显示发现的18个结果中的1-10个。
1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109, 131, 155, 181, 209, 239, 271, 305, 341, 379, 419, 461, 505, 551, 599, 649, 701, 755, 811, 869, 929, 991, 1055, 1121, 1189, 1259, 1331, 1405, 1481, 1559, 1639, 1721, 1805, 1891, 1979, 2069, 2161, 2255, 2351, 2449, 2549, 2651
评论
斐波那契多项式n^2-n-1在n=2,3,4,5-阿图尔·贾辛斯基2006年11月19日
sqrt（a（0）+sqrt平方（1+sqrt（5+平方（11+平方（19+…）））=2-米克洛斯·克里斯托夫2009年12月24日
当n+1是素数时，a（n）给出了任意非贝拉阶群（n+1）^3的不可约表示数-安德鲁·鲁宾斯基，2010年3月17日
或未以m+楼层（sqrt（m））形式表示的数字，以整数m表示-弗拉基米尔·舍维列夫2012年4月9日
另一个涉及phi=（1+sqrt（5））/2的表达式是a（n）=（n+phi）（n+1-phi）。因此，这个序列中的数字，即使在Z中是质数，在Z[phi]中也不是质数-阿隆索·德尔·阿特2013年8月3日
a（n-1）=n*（n+1）-1，n>=0，其中a（-1）=-1，给出了b=2*n+1的判别式D=5的不定二次型[a，b，c]的a*c的值。通常D=b^2-4ac>0，形式[a，b，c]是a*x^2+b*x*y+c*y^2-沃尔夫迪特·朗2013年8月15日
以n为基数表示为131的数字：131_4=29，131_5=41。如果允许“数字”大于基数，则131_2=11，131_1=5-罗恩·诺特2017年11月14日
设m是a（n）或a（n）的素因子。那么，除了1和5之外，如果m是素数，就有两个正方形y^2，这样y^2-m的差正好包含一对因子{x，z}，这样就适用于以下情况：x*z=y^2-m，x+y=z
x<y，其中{x，y，z}是相对素数。{x，y，z}是Fibonacci类型序列的初始值。因此，如果每个a（n）>5是一个素数，那么每个a（n）的素数因子p>5可以精确地分配给两个斐波那契型序列。a（0）=1属于原始Fibonacci序列，a（1）=5属于Lucas序列。
但反向分配也适用。从斐波那契型的任意序列（f（i））中，我们可以通过f（i，^2-f（i-1）*f（i+1）得到它的3个初始值，其中f（i-1）<f（i。这种关系对任何i都有效。在这种情况下，我们得到绝对值|a（n）|或|p|。（结束）
a（n+1）是Kneser图KG{2，n}邻域复数同伦中楔形n维球面的个数。这里，KG_{2，n}是一个图，它的顶点集是集合{1，2，…，n+3，n+4}的基数2的子集的集合，当且仅当两个顶点不相交时，它们才相邻-导演2021年3月22日
（x，y，z）=(A001105号（n+1）、-a（n-1）和-a（n））是丢番图方程x^3+4*y^3+4*z^3=8的解-徐平雅，2022年4月25日
此序列项的最低有效位循环1、5、1、9、9-托拉赫·拉什，2024年6月5日
链接
阿达尔伯特·科伯（Adalbert Kerber），与对称群有关的组合数矩阵<，离散数学。，21 (1978), 319-321. [带注释的扫描副本]
克拉克·金伯利，互补方程《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.4条。
流行计算（加利福尼亚州卡拉巴萨），CSR功能第4卷（第34期，1976年1月），第PC34-10至PC34-11页。带注释和扫描的副本。
Zdzislaw Skupień和AndrzejŻak，成对和包装和彩虹派系，在图论专题，在A.A.Zykov 90岁生日之际向A.A.和T.E.Zykovs致敬，R.Tyshkevich编辑，伊利诺伊大学，2013年，第131-144页（英语和俄语）。
配方奶粉
当n>1时，a（0）=1，a（1）=5，a（n）=（n+1）*a（n-1）-（n+2）*a（n-2）-杰拉尔德·麦卡维2004年9月24日
[1,4,2,0,0,0，…]=（1,5,11,19，…）的二项式变换-加里·亚当森2007年9月20日
总尺寸：（1+2*x-x^2）/（1-x）^3。a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-R.J.马塔尔2009年7月11日
a（n）=（n+2+1/phi）*（n+2-phi）；其中φ=1.618033989…例如：a（3）=19=（5+.6180339…）*（3.381966…）。参见中最左边的列旁边A162997号数组-加里·亚当森2009年7月23日
a（n）=a（n-1）+2*（n+1），当n>0时，a（0）=1-文森佐·利班迪，2010年11月18日
对于k<n，a（n）=（k+1）*a（n-k）-k*a（n-k-1）+k*（k+1）；例如，a（5）=41=4*11-3*5+3*4-查理·马里昂2011年1月13日
a（n）=M^2中的右下项，M=2X2矩阵[1，n；1，（n+1）]-加里·亚当森2011年6月29日
G.f.：（x^2-2*x-1）/（x-1）^3=G（0），其中G（k）=1+x*（k+1）*（k+4）/（1-1/（1+（k+1；（连分数，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月16日
和{n>0}1/a（n）=1+Pi*tan（sqrt（5）*Pi/2）/sqrt（6）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗，2013年10月11日
