搜索： a007051-编号：a00705一
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1, 2, 3, 5, 8, 14, 23, 41, 68, 122, 203, 365, 608, 1094, 1823, 3281, 5468, 9842, 16403, 29525, 49208, 88574, 147623, 265721, 442868, 797162, 1328603, 2391485, 3985808, 7174454, 11957423, 21523361, 35872268, 64570082, 107616803, 193710245, 322850408, 581130734
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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a（1）=1，a（2n）=（3^n+1）/2，a（2 n+1）=（5*3^（n-1）+1）/2。
通用格式：x-x^2*（-2-x+4*x^2）/（（x-1）*（3*x^2-1））-R.J.马塔尔2014年9月23日
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数学
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线性递归〔｛1，3，-3｝，｛1，2，3，5｝，40〕(*雨果·普福尔特纳2022年9月27日*）
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黄体脂酮素
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（方案）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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125170英镑
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| 无限下三角矩阵的二项式变换，每列中有（1,1,2,4,8，…），其余零。让左栏=A007051号则对于k>1，T（n，k）=（n-1，k）+（n-1、k-1）。 |
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+20
0
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1, 2, 1, 5, 3, 1, 14, 8, 4, 1, 41, 22, 12, 5, 1, 122, 63, 34, 17, 6, 1, 365, 185, 97, 51, 23, 7, 1, 1094, 550, 282, 148, 74, 30, 8, 1, 3281, 1644, 832, 430, 222, 104, 38, 9, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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例子
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(5,3) = 34 = 12 + 22 = (4,3) + (4,2).
三角形的前几行：
1;
2, 1;
5, 3, 1;
14, 8, 4, 1;
41, 22, 12, 5, 1;
122, 63, 34, 17, 6, 1;
...
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000244号
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| 3的幂：a（n）=3^n。
（原名M2807 N1129）
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+10
820
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1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 387420489, 1162261467, 3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827, 282429536481, 847288609443, 2541865828329, 7625597484987
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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与活塞序列E（1,3）、L（1,3。基本上与活塞序列E（3，9），L（3，九），P（3，九），T（3，九月）相同。请参见A008776号有关活塞序列的定义。
数量（0），s（1）。。。，s（2n+2）），使得0<s（i）<6和|s（i。。。，2n+2，s（0）=1，s（2 n+2）=3-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
a（1）=1，a（n+1）是使a（n）和a（n+1）之间有一个（n）偶数的最小数。k:1，k，k^2，k^3，k^4，…幂序列的推广。。。在a（n）和a（n+1）之间有一个k-1的（n）倍数-阿玛纳斯·穆尔西2004年11月28日
其中p（n）是n的整数分区数，p（i）是n第i个分区的部分数，d（i）为n第i分区的不同部分数，m（i，j）是n第一个分区的第j部分的重数，和{i=1..p（n，一个有：a（n）=和{i=1..p（n）}（p（i）/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！）*2^（p（i）-1）-托马斯·维德2005年5月18日
a（n-1）是组合物的组成数。通常，（k+1）^（n-1）是k级嵌套成分的数量（例如，4^（n-1）是成分组成的成分数量，等等）。元素之间的每个n-1空格可以是k个级别中的一个中断，也可以根本不是中断-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年12月6日
设S是一个具有n=|a|个元素的集a的幂集P（a）上的二元关系，使得对于每个元素x，P（a）的y，如果x是y的子集，那么a（n）=|S|-罗斯·拉海耶2006年12月22日
关于Ross La Haye的评论：
参考a（n+1）英寸A028243号如果考虑非空子集，并且x是y的适当子集（End）
如果X_1、X_2。。。，X_n是集合{1，2，…，2*n}划分成大小为2的块，然后，对于n>=1，a（n）等于函数f:{1，2,…，2*n}->{1，2}的数目，这样对于固定的y_1，y_2。。。，在{1,2}中有f（X_i）<>{y_i}，（i=1,2，…，n）-米兰Janjic2007年5月24日
这是对所有正整数k的形式a（n）=[（2^k）-1]^n的所有序列的一般评论。Stanley的“枚举组合数学”的示例1.1.16提供了一个稍有不同的版本。a（n）在函数f:[n]的个数中变成P（[k]）-{}。a（n）也是函数f:[k]到P（[n]）的个数，使得f（i）对[k]中所有i的广义交集是空集。其中[n]={1，2，…，n}，P（[n]）是[n]的幂集，{}是空集-杰弗里·克雷策2009年2月28日
3^（n+1）=（1，2，2，…）点（1，1，3，9，…，3^n）；例如，3^3=27=（1，2，2，2）点（1，1，3，9）=（1+2+6+18）-加里·亚当森2010年5月17日
a（n）是当存在3*2^i不同类型的i（i=1,2，…）时，n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
对于n>=1，a（n-1）是当存在2^（i-1）不同类型的i，（i=1，2，…）时n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
所讨论的序列（“3的幂”）还描述了第k个磁盘解决[红色；蓝色；蓝色]或[红色；红色；蓝色]预先着色的河内磁塔谜题的移动次数（参见。A183111号-A183125号).
