搜索： a016027-编号：a016017
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A000043号
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| 梅森指数：素数p，因此2^p-1是素数。然后2^p-1被称为梅森素数。
（原名M0672 N0248）
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+10
673
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2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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等价地，整数k使得2^k-1是素数。
人们相信（但尚未证实）这个序列是无限的。数据表明，对于某些常数K，指数N以下的项数大致为K log N。
以2为基数的质数单位的长度。
在他的第一份出版物中，欧拉发现数字高达31，但错误地包括41和47。
第n个偶数完全数的除数除以2。第n个偶数完全数的2次幂的除数。第n个偶数完全数的除数是第n个梅森素数的倍数A000668美元（n） ●●●●-奥马尔·波尔2008年2月24日
当且仅当没有素数q<2^p-1，使得2模q的阶等于p时，（素数）数p才出现在这个序列中；一个特例是，如果p=4k+3是素数，q=2p+1也是素数，那么2模q的阶是p，所以p不是这个序列的项-乔格·阿恩特2011年1月16日
猜想：对于k>1，2^k-1是（梅森）素数或k=2^（2^m）+1（是费马数）当且仅当（k-1）^（2 ^k-2）==1（mod（2|k-1）k^2）-托马斯·奥多夫斯基2023年10月5日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第4页。
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链接
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G.Everest等人。，递归序列生成的素数，美国。数学。月刊，114（2007年第5期），417-431。
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R.K.盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]
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小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
小埃德·佩格。，序列图片，数学游戏专栏，2003年12月8日[缓存副本，经许可（仅pdf）]
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S.S.Wagstaff，Jr.，小。，坎宁安项目
大卫·怀特豪斯，数字占据首要位置（2^13466917-1发现于13000年的计算机时代）
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配方奶粉
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a（n）=1+和{m=1..L（n）}（abs（n-S（m））-abs（n-S(A010051型（k）*A010051型（2^k-1））和L（n）>=a（n）-1。L（n）可以是满足不等式的n的任何函数-蒂莫西·霍珀2015年6月11日
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例子
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对应初始术语2、3、5、7、13、17、19、31。。。我们得到梅森素数2^2-1=3，2^3-1=7，2^5-1=31，127，8191，131071，524287，2147483647。。。（请参见A000668美元).
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数学
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MersennePrimeExponent[范围[47]](*埃里克·韦斯特因2017年7月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是A000043（n）=是素数（2^n-1）\\迈克尔·波特2009年10月28日
（PARI）是（n）=我的（h=Mod（2，2^n-1））；对于（i=1，n-2，h=2*h^2-1）；指数e的h==0||n==2\\Lucas-Lehmer检验-乔格·阿恩特2011年1月16日，以及查尔斯·格里特豪斯四世2013年6月5日
对于素数（e=25000，如果（是（e），打印1（e，“，”））；/*条款<5000*/
（Python）
从sympy导入isprime，prime
对于范围（1100）内的n：
如果isprime（2**prime（n）-1）：
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交叉参考
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关键词
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坚硬的，非n，美好的，核心
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作者
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扩展
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a（46）=42643801和a（47）=43112609，它们在序列中的顺序位置现在被确认，通过埃里克·韦斯特因2018年4月12日
a（48）=57885161，其在序列中的顺序位置现已确定，由本杰明·普日博基2022年1月5日
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状态
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经核准的
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A000396号
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| 完美数k:k等于k的适当除数之和。
（原M4186 N1744）
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+10
636
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6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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数字2^（p-1）*（2^p-1）是完美的，其中p是素数，因此2^p-1也是素数（有关p的列表，请参见A000043号). 没有其他的偶数完美数，人们相信也没有奇数完美数。
