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卢卡斯数

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卢卡斯数是整数序列{左侧}_（n=1）^infty由定义线性的递推方程

L_n=L_（n-1）+L_（n-2）
(1)

具有L_1=1和L_2=3. Then个卢卡斯数在沃尔夫拉姆语言作为卢卡斯L[n个].

的值L_n（L_n）对于n=1, 2, ... 是1、3、4、7、11、18、29、，47, 76, 123, ... （组织环境信息系统A000204号).

卢卡斯的数字也是卢卡斯数列 V_n（1，-1）和是斐波那契数 表格（_n）并且满足相同的递归。

拾取集合的方法数（包括空集合)从数字1，2。。。，n个不选择两个连续的数字（其中1和n个现在是连续的）是L_n（L_n）（Honsberger 1985年，第122页）。

唯一的平方数卢卡斯层序中为1和4（阿尔弗雷德1964，科恩1964）。唯一的三角形卢卡斯的数字是1、3和5778（明1991）。唯一的立方体的卢卡斯数是1。

令人惊讶的是，如果n个是质数，L_n=1（修改）.然而，反过来并不一定成立，也不一定成立复合数n个使得L_n=1（修改）被称为卢卡斯伪素数.

对于n=1, 2, ..., 十进制数字在里面L_（10^n）是1、3、21、209、2090、20899、，208988, 2089877, ... （组织环境信息系统A114469号). 尽可能可以看到，最初的数字串稳定下来，产生数字2089876402499797833769。。。，对应于的十进制数字lnphi=0.2089876。。。（组织环境信息系统A097348号),哪里φ是黄金比率这是因为对于任何功率函数f_n=c^n,的小数位数f（10^n）由提供10^nlog_（10）c.

卢卡斯数的周期长度（mod10个)的n=1, 2, ... 是12、60、300、3000、30000、300000、300000。。。（组织环境信息系统A114307号).

的模拟比奈公式对于Lucas数是

L_n=（（1+sqrt（5））/2）^n+（（1-sqrt（5））/2）^n。
(2)

另一个公式是

L_n=【φ^n】
(3)

对于n> =2，其中φ是黄金比率和[x]表示最近的整数函数.

的另一个递归关系L_n（L_n）由给出，

L_（n+1）=| _（L_n（1+sqrt（5））+1）/2_|
(4)

对于n> =4，其中|_x个_|是楼层功能.

Lucas数字满足的其他身份包括

L_n^2-L_（n-1）L_（n+1）=5（-1）^n，
(5)

和

sum_（k=1）^nL_k^2=L_nL_（n+1）-2。
(6)

卢卡斯数服从否定公式

L_（-n）=（-1）^nL_n，
(7)

加法公式

L_（m+n）=1/2（5F_mF_n+L_mL_n），
(8)

哪里表格（_n）是一个斐波那契数，减法公式

L_（m-n）=1/2（-1）^n（L_mL_n-5F_mF_n），
（9）

基本身份

L_n^2-5F_n^2=4（-1）^n，
(10)

共轭关系

L_n=F_（n-1）+F_（n+1），
(11)

继承关系

L_（n+1）＝1/2（5F_n+L_，
(12)

倍角公式

L_（2n）=1/2（5F_n^2+L_n^2），
(13)

多角度复发

L_（kn）=L_kL_（k（n-1））-（-1）^kL_，
(14)

多角度公式

L_（kn）=1/（2^（k-1））和_（i=0）^（|_k/2_|）（k；2i）5^iF_n^（2i）L_n^
(15)
=sum_（i=0）^（|_k/2_|）k/（k-i）（k-i；i）（-1）^
(16)
={sum_（i=0）^（k/2）k/（k-i）（k-i；i）（-1）^
(17)
=总和_（i=0）^（k）（k；i）L_iF_n^iF_（n-1）^，
(18)

产品扩展

F_mL_n=F_（m+n）+（-1）^nF_（m-n）
(19)

和

F_ mF_ n=1/5[L_（m+n）-（-1）^nL_，
(20)

平方膨胀，

L_n^2=L_（2n）+2（-1）^n，
(21)

和功率扩展

L_n^k=1/2sum_（i=0）^k（k；i）（-1）^（in）L_（k-2i）n）。
(22)

卢卡斯数满足幂回归

总和_（j=0）^（t+1）（-1）^[j（j+1）/2）[t+1；j]_FL_（n-j）^t=0，
(23)

哪里[a；b]_F是一个纤维系数，倒数总和

求和_（k=1）^n（（-1）^k）/（L_kL_（k+a））=（F_n）/（F_a）求和_，
(24)

卷积

sum_（k=0）^nL_kL_（n-k）=（n+2）L_n+F_n，
(25)

