显示找到的46个结果中的1-10个。
1, 1, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, -1, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 0, -1, 1, 0, -1, -1, 0, 0, -1, 0, -1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, -1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, 0
配方奶粉
a（1）=1，对于n>1，a（n）=-和{d|n，d<n}A102283号（n/d）*a（d）。
与a（p）=-Legendre（-3，p）相乘，且e>=2时a（p^e）=0-阿米拉姆·埃尔达尔2023年9月16日
数学
f[p_，e_]：=如果[e==1，-JacobiSymbol[-3，p]，0]；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年9月16日*）
黄体脂酮素
（PARI）A365428型（n） ={my（f=factor（n））；prod（k=1，#f~，if（1<f[k，2]，0，-kronecker（-3，f，1]））；}；\\（之后阿米拉姆·埃尔达尔的乘法公式）。
（PARI）
memoA365428=地图（）；
A365428型（n） =如果（1==n，1，my（v））；如果（mapisdefined（memoA365428，n，&v），v，v=-sumdiv（n，d，if（d<n，A102283号（无）*A365428型（d） ，0））；地图输入（备忘录A365428，n，v）；（v） ）；
乘积{素数p}（1-1/p）^（-2）*（1-（2）的十进制展开式+A102283号（p） ）/p）。
+20
1
1, 5, 2, 1, 7, 3, 1, 5, 3, 5, 0, 7, 5, 7, 0, 5, 8, 1, 8, 8, 4, 1, 9, 5, 9, 4, 3, 4, 2, 9, 1, 3, 1, 1, 6, 9, 4, 0, 8, 0, 8, 0, 2, 7, 9, 5, 9, 4, 5, 4, 5, 0, 8, 6, 0, 5, 0, 8, 1, 5, 7, 9, 1, 8, 4, 5, 8, 1, 7, 3, 8, 5, 1, 3, 5, 6, 8, 2, 0, 3, 3, 0, 1, 0, 8, 1, 1, 4, 6, 5, 9, 5, 6, 5, 6, 4, 5, 4, 2, 7, 8, 7, 6, 4, 5
评论
这是估计素数p不超过N的主要比例因子，因此p^2+p+1也是素数[Bateman-Horn]。
将乘积分解为三类模3素数之后，这个常数就是四个因子的乘积。
第二个因子是素数3的3/4，它是类==0（mod 3）中唯一的素数。
第三个因子是product_{p==1（mod 3）}（1-（3p-1）/（p-1）^3）=0.8675121817。它是arXiv预印本的常数C（m=3，n=1，s=3），基本上是A065418号简化为模类。
最后一个因子是product_{p==2（mod 3）}（1+1/（p^2-1））=1/product_{p==2（mod 3}（1-1/p^2）=1.41406439089214763。这是预印本的常数zeta（m=3，n=2，s=2），在A175646号.
链接
H.Davenport和A.Schinzel，关于某些算术常数的注记伊利诺伊州数学。J.10（2）（1966），181-185
例子
等于1.5217315350757058188419…=0.92003856361849186/A073010型.
MAPLE公司
a073010:=评估（Pi/3/sqrt（3））；
Cm3n0s2:=1-1/（3-1）^2；
Cm3n1s3:=0.867512181712394919089076584762888869720269526863；
Zm3n2s2:=1.4140643908921476375655018190798293799076950693931；
Cm3n0s2*Cm3n 1s3*Zm3n 2s2/a073010；
数学
S[m_，n_，S_]：=（t=1；总和=0；difs=1；当[Abs[difs]>10^（-数字-5）||difs==0，difs=（MoebiusMu[t]/t）*Log[If[S*t==1，DirichletL[m，n，S*t]，总和[Zeta[S*t，j/m]*Dirichlet字符[m，n，j]^t，{j，1，m}]/m^（S*t）]]；总和=总和+difs；t++]；总额）；
P[m_，n_，s_]：=1/EulerPhi[m]*和[Conjugate[DirichletCharacter[m，r，n]]*s[m，r，s]，{r，1，EulerPhi[m]}]+和[If[GCD[P，m]>1&&Mod[P，m]==n，1/P^s，0]，{P，1，m}]；
Z[m_，n_，s]：=（w=1；sumz=0；difz=1；当[Abs[difz]>10^（-数字-5）时，difz=P[m，n，s*w]/w；sumz=sumz+difz；w++]；实验[sumz]）；
