显示找到的36个结果中的1-10个。
4, 8, 83, 2296, 10861936, 1411410779, 60443686054995, 18373508669927544, 3194533046674386845000, 858410779506468749371519333771, 745094155915562576848262528092832
配方奶粉
a（n）=和[Sum[m！/k！，{k，0，m}]，{m，0，素数[n]}]/Prime[n]。a（n）=A002104号[p+1]/p，其中p=素数[n]。
数学
表[Sum[Sum[m！/k！，{k，0，m}]，{m，0，素数[n]}]/Prime[n]，{n，1，15}]
n个元素集中不同元素的有序k元组（k=0..n）总数：a（n）=Sum_{k=0..n}n/k！。
（原名M1497 N0589）
+10
285
1, 2, 5, 16, 65, 326, 1957, 13700, 109601, 986410, 9864101, 108505112, 1302061345, 16926797486, 236975164805, 3554627472076, 56874039553217, 966858672404690, 17403456103284421, 330665665962404000, 6613313319248080001, 138879579704209680022, 3055350753492612960485, 70273067330330098091156
评论
一个n集的所有子集的置换总数。
也指可以由n个不同对象形成的一对一序列的数量。
旧名称“n个元素的集合的排列总数”，或与单词“排列”相同，两者听起来太像了A000142号.
a（n）也是n+2个顶点上的完整图中从一个顶点v1开始到另一个v2结束的路径数（没有循环）。示例：当n=2时，完整图中有5条路径，其中4个顶点从顶点1开始，到顶点2结束：（12），（132），（142），，（1342），（1432），因此a（2）=5Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年2月23日；Jonathan Coxhead于2003年3月21日更正的评论
也包括表中的行总和A008279号，它可以由x^k的导数生成。例如，对于y=1*x^3，y'=3x^2，y“=6x，y''=6，因此a（4）=1+3+6+6=16-阿尔福德·阿诺德1999年12月15日
a（n）是n×n矩阵的永久值，对角线上有2s，其他地方有1s尤瓦尔·德克尔，2003年11月1日
斯特林变换A006252号（n-1）=[1,1,1,2,4,14,38，…]是一个（n-1）=[1,2,5,16,65，…]-迈克尔·索莫斯2004年3月4日
超八面体群中避免符号置换的{12,12*，21*}-和{12,12_，2*1}-的数目。
a（n）=b，这样积分{x=0..1}x^n*exp（-x）dx=a-b*exp-塞巴斯蒂安·杜莫蒂埃2005年3月5日
a（n）是[n+1]上的排列数，其从左到右的记录低点都出现在开始处。例如：a（2）统计[3]上除231之外的所有排列（最后一个条目是历史最低值，但它的前一个条目不是）-大卫·卡伦，2005年7月20日
a（n）是[n+1]上避免（分散）模式1-2-3的排列数。竖线表示“3”必须出现在排列的末尾。例如，21354不按（4）计算：234是一个冒犯性的子置换-大卫·卡伦2005年11月2日
高度n+1的装饰多边形的数量，沿着下轮廓没有凹角（即没有垂直台阶，后面跟着水平台阶）。换句话说，a（n）=A121579号（n+1,0）。装饰多面体是一种定向柱-凸多面体，其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得。例如：a（1）=2，因为只有垂直和水平多米诺骨牌才是高度为2的装饰性多面体，它们的下半身没有凹角-Emeric Deutsch公司，2006年8月16日
e的泰勒级数部分和的未约化分子-乔纳森·桑多2006年8月18日
a（n）是[n+1]上的排列数（以单行符号表示），其中从1开始的子序列正在增加。例如：a（2）=5计数123、213、231、312、321-大卫·卡伦2006年10月6日
a（n）是集合[n+k]上的置换数（用单行符号表示），k>=1，其中子序列从1,2开始，。。。，k在增加。例如：n=2，k=2。a（2）=5计数1234、3124、3412、4123、4312-彼得·巴拉2014年7月29日
考虑由前n个整数组成的集合{1,2,3，…，n}的子集。例如，对于n=3，我们有{}、{1}、}、[3]、{1,2}、[1,3}、[2]、3}。让变量sbst表示子集。对于每个子集sbst，我们确定其部件数，即nprt（sbst）。所有可能子集的总和都写为sum_{sbst=subsets}。那么a（n）=Sum_{sbst=subsets}nprt（sbst）！。例如，对于n=3，我们有1+1!+1!+1!+2!+2!+2!+3!=16. -托马斯·维德2006年6月17日
