斐波那契数列是数字的序列由定义线性的递推方程
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具有.根据定义(1),通常定义.
斐波那契数列, 2, ... 是1、1、2、3、5、8、13、21。。。(组织环境信息系统A000045号).
斐波那契数可以看作是斐波那契多项式 具有.
斐波那契数列在沃尔夫拉姆语言作为斐波那契[n个].
斐波那契数也是卢卡斯数列 和是卢卡斯数字(满足相同要求重现方程式).
上面的漫画(Amend 2005)展示了斐波那契数列的非传统体育应用(左两个面板)。(右侧面板应用佩林序列).
加密版本13、3、2、21、1、1、8、5(OEISA117540号)在前八个斐波那契数中,被谋杀者留下的线索之一D.布朗小说中的博物馆馆长雅克·索尼埃这个达芬奇密码(Brown 2003,第43、60-61和189-192页)。在这个季节1集“破坏"电视犯罪剧(2005)编号3RS,数学天才查理·埃普斯(Charlie Eppes)提到斐波那契数是在结构中发现的由水晶、星系螺旋和鹦鹉螺外壳组成。第四季第集哥伦比亚广播公司电视犯罪剧《犯罪心理》的“杰作”(2008)FBI行为分析部门的特工面临连环杀手他使用斐波那契数列来确定每个人的受害者人数杀人事件。在本集中,角色里德博士也注意到了杀戮事件的图表金色螺旋,到达螺旋线的中心可以让里德确定凶手的行动基地。
上图显示了以二进制表示的斐波那契数列的前511项,揭示了空心三角形和填充三角形的有趣模式(Pegg 2003)。底部边缘出现了一系列类似分形的白色三角形,部分原因是事实上结束于零。还有许多其他类似的属性。
斐波那契数给出了兔子对的数量一对开始繁殖数月后假设兔子在两个月大时开始繁殖),正如第一次描述的那样比萨的莱昂纳多(也称为斐波纳契)在他的书中利伯·阿巴奇。开普勒还描述了斐波那契数(开普勒1966;威尔斯1986,第61-62页和65). 在斐波那契写下他的作品之前,斐波那奇数已经被讨论过了印度学者,如Gopála(1135年之前)和Hemachandra(约1150年)长期以来一直对由单拍和双拍组成的节奏模式感兴趣音符或音节。这种节奏的数量总的节拍是因此,这些学者都提到了这些数字1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 明确(Knuth 1997,第80页)。
斐波那契数小于10,,, ... 是6、11、16、20、25、30、35、39、44。。。(组织环境信息系统A072353号). 对于, 2, ..., 十进制数字是2、21、209、2090、20899、208988、2089877、20898764、,…(OEIS)A068070型). 可以看出一串数字稳定下来,产生数字20898764024997978733769…,其中对应于的十进制数字(组织环境信息系统A097348号),哪里是黄金比率这是因为对于任何功率函数,的小数位数由提供.
斐波那契数列,是方形的对于, 12, 18, 24, 25, 30, 36, 42, 48, 50, 54, 56, 60, 66, ...,372, 375, 378, 384, ... (组织环境信息系统A037917号)以及无平方的对于, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, ... (组织环境信息系统A037918号).和为所有人,并且至少有一个这样的话.没有正方形的斐波那契数字已知的 首要的.