（1+x+x^2）^n的展开系数之和-阿迪·达尼2011年6月21日
a（n）是{0,1,2}中n个元素的组成数；例如，a（2）=9，因为存在9个成分0+0、0+1、1+0、0+2、1+1、2+0、1+2、2+1和2+2。[来自阿迪·达尼2011年6月21日；由编辑修改。]
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1，a（n）等于n的3色组成数，因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月17日
由于前面的注释出现在大量序列中，因此可能值得添加一个证明。
n精确到k个部分的组成数是二项式（n-1，k-1）。
对于n的p色组合，如果相邻部分没有相同的颜色，则第一部分的颜色正好有p个选择，每个附加部分的颜色有p-1个选择（除前一部分颜色以外的任何颜色）。所以，对于k部分的划分，有p（p-1）^（k-1）个有效的着色。
因此，n的p色组分精确到k个部分，使得相邻部分没有相同颜色，这是二项式（n-1，k-1）p（p-1）^（k-1）。
n的p色成分的总数，使得相邻部分没有相同的颜色
和{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*p*（p-1）^（k-1）=p^n。
要了解这一点，请注意（（p-1）+1）^（n-1）=Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）（p-1）^k1^。
（结束）
此外，矩阵的第一个和最小元素[1，sqrt（2）；sqrt，2]^（n+1）-M.F.哈斯勒2011年11月25日
组成一个m（0，n）=m（n，0）=2^n的数组；m（i，j）等于m（i、j）左边的项与m（i和j）上面的项之和，即m。反对角线（n+1）中的项之和=4*a（n）-J.M.贝戈2013年7月10日
定义一个数组，使m（0，k）=2^k和m（n，k）=Sum_{c=0..k-1}m（n、c）+Sum_}r=0..n-1}m（r，k），这是m（n和k）左边的项加上m（n与k）上面的项之和。数组的行n=0包括A000079号，列k=0包括A011782号，行n=1包括A001792号。数组的反对角线和为a（n）：1=3^0，1+2=3^1，2+3+4=3^2，4+7+8+8=3^3-J.M.贝戈2013年8月2日
带有零值和o.g.f.x/（1-3*x^2），A（2*k）=0，A（2*k+1）=3^k=A（k），k>=0的序列可以称为六边形数。这是因为代数数rho（6）=2*cos（Pi/6）=sqrt（3）的次数为2，最小多项式C（6，x）=x^2-3（参见A187360型，n=6），是较小对角线与六角形中边的长度比。因此，ρ（6）^n=A（n-1）*1+A（n）*rho（6），在二次数域Q（rho（5））的幂基中。还需要A（-1）=1。另请参阅2010年12月2日的评论和P.Steinbach参考A049310型. -沃尔夫迪特·朗，2013年10月2日
对k进行编号，使σ（3k）=3k+σ（k）-贾汉格·科尔迪2013年11月23日
3的所有幂都是完美数字(A082897美元)，因为当n>0时，φ（3^n）=2*3^（n-1），因此求和{i=0..n}φ（3|i）=3^n-阿尔特阿隆索2014年4月20日
3^k以n个连续递减数字结尾的最小数字k>0是由{1，13，93}给出的一个3项序列。连续递增的数字是{3,23123}。3^k有100个不同的3位数字结尾。没有k值可以使3^k以“012”、“234”、“345”、“456”、“567”、“678”或“789”结尾。3^k以“123”结尾的k值由93 mod 100给出。对于k=93+100*x，对于x={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…}，“123”运行之前的数字分别是{9，5，1，7，3，9，9，5。因此，我们看到“123”之前的数字永远不会是0。所以没有其他条件了-德里克·奥尔2014年7月3日
A^n的所有元素，其中A=（1,1,1；1,1,1，1；1,1,1）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年7月23日
计算长度为n（开放或闭合）的三角形顶点上的所有行走次数，该三角形包含从任何给定顶点开始的每个顶点处的循环-大卫·尼尔·麦格拉思2014年10月3日
a（n）计算图G上的行走次数（闭合）（1-顶点；1-循环，1-循环，1-loop）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
2*a（n-2）计算距离三角形顶点长度（n）的孤立闭合游动的所有置换，该三角形在每个剩余顶点上包含2个循环。此外，C（m，k）=2*（2^m）*B（m+k-2，m）计算包含（m）个循环和（k）个弧的行走的置换-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
使三项式x^（2*n）+x^n+1在GF（2）上不可约的数n。其中只有n=1的三项式是原始的-乔格·阿恩特2016年5月16日
满足Benford定律【Berger-Hill，2011年】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
a（n-1）也是n的组成数，如果这些部分可以是从1到n的任意长度，并且可以包含从1到n的任意整数-格雷戈里·西迈2017年5月26日
同时给出了n阶梯级图nP_2中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
此外，还包括n-鸡尾酒会图中的团数（不一定是最大的）-埃里克·韦斯特因2017年11月29日
a（n-1）是n的2-组分数；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯，2020年8月15日
a（n）是n维超立方体任意维（顶点、边、正方形面等）的面数。例如，0维超立方体是一个点，它唯一的面就是它自己。一维超立方体是一条直线，它有两个顶点和一条边。二维超立方体是一个正方形，它有四个顶点、四条边和一个正方面-凯文·朗2023年3月14日
a（n）是n个变量直到等价时的析取子句数。析取子句是l_1或…形式的命题公式。。。或l_m，其中l_1。。。，l_m是n个变量x_1，…的{x_1，…，x_n，NOT x_1，…，NOT x_n}中的不同元素。。。x_n，同时不显示x_i和NOT x_i。对于每一个1<=i<=n，析取子句中既不能有x_i也不能有NOT x_i，只有x_i或NOT x_ i，所以这样的子句的数目是3^n。把n个变量的命题公式看作函数{0,1}^n->{0,1{，析取从句对应于一个函数f，使得0的反像的形式是a_1X。。。X A_n，其中A_i对于所有1<=i<=n都是非空的。由于每个A_i有3个选择（{0}、{1}或{0,1}），我们还发现n个变量的析取子句的数目是3^n。
等价地，a（n）是n个变量的连接子句的数量。（结束）
有限子序列a（2）、a（3）、a⑴、a（5）=9、27、81、243是可以用简单多边形的所有内角（均为整数，以度为单位）形成的仅有的两个几何序列之一。另一个序列是A007283号（请参阅此处的注释）-费利克斯·胡贝尔2024年2月15日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Doron Zeilberger，《神奇3^n定理及其更神奇的证明》（由Xavier G.Viennot及其爱科尔·博德莱塞帮派发现），arXiv:1208.22582012。
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链接
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T.Banchoff，计算高维立方体的面《超越第三维度：几何、计算机图形和更高维度》，科学美国图书馆，1996年。
A.Bostan，格路组合的计算机代数S.éminaire de Combinatoire Ph.Flajolet，2013年3月28日。
乔尔·盖伊和文森特·皮劳，Weyl偏序集的弱序，arXiv:1804.06572[math.CO]，2018年。
布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多成分组合学，arXiv:2008.04937[math.CO]，2020年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
亚什·普里和托马斯·沃德，周期轨道的算术和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1号。
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配方奶粉
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a（n）=3^n。
a（0）=1；a（n）=3*a（n-1）。
G.f.：1/（1-3*x）。
例如：exp（3*x）。
a（n）=n*和{i+j+k=n，i，j，k>=0}1/（i！*j！*k！）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月1日
a（n）=和{k=0..n}2^k*二项式（n，k），的二项式变换A000079号.
a（n）=2*搅拌S2（n+1,3）+搅拌S2-罗斯·拉海耶2008年6月26日
a（n）=2*箍筋S2（n+1，3）+箍筋S2（n+2，2）=2x（箍筋S2.（n+1,3）+搅拌S2（n+1，2））+1-罗斯·拉海耶2008年6月9日
和{n>=0}1/a（n）=3/2-加里·亚当森2008年8月29日
如果p（i）=Fibonacci（2i-2），并且如果A是由A（i，j）=p（j-i+1），（i<=j），A（i、j）=-1，（i=j+1）和A（i和j）=0定义的n阶Hessenberg矩阵，否则，对于n>=1，A（n-1）=det A-米兰Janjic2010年5月8日
2/3 + 3/3^2 + 2/3^3 + 3/3^4 + 2/3^5 + ... = 9/8. [Jolley，系列总结，多佛，1961]
Sum_｛n＞0｝Mobius（n）/a（n）=0.181995386702633887827…（参见A238271型). -阿尔特阿隆索2012年8月9日。另请参见J.Chem表V中的钠3s轨道能量。物理学。53 (1970) 348.
