完美、友好、社交的数字

完美、友善、社交的数字

（如何有趣地总结除数）

介绍

对于一个数字n个，我们定义秒（n）等于整除因子第页，共页n、即n的正因子之和，不包括n本身：因此，例如，s（8）=1+2+4=7，以及s（12）=1+2+3+4+6=16。如果我们从某个数字开始并应用秒重复，我们将形成一个序列：

s（15）=1+3+5=9，

s（9）=1+3=4，

s（4）＝1+2＝3，

s（3）=1，

s（1）=0。

如果我们达到0，我们必须停止，因为所有整数都除以0。有这种行为的三种明显可能性真因子和数列:

它可以像上面的示例那样终止于0。
它可以变成等分循环, 长度的1（s的固定点）,2，或更大的.
它可以无界增长，接近无穷大.

完美数字

A类完全数是长度为1的循环秒，即一个正数除数（除了它自己）和它自己。例如，6是完美的(1+2+3=6),事实上，6是最小的完美数。接下来的两个完美数字是28（1+2+4+7+14=28）和496(1+2+4+8+16+31+62+124+248=496).

如果2^第页-1是素数，然后是2^第1页(2^第页-1）均匀完美，相反，所有偶数完全数都有这种形式2^第页-1个被称为梅森素数，所以我们可以说与梅森素数一样多的甚至完美数。据推测梅森素数是无限的；如果这是真的，也会是偶数完美数的无穷大。此外，还有许多甚至是完美的已知的梅森素数(48截至2015年2月4日。）

数学中最古老的猜想之一是没有奇数和完美数。事实证明任何奇数完全数都必须超过10³⁰⁰ [百万立方英尺],必须能被超过10的素数幂整除²⁰ 【COHG1987】.

友好的数字

安相亲数是长度为2的循环秒即a一对数字，每个数字都等于他人的等分部分；友好组合的成员也被称为友好的。最小的一对是（220284）。

据推测，有无限多的友好对，尽管，至于完全数，这是未知的。在这里下面是所有与下一级成员友好配对的列表2.01*10¹¹,和在这里较长（但注释较少）由前5001对友好搭档组成的名单。对于较大的友好配对，请参见[TBBHL]（待定），或查看下面有大量数据库.

社交数字

长度大于2的等分循环的成员为经常被呼叫社交数字.最小的两个这样的周期长度为5和28个，上世纪初由Poulet发现[订单].波霍语【BOR1969】建造一个1969年，长度为4。一切自从被电脑搜索发现。在这里是所有社交号码的列表我知道。

Aliquot序列

在引言中，我们将等分序列分为三类。加泰罗尼亚语[猫]和迪克森[驾驶员信息中心]推测所有序列都属于前两个类，以便迭代秒从未接近无穷大，不考虑起始编号。然而，现在有充分的理由相信[1977]欧元迭代秒对于大多数偶数起始数，都会趋于无穷大，尽管这并没有已被证明适用于任何起始数字。最小的起始数字序列尚未完全计算为276。

可分割性的其他定义

我们可以通过改变我们用来表示一个数字除以另一个数字的标准。首先，我们观察到，如果n个是第页₁^一₁第页₂^一₂...第页_米^一_米, 然后d日划分n个就在什么时候d日可以写在表格中第页₁^c（c）₁第页₂^c（c）₂…第页_米^c（c）_米, 哪里c（c）₁介于0和之间一₁,包容的，c（c）₂介于0和之间一₂、包容性等。

收件人推广可分性的概念，我们改变了c（c）_我s必须到一_我第条。如果每个c（c）_我等于0或一_我，我们打电话给d日一单一的除数属于n个.如果每个c（c）_我介于0和之间一_我、和、，如果一_我是偶数，c（c）_我不会平等的一_我/2，然后d日是一个双酉除数属于n个.如果每个c（c）_我划分相应的一_我，然后d日被称为指数因子第页，共n页[可疑交易报告].如果每个c（c）_我+1划分相应的一_我+1，然后我打电话d日一修正指数因子属于n个.最后，d日被称为无穷除数属于n个如果每个c（c）_我二进制文件中有零位膨胀随处可见相应的一_我做【COHG1990】.

