话题

斐波那契数


斐波那契数列是数字的序列{F_n}_(n=1)^信息由定义线性的递推方程

 F_n=F_(n-1)+F_(n-2)
(1)

具有F_1=F_2=1.根据定义(1),通常定义F_0=0.

斐波那契数列n=1, 2, ... 是1、1、2、3、5、8、13、21。。。(组织环境信息系统A000045号).

斐波那契数可以看作是斐波那契多项式 F_n(x)具有F_n=F_n(1).

斐波那契数列在沃尔夫拉姆语言作为斐波那契[n个].

斐波那契数列也是卢卡斯数列 U_n(1,-1)和是卢卡斯数字(满足相同要求重现方程式).

FoxTrot by Bill Amend公司

上面的漫画(Amend 2005)展示了斐波那契数列的非传统体育应用(左两个面板)。(右侧面板应用佩林序列).

加密版本13、3、2、21、1、1、8、5(OEISA117540号)前八个斐波那契数列中,被谋杀者留下的线索之一D.布朗小说中的博物馆馆长雅克·索尼埃这个达芬奇密码(Brown 2003,第43、60-61和189-192页)。在这个季节1集“破坏"电视犯罪剧(2005)编号3RS,数学天才查理·埃普斯(Charlie Eppes)提到斐波那契数是在结构中发现的由晶体、星系螺旋和鹦鹉螺壳组成。第四季第集哥伦比亚广播公司电视犯罪剧《犯罪心理》的“杰作”(2008)FBI行为分析部门的特工面临连环杀手他使用斐波那契数列来确定每个人的受害者人数杀人事件。在本集中,角色里德博士也注意到了杀戮事件的图表金色螺旋,到达螺旋线的中心可以让里德确定凶手的行动基地。

斐波那契数列的二进制图

上图显示了以二进制表示的斐波那契数列的前511项,揭示了空心三角形和填充三角形的有趣模式(Pegg 2003)。底部边缘出现了一系列类似分形的白色三角形,部分原因是事实上F_(2^n+2^(n+1))结束于n+2零。还有许多其他类似的属性。

斐波那契数列出兔子对的数量n个一对开始繁殖数月后假设兔子在两个月大时开始繁殖),正如第一次描述的那样比萨的莱昂纳多(也称为斐波纳契)在他的书中利伯·阿巴奇。开普勒还描述了斐波那契数(开普勒1966;威尔斯1986,第61-62页和65). 在斐波那契写下他的作品之前,斐波那奇数已经被讨论过了印度学者,如Gopála(1135年之前)和Hemachandra(约1150年)长期以来一直对由单拍和双拍组成的节奏模式感兴趣音符或音节。这种节奏的数量n个总的节拍是F_(n+1)因此,这些学者都提到了这些数字1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 明确(Knuth 1997,第80页)。

斐波那契数小于10,10^2,10^3, ... 是6、11、16、20、25、30、35、39、44。。。(组织环境信息系统A072353号). 对于n=1, 2, ..., 十进制数字F_(10^n)是2、21、209、2090、20899、208988、2089877、20898764、,…(OEIS)A068070型). 可以看出一串数字稳定下来,产生数字20898764024997978733769…,其中对应于的十进制数字lnphi=0.2089876。。。(组织环境信息系统A097348号),哪里φ黄金比率这是因为对于任何功率函数f_n=c^n,的小数位数f(10^n)由提供10^nlog_(10)c.

斐波那契数列表格(_n),正方形的对于n=6, 12, 18, 24, 25, 30, 36, 42, 48, 50, 54, 56, 60, 66, ...,372, 375, 378, 384, ... (组织环境信息系统A037917号)和无平方的对于n=1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, ... (组织环境信息系统A037918号).4|F_(6n)25 | F_(25n)为所有人n个,并且至少有一个n≤2米这样的话m | F_n.没有正方形的斐波那契数字前(_p)已知的第页 首要的.