例如：exp（x）（1+4*x+x^2）-汤姆·科普兰2013年12月2日
乘积_｛n>=0｝（1+1/a（n））=-Pi*秒（sqrt（5）*Pi/2）。
产品{n>=1}（1-1/a（n））=-Pi*sec（sqrt（5）*Pi/2）/6。（结束）
例子
初始术语说明：
o o（零）
哦哦哦哦
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o oo o o o-o o o
o o o o o o o o o o o o oo o o oO o o
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4
（结束）
示例：
（结束）
数学
文件夹列表[##+2&，1，2范围@45](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
表[n+（n+1）^2，{n，0，100}](*文森佐·利班迪2012年10月17日*）
表[FrobeniusNumber[{n，n+1}]，{n，2，30}](*扎克·塞多夫2015年1月14日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）[n+（n+1）^2代表范围（0，48）内的n]#零入侵拉霍斯，2008年7月3日
（岩浆）[0..60]]中的[n+（n+1）^2:n//文森佐·利班迪2011年4月26日
（哈斯克尔）
（Python）def a（n）：返回（n**2+3*n+1）#托拉赫·拉什2024年5月7日
1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 11, 10, 9, 8, 18, 16, 15, 12, 13, 29, 26, 24, 20, 14, 21, 47, 42, 39, 32, 23, 17, 34, 76, 68, 63, 52, 37, 28, 19, 55, 123, 110, 102, 84, 60, 45, 31, 22, 89, 199, 178, 165, 136, 97, 73, 50, 36, 25, 144, 322, 288, 267, 220, 157, 118, 81, 58, 41, 27, 233, 521
评论
T（0,0）=1，T（0,1）=2，。。。；y^2-x^2-xy<y当且仅当存在（i，j）且x=T（i，2j）且y=T（i，2j+1）Claude Lenormand（Claude.Lenormand（AT）free.fr），2001年3月17日
除某些情况下的初始条款外：
Wythoff数组是由floor（n*x+x-1）给出的序列的离散度，其中x=（黄金比率）。请参见A191426年以讨论分散-克拉克·金伯利2011年6月3日
Wythoff阵列的所有列都是复合Wythof序列。这是根据Carlitz、Scoville和Hoggatt 1972年论文中的主要定理得出的。有关明确的表达式，请参阅JIS 2008年金伯利论文中的定理10-米歇尔·德金，2017年8月31日
Wythoff数组可以看作是非负整数集合上的无限图，构建如下：从一个空图开始；对于所有n=0，1。。。，在n和所有i＜n的度数之和之间创建一条边。最后，移除顶点0。在结果图中，连接的组件是链，对应于Wythoff阵列的行-卢克·卢梭，2017年9月28日
假设h<k是Wythoff数组行中的连续项。如果k位于偶数列中，则h=楼层（k/tau）；否则，h=-1+楼层（k/tau）-克拉克·金伯利2020年3月5日
对于k>=0，k列显示了数字m，其中F（k+1）是m的Zeckendorf表示中的最小项。对于n>=1，设r（n，k）是k列中<=n的项数。然后，根据Bottomley公式，n/r。对所有k求和得到Sum_{k>=0}1/（F（k+1）*tau+F（k））=1。因此，在极限意义上：
38.19…%的数字m具有最小项1；
23.60…%有最少的第二学期；
14.58…%有最少的第三学期；
9.01…%至少有第5学期等（结束）
以荷兰数学家威廉·亚伯拉罕·威瑟夫（1865-1939）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日
参考文献
John H.Conway，发布到数学乐趣邮件列表，1996年11月25日。
克拉克·金伯利（Clark Kimberling），《Stolarsky interspersions》，《Ars Combinatoria》39（1995）129-138。
链接
L.Carlitz、Richard Scoville和V.E.Hoggatt，Jr。，斐波那契表示法，光纤。夸脱。，第10卷，第1期（1972年），第1-28页。
约翰·康威和亚历克斯·里巴，额外的斐波那契级数和帝国大厦，数学。Intelligencer，第38卷，第1期（2016年），第41-48页。
Clark Kimberling和Kenneth B.Stolarsky，慢Beatty序列、迂回收敛和分部发散阿默尔。数学。《月刊》，第123期，第2期（2016年），第267-273页。
斯特凡·勒让德，标记斐波那契树，斐波纳契夸脱。53（2015），第2期，第152-167页。
配方奶粉
T（n，-1）=n-1。T（n，0）=地板（n*tau）。当k>=1时，T（n，k）=T（n、k-1）+T（n和k-2）-R.J.马塔尔2016年9月3日
例子
Wythoff阵列开始：
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...
