%I M2696 N1080#431 2023年11月17日11:46:24

%S 3,7,31127819113107152428721474836472305843009213693951，

%电话：618970019642690137449562111162259276829213363391578010288127，

%电话：170141183460469231731687303715884105727

%N梅森素数（形式为2^N-1的素数）。

%对于梅森数2^n-1来说，指数n本身必须是素数。

%C n值见A000043。

%C在基2中是重单位的素数。

%C定义f（k）=2k+1；从k=2开始，a（n+1）=形式f（f（f（…（a（n）））的最小素数。-_Amarnath Murthy，2003年12月26日

%C梅森素数的形式是6n+1_Lekraj Beedassy，2004年8月27日。梅森素数的形式是24n+7；另见A124477_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2007年11月25日

%C A034876（a（n））=0和A034876（a（n）+1）=1。-_Jonathan Sondow，2004年12月19日

%C梅森素数是σ（n+1）-σ（n）=n的解，因为完美数（A000396（n））是σ。事实上，似乎给出了所有n，因此σ（n+1）-σ（n）=n.-Benoit Cloitre_，2002年8月27日

%C如果n在序列中，则σ（σ（n））=2n+1。这个序列给出了所有的数字n，这样σ（σ（n））=2n+1是真的吗_Farideh Firoozbakht，2005年8月19日

%C很容易证明，如果n是梅森素数，那么sigma（σ（n））-sigma_Farideh Firozbakht，2008年2月12日

%C第n个偶数超完美数A061652（n）的除数之和。如果没有奇数超完美数，则第n个超完美数A019279（n）的因子之和_Omar E.Pol_，2008年3月11日

%C三角数和广义六边形数（A000217）的指数，它们也是偶完美数_Omar E.Pol_，2008年5月10日，2013年9月22日

%C正整数（1，2，3，…）的数量，其和是第n个完全数A000396（n）。-_Omar E.Pol_，2008年5月10日

%C顶点数，其中第n个完全数A000396（n）位于顶点为正三角形数A000217的方形螺旋中。-_Omar E.Pol_，2008年5月10日

%C梅森数A000225，其指数为素数A000043_Omar E.Pol_，2008年8月31日

%C如果p==1（mod 6），则数字根为1，如果p==5（mod 5），则为4。[T.Koshy，《数学杂志》89（2005）第465页]

%C素数p，使得对于所有素数q＜p，p异或q＝p-q-_Brad Clardy_，2011年10月26日

%除了3以外，所有这些素数都是巴西素数，所以它们也在A085104和A023195中_Bernard Schott，2012年12月26日

%所有素数p都可以按k=（p mod 12）分为四类：k=1，5，7，11。Mersennne素数2^p-1，p>2属于k=7类，p=12*（n-1）+7，n=1,2，。。。。由于所有2^p（奇数p）都在k=8类中，因此所有2^p-1，p>2都在k=7类中_Freimut Marschner_，2013年7月27日

%C摘自《吉尼斯原始记录》：“在伊丽莎白女王一世统治时期，已知最大的原始记录是棋盘上的米粒数，包括第十九个方格：524287[=2^19-1]当纳尔逊勋爵参加特拉法加战役时，世界上最大的黄金国的纪录已经上升到棋盘的第31个方格：2147483647[=2^31-1]。1772年，瑞士数学家伦纳德·欧拉证明了这个十位数是素数，并一直保持到1867年

%C如果n在序列中，则A024816（n）=抗igma（n）=antisigma（n+1）-1。这个序列给出了所有数字n，所以antisigma（n）=antisigsa（n+1）-1，这是真的吗？是否存在具有此属性的复合数字_雅罗斯拉夫·克里泽克，2014年1月24日

%C如果n在序列中，则φ（n）+σ（σ（n））=3n。梅森素数是方程φ（x）+σ（σ（x））=3x的所有解吗_Farideh Firoozbakht_，2014年9月3日

%C a（5）=A229381（2）=8191是“辛普森的梅森素数”_Jonathan Sondow，2015年1月2日

%等价地，形式2^n-1的素数幂，参见Lemos&Cambraia Junior中的定理2_Charles R Greathouse IV_，2016年7月7日

%除数之和是2的幂的C素数。素数p使得p+1是2的幂。A046528中的底漆_Omar E.Pol_，2016年7月9日

%C发件人：Jaroslav Krizek，2017年1月19日：（开始）

%C素数p使sigma（p+1）=2p+1。

%C素数p使得A051027（p）=σ（σ（p））=2^k-1，对于某些k>1。

%C一些n的sigma（2^prime（n）-1）-1形式的素数p。数字n的相应值在A016027中。

%某些n>1的σ（2^（n-1））形式的C素数p。数字n的对应值以A000043表示（梅森指数）。

%某些n>1的形式为sigma（2^（n+1））的C素数。数字n的对应值在A153798中（梅森指数-2）。

%C形式为sigma（n）的素数p，其中n是偶数；A023195的子序列。对于某些n，素数p的形式为sigma（n）。猜想：31是唯一的素数p，对于不同的数x和y，p=sigma；31=西格玛（16）=西格马（25）。