a（n）=（tan（Pi/3））^（2*n）-伯纳德·肖特2022年5月6日
a（n-1）=二项式（2*n-1，n）+和{k>=1}二项式[2*n，n+3*k）*（-1）^k-格雷格·德累斯顿2022年10月14日
通用公式：和{k>=0}x^k/（1-2*x）^（k+1）-凯文·朗2023年3月14日
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例子
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G.f.=1+3*x+9*x^2+27*x^3+81*x^4+243*x^5+729*x^6+2187*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数学
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系数列表[级数[1/（1-3 x），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
嵌套列表[3#&，1,30](*哈维·P·戴尔2020年2月20日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
（Maxima）标记列表（3^n，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/
（Scala）val powersOf3:LazyList[BigInt]=LazyList.iterate（1:BigInt）（_*3）
（0到26）.map（功率Of3（_））//阿尔特阿隆索2020年5月3日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的,核心
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648, 4294967296, 8589934592
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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还有n.Toby Bartels的成分（有序分区）数量，2003年8月27日
将n个未标记项目放入（任意数量）标记框中的方法，其中每个框中至少包含一个项目。也称为“n项的单峰排列”，即那些先上升后下降的排列。（例如，对于三个项目：ABC、ACB、BCA和CBA是单峰的。）-亨利·博托姆利2001年1月17日
S_n中避免模式213和312的排列数Tuwani Albert Tshifhumulo，2001年4月20日。更一般地（见Simion和Schmidt），S_n中的排列数避免了（i）123和132个模式；（ii）123和213图案；（iii）132和213图案；（iv）132和231图案；（v） 132和312模式；（vi）213和231图案；（vii）213和312图案；（viii）231和312图案；（ix）231和321图案；（x） 312和321图案。
a（n+2）是对称群作用下n个变量的不同布尔函数的个数。
还有未标记（1+2）-自由偏序集的数量Detlef Pauly，2003年5月25日
此外，[0，1）中二进制展开式在n位后终止的有理数。-Brad Chalfan，2006年5月29日
前置A089067美元用1，得到（1，1，3，5，13，23，51，…）作为polceoff a（x）；则（1，1，2，4，8，16，…）=A（x）/A（x^2）-加里·亚当森2010年2月18日
阵列T（m，n）=2*T（m、n-1）+T（m-1、n）：
1, 1, 2, 4, 8, 16, ... = a（n）
1, 7, 32, 120, 400, 1232, ... =A001794号,
1中，
1, 0,
2, 0, -1,
4, 0, -3, 0,
8, 0, -8, 0, 1.
0, 1, 2, 4, 8, 16,
1、1、2、4、8、16，=a（n），
0, 1, 2, 4, 8, 16,
1, 1, 2, 4, 8, 16.
长度为2n的双色项链的数量等于其互补反向。对于长度2n+1，数字为0-大卫·W·威尔逊，2012年1月1日
对于n>=1，具有恰好n个部分的自共轭整数分区数-大卫·克里斯托弗2014年8月18日
序列是（1，0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…）的INVERT变换-加里·亚当森2015年7月16日
此外，n个节点上的阈值图数量[Hougardy]-福尔克·胡夫纳2015年12月3日
长度为n的三元单词数，其中二进制子单词以10…0的形式出现-米兰Janjic2017年1月25日
a（n）是长度为n的单词在由两个字母组成的字母表中的数量，其中一个字母出现偶数次（包括长度为0的空单词）。参见中的类似奇数情况A131577号和Balakrishnan参考A006516号（4个字母的奇数情况），第68-69页，问题2.66、2.67和2.68-沃尔夫迪特·朗2017年7月17日
Łukasiewicz路径的D-等价类数。Łukasiewicz路径是D等价的，如果模式D在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯尔吉佐夫2018年4月8日
使用两种或更少颜色（子集）的长度为n的定向行的颜色模式数（设置分区）。如果我们排列颜色，两种颜色模式是等价的。对于a（4）=8，4种非手性模式为AAAA、AABB、ABAB和ABBA；这4种手性模式是2对AAAB-ABBB和AABA-ABAA-罗伯特·拉塞尔2018年10月30日
对称n X n矩阵M的行列式由M（i，j）=（-1）^max（i，j）定义，对于1<=i，j<=n等于a（n）*（-1）*（n*（n+1）/2）-伯纳德·肖特，2018年12月29日
对于n>=1，a（n）是长度为n的排列的数量，其循环表示可以这样写，即当去掉循环括号时，剩余的是自然顺序的1到n。例如，a（4）=8，因为这种形式正好有8个排列，即（1 2 3 4）、（1）（2 3 4。我们的结果很容易满足于对k的条件，即循环表示中形式为“）（”的括号对的数量。由于有C（n-1，k）方法可以将它们插入循环表示中，并且由于k从0运行到n-1，我们得到a（n）=Sum_{k=0..n-1}C（n-l，k）=2^（n-1）-丹尼斯·沃尔什，2020年5月23日
长度为n+1的排列在连续231-避免堆叠排序映射下可以具有的最大预图像数-科林·德芬特2020年8月28日
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参考文献
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Mohammad K.Azarian，《爬楼梯问题的概括》，《数学与计算机教育杂志》，第31卷，第1期，第24-28页，1997年冬季。
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链接
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朱利奥·塞尔拜（Giulio Cerbai）、安德斯·克莱森（Anders Claesson）和卢卡·费拉里（Luca Ferrari），限制堆栈的堆栈排序，arXiv:1907.08142[cs.DS]，2019年。
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Nickolas Hein和Jia Huang，模块化加泰罗尼亚数字，arXiv:1508.01688[math.CO]，2015-2016年。见第2页的表1.1。
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奥利维娅·纳巴旺达和范加·拉科通德拉焦，带有禁止图案的扁平分区集，arXiv:2011.07304[数学.CO]，2020。
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张燕X，分级姿势的四种变体，arXiv预印本arXiv:1508.00318[math.CO]，2015。
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配方奶粉
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a（0）=1，a（n）=2^（n-1）。
G.f.：（1-x）/（1-2*x）=1/（1-x/（1-x））-迈克尔·索莫斯2012年4月18日
例如：cosh（z）*exp（z）=（exp（2*z）+1）/2。
a（0）=1，对于n>0，a（n）=所有先前项的总和。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，2*k）-保罗·巴里2003年2月25日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（1+（-1）^k）/2-保罗·巴里2003年5月27日
a（n）=地板（（1+2^n）/2）托比·巴特尔斯（托比+斯隆（AT）math.ucr.edu），2003年8月27日
G.f.：总和{i>=0}x^i/（1-x）^i-乔恩·佩里，2004年7月10日
a（n）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（k+1，n-k）*binominal（2*k，k）-保罗·巴里2005年3月18日
G.f.：1/（1-（x+x^2+x^3+…））-杰弗里·克雷策2008年8月30日
例如：（exp（2*x）+1）/2=（g（0）+1）/2；G（k）=1+2*x/（2*k+1-x*（2*k+1）/（x+（k+1）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月3日
A051049号（n） =p（n+1），其中p（x）是唯一的n次多项式，使得p（k）=a（k）对于k=0，1。。。，n.（名词）-迈克尔·索莫斯2012年4月18日
A008619号（n） =p（-1），其中p（x）是唯一的n次多项式，使得p（k）=a（k）对于k=0，1。。。，n.（名词）-迈克尔·索莫斯2012年4月18日
G.f.:U（0），其中U（k）=1+x*（k+3）-x*（k+2）/U（k+1）；（连分数，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月10日