除第一个以外的所有项都有数字根1（因为4^2==4（mod 6），通过归纳，我们得到4^k==4，或者2*2^（2*k）=8==2（mod 5），这意味着梅森素数M=2^p-1，对于奇数p，是6*t+1）。因此，完全数N是第M个三角形，其形式为（6*t+1）*（3*t+1-Lekraj Beedassy公司2004年8月21日
关于这一序列的最早记载是在约公元前300年的欧几里德的《元素》（Elements）第九卷第36页-阿图尔·贾辛斯基2006年1月25日
定理（欧几里德、欧拉）。偶数m是完美数，当且仅当m=2^（k-1）*（2^k-1），其中2^k-1是素数。欧拉的想法来源于第九卷欧几里德的36号命题（见威尔）。因此，每个偶数完美数也是一个三角形数-穆罕默德·阿扎里安2008年4月16日
定理(法里德·菲鲁兹巴赫特)：如果m是整数，p和p^k-m-1都是素数，那么x=p^（k-1）*（p^k-m-1）是方程sigma（x）=（p*x+m）/（p-1）的解。例如，如果我们取m=0和p=2，我们就得到了欧几里德关于完美数的结果-法里德·菲鲁兹巴赫特2015年3月1日
欧拉（1747）证明所有偶数完全数都是2^（p-1）*（2^p-1）形式，这意味着它们的渐近密度为0。Kanold（1954）证明了奇完全数的渐近密度为0-阿米拉姆·埃尔达尔2021年2月13日
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参考文献
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Tom M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第4页。
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K.施耐德，完全数，PlanetMath.org。
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配方奶粉
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对于n>=2，a（n）=Sum_{k=1。。A065549号（n） }（2*k-1）^3，假设没有奇数完全数-德里克·奥尔2013年9月28日
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例子
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6是完美的，因为6=1+2+3，6的所有除数之和小于6；28是完美的，因为28=1+2+4+7+14。
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数学
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选择[Range[9000]，Divisor Sigma[1，#]==2*#&](*G.C.格鲁贝尔2017年10月3日*）
PerfectNumber[范围[15]]（*需要Mathematica版本10或更高版本*）(*哈维·P·戴尔2018年12月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）为A000396（n）=（σ（n）==2*n）；
（哈斯克尔）
a000396 n=a000396_列表！！（n-1）
a000396_list=[x|x<-[1..]，a000203 x==2*x]
（Python）
从symy导入divisorsigma
定义ok（n）：返回n>0且除数sigma（n）==2*n
打印（[k代表范围（9999）中的k，如果正常（k）]）#迈克尔·布拉尼基2022年3月12日
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的，核心
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作者
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扩展
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我删除了大量假设没有奇数完美数的评论。太多了，很难说哪些评论是真的，哪些是猜测-N.J.A.斯隆2023年4月16日
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状态
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经核准的
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A000668美元
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| 梅森素数（形式为2^n-1的素数）。
（原名M2696 N1080）
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+10
612
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3、7、31、127、8191、131071、524287、2147483647、2305843009213693951、618970019642690137449562111、162259276829213363391578010288127、170141183460469231731687303715884105727
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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要使梅森数2^n-1成为素数，指数n本身必须是素数。
在基2中是重单位的素数。
定义f（k）=2k+1；从k=2开始，a（n+1）=形式f（f（f…（a（n）））的最小素数-阿马纳特·穆尔蒂2003年12月26日
梅森素数是sigma（n+1）-sigma（n）=n的完美数的解(A000396号（n） ）是σ（n）=2n的解。事实上，似乎给出了所有n，使得σ（n+1）-σ（n）=n-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月27日
如果n在序列中，则σ（σ（n））=2n+1。这个序列给出的所有数字n都是sigma（sigma）=2n+1，这是真的吗-法里德·菲鲁兹巴赫特2005年8月19日
很容易证明，如果n是梅森素数，那么sigma（σ（n））-sigma-法里德·菲鲁兹巴赫特，2008年2月12日
如果p==1（mod 6），则数字根为1，如果p==5（mod 5），则为4。[T.Koshy，《数学杂志》89（2005）第465页]
素数p，使得对于所有素数q<p，p XOR q=p-q-布拉德·克拉克2011年10月26日
所有素数p都可以按k=（pmod12）分为四类：k=1，5，7，11。Mersennne素数2^p-1，p>2属于k=7类，p=12*（n-1）+7，n=1,2，。。。。由于所有2^p（p奇数）都在类k=8中，因此所有2^p-1，p>2都在类k=7中-弗雷姆特·马尔施纳，2013年7月27日