在做出所有这些定义之后，我们可以谈论减少的双重身份友好数、增广无限社交数等以此类推。这些概念之间有一些明显的联系。例如，如果一个等分循环的所有成员都不能被任何素数的平方，或无平方的，它也是一个单一的等分循环。下表，已编译2015年2月，显示数量在每种类型的广义等分循环中都存在。

增强、减弱还是正常？除数类型代码完美数字友好的伴侣长度>2的周期

正常正常 n.（名词）。 >10（包括所有数字2^第1页(2^第页-1），其中2^第页-1是质数） >10⁷ >10²

统一的美国。 >=5 [WAL1975] >10⁶ >10²

双重身份 b。 3 【WAL1972】 >10⁵ >10²

无限的 i、。 >10² >10⁷ >10³

修正指数 e、。 >10 >10⁶ >10²

指数 E.公司。无限多的每一个；参见下文

增强型正常 n个+ 无限多（包括2的所有幂） >10³ >=1

统一的 u个+ 2（1和2） [编号] >10 ?

双重身份 b条+ 无穷多（1和所有数字2^2公里+1；见下文） >10² ?

无限的我+ 无限多（所有数字2^{2^k个-1}；见下文） >10² ?

修正指数 e（电子）+ 2（1和2） >10 ?

指数 E类+ 1 (1) ? ?

减少正常 n个- ? >10³ >=1

统一的 u个- 0 [编号] >10 ?

双重身份 b条- 0 >10² ?

无限的我- 0 >10² ?

修正指数电子- 0 >10 ?

指数电子- 0 ? ?

增强、减弱还是正常？	除数类型	代码	完美数字	友好的伴侣	长度>2的周期
正常	正常	n.（名词）。	>10（包括所有数字2^第1页(2^第页-1），其中2^第页-1是质数）	>10⁷	>10²
统一的	美国。	>=5 [WAL1975]	>10⁶	>10²
双重身份	b。	3 【WAL1972】	>10⁵	>10²
无限的	i、。	>10²	>10⁷	>10³
修正指数	e、。	>10	>10⁶	>10²
指数	E.公司。	无限多的每一个；参见下文
增强型	正常	n个+	无限多（包括2的所有幂）	>10³	>=1
统一的	u个+	2（1和2） [编号]	>10	?
双重身份	b条+	无穷多（1和所有数字2^2公里+1；见下文）	>10²	?
无限的	我+	无限多（所有数字2^{2^k个-1}；见下文）	>10²	?
修正指数	e（电子）+	2（1和2）	>10	?
指数	E类+	1 (1)	?	?
减少	正常	n个-	?	>10³	>=1
统一的	u个-	0 [编号]	>10	?
双重身份	b条-	0	>10²	?
无限的	我-	0	>10²	?
修正指数	电子-	0	>10	?
指数	电子-	0	?	?

表中的一些数字有简单的解释：

称为两个数字相对质数当没有超过1的数字将两者相除。如果（f）是最大的无平方数除以广义等分循环所有成员的乘积，然后将循环中的每个成员相乘通过（f）将改变一个修正的指数等分循环达到指数等分循环。此外，指数等分循环将保持指数等分循环，当循环的每个成员乘以一个无平方相对于循环中每个成员的质数，因此有无穷多的指数完美数友好的配对，以及指数社交数字。事实上，每个指数等分循环都可以从以下几点开始得到修正的指数等分循环并遵循这两个步骤，所以查看修改的指数等分循环数是比看指数等分位数更有趣循环。

如果t吨是增广或减缩广义完全数，然后t吨=2n个+1或t吨=2n个-1，所以t吨是奇数并且t吨和n个相对而言素数。然而，总额属于酉因子,双重除数，或无穷除数数字的总是偶数，除非数字是2的幂。因此，有没有约化酉完全数，并且，除了1和2之外，没有增广酉完全数【十亿】；有不减少除了1和形式的数字外，双-纯数和2^2公里+1，没有增广的双优生完美数;而且有无缩减无穷完美数除了形式2的数字^{2^k个-1}，没有增广无穷完美数.出于类似的原因，没有简化的修正指数完美数，并且，除了1和2，没有增广的修正指数完美数字。此外，数字的任何素因子也可以除以任何指数这个数的除数，所以除了1之外，它是加法的指数完美，但不是简化指数完美，不可能有任何增减指数完美数。

关于这些概括最有趣的问题是：存在无穷多个酉完全数。目前，只知道五个[WAL1975]。已知正好是三个两个人的完美数字【WAL1972】.