4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 ...
6 10 16 26 42 68 110 178 288 466 754 ...
9 15 24 39 63 102 165 267 432 699 1131 ...
12 20 32 52 84 136 220 356 576 932 1508 ...
14 23 37 60 97 157 254 411 665 1076 1741 ...
17 28 45 73 118 191 309 500 809 1309 2118 ...
19 31 50 81 131 212 343 555 898 1453 2351 ...
22 36 58 94 152 246 398 644 1042 1686 2728 ...
25 41 66 107 173 280 453 733 1186 1919 3105 ...
27 44 71 115 186 301 487 788 1275 2063 3338 ...
...
扩展的Wythoff数组有两个额外的列，给出了行号n和A000201号（n） ，用竖线与主数组分隔：
0 1 | 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...
1 3 | 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 ...
2 4 | 6 10 16 26 42 68 110 178 288 466 754 ...
3 6 | 9 15 24 39 63 102 165 267 432 699 1131 ...
4 8 | 12 20 32 52 84 136 220 356 576 932 1508 ...
5 9 | 14 23 37 60 97 157 254 411 665 1076 1741 ...
6 11 | 17 28 45 73 118 191 309 500 809 1309 2118 ...
7 12 | 19 31 50 81 131 212 343 555 898 1453 2351 ...
8 14 | 22 36 58 94 152 246 398 644 1042 1686 2728 ...
9 16 | 25 41 66 107 173 280 453 733 1186 1919 3105 ...
10 17 | 27 44 71 115 186 301 487 788 1275 2063 3338 ...
11 19 | 30 49 79 ...
12 21 | 33 54 87 ...
13 22 | 35 57 92 ...
14 24 | 38 62 ...
15 25 | 40 65 ...
16 27 | 43 70 ...
17 29 | 46 75 ...
18 30 | 48 78 ...
19 32 | 51 83 ...
20 33 | 53 86 ...
21 35 | 56 91 ...
22 37 | 59 96 ...
23 38 | 61 99 ...
24 40 | 64 ...
25 42 | 67 ...
26 43 | 69 ...
27 45 | 72 ...
28 46 | 74 ...
29 48 | 77 ...
30 50 | 80 ...
31 51 | 82 ...
32 53 | 85 ...
33 55 | 88 ...
34 56 | 90 ...
35 58 | 93 ...
36 59 | 95 ...
37 61 | 98 ...
38 63 | ...
...
扩展Wythoff数组的每一行也满足Fibonacci递推，并且可以使用该递推向后扩展到左侧。
Wythoff阵列似乎与传统的Fibonacci兔子繁殖故事有以下关系，为了简单起见，将其修改为无性繁殖故事。
给每只兔子一个数字，0代表最初的兔子。
当新一轮的兔子出生时，根据2条规则分配连续的数字（与许多文化规则相反的继承优先顺序）：（1）兔子0的新生儿获得下一个可用的数字；（2） 任何一只兔子的幼子的后代都先于同一只兔子大孩子的后代。
Wythoff数组的第n行列出了Rabbit n的子元素（因此Rabbit 0的子元素具有斐波那契数：1、2、3、5…）。下面的世代树显示兔子为0到20只。它经过修改，使每一轮出生都显示在一行中。
0
:
,-------------------------:
: :
,---------------: 1
: : :
,--------: 2 ,---------:
: : : : :
,-----: 3 ,-----: ,-----: 4
