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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A035513号 反斜角数组读取。 146
1、2、4、3、7、6、5、11、10、9、8、18、16、15、12、13、29、26、24、20、14、21、47、42、39、32、23、17、34、76、68、63、52、37、28、19、55、123、110、102、84、60、45、31、22、89、199、178、165、136、97、73、50、36、25、144、322、288、267、220、157、118、81、58、41、27、233、521 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

T(0,0)=1,T(0,1)=2,。。。;y^2-x^2-xy<y当且仅当存在x=T(i,2j)且y=T(i,2j+1)的(i,j)克劳德·勒诺曼(Claude.Lenormand(AT)free.fr),2001年3月17日

逆序A064274号被认为是非负整数的置换-霍华德·A·兰德曼2001年9月25日

Wythoff数组W包含所有的Wythoff对(x(n),y(n)),其中x=A000201还有y=A001950,使W只包含一次正整数。差分T(i,2j+1)-T(i,2j)构成了Wythoff差分阵列,A080164号,它也只包含一次每个正整数-克拉克·金伯利2003年2月8日

对于n>2,任意n×n邻接子阵的行列式A035513号(作为正方形数组)为0-杰拉尔德·麦加维2004年9月18日

克拉克·金伯利2007年11月14日:(开始)

除某些情况下的初始条款外:

(第1行)=A000045型

(第2行)=A000032号

(第3排)=A006355型

(第4行)=A022086型

(第5行)=A022087型

(第6排)=A000285型

(第7排)=A022095型

(第8排)=A013655号(斐波纳契数和卢卡斯数之和)

(第9行)=A022112型

(第10-19行)=A022113,A022120,A022121,A022379号,A022130,A022382号,A022088型,A022136,A022137,A022089型

(第20-28行)=A022388号,A022096型,A022090型,A022389号,A022097型,A022091型,A022390型,A022098型,A022092型

(第1列)=A003622号=AA Wythoff序列

(第2列)=A035336号=BA Wythoff序列

(第3栏)=A035337号=ABA Wythoff序列

(第4栏)=A035338号=BBA Wythoff序列

(第5栏)=A035339号=ABBA Wythoff序列

(第6栏)=A035340=BBBA Wythoff序列

主对角线=A020941号. (结束)

Wythoff数组是floor(n*x+x-1)给出的序列的离散度,其中x=(黄金比率)。看到了吗A191426号关于分散的讨论-克拉克·金伯利2011年6月3日

如果u和v是Wythoff数组行中的有限个数集,使得(u中所有数的乘积)=(v中所有数的乘积),则u=v。看到了吗A160009号(第1行产品),A274286号(第2排),A274287号(第3排),邮编:A274288(第4排)-克拉克·金伯利2016年6月17日

Wythoff数组的所有列都是复合Wythoff序列。这是根据1972年卡里茨、斯科维尔和霍格特的论文中的主要定理得出的。关于一个明确的表达式,参见JIS中2008年金伯利论文中的定理10-米歇尔·德金2017年8月31日

Wythoff数组可以看作是非负整数集合上的一个无限图,其构造如下:从一个空的图开始;对于所有n=0,1,…,在n和所有i<n的度数之和之间创建一条边。最后,删除顶点0。在结果图中,连接的组件是链,并对应于Wythoff数组的行-卢克·卢梭2017年9月28日

假设h<k是Wythoff数组的一行中的连续项。如果k在偶数列中,则h=楼层(k/tau);否则,h=-1+楼层(k/tau)-克拉克·金伯利2020年3月5日

克拉克·金伯利2020年5月26日:(开始)

对于k>=0,k列显示了在m的Zeckendorf表示中具有F(k+1)作为最小项的数字m。对于n>=1,设r(n,k)是k列中<=n的项数。然后n/r(n,k)=n/(F(k+1)*tau+F(k)*(n-1)),根据Bottomley公式,使极限比为1/(F(k+1)*tau+F(k))。求和所有k得到和{k>=0}1/(F(k+1)*tau+F(k))=1。因此,在极限意义上:

38.19…%的数字m有最小的项1;

23.60…%至少有第2项;

14.58……%有最少的第3项;

9.01…%至少有第5项,等等(结束)

以荷兰数学家威廉·亚伯拉罕·怀特霍夫(Willem Abraham Wythoff,1865-1939)命名-阿米拉姆埃尔达2021年6月11日

参考文献

约翰H康威,张贴到数学乐趣邮件列表,1996年11月25日。

克拉克·金伯林,“斯托拉斯基穿插”,Ars Combinatoria 39(1995)129-138。

链接

阿洛伊斯·P·海因茨,n=1..5151的n,a(n)表

彼得·G·安德森,Zeckendorf阵列的更多特性,小谎。夸脱。52-5(2014),15-21。

五十、 卡里茨,理查德·斯科维尔和小V·E·霍格特。,斐波那契表示,小谎。夸脱,第10卷,第1期(1972年),第1-28页。

高尔夫守则,新秩序5:菲波纳契和比蒂在怀托夫相遇.