在这里是的列表所有广义等分循环，定义如上，成员位于最大构件小于2*10¹¹。指数周期不是列出，因为它们可以易于计算来自修正指数循环。每个循环之前都有其代码，从上表的“代码”列及其长度。例如第n+b+i+4行表示以下循环的长度为4增加的等分循环、增加的双营养等分循环，以及增广无限等分循环。

等分循环数据库

Jan Otto Munch Pedersen过去有一个小份循环和广义小份的数据库循环，等分循环表，可在线访问，网址为http://amicable.homepage.dk/tables.htm。它包括的发现者信息每个循环。不幸的是，它似乎不再可用，所以我提供了这个数据库中的大部分数据在这里.这些数据是截至2007年10月1日Pedersen的数据库最后一次更新时的最新数据。

简短的参考书目

[GUY1994]提供了更多参考。沃尔夫冈·克里亚夫穆勒（Wolfgang Creyaufmueller）在等分序列。

[ALA]J.Alanen、O.Ore和J.G.Stemple，友好的系统计算数字，数学。公司。 21(1967), 242-245.

[BN]W.E.Beck和R.M.Najar，某些不动点算术函数，斐波那契季刊,15(1977),337-342页。

[BOR1969]W.Borho，U.ber die Fixpunkte der k-fach公司iterierten Teilersummenfunktion公司，棒球手套。数学。盖塞尔施。汉堡,9(1969), 34-48.

[BH]W.Borho和H.Hoffmann，大量繁殖友好种群，数学。公司。 46(1986), 281-293.

[BRA]P.Bratley、F.Lunnon和J.McKay，友好数字及其分配，数学。公司。 24(1970), 431-432.

[BC]R.P.Brent和G.L.Cohen，奇完美数的一个新的下界，数学。公司。 53(1989), 431-437.

给出计算机生成的证据，证明所有奇数完全数都必须超过10¹⁶⁰.

【BCT】R.P.Brent、G.L.Cohen和H.J.J.te Riele，改进了奇数完美数下限的技术，数学。公司。 57(1991), 857-868.

将证明扩展到【不列颠哥伦比亚省】证明一切都很奇怪完全数必须超过10³⁰⁰.

[CAT]E.Catalan，提案和问题潜水员，牛市。社会数学。法国 16（1887-88），第128-129页。

全文可用，在特克斯（3K）,数字视频接口（4K）,后记（121K），或PDF（70K）.

[COH]H.Cohen，关于友好和社交的数字，数学。公司。 24(1970), 423-429.

[COHG1987]G.L.Cohen，关于奇怪的完全数，澳大利亚数学杂志。Soc.系列A,42(1987), 280-286.

[COHG1990]G.L.Cohen，关于整数的无穷大除数，数学。公司。 54(1990), 395-411.

[COS1977]P.Costello，欧拉第一形式的友好对，J.Rec.数学。 10(1977-1978), 183-189.

[COS1991]P.Costello，形式（i，1）的友好对，数学。公司。 56(1991), 859-865.

[DIC]L.E.Dickson，关于数字的除数，季刊《数学杂志》。 44(1913), 264-296.

[ERD1955]P.Erdös，《友好数字》，出版物。数学。德布勒森 4（1955-1956），第108-111页。

证明了当n趋于无穷大时，A（n）/n趋于零，其中A（n友好的人数n以下具有较大构件的对。

[ERD1976]P.Erdös，关于等分序列的渐近性质，数学。公司。 30(1976), 641-645.

[FLA]A.Flamenkamp，新社交数字，数学。公司。 56(1991), 871-873.

[GUY1977]R.K.Guy，Aliquot序列，in数论与代数（学术出版社，1977年）

[GUY1994]R.K.盖伊，数论中尚未解决的问题（Springer-Verlag，1994年）

【HC】P.Hagis和G.L.Cohen，关于拟完美数，澳大利亚数学杂志。Soc.系列A,33(1982), 275-286.