: : : : : : : :
,--: 5 ,--: ,---: 6 ,---: 7 ,---:
: : : : : : : : : : : : :
,--: 8 ,--: ,--: 9 ,--: 10 ,--: ,--: 11 ,--: ,--: 12
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
: 13 : : 14 : 15 : : 16 : : 17 : 18 : : 19 : 20 :
扩展数组的非平凡额外列(A000201号)给出了如果兔子n（并且只有兔子n）提前一轮繁殖，分配给兔子n第一个孩子的数量。
（结束）
MAPLE公司
W： =proc（n，k）位数：=100；（矩阵（[n，floor（（1+sqrt（5））/2*（n+1））]）。矩阵（[[0，1]，[1，1]]）^（k+1））[1，2]结束：seq（seq（W（n，d-n），n=0..d），d=0..10）#阿洛伊斯·海因茨2008年8月18日
选项记忆；
如果c=1，则
其他的
结束条件：；
结束进程：
数学
W[n_，k_]：=斐波那契[k+1]楼层[n*黄金比率]+（n-1）斐波那奇[k]；表[W[n-k+1，k]，{n，12}，{k，n，1，-1}]//扁平
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=（n+平方（5*n^2））\2*fibonacci（k+1）+（n-1）*fiboanacci（k）
对于（k=0，9，对于（n=1，k，print1（T（n，k+1-n）“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年3月9日
（Python）
从sympy导入fibonacci作为F，sqrt
导入数学
τ=（sqrt（5）+1）/2
定义T（n，k）：返回F（k+1）*int（数学地板（n*tau））+F（k）*（n-1）
对于范围（1,11）中的n：打印（[T（k，n-k+1）对于范围（1，n+1）中的k）]）#印地瑞尼Ghosh2017年4月23日
a（n）=和{k=0..n}斐波那契（n-k）*n^k。
+10
45
0, 1, 3, 14, 91, 820, 9650, 140601, 2440317, 49109632, 1123595495, 28792920872, 816742025772, 25402428294801, 859492240650847, 31427791175659690, 1234928473553777403, 51893300561135516404, 2322083099525697299278
评论
在后面的a（i，j，k）表示三维数组中，术语a（n）定义为该数组中的a（n，n，n）-约尔格·阿恩特2021年1月3日
以前的名字是：三维数组：a（i，j，k）=（x（1+i*x-j*x））/（（-1+j*x（-1+x+x^2））的展开式，由a（n，n，n）读取。
a（i，j，k）=斐波那契数卷积的第k个值[A000045号]对于i=j和i>0，i=Sum[a（i-1，j，m]，{m=0…k}]的幂；对于i，k>0，a（i，j，k）=a（i-l，j，k）+a（j，j，k-1）；a（i，1，k）=总和[a（i-1,0，m），{m=0…k}]，对于i>0。a（1,1，k）=Fib（k+2）-1；a（2,1，k）=纤维（k+3）-2；a（3,1，k）=Luc（k+2）-3；a（4,1，k）=4Fib（k+1）+Fib（k）-4；a（1,2，k）=2^k-纤维（k+1）；a（2,2，k）=2^（k+1）-Fib（k+3）；a（3,2，k）=3（2^k-纤维（k+2））+纤维（k）；a（4,2，k）=2^（k+2）-纤维（k+4）-光纤（k+2）；a（1,3，k）=（3^k+Luc（k-1））/5，对于k>0；a（2,3，k）=（6（3^（k-1））-Luc（k））/5，对于k>0；a（3,3，k）=（3^（k+1）-Luc（k+2））/5；a（4,3，k）=（4（3^k）-Luc（k+2）-Luc（k+1））/5……其中Fib（k）表示第k个Fibonacci数，Luc（k）代表第k个Lucas数[A000032号].
配方奶粉
a（i，j，0）=0，a（i、j，1）=1，a（i，j，2）=i+1；a（i，j，k）=（（j+1）*a（i、j、k-1））-（（j-1）*a。
a（i，j，k）=Fib（k）+i*a（j，j，k-1），对于i，k>0，其中Fib（k）表示第k个Fibonacci数。
a（i，j，k）=（Phi^k-（-Phi）^-k+i（（j^k-Phi^k）/（j-Phi[A001622号].
