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完美数字

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完美数字是正整数 n个使得

n=s（n），
(1)

哪里秒（n）是限制除数函数（即总和属于真除数属于n个)，或同等

σ（n）=2n，
(2)

哪里西格玛（n）是除数函数（即总和属于约数属于n个包括n个自身）。例如，前几个完全数是6，28, 496, 8128, ... （组织环境信息系统A000396号)，自

6=1+2+3
(3)
28=1+2+4+7+14
(4)
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248,
(5)

等。

这个n个第个完美数在沃尔夫拉姆语言作为完美数字[n个]并检查是否k个是一个完美的数字完美数字Q[k个].

前几个完全数P_n（_n）下表总结了它们相应指标第页（见下文）。

n个p_n号P_n（_n）
126
2三28
三5496
478128
51333550336
6178589869056
719137438691328
8312305843008139952128

古人认为完美数字具有重要的数字特性，希腊人（包括欧几里得）对此进行了广泛的研究。

完全数也与一类称为梅森素数，它们是形式的质数M_p=2^p-1。这可以通过以下方式来证明考虑一个完美的数字P（P） 表单的 P=q·2^（P-1）哪里q个是首要的.根据定义完全数P（P）,

σ（P）=2P。
(6)

现在请注意，对于除数函数 西格玛（n）

σ（q）=q+1
(7)

对于n=q素数，和

σ（2^α）=2^（α+1）-1
(8)

对于n=2^α.将这些与附加身份相结合

西格玛（p_1^（alpha_1）p_2^（alpha_2）。。。p_r^（alpha_r））=西格玛（p_1^（α_1））。。。西格玛（p_r^（alpha_r）），
(9)

哪里n=p_1^（alpha_1）p_2^（alpha_2）。。。p_r^（字母_ r）是素因子分解属于n个，给出

西格玛（P）=西格玛（q·2^（p-1））
(10)
=西格玛（q）西格玛（2^（p-1））
(11)
=（q+1）（2^p-1）。
(12)

但是西格玛（P）=2P,所以

（q+1）（2^p-1）=2q.2^（p-1）=q.2^p。
(13)

解决q个然后给出

q=2^p-1。
(14)

因此，如果P（P）是一个完美的数字，q个必须采用以下形式q=2^p-1.定义Mp（_p）作为形式的质数M_P=q=2^P-1，接下来是

P_P=1/2（M_P+1）M_P=2^（P-1）（2^P-1）
(15)

是一个完美的数字，如欧几里德的命题九.36所述元素（Dickson 2005年，第3页；Dunham 1990年）。

虽然欧几里德的许多继任者含蓄地认为全部的完美数字的形式(15)（迪克森2005年，第3-33页）声明所有即使最早考虑的是这种形式的完全数在1638年笛卡尔写给梅森的信中（迪克森2005年，第12页）。证明或欧几里德的构造给出了所有可能的甚至完全数，这一说法遭到了反驳弗朗斯·范·肖滕（Frans van Schooten）在1658年的一封信中写给费马（Dickson 2005，第14页）。在作为1849年去世后的一篇论文，欧拉首次证明了欧几里德的结构给出了所有可能的甚至完美的数字（Dickson 2005，第19页）。

不知道是否有奇数完全数存在，尽管数字高达10^(1500)（Ochem和Rao，2012年）的检查没有成功。

全部即使完全数P> 6个是表单的

P＝1+9T_ n，
(16)

哪里T_n（_n）是一个三角形数

T_n=1/2n（n+1）
(17)

使得n=8j+2（伊顿1995年、1996年）。此外，所有偶数完美数都是六边形数字，所以即使是完美的数字也总是连续的和正整数例如，从1开始，

6=总和（n=1）^（3）n
(18)
28=总和（n=1）^（7）n
(19)
496=总和（n=1）^（31）n
(20)

（Singh 1997），其中3、7、31。。。（组织环境信息系统A000668美元)就是简单的梅森素数。此外，每个偶数完全数P（P）是表单的 2^（p-1）（2^p-1），因此可以使用标识生成

总和_（k=1）^（2^（p-1）/2））（2k-1）^3=2^（p-1）（2^p-1）=p。
(21)

众所周知即使完全数（6除外）以16、28、36、56、76或96结尾（卢卡斯1891）数字的根1.特别是，前几个完全数的最后几位是6，8, 6, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 8, 8, ... （组织环境信息系统A094540号),其中第38项和第41项之间的区域未被完全搜索为2004年6月。

一个完全数的所有除数的倒数之和是2，因为

n++c+b+a_（）_（n）=2n
(22)
不适用+不适用+=2个
(23)
1/a+1/b+=2
(24)

如果s（n）>n,n个据说是一个大量的数.如果s（n）<n,n个据说是一个有缺陷的数.如果σ（n）=kn对于正整数 k> 1个,n个据说是一个多重完美数订单的k个.

唯一的偶数完美数表单的 x^3+128岁（Makowski，1962年）。

鲁伊斯已经证明n个是一个完美的数字若（iff）

求和（i=1）^（n-2）i|_n/i|=1+求和（i=1）。
(25)

另请参见

丰富的数量,等分序列,友好的一对,友好的四倍,抱负人数,缺乏的编号,除数函数,e（电子）-完美编号,偶数完美数,谐波编号,超完美数,无限的完美数字,梅森数,梅森底漆,多完美数,乘法完美数字,奇数完美数,伪完美编号,准完美数,史密斯编号,社交人数,崇高的编号,超酉完全数,超完美数,一元化（Unitary）完美数字,奇怪的数字 在数学世界课堂上探索这个主题

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参考Wolfram | Alpha

完美数字

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“完美数字。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html

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