Zs[m_，n_，s]：=（w=2；sumz=0；difz=1；当[Abs[difz]>10^（-数字-5）时，difz=（s^w-s）*P[m，n，w]/w；sumz=sumz+difz；w++]；实验[-sumz]）；
$MaxExtraPrecision=1000；数字=121；真数字[Chop[N[3^（5/2）*Zs[3，1，3]*Z[3，2，2]/（4*Pi），数字]]，10，数字-1][[1](*瓦茨拉夫·科特索维奇2021年1月16日*）
1, 27, 63, 81, 238, 243, 247, 279, 322, 580, 671, 729, 1222, 2074, 2187, 3172, 3550, 3577, 4185, 5589, 6561, 7805, 7957, 8239, 8701, 8890, 9040, 9064, 9523, 9730, 9898, 10087, 10138, 10549, 11074, 11176, 11440, 11473, 11920, 12232, 12430, 12604, 13900, 14287, 14410
数学
q[n]：=！PrimeQ[n]&&！素数Q[Sqrt[n]]和可除[Sum[二项式[2*k，k]，{k，0，n-1}]-雅可比符号[n，3]，n]；选择[范围[1000]，q]
黄体脂酮素
（PARI）是1（k）=！i素数（k）&&！（issquare（k）和isprime（sqrtint（k）））；
列表（kmax）={my（s0=1，s1=3）；打印1（1，“，”）；对于（k=2，kmax，s2=（（5*k-2）*s1-2*（2*k-1）*s0）/k；如果（is1（k+1）&&！（（s2-[1，-1，0][k%3+1]）%（k+1
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1
评论
二元m序列：x^2+x+1（mod 2）倒数的展开。
雅可比数的切比雪夫变换A001045号：如果A（x）是序列的g.f.，则将其映射到（（1-x^2）/（1+x^2-保罗·巴里2004年2月16日
这是斐波那契数列(A000045号)模2.-斯蒂芬·乔丹（sjordan（AT）mit.edu），2007年9月10日
这也是卢卡斯的数据(A000032号)模块2。一般来说，当P和Q是奇数时，这是与任何对（P，Q）相关联的任何Lucas序列的奇偶性；即，a（n）=U_n（P，Q）mod 2=V_n（P，Q）mode 2。请参阅Ribenboim-里克·L·谢泼德2009年2月7日
从偏移量1开始：（1、1、0、1、1，0…）=tribonacci序列的INVERTi变换A001590号启动（1、2、3、6、11、20、37…）-加里·亚当森2009年5月4日
数字的特征函数与3互质。
求和{k>0}a（k）/k/2^k=log（7）/3-杰姆·奥利弗·拉丰2010年6月1日
序列是约化剩余系统mod 3的主要Dirichlet特征（另一个是A102283号). 关联的Dirichlet L-函数是L（2，chi）=Sum_{n>=1}a（n）/n^2=4*Pi^2/27=A214549型，和L（3，chi）=总和{n>=1}a（n）/n^3=1.157536…=-（psi''（1/3）+psi''“（2/3））/54，其中psi''是四伽马函数。[焦利方程309和arXiv:1008.2547，L（m=3，r=1，s）]-R.J.马塔尔2010年7月15日
删除前两个元素并保持偏移量为0，这是一个周期序列（1、0、1、1、0，1…）。它的INVERTi变换是（1，-1，2，-2，2，-2，…），周期为（2，-2）-加里·亚当森2011年1月21日
自然数的集合，A000027号: (1, 2, 3, ...); 是有符号周期序列（1、1、0、-1、-1、0、1、1，0…）的INVERT变换-加里·亚当森2013年4月28日
s（i）=j和s（i+1）=k的n>i+1的任何整数序列s（n）=|s（n-1）-s（n-2）|（等价地，max（s（n-1），s（n-2。特别是，如果j和k是互质，那么s（n）就是或最终成为这个序列（参见，例如。，A110044型). -里克·L·谢泼德2014年1月21日
对于n>=1，a（n）也是有理g-adic整数（+n/3）_g的特征函数，对于不带因子3的所有整数g>=2，也为（-n/3）_g的特征函数(A001651号). 参见马勒参考文献中的定义，第7页和第10页-沃尔夫迪特·朗2014年7月11日
此外，雅各比或克罗内克符号（n/9）（或（n/9^e）表示所有e>=1）-宋嘉宁2018年7月9日
参考文献
S.W.Golomb，《移位寄存器序列》，Holden-Day，旧金山，1967年。
H.D.Lueke，Korrelationssignale，施普林格出版社，1992年，第43-48页。
F.J.MacWilliams和N.J.A.Sloane，《纠错码理论》，Elsevier/北荷兰，1978年，第408页。
K.Mahler，p-adic数及其函数，第二版，剑桥大学出版社，1981年。
P.Ribenboim，《大素数小书》。施普林格出版社，纽约，1991年，第46页。[里克·L·谢泼德2009年2月7日]
链接
安德烈·阿辛诺夫斯基（Andrei Asinowski）、西里尔·班德利尔（Cyril Banderier）和瓦莱丽·罗特纳（Valerie Roitner），具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