i^k=a（i-1，i，k）+a（i-2，i，k+1）。A104161号（k） =总和[a（k-m，0，m），{m=0…k}]。
a（i，j，0）=0，a（i，j，1）=1，a（i，j，2）=i+1，a（i，j，3）=i（j+1）+2；a（i，j，k）=（（j+2）a（i、j、k-1））-（（2j）a（i，j，k-2））-a（i，j，k-3）+（ja（i、j，k-4）），对于k>3。a（i，j，0）=0，a（i、j，1）=1；a（i，j，k）=a（i，j，k-1）+a（i，j，k-2）+（ij^（k-2）），对于k>1。
通用格式：（x*（1+i*x-j*x））/（（-1+j*x（-1+x+x^2））。
a（n，n，n）=和[Fibonacci（n-k）n^k，{k，0，n}]-罗斯·拉海耶，2006年1月14日
求和[C（k，m）（i-1）^m，{m，0，k}]=a（i-1，i，k）+a（i-2，i，k+1），对于i>1-罗斯·拉海耶2006年5月29日
当k>0时，a（i，j，k）=a（j，j，k）+（i-j）a（j、j，k-1）。
例子
a（1,3,3）=6，因为a（1,3.00）=0，a（1,3-1）=1，a（1.3,2）=2和4*2-2*1-3*0=6。
数学
连接[{0}，表[Sum[Fibonacci[n-k]*n^k，{k，0，n}]，{n，1，20}]](*瓦茨拉夫·科特索维奇2021年1月3日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=总和（k=0，n，fibonacci（n-k）*n^k）-约尔格·阿恩特，2021年1月3日
矩阵定义为：a（i，0）=0，a（i、j）=i*斐波那契（j-1）+斐波那奇（j），对于j>0；通过提升的反对偶阅读。
+10
28
0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 3, 3, 3, 0, 1, 4, 4, 5, 5, 0, 1, 5, 5, 7, 8, 8, 0, 1, 6, 6, 9, 11, 13, 13, 0, 1, 7, 7, 11, 14, 18, 21, 21, 0, 1, 8, 8, 13, 17, 23, 29, 34, 34, 0, 1, 9, 9, 15, 20, 28, 37, 47, 55, 55, 0, 1, 10, 10, 17, 23, 33, 45, 60, 76, 89, 89
配方奶粉
a（i，0）=0，a（i，j）=i*斐波那契（j-1）+斐波那契（j），对于j>0。
当j>2时，a（i，0）=0，a（i，1。
通用名称：（x*（1+ix））/（1-x-x^2）。
Sum_{j=0..i+1}a（i-j+1，j）-Sum_{j=0..i}a（i-j，j）=A001595号（i） ●●●●-罗斯·拉海耶2006年6月3日
例子
表格开始：
[0] 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
[1] 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
[2] 0, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...
[3] 0, 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, ...
[4] 0, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, ...
[5] 0, 1, 6, 7, 13, 20, 33, 53, 86, 139, ...
[6] 0, 1, 7, 8, 15, 23, 38, 61, 99, 160, ...
[7] 0, 1, 8, 9, 17, 26, 43, 69, 112, 181, ...
[8] 0, 1, 9, 10, 19, 29, 48, 77, 125, 202, ...
[9] 0, 1, 10, 11, 21, 32, 53, 85, 138, 223, ...
MAPLE公司
A:=（n，k）->ifelse（k=0，0，
n*组合：-斐波那契（k-1）+组合：-菲波那契
seq（seq（A（n-k，k），k=0..n），n=0..6）#彼得·卢什尼2022年5月28日
数学
T[n_，0]：=0；T[n_，1]：=1；T[n_，2]：=n-1；T[n_，3]：=n-1；T[n_，n_]：=斐波那契[n]；T[n_，k_]：=T[n，k]=T[n-1，k-1]+T[n-2，k-2]；表[T[n，k]，{n，0，15}，{k，0，n}](*G.C.格鲁贝尔2017年1月7日*）
1, 6, 1, 6, 7, 1, 6, 13, 8, 1, 6, 19, 21, 9, 1, 6, 25, 40, 30, 10, 1, 6, 31, 65, 70, 40, 11, 1, 6, 37, 96, 135, 110, 51, 12, 1, 6, 43, 133, 231, 245, 161, 63, 13, 1, 6, 49, 176, 364, 476, 406, 224, 76, 14, 1, 6, 55, 225, 540, 840, 882, 630, 300, 90, 15, 1, 6, 61, 280, 765, 1380
评论
这是Riordan三角形的一个示例（请参见A093560号评论和A053121号以获取评论和1991年Shapiro等人关于Riordan集团的参考）。因此，行多项式p（n，x）：=Sum_{m=0.n}a（n，m）*x^m的o.g.f是g（z，x）=（1+5*z）/（1-（1+x）*z）。
SW-NE对角线给出A022096型（n-1）=Sum_{k=0..上限（n-1，/2）}a（n-1-k，k），n>=1，n=0值5。观察者保罗·巴里2004年4月29日。通过递归关系和输入比较进行证明。
参考文献
Kurt Hawlitschek、Johann Faulhaber 1580-1635、Veroeffentlichung der Stadtbibliothek Ulm、Band 18、Ulm，德国，1995年，第2.1.4章。菲格利特·扎伦（Figurierte Zahlen）。
Ivo Schneider：约翰·福尔哈伯（Johannes Faulhaber），1580-1635年，伯赫用户，巴塞尔，波士顿，柏林，1993年，第5章，第109-122页。
配方奶粉
a（n，m）=F（6；n-m，m），对于0<=m<=n，否则为0，如果n>=1，F（6，n，0）=1，如果F（6；n，m。
递归：如果m>n，a（0，0）=1，a（n，m）=0；如果n>=1，a（n，0）=6；a（n，m）=a（n-1，m）+a（n-1，m-1）。
G.f.列m（无前导零）：（1+5*x）/（1-x）^（m+1），m>=0。
T（n，k）=C（n，k）+5*C（n-1，k）-菲利普·德尔汉姆2005年8月28日
exp（x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）*（6+13*x+8*x^2/2！+x^3/3！）=6+19*x+40*x^2！+70*x^3/3！+110*x^4/4！+。。。。对于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，同样的属性更为普遍-彼得·巴拉2014年12月22日
例子
三角形开始
1;
6, 1;
6, 7, 1;
6, 13, 8, 1;
6, 19, 21, 9, 1;
6, 25, 40, 30, 10, 1;
...
