奇数完美数

第九册元素，欧几里得给出了一种构造方法完全数（Dickson 2005，第3页），尽管该方法仅适用于即使完美数字。在1638年写给梅森的一封信中，笛卡尔建议完全数是欧几里德形式的，他说他看不出为什么会出现奇完全数数字不存在（Dickson 2005，第12页）。因此，笛卡尔是首先考虑奇数完全数的存在性；在笛卡尔之前作者含蓄地假设（没有证据）完美数字生成欧几里德的结构包含了所有可能的完美数字（Dickson 2005，第6-12页）。1657年，Frenicle重申了笛卡尔的观点，即每一个偶数都是欧几里得的形式，以及没有理由不存在奇完美数。喜欢法国人欧勒也考虑过奇数和完美数。

迄今为止，尚不清楚是否存在奇数完美数，尽管数字高达已被检查但未成功，从而出现奇数完美数的存在不太可能（Ochem和Rao，2012年）。下表总结了最小可能奇数完美数的更高界限。

作者	跳跃
卡诺尔德（1957年）
塔克曼（1973）
哈吉斯（1973）
布伦特和科恩(1989)
Brent等人。(1991)
Ochem和Rao(2012)

欧拉证明了一个奇完美数，如果它存在的话，一定是属于表格

(1)

哪里是形式的质数(费马秒4n个+1定理; Burton 1989），结果与Frenicle得出的结果类似1657年（Dickson 2005，第14和19页）。换句话说，奇数完全数必须采用以下形式

(2)

对于不同的奇素数,, ...,具有（模块4）。Steuerwald（1937）后来证明这个秒不可能都是1（山田2005）。

Touchard（1953）证明了奇数完全数（如果存在）的形式或（Holdener 2002）。

1896年，斯图瓦特（Stuyvaert）指出，奇数完美数必须是两个平方的和（Dickson 2005，第28页）。1887年，西尔维斯特推测，1925年，格拉德斯坦证明了任何奇完美数都必须至少有六个不同的主要因素（Ball and Coxeter 1987）。哈吉斯（1980）证明了奇数完美数必须至少有八个不同的素因子,在这种情况下，这个数字可以被15整除（Voight2003）。

1888年，加泰罗尼亚人证明，如果古怪的完全数不能被3、5或7整除，它至少有26个不同的素等分因子，诺顿（Norton，1960）将这一数字扩大到27。诺顿（1960）展示了这种奇怪的完美不能被3或5整除的数，它必须至少有15个不同的素因子。Neilsen（2006），改进了Hagis（1980）的界限，表明如果一个奇怪的完美数字不能被3整除，它必须至少有12不同的主要因素Nielsen（2006）还表明，一般的奇完全数，如果它存在，必须至少有9个不同的素因子。

最近，Hare（2005）证明了任何奇数完美数都必须有75个或更多的素因子。改善这个界限需要几个大的因子分解数字（兔子），目前正在尝试执行这些分解使用椭圆曲线分解方法在mersenneforum.org网站和OddPerfect.org网站Ochem和Rao（2012）随后表明，任何奇数完全数都至少有101，这并不一定不同的主因子。

对于最大的奇数完全数的素因子，Iannucci（19992000）和Jenkins（2003）一直致力于寻找下限。最大的三个因素必须至少为100000007、10007和101。Goto和Ohno（2006）证实使用Jenkins方法的扩展，因子必须至少为100000007。奥辛Rao（2012）随后表明，最大分量（即除数具有prime）大于。

对于最小的Yamada（2005）确定了一个奇数完美数的素数因子，它的所有偶数幂都小于6

对于任何奇数完全数主要因素和，Kishore（1981）为奇数完全数的小因子

（3）