k，'even'）then
procname（n-1，k/2）；
其他的
进程名（n-1，（k+1）/2）+进程名（n-1，（k-1）/2）；
结束条件：；
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数学
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压扁[NestList[Riffle[#，Total/@Partition[#，2，1]&，{1，1}，10]](*哈维·P·戴尔2013年3月16日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。列表（转置）
a049456 n k=a049456_tabf！！（n-1）！！（k-1）
a049456_row n=a049456 _ tabf！！（n-1）
a049456_tabf=迭代
（\row->concat$transpose[row，zipWith（+）row$tail-row]）[1，1]
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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0, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 13, 14, 18, 21, 26, 28, 33, 36, 40, 41, 46, 50, 57, 60, 68, 73, 80, 82, 89, 94, 102, 105, 112, 116, 121, 122, 128, 133, 142, 146, 157, 164, 174, 177, 188, 196, 209, 214, 226, 233, 242, 244, 253, 260, 272, 277, 290, 298, 309, 312, 322, 329, 340, 344, 353, 358, 364, 365, 372, 378, 389, 394, 408, 417, 430, 434, 449, 460, 478, 485, 502, 512, 525, 528, 542, 553, 572, 580, 601, 614, 632, 637, 654, 666, 685
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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链接
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Clemens Heuberger、Daniel Krenn和Gabriel F.Lipnik，q序列的渐近分析《算法》，第84卷（2022年），第2480-2532页；arXiv预印本，arXiv:2105.04334[math.CO]，2021-2022。
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配方奶粉
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通用公式：（x/（1-x））*产品{k>=0}（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1）））-伊利亚·古特科夫斯基2017年2月27日
a（2k）=2*a（k）+a（k-1）；a（2k+1）=2*a（k）+a（k+1）-迈克尔·柯林斯2018年12月25日
a（n）=n^log_2（3）+Psi_D（log_2（n））+O（n^log_（phi）），其中phi是黄金比率(A001622号)Psi_D是一个1-周期连续函数，它是Hölder连续的，任何指数都小于log_2（3/phi）（Heuberger等人，2022）-阿米拉姆·埃尔达尔2023年5月18日
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例子
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a（16）=0+1+1+2+1+3+2+3+1+4+3+5+2+2+2+2+5+2+5+5+3+4+1=41。
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数学
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a[n_]：=a[n]=如果[EvenQ[n]，2*a[n/2]+a[n/2-1]，2*a[（n-1）/2]+a[（n+1）/2]]；a[0]=0；a[1]=1；数组[a，100，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年5月18日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
从itertools导入累加、计数、岛屿
从functools导入reduce
计数（1）中n的返回累加（如果int（y）else（x[0]+x[1]，x[1]），bin（n）[-1:2:-1]，（1，0）），初始值=0）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002487号,A007729号,A084091号,A049456号,A020946号,A020950美元,A046815号,A070871号,A070872号,A071883号,A064881号-A064886号,A072170号,A001045号,A002083号,A073459号,A000123号,A126606号,A049455号.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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