连续斐波那契数之比接近金色的比率 作为接近无穷大,苏格兰数学家罗伯特·西蒙森于1753年首次证明了这一点(Wells 1986,第62页)。交替斐波那契数的比率由下式给出这个收敛到,其中是黄金比率、和据说是用来测量茎上连续叶片之间的一圈的分数植物的(叶序):榆树和椴树,1/3山毛榉和榛子,橡树和苹果占2/5,杨树和玫瑰占3/8,柳树占5/13和杏仁等(科克塞特1969年,鲍尔和科克塞特1987年)。斐波那契数列为有时称为松果数(Pappas 1989,第224页)。斐波那契的作用植物学中的数字有时被称为路德维希定律(Szymkiewicz 1928;Wells 1986,第66页;斯坦豪斯1999年,第299页)。然而,植物学家库克建议谨慎行事在研究植物学和斐波那契序列之间的相关性时(Peterson,2006年)。
方程式(◇) 是一个线性递归方程式
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因此的闭合形式由提供
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哪里和是的根.在这里,,所以方程变成
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其中有根
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因此,闭合形式由
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这被称为比奈公式(Wells 1986,第62页)。另一个封闭形式是
哪里是最近整数函数(油井1986年,第62页)。
使用方程式(7),定义可以扩展为负整数根据
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更一般地说,斐波那契数可以扩展到实数通过
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如上图所示。
斐波那契函数在和无穷多接近的负值对于所有负整数,由
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哪里是黄金比率。前几个根为0,(组织环境信息系统A089260号),,,, ....
另一个递推关系对于斐波那契数字是
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哪里是楼层功能和是黄金比率.这个表达式来自更通用的重现关系
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对于.(案件微不足道,而案件本质上是卡西尼的身份因此等于.)
另一个有趣的行列式标识来自定义作为除之外到处都是零的矩阵和对于(即沿超对角线和次对角的). 然后
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(S.Markelov)。
这个生成函数对于斐波那契数字是
通过插入,这给出了上面所示的奇怪的加法树,
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所以
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(Livio 2002,第106-107页)。
总额
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(组织环境信息系统A079586号)被称为相互的斐波那契常数.
Yuri Matiyasevich(1970)表明存在多项式在里面,,以及许多其他变量,,, ... 拥有 若(iff)存在整数,,, ... 这样的话这就证明了不可能的十分之一希尔伯特问题(有吗存在一种通用的求解方法丢番图碱方程?) 朱莉娅·罗宾逊和马丁·戴维斯于1970年创作(里德1997年,第107页)。
斐波那契数给出了以下几种方法 多米诺骨牌覆盖 棋盘,如上图所示(Dickau)。
选择方法的数量设置(包括空集合)从数字1,2。。。,如果不选择两个连续的数字。拾取集合的方法的数量(包括空集合)从数字1,2。。。,不选择两个连续的数字(其中1和现在是连续的)是,其中是一个卢卡斯数.
没有连续两个头的概率抛掷硬币是(Honsberger,1985年,第120-122页)。斐波那契数也与以下几种方式有关 掷硬币可以这样做没有三个连续的正面或反面。理想的数量-元素栅栏偏序集是斐波那契数.
给定一个电阻网络属于1-电阻器,每个串联或并联递增连接到前面的电阻器,则净电阻为理性的数最大可能分母为.
斐波那契数是根据切比雪夫第二类多项式通过
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总和标识包括
有许多涉及斐波那契数的特殊代数恒等式,包括
(Brousseau 1972),加泰罗尼亚人的身份
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达奥卡涅的身份
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和盖林·塞萨罗身份
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出租英寸(32)给予卡西尼的身份
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有时也称为Simson公式,因为它也是由Simson发现的(Coxeter和Greitzer 1967年,第41页;Coxeter 1969年,第165-168页;Petkovšeket(等)阿尔。1996年,第12页)。
约翰逊(2003)给出了非常普遍的身份
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它支持任意的整数,,,、和具有许多其他身份也由此而来案例。
斐波那契数服从否定公式
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加法公式
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哪里是一个卢卡斯数,减法公式
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基本身份
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共轭关系
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继承关系
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倍角公式
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多角度复发
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多角度公式
(其中(48)仅适用于),扩展
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(A.Mihailovs,pers.comm.,2003年1月24日),产品扩展
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和
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平方展开,
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和功率扩展
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Honsberger(1985年,第107页)给出了一般关系
在这种情况下,然后和用于 古怪的,
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类似地,对于 即使,
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出租提供了身份
总和公式对于包括
(Wells 1986,第63页),后者表明浅对角线“第个,共个帕斯卡三角形总和斐波那契数列(Pappas 1989)。其他身份可以在整个这个斐波那契季刊日记账。给出了47个广义恒等式的列表霍尔顿(1965)。
就卢卡斯数 ,
(Honsberger 1985年,第111-113页)。一个显著的身份是
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(Honsberger 1985,第118-119页),可概括为
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(约翰逊2003)。同样
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对于 古怪的、和
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对于 即使(Freitag,1996年)。
发件人(◇), 这个比率连续术语的
这只是连分数对于黄金比率 因此,
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与黄金比率由系列
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盖伊(1990)注意到一个奇怪的事实:对于, 1, ... 给出了1、1、2、3、5、8、13、21、34、55。。。,但是然后继续91149。。。(组织环境信息系统A005181号).