摘自《吉尼斯原始记录》：“在伊丽莎白女王一世统治时期，已知最大的原始记录是棋盘上的米粒数，包括第十九个方格：524287[=2^19-1]当纳尔逊勋爵参加特拉法加战役时，世界上最大的黄金国的纪录已经上升到棋盘的第31个方格：2147483647[=2^31-1]。1772年，瑞士数学家伦纳德·欧拉证明了这个十位数是素数，并一直保持到1867年。”-罗伯特·威尔逊v2013年11月26日
如果n在序列中，则A024816号（n） =抗igma（n）=抗igmma（n+1）-1。这个序列给出了所有数字n，所以antisigma（n）=antisigsa（n+1）-1，这是真的吗？是否存在具有此属性的复合数字-雅罗斯拉夫·克里泽克，2014年1月24日
如果n在序列中，则φ（n）+σ（σ（n））=3n。梅森素数真的是方程φ（x）+σ（σ（x））=3x的所有解吗-法里德·菲鲁兹巴赫特2014年9月3日
等价地，形式2^n-1的素数幂，参见Lemos&Cambraia Junior中的定理2-查尔斯·格里特豪斯四世2016年7月7日
素数p使sigma（p+1）=2p+1。
素数p是这样的A051027号（p） =σ（σ（p））=2^k-1，对于某些k>1。
某些n>1的sigma（2^（n-1））形式的素数p。数字n的对应值为A000043号（梅森指数）。
某些n>1的形式为sigma（2^（n+1））的素数。数字n的对应值为A153798号（梅森指数-2）。
形式为sigma（n）的素数p，其中n是偶数；的子序列A023195号一些n的形式为sigma（n）的素数p。猜想：31是唯一的素数p，使得对于不同的数字x和y，p＝sigma（x）＝sigma（y）；31=西格玛（16）=西格马（25）。
猜想：数字n使得n=σ（σ（n+1）-n-1））-1，即。，A072868号（n） -1。
[猜想]对于n>2，梅森数M（n）=2^n-1是素数当且仅当3^M（n-1）==-1（mod M（n-托马斯·奥多夫斯基，2018年8月12日[这需要证据-乔格·阿恩特，2019年3月31日]
W.W.Rouse Ball（1892，1912）以马林·梅塞纳（1588-1648）的名字命名为“梅塞纳数字”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年2月20日
定理。设b=2^p-1（其中p是素数）。那么b是梅森素数iff（c=2^p-2是totiten或项A002202号). 否则，如果c是（无提示或A005277号)那么b是复合的。证明。平凡，因为，当b=v^g-1，其中v是偶数，v>2，g是整数，g>1，b总是复合的，而c=v^g-2是无意义的（或A005277号)，对于任何组合b=2^g-1也是如此（在最后一种情况下，c=v^g-2也是不重要的，或者是A005277号). -谢尔盖·帕夫洛夫，2021年8月30日[免责声明：此证明尚未核实-N.J.A.斯隆2021年10月1日]
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
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布莱恩特·塔克曼（Bryant Tuckerman），第24届梅森黄金周，通知阿米尔（Amer）。数学。Soc.，18（1971年6月），摘要684-A15，第608页。
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链接
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W.W.Rouse Ball，梅森数《数学信使》，第21卷（1892年），第34-40页，第121页。
W.W.Rouse Ball，梅森数《自然》，第89卷（1912年），第86页。
约翰·布里尔哈特、D.H.莱默、J.L.塞尔弗里奇、布莱恩特·塔克曼和S.S.小瓦格斯塔夫。，b^n+-1的因式分解《当代数学》，第22卷，美国。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，第三版，2002年。
理查德·盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]
Abílio Lemos和Ady Cambraia Junior，关于梅森数的素因子个数，arXiv:1606.08690[math.NT]（2016）。
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布莱恩特·塔克曼，第24个梅森素数，程序。美国国家科学院。科学。美国，第68卷（1971年），第2319-2320页。
马雷克·沃尔夫，梅森素数的计算机实验，arXiv预印本arXiv:1112.2412[math.NT]，2011。
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配方奶粉
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MAPLE公司
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i:=2^（ithprime（n））-1：
如果（isprime（i）），则
返回i
fi：结束：
#备选：
seq（数字理论：-梅森（[i]），i=1..26）#罗伯特·伊斯雷尔2014年7月13日
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数学
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2^梅森PrimeExponent[范围[18]]-1(*埃里克·韦斯特因2021年9月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）表示素数（p=2，1e5，if（ispseudoprime（2^p-1），print1（2^p-1“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月15日
（PARI）LL（e）=我的（n，h）；n=2^e-1；h=Mod（2，n）；对于（k=1，e-2，h=2*h*h-1）；返回（0==h）\\之后乔格·阿恩特在里面A000043号
（间隙）
（Python）
从sympy导入isprime，primerange
打印（如果是素数（2**n-1），则在素数范围（11001）中，[2**n-1代表n）]#小卡尔·V·凯勒。2020年7月16日
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的，坚硬的，改变
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经核准的
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A001348号
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| 梅森数：2^p-1，其中p是素数。
（原名M2694 N1079）
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3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911, 2147483647, 137438953471, 2199023255551, 8796093022207, 140737488355327, 9007199254740991, 576460752303423487, 2305843009213693951, 147573952589676412927, 2361183241434822606847