数学
lim=11；s=级数[（1+5*x）/（1-x）^（m+1），{x，0，lim}]；t=表[系数列表[s，x]，{m，0，lim}]；扁平[表[t[[j-k+1，k]]，{j，lim+1}，{k，j，1，-1}]](*Jean-François Alcover公司，2011年9月16日，g.f.*之后）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a093563 n k=a093563_tabl！！不！！k
a093563_row n=a093563 _ tabl！！n个
a093563_tabl=[1]：迭代
（\row->zipWith（+）（[0]++行）（行++[0]））[6，1]
交叉参考
行总和：A005009号（n-1），n>=1，1表示n=0，交替行和为1表示n=0.，5表示n=2，其他为0。
5, 1, 5, 1, 6, 5, 1, 7, 11, 5, 1, 8, 18, 16, 5, 1, 9, 26, 34, 21, 5, 1, 10, 35, 60, 55, 26, 5, 1, 11, 45, 95, 115, 81, 31, 5, 1, 12, 56, 140, 210, 196, 112, 36, 5, 1, 13, 68, 196, 350, 406, 308, 148, 41, 5, 1, 14, 81, 264, 546, 756, 714, 456, 189, 46, 5, 1, 15, 95, 345, 810, 1302
评论
这是Riordan三角形的一个示例（请参见A053121号注释和1991年Shapiro等人关于Riordan群的参考），第m列的o.g.f.为g（x）*（x*f（x））^m型，f（0）=1。因此，行多项式p（n，x）=和{m=0..n}a（n，m）*x^m的o.g.f.是g（z，x）=g（z）/（1-x*z*f（z））。这里：g（x）=（5-4*x）/（1-x），f（x）=1/（1-x），因此g（z，x）=[5-4*z）/（1-（1+x）*z）。
SW-NE对角线给出Sum_{k=0.天花板（（n-1）/2）}a（n-1-k，k）=A022096型（n-2），n>=2，n=1值5。观察者保罗·巴里2004年4月29日。通过递归关系和输入比较进行证明。
配方奶粉
递归：如果m>n，a（0，0）=5，a（n，m）=0；如果n＞＝1，则a（n，0）＝1；a（n，m）=a（n-1，m）+a（n-1，m-1）。
G.f.列m（无前导零）：（5-4*x）/（1-x）^（m+1），m>=0。
a（n，k）=（1+4*k/n）*二项式（n，k），对于n>0-米尔恰·梅卡2012年4月8日
例子
三角形开始：
5;
1, 5;
1, 6, 5;
1, 7, 11, 5;
1, 8, 18, 16, 5;
1, 9, 26, 34, 21, 5;
1, 10, 35, 60, 55, 26, 5;
1, 11, 45, 95, 115, 81, 31, 5;
1, 12, 56, 140, 210, 196, 112, 36, 5;
1, 13, 68, 196, 350, 406, 308, 148, 41, 5;
1, 14, 81, 264, 546, 756, 714, 456, 189, 46, 5; 等。
MAPLE公司
a（n，k）：=分段（n=0，5，0<n，（1+4*k/n）*二项式（n，k））#米尔恰·梅卡2012年4月8日
黄体脂酮素
（PARI）a（n）={if（n<=1，return（5-4*（n==1）））；my（m=（sqrtint（8*n+1）-1）\2，t=n-二项式（m+1，2））；（1+4*t/m）*二项式（m，t）}\\大卫·A·科内斯2019年8月28日
交叉参考
行总和：A007283号（n-1），n>=1，如果n=0，则为5；例如：（5-4*x）/（1-2*x）。交替的行和是[5，-4，后面跟着0’s]。
由升序反对偶读取的数组。广义斐波那契数F（n，k）=（psi^k*（phi-n）-phi^k*。F（n，k）表示n>=0和k>=0。
+10
8
1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 4, 4, 5, 5, 3, 1, 5, 5, 7, 8, 8, 5, 1, 6, 6, 9, 11, 13, 13, 8, 1, 7, 7, 11, 14, 18, 21, 21, 13, 1, 8, 8, 13, 17, 23, 29, 34, 34, 21, 1, 9, 9, 15, 20, 28, 37, 47, 55, 55, 34, 1, 10, 10, 17, 23, 33, 45, 60, 76, 89, 89, 55
评论
恒等式F（n，k）=（-1）^k*F（1-n，-k）适用于所有整数n，k。证明：
F（n，k）*（2+phi）=（phi^k*（n*phi+1）-（-phi）^（-k）*
=（-1）^k*（φ^（-k）*（（1-n）*φ+1）-（-phi）^kx（-n*phi-1））
=（-1）^k*F（1-n，-k）*（2+phi）。