取第一个的产品斐波那契数列和1之和, 2, ... 给出了序列2、2、3、7、31、241。。。(组织环境信息系统A052449号). 其中,2、2、3、7、31、241、3121、,…(OEIS)A053413号)是质数,即术语1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 22, 28, ... (组织环境信息系统A053408号).
斐波那契数列的最后一位数字以60为周期重复。最后两位数字在300中重复,最后三位在1500中重复,最后四位在等之间的斐波那契数和是1或2(Wells 1986,第65页)。
塞萨罗导出了有限和
(Honsberger 1985年,第109-110页)。斐波那契数满足幂递推
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哪里是一个纤维系数,倒数总和
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卷积
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部分分式分解
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哪里
和求和公式
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哪里
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无限和包括
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(克拉克1995)和
哪里是黄金比率(Wells 1986,第65页)。
对于, 若(iff) (威尔斯1986年,第65页)。 若(iff) 分成一个古怪的次数。(迈克尔1964;霍斯伯格1985年,第131-132页)。不古怪的斐波那契数为可被17整除(Honsberger 1985,第132和242页)。无斐波那契数是永远的属于表格 或哪里是一个质数(Honsberger 1985年,第133页)。
考虑总和
这是一个伸缩总和,所以
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因此
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(Honsberger 1985年,第134-135页)。使用比奈的公式,也就是说
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哪里
所以
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(102)
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(Honsberger 1985年,第138和242-243页)。这个铣削系列有总和
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(103)
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(Honsberger 1985年,第135-137页)。
斐波那契数列为完成。事实上,去掉一个数字仍然会留下一个完整序列,尽管去掉两个数字并没有(Honsberger 1985,第123和126页)。正在删除斐波那契数列中的两项产生了一个非偶数序列弱完成(Honsberger 1985年,第128页)。然而,序列
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(104)
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是弱完全即使删除了任何有限子序列(Graham 1964)。不是完成,但是是。的副本是完成.
为了讨论广场斐波那契数列,见科恩(1964ab),他证明了平方数斐波那契数是1和(科恩1964ab,盖伊1994)。Ming(1989)证明了唯一的三角形斐波那契数是1,3、21和55。斐波那契和卢卡斯数字有除了1和3之外,没有通用术语。唯一的立方体的斐波那契数字是1和8。
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是一个勾股三元组,正如第一次发现的那样雷恩(Livio,2002年,第107页)。
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(106)
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始终是平方数(Honsberger,1985年,第243页)。
1975年,詹姆斯·琼斯(James P.Jones)指出斐波那契数是积极的整数的值多项式
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(107)
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对于高斯整数 和(《狮子座》1983)。如果和是两个积极的 整数,然后介于和,永远不会发生比斐波那契数(Honsberger 1985,第104-105页)。
斐波那契数满足恒等式
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(108)
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哪里是最大公约数.
斐波那契数列是任意模的周期模(Wall 1960)。这些时期被称为皮萨诺时期 (扳手1969)。斐波那契数模对于小型以及它们的皮萨诺时期.
| | 组织环境信息系统 | (修订版) |
2 | 三 | A011655号 | 1,1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ... |
三 | 8 | A082115号 | 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, ... |
4 | 6 | A079343号 | 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, ... |
5 | 20 | A082116号 | 1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, ... |
6 | 24 | 2008年2月17日 | 1, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5, 5, 4, ... |
7 | 16 | A082116号 | 1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, ... |
8 | 12 | A079344号 | 1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, 1, 1, 2, ... |