例如：E（0），其中E（k）=1+x/（2*k+1-x/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月25日
通用公式：1+x/（1+x）*（1+3*x/（1+3*x）*-彼得·巴拉2017年5月27日
a（n）=Sum_（k=0..2}斯特林2（n，k）。
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+4*x^3+8*x^4+16*x^5+32*x^6+64*x^7+128*x^8+。。。
（-1 1-1）
det（11 1）=4
( -1 -1 -1)
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MAPLE公司
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使用（PolynomialTools）：A011782号：=序列（coeftayl（（1-x）/（1-2*x），x=0，k），k=0..10^2）#穆尼鲁·A·阿西鲁2017年9月26日
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数学
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f[s_]：=附加[s，天花板[Plus@@s]]；嵌套[f，{1}，32](*罗伯特·威尔逊v2006年7月7日*）
系数列表[级数[（1-x）/（1-2x），{x，0，32}]，x](*罗伯特·威尔逊v2006年7月7日*）
表[StimlingS2[n，k]，｛k，0，2｝]，｛n，0，30｝](*罗伯特·拉塞尔2018年4月25日*）
联接[{1}，嵌套列表[2#&，1，40]](*哈维·P·戴尔2018年12月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，2^（n-1））}；
（PARI）Vec（（1-x）/（1-2*x）+O（x^30））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月31日
（岩浆）[底板（（1+2^n）/2）:n in[0..35]]//文森佐·利班迪2011年8月21日
（哈斯克尔）
a011782 n=a011782_list！！n个
a011782_list=1:scanl1（+）a011782列表
（Sage）[求和（stirling_number2（n，j）for j in（0..2））for n in（0..35）]#G.C.格鲁贝尔2020年6月2日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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李·D·基洛（Killough（AT）wagner.comprove.com）
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扩展
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状态
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经核准的
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A003462号
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| a（n）=（3^n-1）/2。
（原名M3463）
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+10
289
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0, 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29524, 88573, 265720, 797161, 2391484, 7174453, 21523360, 64570081, 193710244, 581130733, 1743392200, 5230176601, 15690529804, 47071589413, 141214768240, 423644304721, 1270932914164
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）=（3^n-1）/2也是由n维超立方体中的一对顶点确定的不同非平行线的数量。示例：当n=2时，正方形有4个顶点，然后相关的线是：x=0，y=0，x=1，y=1，y=x，y=1-x，当我们确定平行线时，只剩下4条：x=O，y=O，y=x，y=1-x所以a（2）=4诺姆·卡茨（noamkj（AT）hotmail.com），2001年2月11日
除了a（0）和a（1）两个术语外，可以通过n次称重识别较轻或较重的假币（但不一定标记为较重或较轻）的最大硬币数量-汤姆·弗霍夫，2002年6月22日，2017年3月23日更新
考虑映射f（a/b）=（a+2b）/（2a+b）。从a=1，b=2开始，在每个新的（约化的）有理数上重复进行映射，得到序列1/2，4/5，13/14，40/41。。。收敛到1。序列包含分子=（3^n-1）/2。N的相同映射，即f（a/b）=（a+Nb）/（a+b）给出了收敛到N^（1/2）的分数-阿玛纳斯·穆尔西2003年3月22日
路径图P_5中长度为2*n+2的从一端到另一端的行走次数。示例：a（2）=4，因为在路径ABCDE中有ABABCDE、ABCBCDE、BACDE和ABCDEDE-Emeric Deutsch公司2004年4月2日
刻了n个铭文后，Sierpiñnski三角形中所有大小的三角形（不包括孔）的数量Lee Reeves（leereeves（AT）fastmail.fm），2004年5月10日
数量（0），s（1）。。。，s（2n+1）），使得0<s（i）<6和|s（i。。。，2*n+1，s（0）=1，s（2n+1）=4-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
周长是形状4k+1的n个不同素数乘积的非退化直角非协调积分边Heron三角形的个数-亚历克斯·芬克和R.K.盖伊2005年8月18日
也是3的前n次幂倒数之和的分子A000244号分母序列。除n<2外，a（n）的十进制数字根始终为4。在基数3中，a（n）的数字根与n的数字根相同-阿尔特阿隆索2006年1月24日
序列3*a（n），n>=1，给出了Hanoi图H_3^{n}的边数-丹尼尔·帕里斯2006年7月28日
a（n）为素数的数字n列在A028491号= {3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, ...}. 对于m>0，2^（m+1）除以a（2^m*k）。5除以a（4k）。5^2除以a（20k）。7除以a（6k）。7^2除以a（42k）。11^2除以a（5k）。13除以a（3k）。17除以a（16k）。19除以a（18k）。1093除以a（7k）。41除以a（8k）。p为素数p={41，431，491，661，761，1021，1051，1091，1171，…}除以a（（p-1）/5）。p为素数p={13，109，181，193，229，277，313，421，433，541，…}除以a（（p-1）/4）。p为素数p={61，67，73，103，151，193，271，307，367，…}除以a（p-1）/3=A014753号，3和-3都是立方体（一个意味着另一个）mod这些素数p＝1 mod 6。p为素数p={11，13，23，37，47，59，61，71，73，83，97，…}除以a（p-1）/2=A097933号（n） ●●●●。p除以素数p>7的a（p-1）。p^2将a（p*（p-1）k）除以除p=3以外的所有素数p。p^3除以素数p=11的a（p*（p-1）*（p-2）k）-亚历山大·阿达姆丘克2007年1月22日
设P（A）是一个n元集A的幂集。然后A（n）=P（A）的[无序]元素对{x，y}的个数，其中x和y是不相交的[且都是非空的]。维德将这些称为“不相交的常见2组合”-罗斯·拉海耶2008年1月10日[这是因为{1，2，…，n}的每个元素都可以在第一个子集中，也可以在第二个子集中，或者两者都不在。因为每个元素都有三个选项，所以选项的总数是3^n。然而，由于集合为空不是一个选项，我们要减去1，因为子集是无序的，所以我们要除以2！（两个物体排列的次数。）因此我们得到（3^n-1）/2=a（n）-查伊姆·洛文，2015年3月3日]
同样，当P（A）是n元集A的幂集时，A（n）是P（A）的2元子集{x，y}的个数，使得x和y的并集等于A。A341590型. -法比奥·维索纳2021年2月20日
从偏移量1开始=的二项式变换A003945号：（1、3、6、12、24…）和（1、2、1、2…）的双bt；等于（1，-4，3，0，0，…）的polceoff逆-加里·亚当森2009年5月28日
此外，多项式C（x）=3x+1的常数通过重复执行此操作并将每个步骤的结果作为下一步的输入而形成序列Nishant Shukla（n.shukla722（AT）gmail.com），2009年7月11日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=3，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年1月27日
这是Gary Detlefs考虑的序列家族[A，b:c，d:k]中的序列A（0，1；2，3；2）=A（0、1；4，-3；0），在下面给出的Wolfdieter Lang链接中被视为A（A，b；c，d；k）-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
似乎，如果s（n）是形式s（0）=0，s（n-加里·德特利夫斯2010年11月16日
a（n）是奇数组成小于3的n部分的个数。例如，a（3）=13，并且有13个组成奇数分为3部分<3：
1: (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0);
3: (0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1), (2, 1, 0), (1, 1, 1);
5: (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1).