这个恒等式可以看作是1680年卡西尼定理和Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》（6.106和6.107）中给出的恒等式的推广。在链接注释中可以找到Z x Z中参数的完整数组的开头。
枚举是所选定义的简单形式的结果。从1，1，2，3…开始的经典正斐波那契数列，。。。位于第n=1行，偏移量为0。从0、1、1、2、3……开始的非负斐波那契数，。。。位于第0行，偏移量为1。与Knuth使用的枚举相比，它们向无穷远处延伸，索引偏移了1。我们枚举的一个特征是F（n，0）=1表示所有整数n。
斐波那契数只对{（-1,2），（0,1），（1，-1），（2，-2）}中的（n，k）消失。零对应于恒等式（φ+1）*psi^2=（psi+1）*phi^2，psi*phi=phi*psi，（φ-1）*phi=（psi-1）*psi和（φ-2）*phi2=（psi-2）*psia^2。
对于任何固定k，序列F（n，k）是n的线性函数。换句话说，是算术级数。这意味着对于Z中的所有n，F（n+1，k）=2*F（n，k）-F（n-1，k）。这种情况的特殊情况是斐波那契（n+1）=2*斐波那奇（n）-Fibonacci（n-2）-迈克尔·索莫斯，2022年5月8日
参考文献
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，马萨诸塞州，1990年，第6.6节。
唐纳德·欧文·克努特（Donald Ervin Knuth），《计算机编程的艺术》（The Art of Computer Programming），第三版，第1卷，基本算法。第1.2.8章斐波那契数。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1997年。
链接
Edsger W.Dijkstra，为了纪念斐波那契，收录于：F.L.Bauer、M.Broy和E.W.Dijkstra（编辑），《程序构造》，1979年，《计算机科学讲义》，第69卷。
配方奶粉
对于k>=2，F（n，k）=F（n、k-1）+F（n和k-2），否则为1，对于k=0，1，n。
F（n，k）=（n-1）*F（k-1）+F（k）其中F（n）=A000045号（n+1），以f（0）=1开头的斐波那契数。
F（n，k）=（（φ^k*（n*phi+1）-（-phi）^（-k）*（（n-1）*phi-1））/（2+phi）。
F（n，k）=[x^k]（1+（n-1）*x）/（1-x-x^2）对于k>=0。
F（k，n）=[x^k]（F（0，n）+F（0、n-1）*x）/（1-x）^2对于k>=0。
F（n，k）=（k！/sqrt（5））*[x^k]（（n-psi）*exp（phi*x）-（n-phi）*exp（psi*x）），对于k>=0。
F（n，k）-F（n-1，k）=符号（k）^（n-1）*F（k）代表Z中的所有n，k，其中A000045号通过f（-n）=（-1）^（n-1）*f（n）扩展为负整数（CMath 6.107）-彼得·卢什尼2022年5月9日
F（n，k）=2*（（n-1）*i*sin（k*c）+sin（（k+1）*c））/（i^k*sqrt（5）），其中c=Pi/2-i*arcsinh（1/2），对于Z中的所有n，k。基于Bill Gosper的一句话-彼得·卢什尼2022年5月10日
例子
阵列启动：
n\k 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。。。
---------------------------------------------------------
[0] 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...2012年12月24日
[1] 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...A000045号（移位一次）
[2] 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...A000045号（移位两次）
[3] 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...A000032号（移位一次）
[4] 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, ...A000285号
[5] 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, ...A022095型
[6] 1, 6, 7, 13, 20, 33, 53, 86, 139, 225, ...A022096型
[7] 1, 7, 8, 15, 23, 38, 61, 99, 160, 259, ...A022097号
[8] 1, 8, 9, 17, 26, 43, 69, 112, 181, 293, ...A022098型
[9] 1, 9, 10, 19, 29, 48, 77, 125, 202, 327, ...A022099型
MAPLE公司
f:=n->组合：-斐波那契（n+1）：f:=（n，k）->（n-1）*f（k-1）+f（k）：
seq（seq（F（n-k，k），k=0..n），n=0..9）；