Alex Fink、Richard K.Guy和Mark Krusemeyer，部件最多出现三次的分区《对离散数学的贡献》，第3卷，第2期（2008年），第76-114页。见第13节。
L.B.W.Jolley，级数求和多佛，（1961）
配方奶粉
通用公式：（x+x^2）/（1-x^3）=和{k>0}（x^k-x^（3*k））。
G.f.:x/（1-x/（1+x/（3+x/（1-2*x/（1+x））））-迈克尔·索莫斯2012年4月2日
对于Z中的所有n，a（n）=a（n+3）=a。
a（n）=（1/2）*（（-1）^（楼层（（2n+4）/3））+1）。-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年10月22日
a（n）=斐波那契（n）mod 2-保罗·巴里2003年11月12日
a（n）=（2/3）*（1-cos（2*Pi*n/3））-拉尔夫·斯蒂芬2004年1月6日
a（n）=1-a（n-1）*a（n-2），对于n＜2，a（n）=n-莱因哈德·祖姆凯勒2004年2月28日
a（n）=n*和{k=0..floor（n/2）}（-1）^k*二项式（n-k，k）*A001045号（n-2k）/（n-k）-保罗·巴里2004年10月31日
来自Bruce Corrigan（scentman（AT）myfamily.com），2005年8月8日：（开始）
a（n）=n^2模型3。
a（n）=（1/3）*（2-（r^n+r^（2*n）），其中r=（-1+sqrt（-3））/2。
（结束）
长度3序列的欧拉变换[1，-1，1]。
Moebius变换是长度为3的序列[1，0，-1]。
与a（3^e）=0^e相乘，否则a（p^e）=1。（结束）
当n>1时，a（n）=2-a（n-1）-a（n-2）-莱因哈德·祖姆凯勒2008年4月13日
a（2*n+1）=a（n+1）对a（n）进行异或运算，a（2*n）=α（n），a（1）=1，a（0）=0-莱因哈德·祖姆凯勒2008年12月27日
求和{n>=1}a（n）/n^s=（1-1/3^s）*Riemann_zeta（s），s>1-R.J.马塔尔2010年7月31日
a（n）=地板（（4*n-5）/3）模块2-加里·德特利夫斯2011年5月15日
a（n）=（a（n-1）-a（n-2））^2，a（0）=0，a（1）=1-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
G.f.:x/（G（0））-x^2），其中G（k）=1-x/（x+1/（1-x/G（k+1））；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月15日
对于一般情况：非m倍数的数字的特征函数是a（n）=floor（（n-1）/m）-floor（n/m）+1，其中m，n>0-鲍里斯·普蒂耶夫斯基2013年5月8日
a（n）=（2/3）*（1-sin（（Pi/6）*（4*n+3））），对于n>=0-沃纳·舒尔特2017年7月20日
a（n）=a（n-1）与a（n-2）进行异或，a（0）=0，a（1）=1-刘春青2022年12月18日
例子
G.f.=x+x^2+x^4+x^5+x^7+x^8+x^10+x^11+x^13+x^14+x^16+x^17+。。。
数学
Mod[Fibonacci[范围[0,99]]，2](*阿隆索·德尔·阿特2017年7月20日*）
黄体脂酮素
（PARI）｛a（n）=符号（n%3）｝；
（PARI）a（n）=n%3>0\\M.F.哈斯勒2018年2月17日
（哈斯克尔）
a011655=来自枚举。((/= 0) . （`mod`3）
（岩浆）[（n^2 mod 3）：n in[0..100]]//韦斯利·伊万·赫特2015年4月16日
（Python）
1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0
评论
G.f.1/分圆（3，x）（第三分圆多项式）。
a（n）与b（n）一起出现=A099837号公式2*exp（2*Pi*n*I/3）中的（n+3）=b（n）+a（n）*sqrt（3）*I，n>=0，其中I=sqrt。请参见A164116号对于N＝5的情况-沃尔夫迪特·朗2014年2月27日
二项式变换。是1、0、-1、-1、0、1、1、0，-1、-1…（请参见A010891号). 反二进制数。变压器。为1、-2、3、-3、0、9、-27、54、-81.（参见A057682号). -R.J.马塔尔，2023年2月25日
参考文献
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上，第175页。
链接
J.P.Allouche和M.Mendes France，斯特恩·布罗科多项式和幂级数，arXiv预打印arXiv:1202.0211[math.NT]，2012。
埃琳娜·巴库奇（Elena Barcucci）、安东尼奥·贝尔尼尼（Antonio Bernini）、斯特凡诺·比洛塔（Stefano Bilotta）和伦佐·平扎尼（Renzo Pinzani），非重叠矩阵，arXiv:1601.07723[cs.DM]，2016年。