连续斐波那契数之比F_n/F_(n-1)接近金色的比率 φ作为n个接近无穷大,苏格兰数学家罗伯特·西蒙森于1753年首次证明了这一点(Wells 1986,第62页)。交替斐波那契数的比率如下所示这个收敛φ^(-2),其中φ黄金比率、和据说是用来测量茎上连续叶片之间的一圈的分数植物的(叶序):榆树和椴树,1/3山毛榉和榛子,橡树和苹果占2/5,杨树和玫瑰占3/8,柳树占5/13和杏仁等(科克塞特1969年,鲍尔和科克塞特1987年)。斐波那契数列为有时称为松果数(Pappas 1989,第224页)。斐波那契的作用植物学中的数字有时被称为路德维希定律(Szymkiewicz 1928;Wells 1986,第66页;斯坦豪斯1999年,第299页)。然而,植物学家库克建议谨慎行事在研究植物学和斐波那契序列之间的相关性时(Peterson,2006年)。

方程式(◇) 是一个线性递归方程式

 x_n=轴(n-1)+Bx(n-2)n>=3,
(2)

所以的闭合形式表格(_n)由提供

 F_n=(α^n-β^n)/(α-β),
(3)

哪里阿尔法贝塔是的根x^2=轴+B.在这里,A=B=1,所以方程变成

 x^2-x-1=0,
(4)

其中有

 x=1/2(1+/-平方(5))。
(5)

因此,闭合形式由下式给出

 F_n=((1+sqrt(5))^n-(1-sqrt。
(6)

这被称为比奈公式(Wells 1986,第62页)。另一个封闭形式是

表格(_n)=[1/(平方码(5))((1+平方码(6))/2)^n]
(7)
=[(φn)/(sqrt(5)],
(8)

哪里【x】最近整数函数(威尔斯1986年,第62页)。

斐波那契

使用方程式(7),定义表格(_n)可以扩展为负整数n个根据

 F_(-n)=(-1)^(n+1)F_n。
(9)

更一般地说,斐波那契数可以扩展到n个实数努通过

 F_nu=1/(sqrt(5)){((1+sqrt,
(10)

如上图所示。

斐波那契根

斐波那契函数在x=0和无穷多接近的负值n+0.5对于所有负整数n个,由

 φ^(2x)=cos(pix),
(11)

哪里φ黄金比率。前几个根为0,x=-0.183802。。。(组织环境信息系统A089260号),-1.5707764...,-2.4704268...,-3.5108513..., ....

另一个递推关系对于斐波那契数字是

 F_(n+1)=|_(F_n(1+sqrt(5))+1)/2_|=|_phiF_n+1/2_|,
(12)

哪里|_x个_|楼层功能φ黄金比率.这个表达式来自更通用的重现关系

 |F_(n+1)F_(n+2)。。。F_(n+k);F_(n+k+1)F_(n+k+2)。。。F_(n+2k);||…|;F_(n+k(k-1)+1)。。。F_(n+k^2)|=0
(13)

对于k> 2个.k=1案件微不足道F_(n+1),k=2案例本质上是卡西尼的身份因此等于(-1)^n.)

另一个有趣的行列式标识来自定义自动(_n)作为n×n除之外到处都是零的矩阵a_(ii)=1a_(ij)=平方(-1)对于|i-j |=1(即沿超对角线次对角的). 然后

 |A_n|=F_(n+1)
(14)

(S.Markelov)。

这个生成函数对于斐波那契数字是

克(x)=sum_(n=0)^(infty)F_nx^n
(15)
=x/(1-x-x^2)
(16)
=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+。。。。
(17)
斐波那契斜线

通过插入x=1/10,这给出了上面所示的奇怪的加法树,

 sum_(n=0)^inff(F_n)/(10^n)=(10)/(89),
(18)

所以

 总和_(n=0)^系数(F_n)/(10^(n+1))=1/(89)
(19)

(Livio 2002,第106-107页)。

总额

 sum_(k=1)^infty1/(F_k)=3.35988566。。。
(20)

(组织环境信息系统A079586号)被称为相互的斐波那契常数.