（结束）
皮萨诺周期长度：1,2,2,4,2,6,4,1,4,5,2,3,6,4,8,16,2,18,4-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）是Sierpin ski三角生产第n步后的孔总数（删除的三角形）-伊万·伊纳基耶夫2013年10月29日
a（n）求解某些整数k的求和{j=a（n+1）}j=k^2，给定a（0）=0，并且需要最小的a（n+1>a（n）。相应的k=3^n-理查德·福伯格2015年3月11日
a（n+1）等于长度n超过{0，1，2，3}避免01，02和03的单词数-米兰Janjic2015年12月17日
对于n>=1，a（n）也是长度为n的单词的总数，在由三个字母组成的字母表中，其中一个字母出现奇数次（参见A006516号对于4个字母的单词，以及Balakrishnan的引用）-沃尔夫迪特·朗2017年7月16日
此外，n-阿波罗网络中最大派系、最大派系和大小为4的派系的数量-安德鲁·霍罗伊德2017年9月2日
对于n>1，（n-1）-Apollonian网络中三角形（团大小为3）的数量-安德鲁·霍罗伊德2017年9月2日
a（n）是平衡三元系中用n个trits表示的最大数。相应地，-a（n）是平衡三元系中可用n trits表示的最小数-托马斯·科尼2020年4月26日
这些形成了Sierpinski嵌套恒星，它们在3^n+1/2星号上交替排列A003154号，基于9^n的平方配置。3^n的部分和是根据六卦的几何形状绘制的，参见链接中的插图。（3*a（n-1）+1）创建Sierpinski-反三角形，表示（n+1）Sierpinski三角形中的孔数（参见插图）-约翰·埃利亚斯2021年10月18日
对于n>1，a（n）是用CORDIC计算双曲函数所需的迭代次数-马蒂亚斯·泽希迈斯特，2022年7月26日
对于所有n>=0，求和{k=a（n）+1..a（n+1）}1/k<求和{j=a（n+1）+1..a（n+2）}1/j。这些是将无限调和级数划分为单调递增序列的最小点。当n趋于无穷大时，每个分区从下面近似对数（3）-约瑟夫·麦特2023年4月15日
a（n）也是n-Dorogovtsev-Goltsev-Mendes图中的3个循环数（使用约定，0-Dorogov tsev-Gol tsev-Mndes图为P_2）-埃里克·韦斯特因2023年12月6日
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参考文献
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J.G.Mauldon，《伪造硬币问题的强大解决方案》，IBM研究报告RC 7476（#31437）9/15/78，IBM Thomas J.Watson研究中心，P.O.Box 218，Yorktown Heights，N.Y.10598。
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链接
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Thomas Wieder，n-集的某些k-组合的数目，应用数学电子笔记，第8卷（2008）。
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配方奶粉
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G.f.:x/（（1-x）*（1-3*x））。
a（n）=4*a（n-1）-3*a（n-2），n>1。a（0）=0，a（1）=1。
a（n）=3*a（n-1）+1，a（0）=0。
例如：（exp（3*x）-exp（x））/2-保罗·巴里2003年4月11日
a（n+1）=Sum_{k=0..n}二项式（n+1，k+1）*2^k-保罗·巴里2004年8月20日
a（n）=Sum_{i=0..n-1}3^i，对于n>0；a（0）=0。
a（n）=箍筋S2（n+1,3）+箍筋S2（n+1，2）-罗斯·拉海耶2008年1月10日
a（n）=2*a（n-1）+3*a（n-2）+2，n>1-加里·德特利夫斯2010年6月21日
a（n）=3*a（n-1）+a（n-2）-3*a（n-3）=5*a（n-1）-7*a（n-2）+3*a（n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=4。G.Detlefs的观察。请参阅W.Lang的评论和链接-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
G.f.：Q（0）/2，其中Q（k）=1-1/（9^k-3*x*81^k/（3*xx9^k-1/（1-1/（3*9^k-27*x*81 ^k/））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月12日
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例子
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一个3集有4个3块双覆盖：。
三元。。。。。。。。十进制的
0.................0
1……………………1
11................4
111..............13
1111…………..40等-零入侵拉霍斯2007年1月14日
{a，B，C}上共有a（3）=13个三字母单词，例如a，出现次数为奇数：AAA；ABC、ACB、ABB、ACC；BAC、CAB、BAB、CAC；BCA、CBA、BBA、CCA-沃尔夫迪特·朗2017年7月16日
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MAPLE公司
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数学
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（3^范围[0，30]-1）/2(*哈维·P·戴尔2011年7月13日*）
线性递归[{4，-3}，{0，1}，30](*哈维·P·戴尔2011年7月13日*）
累计[3^范围[0，30]](*阿尔特阿隆索2017年9月10日*）
系数列表[系列[x/（1-4x+3x^2），{x，0，30}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月28日*）
表[起始数字[PadRight[{}，n，1]，3]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2022年6月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（3^n-1）/2
（鼠尾草）[（3^n-1）/2代表范围（0，30）内的n]#零入侵拉霍斯，2009年6月5日
（哈斯克尔）
a003462=（`div`2）。（减去1）。(3 ^)
a003462_list=迭代（（+1）。(* 3)) 0 --莱因哈德·祖姆凯勒2012年5月9日
（岩浆）[（3^n-1）/2:n in[0..30]]//文森佐·利班迪2015年2月21日
（PARI）连接（0，Vec（x/（（1-x）*（1-3*x））+O（x^30））\\阿尔图·阿尔坎2015年11月1日
（间隙）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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更正了我2008年1月10日的评论-罗斯·拉海耶2008年10月29日
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状态
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经核准的
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A059841号
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| 周期2：重复[1,0]。a（n）=1-（n第2版）；偶数的特征函数。 |
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+10
227
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1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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当被视为三角形阵列时，行和值为0 1 1 2 3 3 3 4 5 5 6。。。(A004525号).
a（n）是n+1的奇偶校验-奥马尔·波尔2012年1月17日
初等元胞自动机规则77产生了这个序列。请参阅下面的Wolfram、Weisstein和Index链接-罗伯特·普莱斯2016年1月30日
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链接
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配方奶粉
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总尺寸：1/（1-x^2）。
例如：cosh（x）。
a（n）=（n+1）模型2。
a（n）=1/2+（-1）^n/2。（结束）
如果p=2，则与a（p^e）=1相加，否则为0。
对于n>0，a（n）=和{k=1..n}（-1）^（n-k）-威廉·特德斯基，2011年8月5日
例如：cosh（x）=1+x^2/（Q（0）-x^2）；Q（k）=8k+2+x^2/（1+（2k+1）*（2k+2）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月21日
例如：cosh（x）=1/2*Q（0）；Q（k）=1+1/（1-x^2/（x^2+（2k+1）*（2k+2）/Q（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月21日
例如：cosh（x）=E（0）/（1-x），其中E（k）=1-x/（1-x/（x-（2*k+1）*（2*k+2）/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月5日
对于一般情况：不是m的倍数的数字的特征函数是a（n）=floor（（n-1）/m）-floor（n/m）+1，m，n>0-鲍里斯·普蒂夫斯基2013年5月8日
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例子
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三角形开始：
1;
0，1；
0, 1, 0;
1, 0, 1, 0;
1, 0, 1, 0, 1;
0, 1, 0, 1, 0, 1;
0, 1, 0, 1, 0, 1, 0;
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0;
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1;
0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1;
0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0;
...
