%I M4186 N1744#438 2024年3月10日11:09:44

%电话：6,2849681283355033685898690561374386913282305843008139952128，

%电话：2658455991569831744654692615953842176，

%电话：191561942608236107294793378084303638130997321548169216

%N个完美数k:k等于k的适当除数之和。

%C如果sigma（k）>2k（参见A005101），则数字k是丰富的；如果sigma-（k）=2k（此序列），则是完美的；如果sigma-。

%数字2^（p-1）*（2^p-1）是完美的，其中p是素数，因此2^p-1也是素数（关于p的列表，请参见A000043）。没有其他的偶数完美数，人们相信也没有奇数完美数。

%C对k进行编号，使之和{d|k}1/d=2_Benoit Cloitre_，2002年4月7日

%C关于a（n）的除数，请参见A061645（n）。a（n）中的位数为A061193（n）_Lekraj Beedassy，2004年6月4日

%C除第一项外的所有项都有数字根1（由于4^2==4（mod 6），通过归纳，我们有4^k==4（mod 6），或2*2^（2*k）=8==2（mod 6），这意味着对于奇数p，梅森素数M=2^p-1的形式为6*t+1）。因此，完全数N是第M个三角形，其形式为（6*t+1）*（3*t+1_Lekraj Beedassy，2004年8月21日

%C关于这一序列的最早记载是在公元前300年左右的欧几里德的《元素》第九卷第36页_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2006年1月25日

%C定理（欧几里德，欧拉）。偶数m是一个完美数，当且仅当m=2^（k-1）*（2^k-1），其中2^k-1是素数。欧拉的想法来自欧几里得在第九卷中提出的36号命题（见威尔）。因此，每个偶数完美数也是一个三角形数_Mohammad K.Azarian，2008年4月16日

%C三角数（也称广义六边形数）A000217，其指数为梅森素数A000668，假设不存在奇数完美数_Omar E.Pol，2008年5月9日，2013年9月15日

%C如果a（n）是偶数，则2*a（n_Vladimir Shevelev，2010年11月7日

%C除a（1）=6外，所有偶数项的形式均为30*k-2或45*k+1_Arkadiusz Wesolowski，2012年3月11日

%C a（4）=A229381（1）=8128是“辛普森的完美数”_Jonathan Sondow，2015年1月2日

%C定理（_Farideh Firoozbakht_）：如果m是整数，并且p和p^k-m-1都是质数，那么x=p^（k-1）*（p^k-m-1）是方程sigma（x）=（p*x+m）/（p-1）的解。例如，如果我们取m=0和p=2，我们得到欧几里德关于完美数的结果_Farideh Firoozbakht，2015年3月1日

%C偶完全数的余弦是一个平方；特别地，如果2^p-1是梅森素数，则余弦（2^。因此，该序列是A063752的子序列_伯纳德·肖特，2019年1月11日

%C Euler（1747）证明所有偶数完全数都是2^（p-1）*（2^p-1）形式，这意味着它们的渐近密度为0。Kanold（1954）证明了奇完全数的渐近密度为0.-_Amiram Eldar，2021年2月13日

%如果k是完美的半素数，那么k=6_Alexandra Hercilia Pereira Silva，2021年8月30日

%C本序列列出了A001065的固定点。-_阿洛伊斯·海因茨，2024年3月10日

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%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/O#opnseqs”>必须出现奇数完美数的序列的索引项</a>

%F完美数N=2^（p-1）*（2^p-1）也是乘法p-完美（即A007955（N）=N^p），因为tau（N）=2*p.-_Lekraj Beedassy_，2004年9月21日

