A005153-OEIS公司

抵消

1, 2

等价地，正整数m，使得每个数k<=m都是m的不同除数之和。

2^r是所有r的成员，因为每个数<=sigma（2^r）=2^（r+1）-1是除数{1，2，2^2，…，2^m}的不同子集的和。 -阿玛纳斯·穆尔西2004年4月23日

另外，数字m是这样的A030057型（m） >m.这是在McLeman链接中发现的以下定理的结果（由于Stewart）：整数m>=2的因式分解乘积{i=1..k}p_i^e_i的升序p_i是实际的当且仅当p_1=2时，对于1<i<=k，p_i<=sigma（Product_{j<i}p_j^e_j）+1。 -富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年11月9日

实际数字首先出现在Srinivasan的短文中，其中包含多达200个术语。让我成为一个实际数字。他指出：（1）如果m>2，m是4或6的倍数；（2）σ（m）>=2*m-1(2008年3月1日)（3）2^t*m是实用的。他还表示，高度合成的数字(A002182号)，完全数(A000396号)、和基本数(A002110号)是实用的。 -T.D.诺伊2010年4月2日

推测：序列a（n）^（1/n）（n=3,4，…）严格递减到极限1。 -孙志伟2013年1月12日

猜想：对于任意正有理数r，存在有限多个两两不同的实数q（1）。.q（k），使得r=Sum_{j=1..k}1/q（j）。例如，2=1/1+1/2+1/4+1/6+1/12，其中1、2、4、6和12都是实用的，10/11=1/2+1/4+1/8+1/48+1/132+1/176，其中2、4，8、48、132和176都是实际的。 -孙志伟2015年9月12日

与{1并素数}类似(A008578号)，实数构成一个完整的序列。这是因为它包含作为子序列的2的所有幂。 -弗兰克·M·杰克逊2016年6月21日

2015年，Sun关于任何正有理数都存在具有实际分母的埃及分数的猜想是正确的。请参阅链接“埃及分数与实际分母”。 -大卫·埃普斯坦2016年11月20日

猜想：如果m的所有因子都是1=d_1<d_2<。..<d_k=m，那么m是实际的当且仅当d（i+1）/di<=2 for 1<=i<=k-1。 -宋嘉宁2018年7月18日

上述推测是错误的。最小的反例是78（其中一个商是13/6；参见A174973号).m是实用的，当且仅当m的除数形成一个完整的子序列。请参阅维基百科链接。 -弗兰克·M·杰克逊2018年7月25日

回复上面的评论：是的，现在我可以显示相反的结果：对于实际数字，d_（I+1）/d_I的最大值是没有边界的。请注意，sigma（n）/n对于初等函数没有界限，初等函数是实际数字。对于任意常数c>=2，设k是一个实数，使得sigma（k）/k>2c。根据Bertrand的假设，存在一些素数p，使得c*k<p<2c*k<sigma（k），因此k*p是一个具有连续除数k和p的实际数，其中p/k>c。例如，对于k=78，我们有13/6>2，对于97380，我们有541/180>3。 -宋嘉宁2019年1月5日

Erdõs（1950）和Erdõs及Loxton（1979）证明了实际数的渐近密度为0。 -阿米拉姆·埃尔达尔2021年2月13日

设P（x）表示x之前的实际数字的数量。P（x）的数量级为x/log（x）（参见Saias 1997）。此外，我们有P（x）=c*x/log（x）+O（x/（log（x。因此，a（n）=k*n*log（n*log（n））+O（n），其中k=1/c=0.74846-安德烈亚斯·温加特纳2021年6月26日

发件人哈尔·斯威特凯，2022年12月22日：（开始）

每一个最小素数签名(A025487号)是实用的，因此包括Noe评论中提到的两类数字。这源于亚当斯·沃特斯（Adams-Waters）评论中提到的斯图尔特（Stewart）对实际数字的描述，以及伯特兰（Bertrand）的假设（每个自然数与其二重数之间都有一个质数，包括在内）。

此外，假设空积等于1，Stewart特征化中的第一个条件（p_1=2）与索引i=1的第二个条件等价。（完）

猜想：从3开始的每个奇数都是质数和实数的和。请注意，这个猜想占据了未经证明的哥德巴赫猜想和每个偶数（从2开始）是两个实际数之和的定理之间的空间（梅尔菲1996年对玛根斯坦猜想的证明）。 -哈尔·斯威特凯2023年1月28日

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链接

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维基百科，“完整”序列.[如果每个正整数都是不同术语的总和，维基百科将序列称为“完整”（sic）。这个名称极具误导性，应该避免使用-N.J.A.斯隆2023年5月20日]

维基百科，实际数字.