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MAPLE公司
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数学
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系数列表[级数[1/（1-x^2），{x，0，104}]，x]（*或*）
数组[1/2+（-1）^#/2&，105，0](*迈克尔·德弗利格，2019年2月19日*）
表[Q二项式[n，1，-1]，{n，1,74}](*约翰基斯2021年6月28日*）
PadRight[{}，120，{1，0}](*哈维·P·戴尔2023年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（n+1）%2；\\或1-n%2，如NAME中所示。
（哈斯克尔）
a059841 n=（1-）。（`mod`2）
a059841_list=周期[1，0]
（岩浆）[0^（n mod 2）:n in[0..100]]//文森佐·利班迪2014年11月9日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 5, 4, 8, 6, 14, 13, 11, 7, 23, 9, 17, 18, 41, 10, 38, 12, 32, 28, 20, 15, 68, 25, 26, 63, 50, 16, 53, 19, 122, 33, 29, 39, 113, 21, 35, 43, 95, 22, 83, 24, 59, 88, 44, 27, 203, 61, 74, 48, 77, 30, 188, 46, 149, 58, 47, 31, 158, 34, 56, 138, 365, 60, 98, 36, 86, 73
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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通过将n的每个素数除数替换为下一个素数，并将生成的奇数映射回所有自然数（通过加一然后减半）而获得的自然数置换。
范围1中唯一的3个循环。。402653184是（2821 3460 5639）。
（结束）
第一个5周期为（1410，2783，2451，2703，2803）-罗伯特·伊斯雷尔2015年1月15日
（5194、5356、6149、8186、10709）、（46048、51339、87915、102673、137205）和（175811、200924、226175、246397、267838）为其他5个循环。
（10242204792141329245302754035448241）是另一个7周期。（结束）
人为地，这种排列也可以表示为二叉树。左边的每个孩子是通过将父级乘以3再减去1得到的，而右边的每个孩子则是通过应用A253888型致家长：
1
|
................../ \..................
2 3
5......../ \........4 8......../ \........6
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
14 13 11 7 23 9 17 18
41 10 38 12 32 28 20 15 68 25 26 63 50 16 53 19
等。
（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（1）=1；对于n>1：如果n=product_{k>=1}（p_k）^（c_k），则a（n）=（1/2）*（1+product_{k>=1}（p_{k+1}）^（c_k））。
其他身份。对于所有n>=1：
作为涉及素数移位操作的其他排列的组合：
（结束）
我们还具有以下身份：
a（2n）=3*a（n）-1。[因此，当以模3递减时，a（2n+1）＝0或1。请参见A341346飞机]
a（3n）=5*a（n）-2。
a（4n）=9*a（n）-4。
a（5n）=7*a（n）-3。
a（6n）=15*a（n）-7。
a（7n）=11*a（n）-5。
a（8n）=27*a（n）-13。
a（9n）=25*a（n）-12。
一般来说：
a（x*y）=(A003961号（x） *a（y））-a（x）+1，对于所有x，y>=1。
（结束）
（结束）
和{k=1..n}a（k）~c*n^2，其中c=（1/4）*Product_{p素数}（（p^2-p）/（p^2-下一素数（p））=1.0319981…，其中下一素数为A151800型. -阿米拉姆·埃尔达尔2023年1月18日
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例子
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对于n=6，当6=2*3=prime（1）*prime（2）时，我们有一个（6）=（（prime（1+1）*price（2+1））+1）/2=（（3*5）+1）/2=8。
对于n=12，作为12=2^2*3，我们有一个（12）=（（3^2*5）+1）/2=23。
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MAPLE公司
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f： =程序（n）
局部F，q，t；
F： =系数（n）[2]；
（1+mul（下一阶段（t[1]）^t[2]，t=F））/2
结束进程：
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数学
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表[（Times@@Power[If[#==1，1，NextPrime@#]&/@First@#，Last@#]+1）/2&@Transpose@FactorInteger@n，{n，69}](*迈克尔·德弗利格2014年12月18日，2016年3月17日修订*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a048673=（`div`2）。(+ 1) . a045965号
（PARI）
A003961号（n） =我的（f=系数（n））；对于（i=1，#f~，f[i，1]=下一素数（f[i、1]+1））；factorback（f）；\\发件人A003961号
（Python）
来自sympy import factorint、nextprime、prod
定义a（n）：
f=因子（n）
如果n==1，则返回1（1+prod（nextprime（i）**f[i]代表f中的i）//2#因德拉尼尔·戈什2017年5月9日
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交叉参考
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公式引用此序列的其他排列：A122111号,A243062型,A243066型,A243500型,2006年2月25日,A244154号,A244319号,A245605型,A245608型,A245610型,A245612型,A245708型,A246265号,A246267号,A246268型,A246363型,A249745型,A249824号,A249826号、以及A183209号,A254103型有些相似。
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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由添加的派生序列的新名称和交叉引用安蒂·卡图恩2014年12月20日
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状态
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经核准的
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2, 4, 10, 28, 82, 244, 730, 2188, 6562, 19684, 59050, 177148, 531442, 1594324, 4782970, 14348908, 43046722, 129140164, 387420490, 1162261468, 3486784402, 10460353204, 31381059610, 94143178828, 282429536482, 847288609444, 2541865828330, 7625597484988
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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参考文献
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Donald E.Knuth，《可满足性》，《计算机编程艺术》第4卷第6分册。Addison-Wesley，2015年，第148和220页，问题191。
P.Ribenboim，《大素数小书》，纽约州斯普林格-Verlag，1991年，第35-36、53页。
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链接
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T.A.格列佛，奇整数幂和的可除性，国际数学。为了。5（2010）3059-3066，等式5。
库尔特·马勒，以3为底的正方形表示《阿里斯学报》。第53卷，第1期（1989年），第99-106页。
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配方奶粉