配方奶粉
总尺寸：1/（1+x+x^2）。
如果n mod 3=0，a（n）=+1；如果n mod3=1，a（n）=-1，否则为0。
a（n）=S（n，-1）=U（n，-1/2）（切比雪夫的U（n、x）多项式）
a（n）=2*sqrt（3）*cos（2*Pi*n/3+Pi/6）/3-保罗·巴里2004年3月15日
a（n）=和{k>=0}（-1）^（n-k）*C（n-k，k）。
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x-迈克尔·索莫斯2006年10月3日
长度3序列的欧拉变换[-1，0，1]-迈克尔·索莫斯2006年10月3日
a（n）=b（n+1），其中b（n）与b（3^e）=0^e相乘，b（p^e）=1如果p==1（mod 3），b（p ^e）=（-1）^e如果p==2（mod3）-迈克尔·索莫斯2006年10月3日
通用名称：（1-x）/（1-x^3）。
a（n）=-a（1-n）=-a（n-1）-a（n-2）=a（n-3）。（结束）
G.f.：1/（1+x/（1-x/（1+x）））。
G.f.A（x）=1/（1+x+x^2）=Q（0）；Q（k）=1-x/（1-x^2/（x^2-1+x/（x-1+x^2/（x^2-1/Q（k+1））））；（连分数3种，5步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年6月19日
a（n）=天花板（n-1）/3）-天花板（n/3）+地板（n/3-韦斯利·伊万·赫特2013年12月6日
a（n）=n+1-3*层（n+2）/3）-米尔恰·梅卡2014年2月4日
例如：exp（-x/2）*（3*cos（sqrt（3）*x/2）-sqrt（3）*sin（sqrt（3）*x/2））/3-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年10月26日
例子
G.f.=1-x+x^3-x^4+x^6-x^7+x^9-x^10+x^12-x^13+x^15+。。。
MAPLE公司
op（modp（n，3）+1，[1，-1，0]）；
结束进程：
数学
系数列表[级数[1/分圆[3，x]，{x，0，100}]，x](*文森佐·利班迪2014年4月3日*）
线性递归[｛-1，-1｝，｛1，-1｝，90](*雷·钱德勒2015年9月15日*）
表[DirichletCharacter[3，2，n+1]，{n，0，29}](*史蒂文·福斯特·克拉克2019年5月29日*）
表[Mod[n+2，3]-1，{n，0，20}](*迈克尔·索莫斯2019年9月24日*）
表[ChebyshevU[n，-1/2]，{n，0，20}](*埃里克·韦斯特因2024年1月9日*）
切比雪夫[范围[0，20]，-1/2](*埃里克·韦斯特因2024年1月9日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=n++；克罗内克（-3，n）}/*迈克尔·索莫斯2006年10月3日*/
（PARI）{a（n）=[1，-1，0][n%3+1]}/*迈克尔·索莫斯2008年10月15日*/
[1，-1，0][1+mod（n，3）]
（鼠尾草）
x、 y=1，-1
为True时：
收益率x
x、 y=y，-x-y
（岩浆）和cat[[1，-1，0]：n in[0..90]]//文森佐·利班迪2014年4月3日
0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2
链接
拉尔夫·格里斯沃尔德，轴序列[取自Wayback机器]
配方奶粉
a（n）=n-3*楼层（n/3）=a（n-3）。
G.f.：（2*x^2+x）/（1-x^3）.-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年1月8日
a（n）=1+（1-2*cos（2*Pi*（n-1）/3））*sin（2*Pi*（n-l）/3）/sqrt（3）。
a（n）=（1-r^n）*（1+r^n/（1-r）），其中r=exp（2*Pi*i/3）=（-1+sqrt（3）*i）/2，i=sqrt。[由更正根特·施拉克2019年9月23日]（结束）
a（n）=（16/9）*（（sin（Pi*（n-2）/3））^2+2*（sin。
a（n）=（4/3）*（|sin（Pi*（n-2）/3）|+2*|sin。
a（n）=（4/9）*（（1-cos（2*Pi*（n-2）/3））+2*（1-cos（2*Pi*（n-1）/3）。（结束）
当n>1时，a（n）=3-a（n-1）-a（n-2）-莱因哈德·祖姆凯勒2008年4月13日
a（n）=1-2*sin（4*Pi*（n+2）/3）/sqrt（3）-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月5日
a（n）=1-0^（（-1）^（n/3）-（-1）*n）+0^（-1）*（（n+1）/3）+（-1）|n）。
a（n）=1+（-1）^（（2*n+4）/3）/3+（-1。
a（n）=1+2*cos（Pi*（2*n+4）/3）/3+4*cos。（结束）
例如：exp（x）-exp（-x/2）*（cos（sqrt（3）*x/2）+sin（sqrt（3）*x/2）/sqrt（三））-斯特凡诺·斯佩齐亚2020年3月1日