%F a（n）=2^A133033（n）-2^A090748（n），假设没有奇数完全数_Omar E.Pol_，2008年2月28日

%F a（n）=A000668（n）*（A000688（n）+1）/2，假设没有奇数完全数_Omar E.Pol_，2008年4月23日

%F a（n）=A000217（A000668（n）），假设不存在奇数完美数_Omar E.Pol_，2008年5月9日

%F a（n）=假设不存在奇数完美数，则第一个A000668（n）正整数的和_Omar E.Pol_，2008年5月9日

%F a（n）=A000384（A019279（n）），假设不存在奇完美数和奇超完美数。a（n）=A000384（A061652（n）），假设不存在奇数完美数_Omar E.Pol_，2008年8月17日

%F a（n）=A006516（A000043（n）），假设不存在奇数完美数_Omar E.Pol_，2008年8月30日

%F发件人：雷库·库隆，2008年10月14日：（开始）

%F A144912（2，a（n））=1；

%对于n>1，F A144912（4，a（n））=-1；

%F A144912（8，a（n））=5或-5，除2外的所有n；

%F A144912（16，a（n））=-4或-13，对于n>1。（结束）

%F a（n）=A019279（n）*A000668（n），假设不存在奇完全数和奇超完全数。a（n）=A061652（n）*A000668（n），假设不存在奇数完美数_Omar E.Pol，2009年1月9日

%F a（n）=A007691（A153800（n）），假设没有奇数完全数_Omar E.Pol，2009年1月14日

%F偶数完美数N=K*A000203（K），其中K=A019279（N）=2^（p-1），A000203_Lekraj Beedassy，2009年5月2日

%F a（n）=A060286（A016027（n）），假设没有奇数完美数_Omar E.Pol_，2012年12月13日

%F对于n>=2，a（n）=Sum_{k=1..A065549（n）}（2*k-1）^3，假设没有奇数完全数_德里克·奥尔，2013年9月28日

%F a（n）=A275496（2^（（A000043（n）-1）/2））-2^ A000043_Daniel Poveda Parrilla，2016年8月16日

%F a（n）=A156552（A324201（n）），假设不存在奇数完美数_Antti Karttunen，2019年3月28日

%e6是完美的，因为6=1+2+3，6的所有除数之和小于6；28是完美的，因为28=1+2+4+7+14。

%t选择[Range[9000]，Divisor Sigma[1，#]==2*#&]（*_G.C.Greubel_，2017年10月3日*）

%t PerfectNumber[范围[15]]（*需要Mathematica版本10或更高版本*）（*_哈维·P·戴尔，2018年12月10日*）

%o（PARI）为A0000396（n）=（西格玛（n）==2*n）；

%o（哈斯克尔）

%o a000396 n=a000396_列表！！（n-1）

%o a000396_list=[x|x<-[1..]，a000203 x==2*x]

%o——Reinhard Zumkeller，2012年1月20日

%o（Python）

%o从sympy导入divisor_sigma

%o定义ok（n）：返回n>0，除数sigma（n）==2*n

%o打印（[k代表范围（9999）中的k，如果可以（k）]）#_Michael S.Branicky_，2022年3月12日

%参见A000043了解梅森素数的当前知识状态。

%Y参见A007539、A005820、A027687、A046060、A046061、A000668、A090748、A133033、A000217、A000384、A019279、A061652、A006516、A144912、A153800、A007593、A220290、A028499-A028502、A034916、A065549、A275496、A063752、A156552、A152921、A324201。

%Y参考A228058，用于奇数项的欧拉准则。

%A033879和A033880中0的Y位置。

%Y以下序列的子序列：A005835、A006039、A007691、A023196、A043305、A065997、A083207、A109510、A118372、A216782、A246282、A263837、A294900、A333646、A334410、A335267、A336702、A341622、A342922、A344755、A352739、A357462和（偶数项），其中：A005153、A063752、A174973、A336547、A338520。

%Y参考A001065。

%K nonn，不错，核心

%O 1，1

%A _N.J.A.斯隆_

%我删除了大量假设没有奇数完美数的评论。太多了，很难说哪些评论是真的，哪些是猜测_N.J.A.斯隆，2023年4月16日