Yuri Matiyasevich(1970)表明存在多项式P(P)在里面n个,米,以及许多其他变量x个,年,z(z), ... 拥有n=F_(2米) 若(iff)存在整数x个,年,z(z), ... 这样的话P(n,m,x,y,z,…)=0这就证明了不可能的十分之一希尔伯特的问题(有吗存在一种通用的求解方法丢番图碱方程?) 朱莉娅·罗宾逊和马丁·戴维斯于1970年创作(里德1997年,第107页)。

斐波那契检查器3斐波那契检查器4斐波那契检查器5

斐波那契数F_(n+1)给出了以下几种方法2×1 多米诺骨牌覆盖2×n 棋盘,如上图所示(Dickau)。

选择方法的数量设置(包括空集合)从数字1,2。。。,n个如果不选择两个连续的数字F_(n+2).选择集合的方式(包括空集合)从数字1,2。。。,n个不选择两个连续的数字(其中1和n个现在是连续的)是L_n=F_(n+1)+F_(n-1),其中L_n(L_n)是一个卢卡斯数.

没有连续两个头的概率n个抛掷硬币F_(n+2)/2^n(Honsberger 1985,第120-122页)。斐波那契数也与以下几种方式有关n个 掷硬币可以这样做没有三个连续的正面或反面。理想的数量n个-元素栅栏偏序集是斐波那契数表格(_n).

给定一个电阻网络属于n个1-欧米茄电阻器,每个串联或并联递增连接到前面的电阻器,则净电阻为理性的最大可能分母为F_(n+1).

斐波那契数是根据切比雪夫第二类多项式通过

 F_n=i^(n-1)U_(n-1)(-1/2i)。
(21)

总和标识包括

总和_(k=1)^(n)F_k=F_(n+2)-1
(22)
总和_(k=0)^(n)F_(2k+1)=F_(2n+2)
(23)
总和_(k=0)^(n)F_(2k)=F_(2n+1)-1
(24)
总和_(k=1)^(n)F_k^2=F_nF_(n+1)。
(25)

有许多涉及斐波那契数的特殊代数恒等式,包括

F_(2n)=F_(n+1)^2-F_(n-1)^2
(26)
=F_n(F_(n+1)+F_(n-1))
(27)
=F_n(F_n+2F_(n-1))
(28)
=F_n(2F_(n+1)-F_n)
(29)
F_(3n)=F_(n+1)^3+F_n^3-F_(n-1)^3
(30)
F_(n+1)^2=4F_nF_(n-1)+F_(n-2)^2
(31)

(Brousseau 1972),加泰罗尼亚人的身份

 F_n^2-F_(n+r)F_(n-r)=(-1)^(n-r,
(32)

达奥卡涅的身份

 F_mF_(n+1)-F_nF_(m+1)=(-1)^nF_(m-n),
(33)

盖林·塞萨罗身份

 F_n^4-F_(n-2)F_(n-1)F_。
(34)

出租r=1英寸(32)给予卡西尼的身份

 F_(n-1)F_(n+1)-F_n^2=(-1)^n,
(35)

有时也称为Simson公式,因为它也是由Simson发现的(Coxeter和Greitzer 1967年,第41页;Coxeter 1969年,第165-168页;Petkovšeket(等)阿尔。1996年,第12页)。

约翰逊(2003)给出了非常普遍的身份

 F_aF_b-F_cF_d=(-1)^r(F_(a-r)F_(b-r)-F_(c-r)F_(d-r)),
(36)

它支持任意的整数一,b条,c(c),d日、和第页具有a+b=c+d许多其他身份也由此而来案例。

斐波那契数服从否定公式

 F_(-n)=(-1)^(n+1)F_n,
(37)

加法公式

 F_(m+n)=1/2(F_mL_n+L_mF_n),
(38)