对于正n，等于1/BarnesG（n+1）乘以n×n矩阵的行列式，该矩阵的（i，j）-系数是第（i+j）个Bell数-约翰·坎贝尔2011年10月3日
a（n）是n X n个二进制矩阵的数目，其中i）每行和每列最多有一个1，ii）包含1的行子集也必须是包含1的列。囊性纤维变性。A002720型其中删除了限制ii-杰弗里·克雷策2011年12月20日
限制增长字符串（RGS）的数量[d（1），d（2），…，d（n）]，使得d（k）<=k和d（k。非零数字的位置决定子集，其值（减少1）是置换的（左）反转表（上升阶乘数），见示例-乔格·阿恩特2012年12月9日
限制增长字符串（RGS）的数量[d（0），d（1），d（2），…，d（n）]，其中d（k）>=0，d（k）<=1+chg。将函数chg（.）替换为计算前缀中的升序的函数asc（.），可以得到A022493号（上升序列）-乔格·阿恩特2013年5月10日
卢卡·什帕林斯基（Luca&Shparlinski）的摘要中提到了序列t（n）=i的数量<=n，使得楼层（ei！）是一个正方形。对于0≤n≤2，值为t（n）=0；对于至少3≤n≤300，值为t（n）=1-R.J.马塔尔2014年1月16日
a（n）是当一个或多个人选择不排队时，最多n个人可以在（慢）售票处排队的方式。注意，有C（n，k）组k个人，他们quene up和k！排队的方式。由于k可以从0运行到n，a（n）=Sum_{k=0..n}n/（n-k）！=求和{k=0..n}n/k！。例如，如果n=3，人是A（dam）、B（eth）和C（arl），那么A（3）=16，因为有16个可能的队列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA、AB、BA、AC、CA、BC、CB、A、B、C和空队列-丹尼斯·沃尔什2015年10月2日
作为的行总和A008279号，Motzkin对a（n）使用缩写符号$n_<^\Sigma$。
由f（x）=a（n）*x^n/n定义的分段多项式函数f！在每个区间[1-1/a（n），1-1/a（n+1））在[0,1）上是连续的，lim{x->1}f（x）=e-卢克·卢梭2019年10月15日
a（n）是3<=n<=2015的复合，但a（2016）是素数（或至少是强伪素数）：见Johansson链接-罗伯特·伊斯雷尔2020年7月27日
一般来说，形式为a（0）=a，a（n）=n*a（n-1）+k，n>0的序列将具有n*a+楼层（n！*（e-1））*k-加里·德特利夫斯2020年10月26日
a（2*n）是奇数，a（2xn+1）是偶数。更一般地说，对于所有n和k，a（n+k）==a（n）（mod k）。由此可知，对于每个正整数k，通过减少a（n；例如，a（5*n+2）==a（5*n+4）==0（mod 5），a（25*n+7）==a（25*n+19）==0。（结束）
在具有n个候选人的典型排名选择投票中可能的排名选项数（允许低于票数）-P.克里斯托弗·斯塔克2024年5月5日
参考文献
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链接
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配方奶粉
a（n）＝n*a（n-1）+1、a（0）＝1。
a（n）=n！*和{k=0..n}1/k！=n！*号（e-求和{k>=n+1}1/k！）-迈克尔·索莫斯1999年3月26日
a（0）=1；对于n>0，a（n）=楼层（e*n！）。
例如：exp（x）/（1-x）。
积分表示为非负函数在正半轴上的第n个矩：a（n）=e*积分{x=0.无穷}（x^n*e^（-x）*Heaviside（x-1）-卡罗尔·彭森2001年10月1日
公式，用数学符号表示：拉盖尔多项式的特殊值，a（n）=（-1）^n*n*拉盖尔L[n，-1-n，1]，n=1，2。Maple无法检查这种关系，因为Maple似乎没有包含第二索引等于负整数的拉盖尔多项式。它确实与Mathematica相符-卡罗尔·彭森和Pawel Blasiak（Blasiak（AT）lptl.jussieu.fr），2004年2月13日
G.f.：求和{k>=0}k*x^k/（1-x）^（k+1）。a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*k^（n-k）*（k+1）^k-弗拉德塔·乔沃维奇2002年8月18日
a（n）=e*Gamma（n+1，1），其中Gamma[z，t）]=积分{x>=t}e^（-x）*x^（z-1）dx是不完全伽马函数-迈克尔·索莫斯2004年7月1日