例子
G.f.=x+2*x ^2+x ^4+2*x ^5+x ^7+2*x^8+x ^10+2*x^11+x ^13+。。。
数学
嵌套[函数[l，{扁平[（l/.{0->{0，1}，1->{2，0}，2->{1，2}}）]}]，{0}(*罗伯特·威尔逊v2005年2月28日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a010872=（`mod`3）
（岩浆）[0..100]]中的n mod 3:n//韦斯利·伊万·赫特2015年5月27日
（PARI）x='x+O（'x^200）；concat（0，Vec（（2*x^2+x）/（1-x^3））\\阿尔图·阿尔坎2016年3月23日
n==1（模3）的除数减去n==2（模三）的除法数。
（原名M0016 N0002）
+10
71
1, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 0
评论
判别式-3的二次数域的Dedekind-zeta函数的系数。有关一般表达式，请参见“公式”部分-N.J.A.斯隆2022年3月22日
当m=-3时，Dirichlet级数Product_p（1-（Kronecker（m，p）+1）*p^（-s）+Kronecker*（m，p^）*p~（-2s））^（-1）的展开系数。
（六角形晶格中范数n的点数）/6，n>0。
六角形晶格是常见的二维晶格（A_2），其中每个点有6个相邻点。这有时被称为三角晶格。
a（n）=1，2，3，4，…的第一次出现，。。。n=1、7、49、91、2401、637。。。如表所示A343771型. -R.J.马塔尔2024年9月21日
参考文献
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球体填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第112页，首次展示。
J.W.L.Glaisher，一个数的（3k+1）除数超过（3k+2）除数的表，信使数学。，31 (1901), 64-72.
D.H.Lehmer，《数论表格指南》。第105号公报，国家研究委员会，华盛顿特区，1941年，第7-10页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
G.E.安德鲁斯，分区的三个方面《联合王国的洛塔林根》，B25f（1990），第1页。
Hershel M.Farkas，关于一个算术函数《拉马努扬杂志》，第8卷第3期（2004年），第309-315页。
Pavel Guerzhoy和Ka Lun Wong，Farkas与四元字符的同一性，arXiv:1905.06506[math.NT]，2019年。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点Hilbert格式的ζ函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[本文的后一版本有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至以下出版物。]
何塞·曼努埃尔·罗德里格斯·卡巴列罗，重叠区间上的除数与乘法函数，arXiv:11709.09621[math.NT]，2017年。
配方奶粉
判别式D的二次域K的Dedekind zeta函数DZ_K（s）如下。
这里m由K=Q（sqrt（m））定义（如果D是4的倍数，那么m=D/4，否则m=D）。
DZ_K（s）是三个术语的乘积：
（a） 乘积{奇素数p|D}1/（1-1/p^s）
（b） 乘积{奇素数p，使得（D|p）=-1}1/（1-1/p^（2s））
（c） 乘积{奇素数p，使得（D|p）=1}1/（1-1/p^s）^2
如果m是
0,1,2,3,4,5,6,7模8，素数2包含在项中
-，分别为c、a、a、-、b、a、a。
有关Maple（和PARI）实现，请参阅链接。（结束）
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u^2-3*v^2+4*w^2-2*u*w+w-v-迈克尔·索莫斯2004年7月20日
有一个不错的Dirichlet系列扩展，请参阅PARI行。
通用公式：和{k>0}x^k/（1+x^k+x^（2*k））-弗拉德塔·乔沃维奇2002年12月16日
G.f.A（x）满足0=f（A（x”），A（x^2），A“x^3”，A“x^6”），其中f（u1，u2，u3，u6）=（u1-u3）*（u3-u6）-（u2-u6）^2-迈克尔·索莫斯2005年5月20日
与a（3^e）=1相乘，如果p==1（mod 3），a（p^e）=e+1；如果p==2（mod3），则a（p*e）=（1+（-1）^e）/2-迈克尔·索莫斯2005年5月20日
通用公式：和{k>0}x^（3*k-2）/（1-x^-迈克尔·索莫斯2005年11月2日
G.f.：Sum_｛n>=1｝q^（n^2）（1-q）（1-q^2）。。。（1-q^（n-1））/。。。（1-q^（2n）））-杰里米·洛夫乔伊2009年6月12日
Dirichlet g.f.：zeta（s）*L（chi_2（3），s），其中chi_2（2）是非平凡的Dirichle字符模3(A102283号). -拉尔夫·斯蒂芬2015年3月27日