#下一个实现仅用于说明，不建议使用
#因为它依赖于浮点运算。
φ：=（1+sqrt（5））/2:psi:=（1-sqrt）/2:
F:=（n，k）->（psi^k*（phi-n）-phi^k*
对于从-6到6的n，进行lprint（seq（simplify（F（n，k）），k=-6..6））od；
数学
表[LinearRecurrence[{1，1}，{1，n}，10]，{n，0，9}]//表格
F[n_，k_]：=（矩阵幂[{{0，1}，{1，1}}，k].{{1}、{n}}）[[1，1]]；(*迈克尔·索莫斯2022年5月8日*）
c:=Pi/2-I*ArcSinh[1/2]；（*基于Bill Gosper的评论。*）
F[n_，k_]：=2（I（n-1）正弦[k c]+正弦[（k+1）c]）/（I^k平方[5]）；
表[简化[F[n，k]]，{n，-6,6}，{k，-6，6}]//表格(*彼得·卢什尼2022年5月10日*）
黄体脂酮素
（Julia）#时间复杂性为O（lgn）。
函数fibrec（n:：Int）
n==0&&return（BigInt（0），Big Int（1））
a、 b=纤维（div（n，2））
c=a*（b*2-a）
d=a*a+b*b
iseven（n）？（c，d）：（d，c+d）
结束
函数Fibonacci（n:：Int，k:：Int）
k==0&返回BigInt（1）
k<0&&return（-1）^k*斐波那契（1-n，-k）
a、 b=纤维（k-1）
a+b*n
结束
对于-6:6中的n
println（[Fibonacci（n，k）for k in-6:6]）
结束
（PARI）F（n，k）=（[0，1；1，1]^k*[1；n]）[1，1]
（PARI）{F（n，k）=n*斐波那契（k）+斐波那奇（k-1）}/*迈克尔·索莫斯2022年5月8日*/
1, 5, 1, 1, 5, 1, 5, -3, 10, 1, 1, 5, 3, 10, 1, 5, -7, 20, -1, 15, 1, 1, 5, 1, 20, 10, 15, 1, 5, -11, 30, -15, 50, 6, 20, 1, 1, 5, -5, 30, 15, 50, 22, 20, 1, 5, -15, 40, -45, 105, -9, 100, 18, 25, 1
例子
三角形的前几行是：
1;
5, 1
1, 5, 1;
5, -3, 10, 1;
1, 5, 3, 10, 1;
5, -7, 20, -1, 15, 1;
1, 5, 1, 20, 10, 15, 1;
...
2, 12, 14, 26, 40, 66, 106, 172, 278, 450, 728, 1178, 1906, 3084, 4990, 8074, 13064, 21138, 34202, 55340, 89542, 144882, 234424, 379306, 613730, 993036, 1606766, 2599802, 4206568, 6806370, 11012938
配方奶粉
总尺寸：2*（1+5*x）/（1-x-x^2）-菲利普·德尔汉姆2008年11月19日
a（n）=2*（斐波那契（n+2）+4*斐波那奇（n））-G.C.格鲁贝尔2017年8月27日
数学
a＝｛｝；b=2；c=12；附录[a，b]；附加到[a，c]；做[b=b+c；附加到[a，b]；c=b+c；附加到[a，c]，{n，4！}]；一个(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2008年9月18日*）
表[2*（斐波那契[n+2]+4*Fibonacci[n]），{n，0，50}]（*或*）线性递归[{1，1}，{2，12}，50](*G.C.格鲁贝尔2017年8月27日*）
黄体脂酮素
（PARI）用于（n=0，50，打印1（2*（fibonacci（n+2）+4*fibonaci（n）），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2017年8月27日
a（n）=总和{k=0..n，mod（C（楼层（k/2），n-k），2）}。
+10
三
1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 4, 4, 5, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 5, 3, 5, 8, 8, 7, 6, 7, 7, 5, 6, 8, 7, 6, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 6, 5, 5, 7, 6, 4, 5, 6, 7, 7, 5, 6, 8, 5, 8, 13, 13, 11, 10, 12, 11, 8, 9, 11, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 9, 13, 12
评论
序列A127830型（2^n-p），p>=0，显然都是类斐波那契数列，即下一项是它前面的两个非零项之和；请参阅交叉参考。（结束）
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