%I M0016 N0002#138 2024年3月21日21:07:15

%S 1,0,1,1,0,0,2,0,1,0,1,1,0,0,12,0,01,0,0，2,0,2,0，0,1,0,1,0，

%T 0,1,2,0,0,0,1,0,0、2,0,0，0,1,3,0,2,0,1,0，

%U 0,0,0,1,2,0,2,0,1,2,0,2,2,0,10,02,0,01,0,00,0',0,4,0,1,0,2,0，0,2,1,0,0，0,1,0,0

%N N==1（模3）的除数减去N==2（模三）的除法数。

%判别式-3的二次数域的Dedekind zeta函数的系数。一般表达式见公式部分_N.J.A.Sloane，2022年3月22日

%当m=-3时，Dirichlet级数乘积_p（1-（Kronecker（m，p）+1）*p^（-s）+Kronecker（m，p）*p^（-2s））^（-1）展开的C系数。

%C（六角形晶格中范数n的点数）/6，n>0。

%六角晶格是常见的二维晶格（A_2），其中每个点有6个相邻点。这有时被称为三角晶格。

%D J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第112页，首次展示。

%D J.W.L.Glaisher，一个数的（3k+1）除数超过（3k+2）除数的表，信使数学。，31 (1901), 64-72.

%D D.H.Lehmer，《数论表格指南》。第105号公报，国家研究委员会，华盛顿特区，1941年，第7-10页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n的表格，n的a（n）=1..10000</a>

%H G.E.安德鲁斯，<a href=“http://www.mat.univie.ac.网址：/~slc/opapers/s25andrews.html“>分区的三个方面，Séminaire Lotharingien de Combinatoire，B25f（1990），第1页。

%H Hershel M.Farkas，<a href=“https://doi.org/10.1007/s11139-004-0141-5“>关于算术函数</a>，Ramanujan J.，8（3）（2004），309-315。

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%H克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺尔（Christophe Reutenauer），<a href=“https://arxiv.org/abs/1505.07229v3“>二维环面上n个点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015。[本文的后一版本有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至以下出版物。]

%H克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺尔（Christophe Reutenauer），<a href=“https://arxiv.org/abs/1610.07793“>完全确定二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1610.07793[math.NT]，2016。

%H Gabriele Nebe和N.J.A.Sloane，<A href=“http://www.math.rwth-aachen.de/~加布里埃尔。Nebe/LATTICES/A2.html“>六边形（或三角形）晶格A2主页。

%H何塞·曼努埃尔·罗德里格斯·卡巴列罗（H JoséManuel Rodríguez Caballero），<a href=“https://arxiv.org/abs/1709.09621“>重叠区间和乘法函数的除数</a>，arXiv:1709.09621[math.NT]，2017。

%H J.S.卢瑟福，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/BF01164477“>C_{20n}二十面体富勒烯笼状异构体的生成函数，《数学化学杂志》，14（1993），385-390。【摘自N.J.A.Sloane，2009年3月12日】

%H John S.Rutherford，<a href=“http://dx.doi.org/10.107/S010876730804333X“>子晶格枚举。IV.按父Patterson对称性和色晶格群类型划分的平面子晶格的等价类，Acta Cryst（2009）。A65，156-163。[见表1]发件人：N.J.A.Sloane，2009年2月23日

%H N.J.A.Sloane，二次数域Dedekind zeta函数的Maple代码。

%F发件人：N.J.A.Sloane，2022年3月22日（开始）：

%判别式D的二次域K的Dedekind-zeta函数DZ_K（s）如下。

%F这里m的定义是K=Q（sqrt（m））（如果D是4的倍数，那么m=D/4，否则m=D）。

%F DZ_K（s）是三项的乘积：

%F（a）乘积{奇素数p|D}1/（1-1/p^s）

%F（b）乘积{奇素数p，使得（D|p）=-1}1/（1-1/p^（2s））

%F（c）乘积{奇素数p，使得（D|p）=1}1/（1-1/p^s）^2

%F，如果m是

%F 0,1,2,3,4,5,6,7 mod 8，素数2包含在项中

%分别为F-、c、a、a、-、b、a、a。

%F有关Maple（和PARI）实现，请参阅链接。（结束）

%F G.F.A（x）满足0=F（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中F（u，v，w）=u^2-3*v^2+4*w^2-2*u*w+w-v.-Michael Somos_，2004年7月20日

%F有一个很好的狄利克雷级数展开，见PARI线。

%F G.F.：和{k>0}x^k/（1+x^k+x^（2*k））_Vladeta Jovovic_，2002年12月16日

%F（3*n+2）=0，a（3*n）=a（n），a（3+n+1）=A033687（n）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年4月4日