哪里L_n(L_n)是一个卢卡斯数,减法公式

 F_(m-n)=1/2(-1)^n(F_mL_n-L_mF_n),
(39)

基本身份

 L_n^2-5F_n^2=4(-1)^n,
(40)

共轭关系

 F_n=1/5(L_(n-1)+L_(n+1)),
(41)

继承关系

 F_(n+1)=1/2(F_n+L_n),
(42)

倍角公式

 F_(2n)=F_nL_n,
(43)

多角度复发

 F_(kn)=L_kF_(k(n-1))-(-1)^kF_,
(44)

多角度公式

F_(千牛顿)=1/(2^(k-1))和_(i=0)^(|_(k-1
(45)
=F_nsum_(i=0)^(|_(k-1)/2_|)(k-1-i;i)(-1)^
(46)
={L_nsum_(i=0)^((k-2)/2)(k-1-i;i)(-1)^
(47)
=总和_(i=0)^(k)(k;i)F_iF_n^iF_(n-1)^
(48)
=总和_(i=0)^(k)(k;i)F_(-i)F_n^iF_(n+1)^
(49)

(其中(48)仅适用于n> 1个),扩展

 F_(kn+c)=总和_(i=0)^k(k;i)F_(c-i)F_n^iF_(n+1)^(k-i)
(50)

(A.Mihailovs,pers.comm.,2003年1月24日),产品扩展

 F_mF_n=1/5[L_(m+n)-(-1)^nL_(m-n)]
(51)

 F_mL_n=F_(m+n)+(-1)^nF_(m-n),
(52)

平方展开,

 F_n^2=1/5[L_(2n)-2(-1)^n],
(53)

和功率扩展

 F_n^k=1/(2·5^(|_k/2_|))sum_(i=0)^k(k;i)(-1)^(i(n+1)){F_((k-2i)n)表示k奇数;L_((k-2i)n)表示k偶数。
(54)

Honsberger(1985年,第107页)给出了一般关系

F_(n+m)=F_(n-1)F_m+F_nF_(m+1)
(55)
F_((k+1)n)=F_(n-1)F_(kn)+F_nF_(kn+1)
(56)
表格(_n)=F_lF_(n-l+1)+F_(l-1)F_(n-l)。
(57)

在这种情况下l=n-l+1,然后l=(n+1)/2和用于n个 古怪的,

 F_n=F_((n+1)/2)^2+F_(n-1)/2)^2。
(58)

同样,对于n个 即使,

 F_n=F_(n/2+1)^2-F_(n/2-1)^2。
(59)

出租k=(n-1)/2提供了身份

F_(2k+1)=F_(k+1)^2+F_k^2
(60)
F_(n+2)^2-F_(n+1)^2=F_nF_(n+3)
(61)
表格^2(_n)=F_(n-1)^2+3F_(n-2)^2+2F_(n-2)F_(nn-3)。
(62)
斐波那契浅对角

总和公式对于表格(_n)包括

表格(_n)=1/(2^(n-1))sum_(k=0)^(|_(n-1)/2_|)5^k(n;2k+1)
(63)
F_(n+1)=sum_(k=0)^(|_n/2_|)(n-k;k)
(64)

(Wells 1986,第63页),后者表明浅对角线“第个,共个帕斯卡三角形总和斐波那契数列(Pappas 1989)。其他身份可以在整个这个斐波那契季刊日记账。给出了47个广义恒等式的列表霍尔顿(1965)。

卢卡斯数 L_n(L_n),

F_(2n)=F_nL_n
(65)
F_(2n)(L_(2n)^2-1)=F_(6n)
(66)
F_(m+p)+(-1)^(p+1)F_(m-p)=F_pL_m
(67)
sum_(k=a+1)^(a+4n)F_k=F_(a+4n+2)-F_(a+2)=F_
(68)

(Honsberger 1985,第111-113页)。一个显著的特征是

 exp(L_1x+1/2L_2x^2+1/3L_3x^3+…)=F_1+F_2x+F_3x^2+。。。
(69)