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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除了第一项3：2^p-1的所有素因子必须是1或-1（mod 8），以及1（mod 2p）-胡渭康2024年3月10日
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参考文献
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哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第16页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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雷蒙德·克莱尔·阿奇博尔德，梅森数《数学脚本》，第3卷（1935年），第112-119页。
约翰·布里尔哈特、D.H.莱默、J.L.塞尔弗里奇、布莱恩特·塔克曼和S.S.小瓦格斯塔夫。，坎宁安项目【b^n+-1，b=2，3，5，6，7，10，11，12的因子分解到高次幂】
威尔·埃德金顿，梅塞纳页面>[来自互联网档案折返机]。
格雷厄姆·埃弗勒斯（Graham Everest）、肖恩·史蒂文斯（Shaun Stevens）、邓肯·塔姆塞特（Duncan Tamsett）和汤姆·沃德（Tom Ward），递归序列生成的素数，美国。数学。《月刊》，第114卷，第5期（2007年），第417-431页。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），一些群胚及其整数序列表示《国际科学杂志》（2019）第8卷第10期。
埃里克·韦格日诺夫斯基，莫布雷斯·德梅塞纳.[来自Internet Archive Wayback Machine]
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配方奶粉
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..30]]中[2^NthPrime（n）-1:n//文森佐·利班迪2016年2月4日
（Python）
从sympy导入质数
定义a（n）：返回2**素数（n）-1
打印（[a（n）代表范围（1，21）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年3月28日
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 109, 113, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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素数p使得2^p-1是复合的。
没有证据表明这个序列是无限的！
假设Dickson的一个猜想，我们可以证明这个序列是无限的。请参阅Ribenboim-T.D.诺伊2012年7月30日
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参考文献
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保罗·里本博伊姆，《素数记录新书》，斯普林格出版社，1996年，第378页。
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例子
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包含p=29是因为29是质数，但2^29-1不是质数。
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数学
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选择[Prime[Range[70]]！PrimeQ[2^#-1]&](*哈维·P·戴尔2011年2月3日*）
模块[{nn=15，mp}，mp=MersennePrimeExponent[Range[nn]]；补码[Prime[Range[PrimePi[Last[mp]]]，mp]]（*需要Mathematica版本10或更高版本*）(*哈维·P·戴尔2019年4月10日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）[p:p in PrimesUpTo（350）| not IsPrime（2^p-1）]//布鲁诺·贝塞利2012年10月11日
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关键词
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容易的，非n
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作者
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经核准的
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A059305美元
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| a（n）=pi（Mersenne（n））：第n个Mersenne素数的指数。 |
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+10
25
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2, 4, 11, 31, 1028, 12251, 43390, 105097565, 55890484045084135, 10201730804263125133012340
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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例子
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元素2=4，因为Mersenne2=（2^3）-1=7；7是第四素数。
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数学
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数组[PrimePi[2^MersennePrimeExponent[#]-1]&，8](*迈克尔·德弗利格2019年4月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）LL（e）=如果（e==2，返回（1））；我的（n，h）；n=2^e-1；h=Mod（2，n）；对于（k=1，e-2，h=2*h*h-1）；返回（0==h）\\之后乔格·阿恩特在里面A000043号
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交叉参考
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关键词
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非n，坚硬的，更多