J、 H.康威,艾伦·韦克斯勒,马克·勒布朗,丹·霍伊,新泽西州斯隆,关于Kimberling和与Para-Fibonacci序列,1996年11月至1997年1月的信件和张贴到数学乐趣邮件列表。

约翰·康威和亚历克斯·瑞巴,额外的斐波纳契级数和帝国大厦,数学。Intelligencer,第38卷,第1期(2016年),第41-48页。

拉里·埃里克森和彼得·G·安德森,k-Zeckendorf阵列中行间差异的模式《斐波纳契季刊》,第50卷,第1期(2012年2月),第11-18页-N、 斯隆2012年6月10日

克拉克·金伯利,穿插.

克拉克·金伯利,Zeckendorf数组等于Wythoff数组《斐波纳契季刊》,第33卷,第1期(1995年),第3-8页。

克拉克·金伯利,互补方程与Wythoff序列,JIS,第11卷(2008年),第08.3.3条。

克拉克·金伯利,正整数的Lucas表示,J.Int.Seq.,第23卷(2020年),第20.9.5条。

克拉克·金伯利和肯尼斯·B·斯托拉斯基,慢Beatty序列,迂回收敛和部分发散,艾默尔。数学。月刊,123,第2期(2016年),第267-273页。

凯西·蒙戈文,多个Fibonacci相关序列的超声化《数学年鉴和信息年鉴》,第41卷(2013年),第175-192页。

N、 J.A.斯隆,我最喜欢的整数序列,在序列和它们的应用(SETA'98会议记录)。

N、 J.A.斯隆,经典序列

山姆·埃尔德,Fibonacci序列被指数2素数整除的研究《斐波纳契季刊》,第50卷,第3期(2012年),第207-216页。见图1。

埃里克·韦斯坦的数学世界,Wythoff阵列.

佩德罗·扎内蒂,C++代码段,用于生成此序列.

自然数排列序列的索引项

公式

T(n,k)=Fib(k+1)*楼层[n*tau]+Fib(k)*(n-1),其中tau=(sqrt(5)+1)/2=A001622号和Fib(n)=A000045型(n) 一-亨利·巴特利2001年12月10日

T(n,-1)=n-1。T(n,0)=楼层(n*tau)。T(n,k)=T(n,k-1)+T(n,k-2),对于k>=1-R、 J.马萨2016年9月3日

例子

Wythoff数组开始:

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144。。。

4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521。。。

6 10 16 26 42 68 110 178 288 466 754。。。

9 15 24 39 63 102 165 267 432 699 1131。。。

12 20 32 52 84 136 220 356 576 932 1508。。。

14 23 37 60 97 157 254 411 665 1076 1741。。。

17 28 45 73 118 191 309 500 809 1309 2118。。。

19 31 50 81 131 212 343 555 898 1453 2351。。。

22 36 58 94 152 246 398 644 1042 1686 2728。。。

25 41 66 107 173 280 453 733 1186 1919 3105。。。

27 44 71 115 186 301 487 788 1275 2063 3338。。。

  ...

扩展的Wythoff数组有两个额外的列,给出行号n和A000201(n) ,用竖线与主阵列隔开:

0 1 | 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144。。。

1 3 | 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521。。。

2 4 | 6 10 16 26 42 68 110 178 288 466 754。。。

36 | 9 15 24 39 63 102 165 267 432 699 1131。。。

4 8 | 12 20 32 52 84 136 220 356 576 932 1508。。。

5 9 | 14 23 37 60 97 157 254 411 665 1076 1741。。。

6 11 | 17 28 45 73 118 191 309 500 809 1309 2118。。。

7 12 | 19 31 50 81 131 212 343 555 898 1453 2351。。。

8 14 | 22 36 58 94 152 246 398 644 1042 1686 2728。。。

9 16 | 25 41 66 107 173 280 453 733 1186 1919 3105。。。

10 17 | 27 44 71 115 186 301 487 788 1275 2063 3338。。。

11 19 | 30 49 79。。。

12 21 | 33 54 87。。。

13 22 | 35 57 92。。。

14 24 | 38 62。。。

15 25 | 40 65。。。

1627 | 43 70。。。

17 29 | 46 75。。。

18 30 | 48 78。。。

19 32 | 51 83。。。

20 33 | 53 86。。。

21 35 | 56 91。。。

2237 | 59 96。。。

23 38 | 61 99。。。

24 40 | 64。。。

2542 | 67。。。

26 43 | 69。。。

27 45 | 72。。。

28 46 | 74。。。

29 48 | 77。。。

30 50 | 80。。。

31 51 | 82。。。

3253 | 85。。。

33 55 | 88。。。

34 56 | 90。。。

3558 | 93。。。

36 59 | 95。。。

37 61 | 98。。。

12438欧元。。。

   ...

扩展的Wythoff数组的每一行也满足Fibonacci递归,并且可以使用这个递归向后扩展到左边。

彼得·芒恩2021年6月11日:(开始)

Wythoff阵列似乎与传统的斐波那契兔繁殖故事有以下关系,为了简单起见,修改为无性繁殖的故事。

给每个兔子一个数字,0代表初始兔子。

当新一轮兔子出生时,按照2个规则分配连续数(与许多文化规则的继承优先顺序相反):(1)兔子0的新生子代获得下一个可用的数字;(2) 任何一只兔子的幼子的后代都先于同一只兔子的大孩子的后代。

Wythoff数组的n行列出了Rabbit n的子元素(因此Rabbit 0的子元素具有Fibonacci数:1、2、3、5,…)。下面的生成树显示了0到20只兔子。它被修改为每一轮出生都出现在一排。

0

                                                                 :

                                       ,-------------------------:

                                       :                         :

,-------------:1

                       :               :                         :

,————————————————————————————————————————————————————————————————————————:

              :        :               :               :         :

,——:3、——:、——:4

        :     :        :         :     :         :     :         :

,--:5,--:,--:6,---:7,---:

     :  :     :     :  :     :   :     :     :   :     :     :   :

,--:8,--:,--:9,--:10,--:,--:11,--:,--:12

  :  :  :  :  :  :  :  :  :  :   :  :  :  :  :   :  :  :  :  :   :

:13::14:15::16::17:18::19:20:

扩展数组的非平凡额外列(A000201)给出了如果兔子n(并且只有兔子n)早一轮开始繁殖的话,会分配给兔子n的第一个孩子的数字。

(结束)

枫木

W: =过程(n,k)位数:=100;(矩阵([n,floor((1+sqrt(5))/2*(n+1))])。矩阵([[0,1],[1,1]])^(k+1))[1,2]结束:seq(seq(W(n,d-n),n=0..d),d=0..10#海因茨2008年8月18日

A035513号:=过程(r,c)

选项记忆;

如果c=1,则

        A003622号(r) ;

其他

        A022342号(1+procname(r,c-1));

结束if;

结束过程:

seq(顺序(A035513号(r,d-r),r=1..d-1),d=2..15)#R、 J.马萨2015年1月25日

数学

W[n_x,k_u]:=斐波纳契[k+1]层[n*GoldenRatio]+(n-1)斐波纳契[k];Table[W[n-k+1,k],{n,12},{k,n,1,-1}]//展平

黄体脂酮素

(PARI)T(n,k)=(n+sqrtint(5*n^2))\2*斐波纳契(k+1)+(n-1)*斐波那契(k)

for(k=0,9,for(n=1,k,print1(T(n,k+1-n)”,“))\\查尔斯R格雷特豪斯四世2016年3月9日

(蟒蛇)

从sympy导入fibonacci as F,sqrt

导入数学

τ=(sqrt(5)+1)/2

def T(n,k):返回F(k+1)*int(数学地板(n*tau))+F(k)*(n-1)

对于范围(1,11)中的n:print([T(k,n-k+1)for k in range(1,n+1)])#印度教2017年4月23日

交叉引用

更多的交叉引用见上面的注释。

囊性纤维变性。A003622号,A064274号(反向),A083412号(转置),A000201,A001950,A080164号,A003603,A265650型,A019586年(包含n的行)。

有关扩展Wythoff阵列的两个版本,请参阅A287869号,A287870号.

上下文顺序:A127008年 邮编:A199535 A064274号*A343646飞机 A191442号 邮编:A191738

相邻序列:A035510号 A035511号 A035512号*A035514号 A035515型 A035516号

关键字

,,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

关于由添加的扩展Wythoff数组的注释N、 斯隆2016年3月7日

状态

经核准的

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上次修改时间:2021年10月20日04:52。包含348099个序列。(运行在oeis4上。)