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a（n）=3*a（n-1）-2=4*a（n-1）-3*a（n-2）。（卢卡斯序列A003462号，与该对（4，3）关联。）
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例子
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a（3）=28，因为4*a（2）-3*a（1）=4*10-3*4=28（28也是3^3+1）。
G.f.=2+4*x+10*x^2+28*x^3+82*x^4+244*x^5+730*x^5+。。。
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MAPLE公司
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ZL:=[S，{S=并集（序列（Z），序列（并集（Z，Z，Z）））}，未标记]：seq（组合结构[计数]（ZL，大小=n），n=0..25）#零入侵拉霍斯2008年6月19日
g： =1/（1-3*z）：gser：=系列（g，z=0，43）：seq（系数（gser，z，n）+1，n=0..31）#零入侵拉霍斯2009年1月9日
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数学
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表[3^n+1，{n，0，24}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=3^n+1
（PARI）Vec（2*（1-2*x）/（1-x）*（1-3*x））+O（x^50））\\阿尔图·阿尔坎2015年11月15日
（鼠尾草）[范围（27）内n的lucas_number2（n，4，3）]#零入侵拉霍斯，2008年7月8日
（Sage）[范围（27）中n的σ（3，n）]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
（鼠尾草）[3^n+1代表范围（30）内的n]#布鲁诺·贝塞利2017年1月11日
（岩浆）[0..30]]中的[3^n+1:n//文森佐·利班迪2017年1月11日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A003462号,A000204号,A007051号,A000051号,A052539号,A034474号,A062394号,A034491号,A062395号,A062396美元,A062397号,A007689号,A063376号,A063481号,A074600型-A074624号,A034524号,178248英镑,A228081号,A279396型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A007583号
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| a（n）=（2^（2*n+1）+1）/3。
（原名M2895）
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+10
98
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1, 3, 11, 43, 171, 683, 2731, 10923, 43691, 174763, 699051, 2796203, 11184811, 44739243, 178956971, 715827883, 2863311531, 11453246123, 45812984491, 183251937963, 733007751851, 2932031007403, 11728124029611, 46912496118443, 187649984473771, 750599937895083
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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设u（k）、v（k）和w（k）是由u（1）=1、v（1）=0、w（1）=0.和u（k+1）=u（k；设M（k）=最大值（u（k）、v（k）和w（k））；则a（n）=M（2n）=M（2n-1）-贝诺伊特·克洛伊特2002年3月25日
另外，由两个字母s和t生成的长度为2n的单词数，通过使用关系ssssss=1、tt=1和stst=1减少为恒等式1。生成器s和t以及三个关系生成二面体群D6=C2xD3Jamaine Paddyfoot（jay_Paddyfoot，AT）hotmail.com）和约翰·莱曼2002年7月8日
循环图C_ 6中两个相邻顶点之间的长度为2n+1的行走次数。示例：a（1）=3，因为在循环ABCDEF中，在a和B之间有三条长度为3的行走：ABAB、ABCB和AFAB-Emeric Deutsch公司2004年4月1日
形式为1+Sum_{i=1..m}2^（2*i-1）的数字-阿图尔·贾辛斯基，2007年2月9日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=-6，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=（-1）^（n-1”）*charpoly（a，2）-米兰Janjic，2010年2月21日
二进制表示为“10”的数字重复（n-1）次，末尾附加“11”，n>=1。例如171=10101011（2）-奥马尔·波尔2012年11月22日
2到基数b的恩格尔展开式：=4/3，定义见A181565号，相关级数展开式2=b+b^2/3+b^3/（3*11）+b^4/（3x11*43）+。。。。囊性纤维变性。A007051号. -彼得·巴拉2013年10月29日
3*x-2^n*y=1，n>=0的正整数解（x，y）是（a（n/2），2），如果n是偶数，（a（n-1）/2），1）如果n是奇数-沃尔夫迪特·朗，2014年2月15日
最小正数，至少需要对2的幂进行n次加减。请参阅Puzzling StackExchange链接-亚历山大·库克2023年7月16日
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参考文献
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H.W.Gould，《组合恒等式》，摩根城，1972年，（1.77），第10页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
C.Bebeacua、T.Mansour、A.Postnikov和S.Severini，关于排列的X射线，arXiv:math/0506334[math.CO]，2005年。
Greg Bell、A.Lawson、N.Pritchard和D.Yasaki，关于整数的局部无穷Cayley图，arXiv预印本arXiv:1711.00809[math.GT]，2017。参见lambda_2。
E.Estrada和J.A.de la Pena，从整数序列到图的计数游动块设计，arXiv预印本arXiv:1302.1176[math.CO]，2013。
E.Estrada和J.A.de la Pena，图中行走的整数序列《数论与离散数学笔记》，第19卷，2013年，第3期，78-84
德米特里·卡梅内茨基，一只神奇的蚱蜢，Puzzling StackExchange，2023年。
米尔恰·梅尔卡，余弦幂和的一个注记《整数序列》，第15卷（2012年），第12.5.3条。
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配方奶粉
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G.f.：（1-2*x）/（1-5*x+4*x^2）。（结束）
a（n）=和{k=0..n}二项式（n+k，2*k）/2^（k-n）。
a（n）=4*a（n-1）-1，n>0。
a（n）=1+2*Sum_{k=0..n-1}4^k；
a（0）=1；a（n+1）=a（n）*4-1.-Regis Decamps（Decamps（AT）users.sf.net），2004年2月4日（领先指数修正K.Spage公司2014年8月20日）
a（n）=和{i+j+k=n；0<=i，j，k<=n}（n+k）/我/j/（2*k）-贝诺伊特·克洛伊特2004年3月25日
a（n）=M^n*[1 1 1]中的左项和右项，其中M=3X3矩阵[1 1 1/1 3 1/1 1]。M^n*[1 1 1]=[a（n）A002450型（n+1）a（n）]例如a（3）=43，因为M^n*[1 1]=[43 85 43]=[a（3A002450型（4） a（3）]-加里·亚当森2004年12月18日
a（n）=和{k=-floor（n/3）..floor（n/3}）}二项式（2*n，n+3*k）/2-米尔恰·梅卡2012年1月28日
a（n）==2*n+1（mod 3）。事实上，根据Regis Decamps的公式（2004年2月4日），我们得到了（i+1）-a（i）==-1（mod 3），i=0，1。。。，n-1。求和，我们有一个（n）-1==-n（mod 3），公式如下-弗拉基米尔·舍维列夫2015年5月13日
a（n）=和{k=0..2n}（-2）^k==1+和{k=1..n}2^（2k-1）-鲍勃·塞尔科2016年8月21日
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MAPLE公司
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a[0]：=1：对于从1到50的n，执行a[n]：=4*a[n-1]-1 od:seq（a[n'，n=0..23）#零入侵拉霍斯，2008年2月22日，更正人K.Spage公司2014年8月20日
（2^（2*n+1）+1）/3；
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数学