a（n）=和{k=0..n}P（n，k）-罗斯·拉海耶2005年8月28日
a（n）=1+n+n*（n-1）+n*不-乔纳森·桑多2006年8月18日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*k！；解释：对于所有k个子集（sum），选择一个子集（二项式（n，k））和子集置换（k！）-乔格·阿恩特2012年12月9日
a（n）=积分{x>=0}（x+1）^n*e^（-x）dx-杰拉尔德·麦卡维2006年10月19日
发件人汤姆·科普兰，2007年11月1日，2007年12月10日：（开始）
用1/（1-xDx）=Sum_{j>=0}（xDx*x^j*L（j，-：xD:，0）其中Lag（n，x，0）是0阶Laguerre多项式，D是导数w.r.t.x和（：xD：）^j=x^j*D^j.在j=n项截断算子级数，得到a（0）到a（n）的o.g.f.，与Jovovic的一致。
这些结果与Penson和Blasiak、Arnold、Bottomley和Deleham的结果相关A094587号（的反面A008279号)，它是n的本影等价物*滞后[n，（.）！*滞后[.，x，-1]，0]=（1-D）^（-1）x^n=（-1）^n*n！滞后（n，x，-1-n）=和{j=0..n}二项式（n，j）*j*x^（n-j）=Sum_{j=0..n}（n！/j！）*x^j.用b（.）替换x，然后让b（n）=1替换所有n，将结果联系起来。请参阅A132013号（与A094587号)用于这些操作和1/（1-xDx）之间的连接。
（结束）
a（n）=n*e-1/（n+1/（n+1+2/（n+2+3/（n+3+…）））。
渐近结果（Ramanujan）：n*e-a（n）~1/n-1/n^3+1/n^4+2/n^5-9/n^6+。。。，其中序列[1,0，-1,1,2，-9，…]=[（-1）^k*A000587号（k） ]，对于k>=1。
a（n）是一个差分可除序列，也就是说，对于所有n和m（前提是n不等于m），差分a（n）-a（m）可以被n-m整除。对于固定k，定义派生序列a_k（n）=（a（n+k）-a（k））/n，n=1,2,3。那么a_k（n）也是一个差分可除序列。
例如，派生序列a_0（n）就是a（n-1）。满足差分可除性的整数序列集构成一个具有加法和乘法逐项运算的环。
递归关系：当n>=1时，a（0）=1，a（n）=（n-1）*（a（n-1）+a（n-2））+2。a（0）=1，a（1）=2，D-有限递归：a（n）=（n+1）*a（n-1）-（n-1。序列b（n）：=n！满足后一个递推条件，初始条件b（0）=1，b（1）=1。这导致有限连分式展开a（n）/n！=1/（1-1/（2-1/（3-2/（4-…-（n-1）/（n+1））），n>=2。
极限{n->infinity}a（n）/n！=e=1/（1-1/（2-1/（3-2/（4-…-n/（（n+2）-…））））。这是一般结果m的特殊情况m=0/e-d_m=（-1）^（m+1）*（1/（m+2-1/（m+3-2/（m+4-3/（m+5-…）））），其中d_m表示第m个错位数A000166号（m） ●●●●。
（结束）
G.f.满足：A（x）=1/（1-x）^2+x^2*A'（x）/（1-x）-保罗·D·汉纳2008年9月3日
通用公式：1/（1-2*x-x^2/（1-4*x-4*x^2/（1-6*x-9*x^2/（1-8*x-16*x^ 2/（1-10*x-25*x^3/（1-……（连分数））；
通用公式：1/（1-x-x/（1-x/（1-x-2*x/（1-2*x/。
（结束）
O.g.f.：和{n>=0}（n+2）^n*x^n/（1+（n+1）*x）^（n+1-保罗·D·汉纳2011年9月19日
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1-x-x*（k+1）/（1-x*（k+1）/U（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月14日
例如：1/U（0），其中U（k）=1-x/（1-1/（1+（k+1）/U（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月16日
G.f.：1/（1-x）/Q（0），其中Q（k）=1-x/（1-x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月19日
G.f.：2/（1-x）/G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/（x*（2%k+3）-1+x*（2.k+2，/G（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月31日