Robert G.Wilson v，致N.J.A.Sloane的信，日期未知。

配方奶粉

Weingartner证明了a（n）~k*n log n，加强了Saias的早期结果。特别是，a（n）=k*n log n+O（n log log n）。 -查尔斯·格里特豪斯四世2013年5月10日

更准确地说，a（n）=k*n*log（n*log（n））+O（n），其中k=0.74846…（见注释）。 -安德烈亚斯·温加特纳2021年6月26日

MAPLE公司

isA005153:=进程（n）

本地ifs、pprd、p、i；

如果n=1，则

返回true；

elif类型（n，“奇数”）则

返回false；

结束if；

#这里没有直接使用ifactors，因为没有保证对素数进行排序。..

ifs:=ifactors（n）[2]；

批准：=1；

对于排序中的p（numtheory[factorset]（n））do

因为我在ifs do

如果op（1，i）=p，则

如果p>2且p>1+数量[sigma]（批准），则

返回false；

结束条件：；

近似：=近似*p^op（2，i）；

结束条件：；

结束do：

返回true；

结束进程：

对于从1到300 do的n

如果是A005153（n），则

printf（“%d，”，n）；

结束条件：；

结束do：#R.J.马塔尔2023年7月7日

数学

PracticalQ[n_]：=模块[{f，p，e，prod=1，ok=True}，如果[n<1||（n>1&&OddQ[n]），False，如果[n==1，True，f=FactorInteger[n]；{p，e}=转座[f]；Do[If[p[i]]>1+Divisor Sigma[1，prod]，ok=False；中断[]]；prod=prod*p[[i]]^e[[i]，{i，长度[p]}]；确定]]]；选择[范围[200]，PracticalQ](*T.D.诺伊2010年4月2日*）

黄体脂酮素

（哈斯克尔）

a005153 n=a005153_列表！！（n-1）

a005153_list=过滤器（\x->all（p$a027750_row x）[1..x]）[1..]

其中p _ 0=真

p[]_=错误

p ds’@（d:ds）m=d<=m&&（p ds（m-d）| | p ds m）

--莱因哈德·祖姆凯勒，2014年2月23日，2011年10月27日

（PARI）是_A005153号（n） =位测试（n，0）和返回（n==1）；我的（P=1）；n&&！对于（i=2，#n=factor（n）~，n[1，i]>1+（P*=sigma（n[1,i-1]^n[2，i-1]））&&返回）\\M.F.哈斯勒2013年1月13日

（Python）

来自症状输入因子

定义为_A005153号（n）：

如果n&1：返回n==1

f=因子（n）；P=（2<<f.pop（2））-1

对于f中的p：因子必须具有递增的素因子

如果p>1+p：返回

P*=P**（f[P]+1）//（P-1）

return True#M.F.哈斯勒2023年1月2日

（Python）

从辛导入因子；从more_intertools导入powerset

[i表示i在范围（1253）中，如果（λx:len（集（映射（总和，幂集（x）））>总和（x），（除数（i））]#尼古拉斯·斯特凡·乔治斯库2023年5月20日

交叉参考

的后续A103288号.

囊性纤维变性。A002093号,A007620型（第二个定义），A030057级,A033630型,A119348号,A174533号,A174973号.

囊性纤维变性。A027750元.

上下文中的序列：A103288号 A125225号 A092903号*A174973号 A365270型 A238443型

相邻序列：A005150型 A005151号 A005152号*A005154号 A005155号 A005156号

关键词

非n,美好的,容易的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

更多条款来自Pab Ter（pabrlos（AT）yahoo.com），2004年5月9日

删除了错误注释T.D.诺伊2010年11月14日

定义被更改为显式排除n=0M.F.哈斯勒2013年1月19日

状态

经核准的