[LEE]E.J.LEE，Amibable数和双线性丢番图方程，数学。公司。 22(1968), 181-187.

[LM]E.J.Lee和J.S.Madachy，友好的历史和发现数字，J.Rec.数学。 5(1972); 第1部分，77-93；第2部分，153-173；第3部分，231-249。

[MOE1]D.Moews和P.C.Moews，搜索低于10的等分循环¹⁰,数学。公司。 57(1991), 849-855.

[MOE2]D.Moews和P.C.Moews，寻找小循环和友好配对，数学。公司。 61(1993), 935-938.

[POM]C.Pomerance，关于友好数字的分布，J.reine angew。数学。,293/294(1977) 217-222;二325(1981) 183-188.

[POU]P.Poulet，#4865，《国际数学杂志》。25（1918），100-101。

本文内容如下：

被认为是不正常的一，来个索姆b条东南方aliquotes，la sommec（c）des当事人aliquotes de（别名）b条，来个索姆d日各方aliquotes dec（c）et ainsi de suite，on obsient un développement qui，普塞因德罚款，佩特·塞普雷森特·索斯·特洛伊斯（peut se présenter sous trois）不同方面：

Le plus souvent on finite par tomber sur un nombre总理，puis surl单位。Leédevelopment即将结束。
论唐恩·诺姆布雷的回归时刻戴杰亚rencontré。Le développement est indéfini等佩里奥迪克。Si la période n’a qu’un terme，ce-terme公司这是一种未命名的帕法特。Si la période a deux termes，ces termes和蔼可亲的圣人。La période peut avoir和de-deux术语，qu’on pourrait appeler，pour garder la me术语学，des（目标）无名氏社交人士.例如12496 engendre四届任期，14316年28个术语。
Enfin dans在抵达nombres très时确定了casgrands qui rendent le calcul无法忍受。例如：le nombre 138。

Celaétant，je demande：

特洛伊西亚已经存在了纹章院官员indéfiniment le calcul，il ne se re soudrait pas公司德国双人足球俱乐部首映礼克罗地亚港口。
Si l'on connaêt d'autres groups社交圈que ceuxdonnés plus公司haut，notement des groupes de trois termes的注释。（我是因纽特人，je彭斯，德塞亚尔·勒诺布雷斯（d'essayer les nombres inférieursá12000 que j'ai）我们的检查）P.波莱特。

[可疑交易报告]E.G.Straus和M.V.Subbarao，关于指数因子，杜克大学数学。J。 41（1974）中，465-471.

[TR1984]H.J.J.te Riele，关于从给定的友好的搭档，数学。公司。 42(1984), 219-223.

[TR1986]H.J.J.te Riele，以下所有友好对的计算10¹⁰,数学。公司。 47(1986), 361-368.

[TR1994]H.J.J.te Riele，寻找友好对的新方法；第577-581页在里面计算数学1943-1993,程序。交响乐团。申请。数学。 43(1994), 阿默尔。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc。

[TBBHL]（待定）H.J.J.te Riele、W.Borho、S.Battiato、H.Hoffman、，和E.J.Lee，10人之间的友好配对表¹⁰和10⁵², 信息中心，注释NM-N8603，Stichting Math。中央，阿姆斯特丹，1986年。

【WAL1972】C.R.Wall，双人完美数字，程序。阿默尔。数学。Soc公司。 33(1972), 39-42.

[WAL1975]C.R.Wall，第五个酉完全数，加拿大。数学。牛市。 18(1975), 115-122.

技术附件

首先，如果克是整除性的一些广义定义，设S公司_克（n）是以下各项的总和克-的除数n个.我们定义了广义可除性，因此如果素因式分解n个是第页₁^一₁第页₂^一₂...第页_米^一_米, 然后S公司_克（n）=S公司_克（第页₁^一₁) S公司_克（第页₂^一₂) ...S公司_克（第页_米^一_米).我们现在可以证明我们上面使用的各种事实。

1.对于所有主要权力第页^{e（电子）}哪里e（电子）>0,S公司_单一的(第页^{e（电子）})=第页^{e（电子）}+1. 除非第页=2，这将是偶数，所以任何数字都可以被整除除2以外的素数的酉除数之和为偶数。