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表[（2^（2n+1）+1）/3，{n，0，23}]
表[1+2Sum[4^k，{k，0，n-1}]，{n，0，23}]
嵌套列表[4#-1&，1，23]
表[Sum[二项式[n+k，2k]/2^（k-n），{k，0，n}]，{n，0，23}]
系数列表[级数[（1-2x）/（1-5x+4x^2），{x，0，23}]，x]（*结束*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=-n\3，n\3，二项式（2*n+1，n+1+3*k））
（PARI）a=1；对于（n=1,23，打印1（a，“，”）；a=比特（a，3*a））\\K.Spage公司，2014年8月20日
（PARI）Vec（（1-2*x）/（1-5*x+4*x^2）+O（x^30））\\阿尔图·阿尔坎2015年12月8日
（岩浆）[（2^（2*n+1）+1）/3:n in[0..30]]//文森佐·利班迪2011年4月28日
（哈斯克尔）
a007583=（`div`3）。(+ 1) . a004171号
（鼠尾草）[（2^（2*n+1）+1）/3代表（0..25）中的n]#G.C.格鲁贝尔2019年12月25日
（GAP）列表（[0..25]，n->（2^（2*n+1）+1）/3）#G.C.格鲁贝尔2019年12月25日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1、3、10、34、116、396、1352、4616、15760、53808、183712、627232、2141504、7311552、24963200、852229696、290992384、993510144、3392055808、11581202944、39540700160、13500394752、460920178688、1573679925248
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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乔·基恩（Joe Keane）（jgk（AT）jgk.org）观察到，这个序列（从3开始）是“极限扑克中加薪的大小，单盲，最大加薪”。
数量（0），s（1）。。。，s（2n+1）），使得0<s（i）<8和|s（i，i）-s（i-1）|=1，对于i=1,2，。。。，2n+1，s（0）=3，s（2n+1）=4-赫伯特·科西姆巴2004年6月12日
等于（1，2，5，13，34，89，…）的INVERT变换-加里·亚当森2009年5月1日
a（n）/a（n-1）趋于（4+sqrt（8））/2=3.414213。。。。加里·亚当森，2013年7月30日
长度n超过{0,1,2,3,4}的单词数，其中二进制子单词以10…0的形式出现-米兰Janjic2017年1月25日
此外，长度为n+1的单峰序列的数目涵盖了正整数的初始区间，其中整数序列是单峰的，如果它是弱递增序列和弱递减序列的串联。例如，a（0）=1到a（2）=10序列为：
(1) (1,1) (1,1,1)
(1,2) (1,1,2)
(2,1) (1,2,1)
(1,2,2)
（1,2,3）
(1,3,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(2,3,1)
(3,2,1)
缺少：（2,1,2），（2,1,3），（3,1,2）。
猜想：也是{1..n+1}的有序集分区数，其中任何块的元素都不大于非相邻连续块的任何元素。例如，a（0）=1到a（2）=10的有序集分区是：
{{1}} {{1,2}} {{1,2,3}}
{{1},{2}} {{1},{2,3}}
{{2},{1}} {{1,2},{3}}
{{1,3},{2}}
{{2},{1,3}}
{{2,3},{1}}
{{3},{1,2}}
{{1},{2},{3}}
{{1},{3},{2}}
{{2},{1},{3}}
a（n-1）是面积为n的六角形直列凸多边形的数量（见Baril等人，第4页）-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年10月14日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Tyler Clark和Tom Richmond，有限全序集上凸拓扑的个数2013年，《参与》，第8卷（2015），第1期，25-32。
帕梅拉·弗莱什曼（Pamela Fleischmann）、乔纳斯·霍夫（Jonas Höfer）、安妮卡·胡奇（Annika Huch）和德克·诺沃特卡（Dirk Nowotka），α-β因子分解与Simon同余的二元情形，arXiv:2306.14192[math.CO]，2023年。
Juan B.Gil和Jessica A.Tomasko，斐波那契彩色组合物及其应用，arXiv:2108.06462[math.CO]，2021。
F.K.Hwang和C.L.Mallows，枚举嵌套分区和连续分区J.Combina.理论系列。A 70（1995），第2期，323-333。
米尔恰·梅尔卡，余弦幂和的一个注记《整数序列》，第15卷（2012年），第12.5.3条。
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配方奶粉
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a（n+1）=4a（n）-2a（n-1）。
G.f.：（1-x）/（1-4x+2x^2）。
a（n）=(A035344号（n） +1）/2；a（n）=（2+sqrt（2））^n（1/2+sqrt（2）/4）+（2-sqrt（2））^n（1/2-sqrt（2）/4）-保罗·巴里2003年7月16日
（1，1，2，2，4，…）的第二个二项式变换。a（n）=和{k=1..层（n/2）}，C（n，2k）*2^（n-k-1）-保罗·巴里2003年11月22日
a（n）=M^n*[1 1 1]中的左项和右项，其中M=3 X 3矩阵[1 1 1/1 2 1/1 1]。M^n*[1 1 1]=[a（n）A007070号（n） a（n）]。例如，a（3）=34。M^3*[1 1 1]=[34 48 34]（中心项为A007070号(3)). -加里·亚当森2004年12月18日
序列的第i项是2X2矩阵M=（（1，1），（1，3））的第i次幂中的条目（2，2）-西蒙·塞韦里尼2005年10月15日
例如：exp（2x）（cosh（sqrt（2x）+sinh（sqrt（2）x）/sqrt（2））-保罗·巴里2003年11月20日
如果p[i]=Fibonacci（2i-1），并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。那么，对于n>=1，a（n-1）=det a-米兰Janjic2010年5月8日
a（n-1）=和{k=-floor（n/4）..floor（n+4）}（-1）^k*二项式（2*n，n+4*k）/2-米尔恰·梅卡2012年1月28日
G.f.:G（0）*（1-x）/（2*x）+1-1/x，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k-1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月26日
a（n）=3*a（n-1）+a（n-2）+aa（0）-加里·亚当森2013年8月12日
对于Z中的所有n，a（n）=a（-2-n）*2^（n+1）-迈克尔·索莫斯2017年1月25日
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例子
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G.f.=1+3*x+10*x^2+34*x^3+116*x^4+396*x^5+1352*x^6+4616*x^7+。。。
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数学
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a[n_]：=（（2+Sqrt[2]）^（n+1）+（2-Sqrt[2]^（n+1））/4//简化；(*迈克尔·索莫斯2017年1月25日*）
unimodQ[q_]：=或[Length[q]<=1，如果[q[[1]]<=q[2]]，unimodQ[静止[q]]，有序q[反转[q]]]；
allnorm[n_]：=如果[n<=0，{{}}，函数[s，数组[Count[s，y_/；y<=#]+1&，n]]/@子集[Range[n-1]+1]]；
表[Length[Select[Union@@Permutations/@allnorm[n]，unimodQ]]，{n，6}](*古斯·怀斯曼2020年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=实（（2+quadgen（8））^（n+1））/2}/*迈克尔·索莫斯2003年3月6日*/
（岩浆）[楼层（（2+Sqrt（2））^n*（1/2+Sqrt（2）/4）+（2-Sqrt（2））^n*（1/2-Sqrt（2）/4））：n英寸[0..30]]//文森佐·利班迪2011年8月20日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000129号,A000670号,A001523号,A001653号,A007068号,A035344号,A060223号,A075271号,A227038号,A291292型,A328509型,A332577飞机,A332743飞机,A332873飞机.
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关键词
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非n,容易的
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