%C猜想：数字n，使n=σ（σ（n+1）-n-1））-1，即A072868（n）-1。

%C猜想：一些n的西格玛（4*（n-1））形式的素数。数字n的相应值在A281312中。（结束）

%C[猜想]对于n>2，梅森数M（n）=2^n-1是素数当且仅当3^M（n-1）==-1（mod M（n_托马斯·奥多夫斯基（Thomas Ordowski），2018年8月12日[这需要证据！-_Joerg Arndt_，2019年3月31日]

%C由W.W.Rouse Ball（1892，1912）以Marin Mersenne（1588-1648）的名字命名为“Mersenne的数字”_Amiram Eldar，2021年2月20日

%C定理。设b=2^p-1（其中p是素数）。那么b是梅森素数iff（c=2^p-2是totiten或A002202的项）。否则，如果c是（非注释性的或A005277的项），则b是复合的。证明。平凡，因为当b=v^g-1，其中v是偶数，v>2，g是整数，g>1，b总是复合的，c=v^g-2是无意义的（或A005277的一个项），任何复合b=2^g-1也是如此（在最后一种情况下，c=v^g-2也是无意义的，或A005277的一个项）_谢尔盖·巴甫洛夫（Sergey Pavlov），2021年8月30日[免责声明：该证据尚未被核实。-N.J.A.Sloane（2021年10月1日）]

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%F a（n）=西格玛（A061652（n））=A000203（A06165（n）_Omar E.Pol_，2008年4月15日

%F a（n）=σ（A019279（n））=A000203（A019279n）），前提是没有奇数超完美数_Omar E.Pol_，2008年5月10日

%F a（n）=A000225（A000043（n））_Omar E.Pol_，2008年8月31日

%F a（n）=2^A000043（n）-1=2^（A000005（A061652（n）））-1.-_Omar E.Pol，2011年10月27日

%F a（n）=A000040（A059305（n））=A001348（A016027（n）_Omar E.Pol，2012年6月29日

%F a（n）=A007947（A000396（n））/2，前提是不存在奇数完美数_Omar E.Pol_，2013年2月1日

%F a（n）=4*A134709（n）+3.-_Ivan N.Ianakiev，2013年9月7日

%F a（n）=A003056（A000396（n）），前提是不存在奇数完美数_Omar E.Pol_，2016年12月19日

%F和{n>=1}1/a（n）=A173898.-_Amiram Eldar，2021年2月20日

%p A000668：=程序（n）局部i；

%pi:=2^（i素数（n））-1：

%p如果（i素数（i）），则

%p返回i

%p fi：结束：

%p序列（A000668（n），n=1..31）；#_Jani Melik，2011年2月9日

%p#备用：

%p序列（数字理论：-mersenne（[i]），i=1..26）；#_罗伯特·伊斯雷尔，2014年7月13日

%t2^数组[MersennePrimeExponent，18]-1（*_Jean-François Alcover_，2018年2月17日，小于1000位数的Mersenne素数*）

%t2^梅森初级指数[范围[18]]-1（*_Eric W.Weisstein_，2021年9月4日*）

%o（PARI）表示素数（p=2,1e5，if（ispseudoprime（2^p-1），print1（2^p-1“，”））

%o（PARI）LL（e）=我的（n，h）；n=2^e-1；h=Mod（2，n）；对于（k=1，e-2，h=2*h*h-1）；A000043中的_Joerg Arndt_之后返回（0==h）\\

%o对于prime（p=1，如果（LL（p），打印1（p，“，”））\\传真Fröhlich_，2018年2月17日

%o（间隙）

%o A000668:=已筛选（列表（已筛选（[1..600]，IsPrime），i->2^i-1），IsPrice）；#_Muniru A Asiru_，2017年10月1日

%o（Python）

%o来自sympy import isprime，primerange

%o打印（[2**n-1表示素数范围（11001）中的n，如果是isprime（2**n-1）]）#_Karl V.Keller，Jr._，2020年7月16日

%Y参考A000225（梅森数）。

%Y参考A000043（梅森指数）。

%Y参考A001348（带n素数的梅森数）。

%Y参见A000040、A000203、A000217、A000396、A003056、A007947、A016027、A019279、A023195、A023758、A028335（长度）、A034876、A046051、A057951-A057958、A059305、A061652、A083420、A085104、A124477、A135659、A173898。

%K nonn，很好，很难

%O 1，1

%A _N.J.A.斯隆_