2.对于所有主要权力第页^{e（电子）}哪里e（电子）>0,S公司_{双重身份的}(第页^{e（电子）})将的总和电子+1的权力第页，如果e（电子）很奇怪，或e（电子）的权力第页，如果e（电子）是均匀的。无论哪种情况，它是偶数幂的总和第页，所以会是平的除非p=2，任何可被除2以外的素数整除的数字都将使它的双优除数之和为偶数。

3.对于所有主要权力第页^{e（电子）}哪里e（电子）>0，写入e（电子）作为不同权力的总和2，所以e（电子）=2^b条₁+2个^b条₂+...+2个^b条_n个说吧。然后S公司_无限的(第页^{e（电子）})=（第页^{2^b条₁}+1) ...（第页^{2^b条_n个}+1),所以S公司_无限的(第页^{e（电子）})将是即使是除非p=2，以及任何可被除2以外的素数整除的数字将使其无穷大除数的和为偶数。

4.从1、2和3，我们已经知道增减酉、双酉或无穷完全数必须是2的幂。然而，如果克是“单一的”，“双重的”，或“指数”，以及n个=2^米,然后S公司_克（n）<=S公司_正常的(n个)=2^米+1-1=2n个-1,所以n个无法减少克-完美，以及n个将被扩充克-当所有的除数2^米也是克-的除数2^米。这将在以下情况下发生米=0或米对于幺正因子=1；什么时候米=0或米很奇怪对于双重除数；或何时米小于2的幂1对于无穷除数。

5.对于所有主要权力第页^{e（电子）}哪里e（电子）>0,S公司_修正指数(第页^{e（电子）})=1+...+第页^d-1日+...+第页^{e（电子）},其中和在所有除数上d日属于电子+1.如果q个是超过1的最小除数电子+1,然后（e+1）/q将是小于的最大除数电子+1属于电子+1，所以这个总数不会超过1+第页+第页²+...+第页^{（e+1）/q-1}+第页^{e（电子）}，不大于第页^（e-1）/2（1-p^-1)^-1+第页^{e（电子）}因此，S公司_修正指数（第页^{e（电子）})/第页^{e（电子）}不大于1+（1-p^-1)^-1第页^-（e+1）/2,如果e（电子）>=3，这不会大于1+（1-p^-1)^-1第页^-2,如果第页=2，7/6，如果第页=3，且不大于1+(5/4)第页^-2<(1-第页^-2)^-5/4否则。

现在如果第页是奇数，修改后的指数因子第页^{e（电子）}将具有相同的奇偶校验作为的除数电子+1，所以它将是均匀的，除非电子+1是一个正方形。但如果n个增加或减少修正的指数完美，那么S公司_修正指数(n个)一定很奇怪，所以n个必须有素因子分解2^一第页₁^b条₁-1...第页_米^b条_米-1，其中一可能是零，第页₁,...,第页_米是不同的奇数素数，以及b条₁,...,b条_米是大于1的正方形。现在如果一>0,S公司_修正指数(2^一)/2^一将为3/2，如果一=1，5/4，如果一=2, 最后一段，否则不超过3/2。自每个b条_我是大于1的正方形，每个b条_我至少是4，所以S公司_修正指数(第页_我^b条_我-1)/第页_我^b条_我-1不大于7/6，如果第页_我=3，或（1-第页_我^-2)^{-第5页，共4页}否则。但是（1）的乘积-q个^-2)^-1覆盖所有素数q个是平方的倒数之和正整数，即圆周率²/6，所以产品接管除2和3以外的所有素数(圆周率²/6)/((4/3)(9/8)).因此，S公司_修正指数(n个)/n个不大于(3/2)(7/6)((圆周率²/6)/((4/3)(9/8)))^5/4,小于1.965，因此任何简化的修正指数完全数n个必须满足2n个+1<1.965n个这显然是不可能的。任何增强的修正指数完美数n个必须满足2n个-1<1.965n个，所以n个必须是积极的1到28之间的整数。但在所有这些整数中，只有1和2是增广的修正指数完美。

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大卫·莫斯 (dmoews@fastmail.fm)

最新重要修订8-II-2015