部分分式分解

-5/（L_（n+a）L_（n+b）L_，
(26)

哪里

A类=（（-1）^（n-a））/（F_（b-a）F_（c-a））
(27)
B类=（-1）^（n-b））/（F_（c-b）F_（a-b））
(28)
C类=（-1）^（n-c））/（F_（a-c）F_（b-c）），
(29)

和求和公式

sum_（k=0）^nx^kL_（ak+b）=（g（n+1）-g（0））/（1-L_ax+（-1）^ax^2），
(30)

哪里

g（n）=（-1）^aL_（a（n-1）+b）x^（n+1）-L_（an+b）x ^n。
(31)

让对成为首要的 >3和k个成为正整数.然后L_（2p^k）以3结尾（Honsberger 1985年，第113页）。塞萨罗恒等式的类比对于斐波那契数是

sum_（k=0）^n（n；k）L_k=L_（2n）
(32)
sum_（k=0）^n（n；k）2^kL_，
(33)

哪里（n；k）是一个二项式系数.

L_n|F_m(L_n（L_n） 划分 窗体（_m）)敌我识别 n个 划分进入之内米一个即使次数。L_n|L_m 敌我识别 n个分成米一个古怪的次数。2 ^nL_n总是以2结尾（Honsberger 1985，第137页）。

定义

D_n=|3 i 0 0。。。0 0；i 1 i 0。。。0 0; 0 i 1 i。。。0 0; 0 0 i 1。。。0 0; | | | | ... | |; 0 0 0 0 ... 1 i；0 0 0 0 ... i 1 |=L_（n+1）
(34)

给予

D_n=D_（n-1）+D_（n-2）
(35)

（Honsberger 1985年，第113-114页）。

另请参见

斐波那契数,整数序列素数,卢卡斯n个-步骤编号,卢卡斯多项式,卢卡斯底漆,卢卡斯伪素数,卢卡斯顺序,倒数斐波那契常数

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参考文献

U兄弟阿尔弗雷德（Alfred），《卢卡斯数字广场》（On Square Lucas Numbers）小谎。夸脱。 2, 11-12, 1964.J.M.博文。和博文，邮政信箱。圆周率&AGM：分析数理论和计算复杂性研究。纽约：威利，第94-101页，1987年。布里尔哈特，J。；蒙哥马利，P.L。；和Silverman，R.D。“斐波那契和卢卡斯因子分解表。”数学。计算。 50第251-260页和第S1-S15页，1988年。布罗德赫斯特，D.和Irvine，S.《卢卡斯记录》素数形式用户论坛。2006年6月19日。http://groups.yahoo.com/group/primeform/message/7534.布朗，J·L·。Jr.“整数作为不同Lucas之和的唯一表示数字。"小谎。夸脱。 7, 243-252, 1969.科恩，J.H。E。平方斐波那契数等小谎。夸脱。 2, 109-113,1964Dubner，H.和Keller，W.“新斐波那契和卢卡斯素数”数学。计算。 68417-427和S1-S12，1999年。盖伊，R.K。“各种形状的斐波那契数”。§D26未解决数论问题，第二版。纽约：Springer-Verlag，第194-195页，1994希尔顿，P。；霍尔顿，D。；和Pedersen，J.“斐波纳契和卢卡斯数字。“第3章英寸数学有许多镜子的房间里的倒影。纽约：Springer-Verlag，第61-85页，1997Hilton，P.和Pedersen，J.“斐波那契和卢卡斯数教学和研究。"数学杂志。信息学 三, 36-57, 1991-1992.霍加特，V.E.公司。年少者。这个斐波那契数列和卢卡斯数列。马萨诸塞州波士顿：霍顿·米夫林，1969年。洪斯伯格，R.“再看斐波那契和卢卡斯数”，第8章数学宝石III。华盛顿特区：数学。美国协会。，1985科西，T。斐波那契以及Lucas数及其应用。纽约：Wiley，2001年。更新链接莱兰德，P。ftp://sable.ox.ac.uk/pub/math/factors/lucas.Z利夫奇茨，H.和Lifchitz，R.“PRP顶级记录”http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php？form=L（n）.明，L.“关于三角卢卡斯数”应用斐波那契数列，第4卷（编辑G.E.Bergum，A.N.Philippou，和A.F。霍拉达姆）。荷兰多德雷赫特：Kluwer，第231-240页，1991年。斯隆，新泽西州。答：。序列A000204号/M2341，A001606年/M0961中，A005479号/M2627中，A068070型,A097348号,A114469号、和A114307号在“整数序列在线百科全书”中

引用的关于Wolfram | Alpha

卢卡斯数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“卢卡斯号码”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html

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