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=Pi/（3*sqrt（3））=0.604599(A073010型). -阿米拉姆·埃尔达尔，2022年10月11日
例子
G.f.=x+x ^3+x ^4+2*x ^7+x ^9+x ^12+2*x ^13+x ^16+2*x^19+2*x^21+。。。
MAPLE公司
局部a、pe、p、e；
a:=1；
对于ifactors（n）[2]do中的pe
p:=op（1，pe）；
e：=op（2，pe）；
如果p=3，则
;
elif modp（p，3）=1，则
a:=a*（e+1）；
其他的
a:=a*（1+（-1）^e）/2；
结束条件：；
结束do：
a；
结束进程：
数学
dn12[n_]：=模[{dn=Divisors[n]}，计数[dn，_？（Mod[#，3]==1&）]-计数[dn,_？（Mod[#，3+==2&）]]；dn12/@范围[120](*哈维·P·戴尔2011年4月26日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，DivisorSum[n，KroneckerSymbol[-3，#]&]]；(*迈克尔·索莫斯2014年8月24日*）
表[DirichletConvolve[DirichletCharacter[3，2，m]，1，m，n]，{n，1，30}](*史蒂文·福斯特·克拉克2019年5月29日*）
f[3，p]：=1；f[p_，e_]：=如果[Mod[p，3]==1，e+1，（1+（-1）^e）/2]；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（和（k=1，n，x^k/（1+x^k+x^（2*k）），x*O（x^n）），n））}\\迈克尔·索莫斯
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，（d%3==1）-（d%3==2））}；
（PARI）{a（n）=局部（a，p，e）；如果（n<1，0，a=因子（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，如果（p=a[k，1]，e=a[k,2]；如果（p=3，1，如果（p%3==1，e+1，！（e%2））））}\\迈克尔·索莫斯2005年5月20日
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，qfrep（[2，1；1，2]，n，1）[n]/3）}\\迈克尔·索莫斯2005年6月5日
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direuler（p=2，n，1/（1-X）/（1-kronecker（-3，p）*X））[n]）}\\迈克尔·索莫斯2005年6月5日
（PARI）my（B=bnfinit（x^2+x+1））；向量（100，n，#bnfisintnorm（B，n））\\乔格·阿恩特，2024年6月1日
（哈斯克尔）
a002324 n=a001817 n-a001822 n--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月26日
（Python）
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A002324号（n） ：如果p%3==1，则返回p的prod（e+1），如果p！=3) #柴华武2022年11月17日
交叉参考
判别式5、8、12、13、17、21、24、28、29、33、37、40的实二次数域的Dedekind zeta函数为A035187号,A035185号,A035194号,A035195号,A035199号,A035203型,A035188号,A035210型,A035211号,A035215号,A035219号,A035192号分别是。
扩展
Somos D.g.f.替换为正确版本拉尔夫·斯蒂芬2015年3月27日
6, 0, 4, 5, 9, 9, 7, 8, 8, 0, 7, 8, 0, 7, 2, 6, 1, 6, 8, 6, 4, 6, 9, 2, 7, 5, 2, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 2, 4, 4, 0, 9, 4, 6, 8, 8, 7, 4, 9, 3, 6, 4, 2, 4, 6, 8, 5, 8, 5, 2, 3, 2, 9, 4, 9, 7, 8, 4, 6, 2, 7, 0, 7, 7, 2, 7, 0, 4, 2, 1, 1, 7, 9, 6, 1, 2, 2, 8, 0, 4, 1, 6, 6, 2, 7, 3, 7, 3, 5, 3, 3, 8, 9, 6, 1, 8, 7, 4, 0
评论
原名：和的十进制展开式（1/（n*二项式（2*n，n）），n=1..无穷大）。
参考文献
L.B.W.Jolley，《级数求和》，多佛，1961年，等式（81），第16页。
链接
Jonathan M.Borwein和Roland Girgensohn，二项级数的计算、枇杷。数学。70 (2005), 25-36.