G.f.：（B（x）+1）/（2-2*x）=Q（0）/（2-2*x），其中B（x。A006183号，Q（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1）+（1-x）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月8日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-2*x*（k+1）-x^2*（k+1）^2/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月30日
例如：E^x/（1-x）=（1-12*x/（Q（0）+6*x-3*x^2））/（1-x），其中Q（k）=2*（4*k+1）*（32*k^2+16*k+x^2-6）-x^4*（4*1）*（4xk+7）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月18日
G.f.：猜想：T（0）/（1-2*x），其中T（k）=1-x^2*（k+1）^2/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月18日
0=a（n）*（+a（n+1）-3*a（n+2）+a（n+3））+a-迈克尔·索莫斯2014年7月4日
a（n）=F（n），其中函数F（x）：=Integral_{0..无穷}e^（-u）*（1+u）^xdu将此序列平滑插值为x的所有实值。注意，F（-1）=G，对于n=2,3，。。。我们有F（-n）=（-1）^n/（n-1）*(A058006型（n-2）-G），其中G=0.5963473623…表示Gompertz常数-见A073003型.
a（n）=n*e-e*（和{k>=0}（-1）^k/（（n+k+1）*k！））。
（结束）
a（n）=超几何_U（1，n+2，1）-彼得·卢什尼2014年11月26日
a（n）=圆形（exp（1）*n！），n>1-西蒙·普劳夫2020年7月28日
a（n）=KummerU（-n，-n，1）-彼得·卢什尼2022年5月10日
a（n）=（e/（2*Pi））*Integral_{x=-oo..oo}（n+1+i*x）/（1+i*x）dx-大卫·乌尔根斯2023年4月18日
和{i=0..n}（-1）^（n-i）*二项式（n，i）*a（i）=n-沃纳·舒尔特2024年4月3日
例子
G.f.=1+2*x+5*x^2+16*x^3+65*x^4+326*x^5+1957*x^6+13700*x^7+。。。
用两个物体我们可以形成5个序列：（），（a），（b），（a，b），（b，a），所以a（2）=5。
3组的16个排列及其RGS（点表示零）如下
[#]RGS许可。子集的
[ 1] [ . . . ] [ ]
[ 2] [ . . 1 ] [ 3 ]
[ 3] [ . 1 . ] [ 2 ]
[ 4] [ . 1 1 ] [ 2 3 ]
[ 5] [ . 1 2 ] [ 3 2 ]
[ 6] [ 1 . . ] [ 1 ]
[ 7] [ 1 . 1 ] [ 1 3 ]
[ 8] [ 1 . 2 ] [ 3 1 ]
[ 9] [ 1 1 . ] [ 1 2 ]
[10] [ 1 1 1 ] [ 1 2 3 ]
[11] [ 1 1 2 ] [ 1 3 2 ]
[12] [ 1 1 3 ] [ 2 3 1 ]
[13] [ 1 2 . ] [ 2 1 ]
[14] [ 1 2 1 ] [ 2 1 3 ]
[15] [ 1 2 2 ] [ 3 1 2 ]
[16] [ 1 2 3 ] [ 3 2 1 ]
（结束）
MAPLE公司
a（n）：=exp（1）*int（x^n*exp（-x）*Heaviside（x-1），x=0..无穷大）#卡罗尔·彭森2001年10月1日
G（x）：=exp（x）/（1-x）：f[0]：=G（x；
G： =exp（z）/（1-z）：Gser:=系列（G，z=0，21）：
对于从0到20的n，执行a（n）：=n*系数（Gser，z，n）：结束do
k:=1；级数（超几何（[1，k]，[]，x/（1-x））/（1-x），x=0，20）#马克·范·霍伊2011年11月7日
#还有一个Maple项目：
a： =proc（n）选项记住；
`如果`（n<0，0，1+n*a（n-1））
结束：
seq（简化（KummerU（-n，-n，1）），n=0..23）#彼得·卢什尼，2022年5月10日
数学
表[FunctionExpand[Gamma[n+1，1]*E]，{n，0，24}]
nn=20；累加[表[1/k！，{k，0，nn}]]范围[0，nn]！(*简·曼加尔丹2013年4月21日*）
文件夹列表[#1*#2+#2&，0，范围@23]+1（*或*）
f[n_]：=楼层[E*n！]；f[0]=1；数组[f，20，0](*罗伯特·威尔逊v2015年2月13日*）