(Honsberger 1985,第118-119页),可概括为

 经验(L_kx+1/2L_(2k)x^2+1/3L_(3k)x*^3+…)=(F_k+F_(2k)x+F_(3k)x ^2+…)/(_k)
(70)

(约翰逊2003)。同样

 (L_n^2-(-1)^aL_(n+a)^2)/(F_n^2-
(71)

对于一 古怪的、和

 (L_n^2+L_(n+a)^2-8(-1)^n)/(F_n^2+F_(n+a)^2)=5
(72)

对于一 即使(Freitag,1996年)。

发件人(◇), 这个比率连续术语的

(F_n)/(F_(n-1))=1+(F_(n-2))
(73)
=1+1/(F_(n-1))/(F_n-2))
(74)
=1+1/(1+1/(F_(n-3))/(F_n-2)))
(75)
=[1,1,…,(F_2)/(F_1)]
(76)
=[1,1,…,1_()_(n-1)],
(77)

这只是连分数对于黄金比率 φ因此,

 lim_(n->infty)(F_n)/(F_(n-1))=φ。
(78)

黄金比率系列

 φ=1+总和_(n=1)^系数((-1)^(n+1))/(F_nF_(n+1))。
(79)

盖伊(1990)注意到一个奇怪的事实:[e^(n-1)/2)]对于n=0, 1, ... 给出了1、1、2、3、5、8、13、21、34、55。。。,但是然后继续91149。。。(组织环境信息系统A005181号).

获取第一个n个斐波那契数列和1之和n=1, 2, ... 给出了序列2、2、3、7、31、241。。。(组织环境信息系统A052449号). 其中,2、2、3、7、31、241、3121、,…(OEIS)A053413号)是质数,即术语1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 22, 28, ... (组织环境信息系统A053408号).

斐波那契数列的最后一位数字以60为周期重复。最后两位数在300中重复,最后三位数在1500中重复,后四位数在15000等之间的斐波那契数n个2个是1或2(Wells 1986,第65页)。

塞萨罗导出了有限和

总和_(k=0)^(n)(n;k)F_k=F_(2n)
(80)
总和_(k=0)^(n)(n;k)2^kF_k=F_(3n)
(81)

(Honsberger 1985,第109-110页)。斐波那契数满足幂递推

 总和_(j=0)^(t+1)(-1)^[j(j+1)/2)[t+1;j]_FF_(n-j)^t=0,
(82)

哪里[a;b]_F是一个纤维系数,倒数总和

 求和_(k=1)^n((-1)^k)/(F_kF_(k+a))=(F_n)/(F_a)求和_,
(83)

卷积

 sum_(k=0)^nF_kF_(n-k)=1/5(nL_n-F_n),
(84)

部分分式分解

 1/(F_(n+a)F_(n+b)F_,
(85)

哪里

A类=((-1)^(n-a))/(F_(b-a)F_(c-a))
(86)
B类=(-1)^(n-b))/(F_(c-b)F_(a-b))
(87)
C类=(-1)^(n-c))/(F_(a-c)F_(b-c)),
(88)

和求和公式

 sum_(k=0)^nx^kF_(ak+b)=(g(n+1)-g(0))/(1-L_ax+(-1)^ax^2),
(89)

哪里

 g(n)=(-1)^aF_(a(n-1)+b)x^(n+1)-F_(an+b)x ^n。
(90)

无限和包括

 sum_(n=1)^infty((-1)^n)/(F_nF_(n+2))=2-sqrt(5)
(91)

(克拉克1995)和

总和(n=1)^(infty)((-1)^=φ^(-2)
(92)
sum_(n=1)^(infty)1/(F_(2n)F_(2 n+2))=φ^(-2),
(93)