埃蒂安·福夫里、克劳德·列夫斯克和米歇尔·沃尔德施米特，整数的分圆二进制表示，arXiv:1712.09019[math.NT]，2017年。
亚历山德罗·兰瓜斯科（Alessandro Languasco）、彼得·莫雷（Pieter Moree）、苏马亚·萨阿德·埃丁（Sumaia Saad Eddin）和阿里萨·塞杜诺娃（Alisa Sedunova），素分圆域类数Kummer比的计算，arXiv:1908.01152[math.NT]，2019年。见第7页表1中q=3的r（q）。
保罗·纳欣，有趣的积分内部，本科。《物理学讲稿》，施普林格（2020），（1.6.2）
配方奶粉
等于Integral_{0..oo}2*x/（（x^2+1）*（x^4+x^2+1））dx-让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年9月10日
Pi/sqrt（27）=Sum_{n>=0}1/（（3*n+1）*（3*n+2））=1-1/2+1/4-1/5+1/7-1/8+。。。。
续分数：1/（1+1^2/（1+2^2/（2+4^2/（1+5^2/（2+…+（3*n+1）^2/（1+（3*n+2）^2/（2+…））））））。
Pi/sqrt（27）=积分{t=0..1/2}1/（t^2-t+1）dt=积分{t=0..1/2}（1+t-t^3-t^4）/（1-t^6）dt。
Pi/sqrt（27）=（1/4）*和{n>=0}（-1/8）^n*（9*n+5）/（3*n+1）*（3*n+2））。
BBP型配方奶粉：
Pi/sqrt（27）=Sum_{n>=0}（1/64）^（n+1）*（32/（6*n+1）+16/（6*n+2）-4/（6*n+4）-2/（6xn+5））从上述积分表示中得出。
Pi/sqrt（27）=Sum_{n>=0}（-1）^n*（1/27）^（n+1）*。（结束）
等于修改贝塞尔函数的三重乘积上的积分_{x=0..oo}x*I_0（x）*K_0（x）^2dx-R.J.马塔尔2015年10月14日
等于Integral_{x=0..oo}1/（exp（x）+exp（-x）+1）dx。
等于积分{x=0..oo}1/（1+x+x^2+x^3+x^4+x^5）dx。（结束）
等于Product_{p素数}（1-Kronecker（-3，p）/p）^（-1）=Product_{pprime！=3}（1+（-1）^-阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月6日
Pi/sqrt（27）=和{n>=1}1/（n*二项式（2*n，n））=（1/6）*和{n>=1}3^n/（n*二项式（2*n，n。
Pi/sqrt（27）=（1/2）*和{n>=0}1/（（2*n+1）*二项式（2*n，n））。
Pi/sqrt（27）=（9/4）*Sum_{n>=3}（n-1）*（n-2）/二项式（2*n，n）。（结束）
等于积分_{x=0..oo}1/（1-x^3）dx[Nahin]-R.J.马塔尔，2024年5月16日
例子
0.60459978807807261686469275254738524409468...
数学
实数位[N[和[1/（N*二项式[2n，N]），{N，1，无穷}]，110]][1]
真数字[Pi/（3*Sqrt[3]），10，105][[1](*T.D.诺伊2013年9月11日*）
黄体脂酮素
（岩浆）R:=RealField（106）；设置默认实际字段（R）；n： =Pi（R）/Sqrt（27）；反向（Intseq（楼层（10^105*n））//布鲁诺·贝塞利2018年3月12日
1, 3, 5, 8, 11, 13, 16, 19, 21, 24, 27, 29, 32, 35, 37, 40, 43, 45, 48, 51, 53, 56, 59, 61, 64, 67, 69, 72, 75, 77, 80, 83, 85, 88, 91, 93, 96, 99, 101, 104, 107, 109, 112, 115, 117, 120, 123, 125, 128, 131, 133
评论
此外，仿射Coxeter（或Weyl）群B_2的增长级数-N.J.A.斯隆2016年1月11日
参考文献
N.Bourbaki，《群居与群居》，第4、5和6章，赫尔曼，巴黎，1968年。见第六章第4节，问题10b，第231页，W_a（t）。
A.V.Shutov，《关于平面晶体群中给定长度的单词数》（俄语），Zap。诺什。塞姆·S·彼得堡·奥特尔。Mat.Inst.Steklov公司。（POMI）302（2003），分析。特奥。Chisel i Teor公司。Funkts公司。19, 188--197, 203; J.Math中的翻译。科学。（纽约）129（2005），第3期，3922-3926[MR2023041]。见表1。
链接
罗斯蒂斯拉夫·格里戈楚克和科斯马斯·克拉瓦利斯，论壁纸群体的成长，arXiv:2012.13661[math.GR]，2020年。见第22页第4.5节。
布兰科·格伦鲍姆（Branko Grünbaum）和杰弗里·谢泼德（Geoffrey C.Shephard），按规则多边形平铺《数学杂志》，50（1977），227-247。
W.M.Meier和H.J.Moeck，三维四连通网络拓扑。。。《固体化学杂志》27 1979 349-355，特别是第351页。
配方奶粉