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作者
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Reto Keiser（营销者（AT）ee.ethz.ch），2001年1月25日
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经核准的
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6, 20, 21, 110, 156, 136, 342, 253, 812, 155, 1332, 820, 602, 1081, 2756, 3422, 3660, 4422, 2485, 657, 3081, 6806, 979, 4656, 10100, 5253, 11342, 3924, 3164, 889, 17030, 9316, 19182, 22052, 2265, 8164, 26406, 13861, 29756, 31862, 32580, 18145, 18528, 38612
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对于n=183和490，即p=素数（183）=1093和p=素数（490）=3511，值分别为364和1755（请参见b文件），会发生这种情况-米歇尔·马库斯2014年6月29日
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配方奶粉
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MAPLE公司
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seq（数字理论：-阶（2，ithprime（i）^2），i=2..1000）#罗伯特·伊斯雷尔2014年7月8日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）用于素数（p=3，10^2，打印1（znorder（Mod（2，p^2）），“，”））
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非n
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作者
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经核准的
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6, 28, 496, 8128, 2096128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 35184367894528, 144115187807420416, 2305843008139952128, 9444732965670570950656, 2417851639228158837784576, 38685626227663735544086528
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n）是二进制表示为p1和p10的数字，其中p是素数（n），例如：素数（3）=5，因此a（3）=496=11111 0000（2）-奥马尔·波尔2012年12月12日
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参考文献
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C.Stanley Ogilvy和John T.Anderson，《数论漫游》，牛津大学出版社，纽约，1966年，第20-23页。
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配方奶粉
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例子
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a（4）=2^6（2^7-1）=8128。
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数学
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表[2^（素数[n]-1）（2^素数[n]-1），{n，16}](*阿尔特阿隆索2012年12月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{n=0；对于素数（p=1542，写（“b060286.txt”，n++，“”，2^（p-1）*（2^p-1））；）}\\哈里·史密斯2009年7月3日
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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1、1、1、2、1、3、7、6、4、3、67、13、96、121、11、116、128、19、594、30、131、897、181、156、2033、3760、2105、1842、6961、41453、7556、28716、9974、108217、3031、256669、402707、452111、179537、113178、258898、126198、263183、313608、26616
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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数学
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差异@PrimePi@Array[MersennePrimeExponent，45](*迈克尔·德弗利格2017年12月18日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1，1，1，1，0，1，1，1，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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数学
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表[If[PrimeQ[2^n-1]，1，0]，{n，Prime[Range[120]]}]（*或*(*哈维·P·戴尔2021年7月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）用于（n=1199，print1（ispseudoprime（2^prime（n）-1）“，”）
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关键词
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非n
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作者
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