递归表[{a[n+1]==（n+1）a[n]+1，a[0]==1}，a，{n，0，12}](*伊曼纽尔·穆纳里尼2017年4月27日*）
nxt[{n，a}]：={n+1，a（n+1）+1}；嵌套列表[nxt，{0，1}，30][[全部，2]](*哈维·P·戴尔2023年1月29日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=向量（n+1）；a[1]=1；对于（k=1，n，a[k+1]=k*a[k]+1）；a[n+1]）}/*迈克尔·索莫斯2004年7月1日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（exp（x+x*O（x^n））/（1-x），n））}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/
（PARI）a（n）=局部（a=1+x+x*O（x^n））；对于（i=1，n，A=1/（1-x）^2+x^2*导数（A）/（1-x））；波尔科夫（A，n）\\保罗·D·汉纳2008年9月3日
（PARI）{a（n）=局部（X=X+X*O（X^n））/*保罗·D·汉纳*/
（PARI）a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）*k！）\\乔格·阿恩特2014年12月14日
（哈斯克尔）
导入数据。列表（子序列、排列）
a000522=长度。选择。enumFromTo 1，其中
choices=连接。映射排列。子序列
（鼠尾草）
@缓存函数
定义b（n，i，t）：
如果n<=1：
返回1
范围（t+2）内j的返回和（b（n-1，j，t+（j==i））
定义a（n）：
返回b（n，0，0）
v000522=[范围（33）中n的a（n）]
打印（v000522）
（Magma）[1]cat[n eq 1 select（n+1）else n*Self（n-1）+1:n in[1..25]]//文森佐·利班迪2015年2月15日
（极大值）a（n）：=如果n=0，则1其他n*a（n-1）+1；名单（a（n），n，0，12）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2017年4月27日*/
交叉参考
囊性纤维变性。A000166号,A002627号,A006231号,A064383号,A064384号,A008290号,A010844号,A010845型,A014508号,A038159号,A054091号,A058006型,A072453号,A072456号,A073591号,A082030型,A095000型,A095177号,A108625号,A121579号,A124779号,A142992号,A143007号,A158359号,A158821号,A195254号,A222637号-A222639号,A038155号,A000217号.
广义斯特林数：a（n）=n！*和{k=0..n-1}（k+1）/（n-k）。
（原名M3944 N1625）
+10
49
0, 1, 5, 26, 154, 1044, 8028, 69264, 663696, 6999840, 80627040, 1007441280, 13575738240, 196287356160, 3031488633600, 49811492505600, 867718162483200, 15974614352793600, 309920046408806400, 6320046028584960000, 135153868608460800000, 3024476051557847040000
评论
a（n）也是[n]的所有排列中从右到左的极小值的位置之和。例如：a（3）=26，因为置换123132213231312和321中从右到左的最小值的位置分别为123、13、23、3、23和3，并且1+2+3+3+2+3+2+3+3+3+3=26-Emeric Deutsch公司2008年9月22日
高阶指数积分E（x，m=2，n=2）~exp（-x）/x^2*（1-5/x+26/x^2-154/x^3+1044/x^4-8028/x^5+69264/x^6-…）的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
a（n）是[n+1]的所有置换中的循环总数（不包括不动点）-奥利维尔·杰拉德2012年10月23日；2012年12月31日
通过在（0,1）中随机选择（一个接一个）n个实数，形成长度n序列。a（n）/（n+1）！是这样一个序列中新最大值之和的期望值。例如，对于n=3：如果我们选择（按此顺序）：0.591996、0.646474、0.163659，我们将添加0.591996+0.646474，这将略高于a（3）/4的平均值！=26/24. -杰弗里·克雷策2013年10月17日