哪里φ黄金比率(Wells 1986,第65页)。

对于n> =3,F_n | F_m 若(iff) n | m(分钟)(Wells 1986,第65页)。L_n|L_m 若(iff) n个分成米一个古怪的次数。(F_m,F_n)=F_((m,n))(迈克尔1964;霍斯伯格1985年,第131-132页)。否古怪的斐波那契数为可被17整除(Honsberger 1985,第132和242页)。无斐波那契数>8是永远的属于表格 第1页第+1页哪里第页是一个质数(Honsberger 1985年,第133页)。

考虑总和

s_k(_k)=总和(n=2)^(k)1/(F_(n-1)F_(n+1))
(94)
=总和(n=2)^(k)(1/(F_(n-1)F_n)-1/(F_nF_(n+1)))。
(95)

这是一个伸缩总和,所以

 s_k=1-1/(F_(k+1)F_(k+2)),
(96)

因此

 S=lim_(k->infty)S_k=1
(97)

(Honsberger 1985年,第134-135页)。使用比奈的公式,也就是说

 (F_(n+r))/(F_n)=(α^,
(98)

哪里

阿尔法=1/2(1+平方米(5))
(99)
贝塔=1/2(1平方(5))
(100)

所以

 lim_(n->infty)(F_(n+r))/(F_n)=α^r。
(101)
 S^'=总和(n=1)^系数(F_n)/(F_(n+1)F_(n+2))=1
(102)

(Honsberger 1985年,第138和242-243页)。这个铣削系列有总和

 S^('')=sum_(n=0)^infty1/(F_(2^n))=1/2(7-sqrt(5))
(103)

(Honsberger 1985年,第135-137页)。

斐波那契数列为完成。事实上,去掉一个数字仍然会留下一个完整序列,尽管去掉两个数字并没有(Honsberger 1985,第123和126页)。滴水斐波那契数列中的两项产生了一个非偶数序列完成(Honsberger 1985年,第128页)。然而

 F_n^'=F_n-(-1)^n
(104)

弱完全即使删除了任何有限子序列(Graham 1964)。{F_n^2}不是完成,但是{F_n^2}+{F_n ^2}是。2^(N-1)的副本{F_n^n}完成.

为了讨论广场斐波那契数列,见科恩(1964ab),他证明了平方数斐波那契数是1和F_(12)=144(科恩1964ab,盖伊1994)。Ming(1989)证明了唯一的三角形斐波那契数是1,3、21和55。斐波那契和卢卡斯数字除了1和3之外,没有通用术语。唯一的立方体的斐波那契数字是1和8。

 (F_nF_(n+3),2F_(n+1)F_(n+2),F_(2n+3
(105)

是一个勾股三元组,正如第一次发现的那样雷恩(Livio,2002年,第107页)。

 F_(4n)^2+8F_(2n)(F_(2 n)+F_(6 n))=(3F_(4 n))^2
(106)

始终是平方数(Honsberger 1985年,第243页)。

1975年,詹姆斯·琼斯(James P.Jones)指出斐波那契数是积极的整数的值多项式的

 P(x,y)=-y^5+2y^4x+y^3x^2-2y^2x^3-y(x^4-2)
(107)

对于高斯整数 x个年(《狮子座》1983)。如果n个k个是两个积极的 整数,然后介于n ^k个n ^(k+1),永远不会发生比n个斐波那契数(Honsberger 1985,第104-105页)。

斐波那契数满足恒等式

 GCD(F_m,F_n)=F_(GCD(m,n)),
(108)

哪里GCD(a,b)最大公约数.

斐波那契数列是任意模的周期模米(Wall 1960)。这些时期被称为皮萨诺时期 π(米)(扳手1969)。斐波那契数模米对于小型米以及它们的皮萨诺时期.

米π(米)组织环境信息系统{表格}(修订版米)
2A011655号1,1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ...
8A082115号1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, ...
46A079343号1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, ...
520A082116号1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, ...
624A082117号1, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5, 5, 4, ...
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812A079344号1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, 1, 1, 2, ...

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普雷文·钱德拉埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“斐波那契数”摘自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Fibonacci数字.html

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