%F G.F.A（x）满足0=F（A（x，A（x^2），A（x ^3），A）（x ^6）），其中F（u1，u2，u3，u6）=（u1-u3）*（u3-u6）-（u2-u6）^2_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年5月20日

%F与a（3^e）=1相乘，a（p^e）=e+1如果p==1（mod 3），a（p ^e）=（1+（-1）^e）/2如果p==2（mod3）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年5月20日

%F G.F.：和{k>0}x^（3*k-2）/（1-x^_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年11月2日

%F G.F.：和{n>=1}q^（n^2）（1-q）（1-q^2）。。。（1-q^（n-1））/。。。（1-q^（2n））_Jeremy Lovejoy，2009年6月12日

%F a（n）=A001817（n）-A001822（n）.-_R.J.Mathar_，2011年3月31日

%F A004016（n）=6*a（n），除非n=0。

%F Dirichlet g.F.：zeta（s）*L（chi_2（3），s），其中chi_2（2）是非平凡的Dirichle字符模3（A102283）_Ralf Stephan，2015年3月27日

%F发件人：Andrey Zabolotskiy_，2018年5月7日：（开始）

%F a（n）=和{m:m^2|n}A000086（n/m^2）。

%F a（A003136（m））>0，a（A034020（m）

%F渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=Pi/（3*sqrt（3））=0.604599…（A073010）.-_Amiram Eldar，2022年10月11日

%e G.f.=x+x ^3+x ^4+2*x ^7+x ^9+x ^12+2*x^13+x ^16+2*x ^19+2*x^21+。。。

%p A002324:=程序（n）

%p A0001817（n）-A001822（n）；

%p端程序：

%p序列（A002324（n），n=1..100）；#_R.J.Mathar，2017年9月25日

%t dn12[n_]：=模[{dn=Divisors[n]}，计数[dn，_？（Mod[#，3]==1&）]-计数[dn，_；dn12/@Range[120]（*哈维·P·戴尔，2011年4月26日*）

%t a[n_]：=如果[n<1，0，DivisorSum[n，KroneckerSymbol[-3，#]&]]；（*迈克尔·索莫斯，2014年8月24日*）

%t表[DirichletConvolve[DiricheltCharacter[3,2，m]，1，m，n]，{n，1,30}]（*_Steven Foster Clark_，2019年5月29日*）

%tf[3，p]：=1；f[p_，e_]：=如果[Mod[p，3]==1，e+1，（1+（-1）^e）/2]；a[1]=1；a[n_]：=次数@@f@@FactorInteger[n]；阵列[a，100]（*_Amiram Eldar_，2020年9月17日*）

%o（PARI）｛a（n）=如果（n＜0，0，polcoeff（sum（k=1，n，x^k/（1+x^k+x^（2*k）），x*o（x^n）），n））｝；\\_迈克尔·索莫斯_

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，（d%3==1）-（d%3==2））}；

%o（PARI）{a（n）=局部（a，p，e）；如果（n<1，0，a=系数（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，如果（p=a[k，1]，e=a[k,2]；如果（p=3，1，如果（p%3==1，e+1，！（e%2））））}；\\_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年5月20日

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，qfrep（[2,1；1,2]，n，1）[n]/3）}；\\_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年6月5日

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direuler（p=2，n，1/（1-X）/（1-kronecker（-3，p）*X））[n]）}；\\_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年6月5日

%o（哈斯克尔）

%o a002324 n=a001817 n-a001822 n---Reinhard Zumkeller_，2011年11月26日

%o（Python）

%o来自math导入prod

%o来自症状输入因子int

%o def A002324（n）：对于p，如果p%3==1，则返回prod（e+1）；对于因子（n），则返回e。如果p！=，则返回items（）3） #_Chai Wah Wu_，2022年11月17日

%判别式-3、-4、-7、-8、-11、-15、-19、-20的虚二次数域的Y Dedekind zeta函数分别为A002324、A002654、A035182、A002325、A035179、A035175、A05171、A035170。

%判别式5、8、12、13、17、21、24、28、29、33、37、40的实二次数域的Y Dedekind zeta函数分别为A035187、A035185、A035.94、A035195、A05199、A035203、A03.588、A035210、A035211、A035 215、A035219、A035192。

%Y参见A004016、A035019、A073010、A145377、A293899、A000086、A003136、A034020、A145394。

%轻松，不紧张，很好，很好

%O 1,7型

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自_David Radcliffe的更多条款_

%E Somos D.g.f.被_Ralf Stephan替换为正确版本，2015年3月27日