通用格式：（（1+x）^2*（1+x^2））/（（1-x）^2*（1+x+x^ 2））-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月24日
a（0）=1，a（1）=3，a（2）=5，a（3）=8，a（4）=11，a（n）=a（n-1）+a（n-3）-a（n-4）-哈维·P·戴尔2011年11月24日
a（0）=1；此后a（3k）=8k，a（3k+1）=8k+3，a（3G+2）=8k+5-N.J.A.斯隆2015年12月22日
上面的g.f.和递归最初是经验观察，但我现在有了证据（细节将在后面添加）。这也证明了Maple和Mma程序以及b文件的合理性-N.J.A.斯隆2015年12月22日
MAPLE公司
如果n mod 3=0，则8*n/3 elif n mod 3=1，然后8*（n-1）/3+3，否则8*（n-2）/3+5 fi；
数学
cspn[n_]：=模块[{c=Mod[n，3]}，其中[c==0，（8n）/3，c==1，（8（n-1））/3+3，真，（8，n-2）/3+5]]；联接[{1}，数组[cspn，50]]（*或*）联接[{1'，线性递归[{1，0，1，-1}，{3，5，8，11}，50](*哈维·P·戴尔2011年11月24日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=（[0,1,0,0；0,0,1,0；0，0,0，1；-1，1，0，1]^n*[1；3；5；8]）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年4月8日
1, 1, -1, 1, 0, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, 1, 0, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, 0, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, 1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 0, 1, -1, 1, 1, 1, 0, -1, -1, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 1, 1, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, -1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, -1, -1
评论
对于一些k，每个自然数n都有一个唯一的表示，即n=Sum_｛i=1..k｝e（i）*（3^i），其中e（i）是-1，0，1之一。例如：25=27-3+1=1*3^3+0*3^2+（-1）*3^1+1*3^0，因此其表示为1,0，-1,1。因此，通过在这个基3表示中写入n并进行并列，我们得到了序列：（1），（1，-1），（1,0），（1.1），（1,1，-1）。。。
参考文献
D.E.Knuth，《计算机编程艺术》，艾迪森·韦斯利，马萨诸塞州雷丁，第2卷，第173-175页。
例子
前27行，术语与3的幂次对齐：
3^3 3^2 3^1 3^0
--------------------
1: 1;
2: 1, -1;
3: 1, 0;
4: 1, 1;
5: 1, -1, -1;
6: 1, -1, 0;
7: 1, -1, 1;
8: 1, 0, -1;
9: 1, 0, 0;
10: 1, 0, 1;
11: 1, 1, -1;
12: 1, 1, 0;
13: 1, 1, 1;
14: 1, -1, -1, -1;
15: 1, -1, -1, 0;
16: 1, -1, -1, 1;
17: 1, -1, 0, -1;
18: 1, -1, 0, 0;
19: 1, -1, 0, 1;
20: 1, -1, 1, -1;
21: 1, -1, 1, 0;
22: 1, -1, 1, 1;
23: 1, 0, -1, -1;
24: 1, 0, -1, 0;
25: 1, 0, -1, 1;
26: 1, 0, 0, -1;
27: 1, 0, 0, 0;
…（结束）
数学
数组[If[First@#==0，Rest@#，#]和[Prepend[IntegerDigits[#，3]，0]//。{a___，b_，2，c__}:>{a，b+1，-1，c}]&，32]//展平(*迈克尔·德弗利格2020年6月27日*）
黄体脂酮素
（Python）
定义b3（n）：
如果n==0：返回[]
进位，尾随=[（0，0），（0，1），（1，-1）][n%3]
返回b3（n//3+进位）+[尾随]
t=[]
对于范围（50）内的n：
t+=b3（n）
打印（t）
（PARI）行（n）=应用（d->d-1，数字（n+3^（logint（n<<1,3）+1）>>1,3））\\凯文·莱德2022年3月4日
作者
Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年2月13日
扩展
来自Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的更多术语，2001年7月20日
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