参考文献
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
J.-L.Baril和S.Kirgizov，置换的纯下降统计量，离散数学，340（10）（2017），2550-2558。
陈刚（Gang Chen）、亨利克·约翰逊（Henrik Johansson）、费腾（Fei Teng）和王田恒（Tianheng Wang），下一代MHV Yang-Mills运动学代数，arXiv:2104.12726[hep-th]，2021。见第46页。
D.S.Mitrinovic和M.S.Mitrinovic，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。Elektrotehn公司。法克。序列号。材料Fiz。第77号（1962年），1-77。
罗伯特·莫里茨，关于n个连续整数乘积的和，华盛顿大学数学出版物。，第1期（1926年第3期），第44-49页。[带注释的扫描副本]
配方奶粉
前n个谐波数乘以n！的部分和！。
a（n）=n*求和{m=1..n}求和{k=1..m}1/k=n*和{m=1..n}H（m），其中H（m）=和{k=1..m}1/k=A001008号（米）/A002805号（m） 是第m个谐波数。
例如：-log（1-x）/（1-x）^2。
a（n）=（n+1）！*H（n）-n*n！，H（n）=和{k=1..n}（1/k）。
a（n）=和{k=0..n-1}（（-1）^（n-1+k）*（k+1）*2^k*斯特林1（n，k+1））2004年1月26日，Borislav Crstici公司
交替符号：Ramanujan多项式psi_2（n，x）计算值为0-拉尔夫·斯蒂芬2004年4月16日
a（n）=总和{k=1..n}（k*StirlingCycle（n+1，k+1））-大卫·卡伦2006年9月25日
对于n>=1，a（n）=Sum_{j=0..n-1}（（-1）^（n-j-1）*2^j*（j+1）*Stirling1（n，j+1））-米兰扬吉奇2008年12月14日
a（n）=（2*n+1）*a（n-1）-n^2*a（n-2）-加里·德特利夫斯2009年11月27日
a（n）=（n+1）*（H（n+1）-1），其中H（n）是第n次谐波数-加里·德特利夫斯，2009年12月18日
a（n）=n*和{k=1..n}（-1）^（k+1）*二项式（n+1，k+1）/k-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2016年10月10日
a（n）=（n+1）*和{k=1..n}（-1）^（k+1）*二项式（n+1，k+1）*k/（k+1-彼得·巴拉2022年2月15日
a（n）=伽马（n+2）*（Digamma（n+2）+EulerGamma-1）-彼得·卢什尼2022年2月19日
a（n）=n*（n+1）*超深层（[1,1,1-n]，[2,3]，1）/2-彼得·卢什尼2022年6月22日
例子
（1-x）^-2*（-log（1-x））=x+5/2*x^2+13/3*x^3+77/12*x^4+。。。
示例：a（6）=6*(1/6 + 2/5 + 3/4 + 4/3 + 5/2 + 6/1) = 8028; a（20）=20*(1/20 + 2/19 + 3/18 + 4/17 + 5/16 + ... + 16/5 + 17/4 + 18/3 + 19/2 + 20/1) = 135153868608460800000. -亚历山大·阿达姆楚克，2004年10月9日
4个元素的所有排列的循环分解给出了以下列表：{{{1}、{2}、{3}、{4}、{1}、{2}、{3,4}、{1}、{2,3}、{4}、{1}、{2,4,3}、{1}、{2,3,4}、{1}、{2,4}、{3}、{1,2}、{3}、{4}、{1,2}、{3,4}、{1,3,2}、{4}、{1,4,3,2}｛1，3，4，2｝｝、｛1，4，2｝、｛3｝、｛1，3｝、｛4｝、｛1，2，3｝、｛1，3｝、｛4｝、｛2｝、｛4｝、｛1，4，3｝， {{1,4,2,3}}, {{1,2,3,4}}, {{1,2,4},{3}}, {{1,3,4},{2}}, {{1,4},{2},{3}}, {{1,3,2,4}}, {{1,4},{2,3}}}.
删除不动点会得到以下26项：4}、{1,3,4}，{1,4}和{1,32,4}。（结束）
MAPLE公司
a:=n->加（（n+1）/k、 k=2..n+1）：序列（a（n），n=0..21）#零入侵拉霍斯2008年1月22日；已编辑约翰内斯·梅耶尔2012年11月28日
a:=n->（（n+1）*（h（n+1）-1）：h:=n->谐波（n）：seq（a（n），n=0..21）#加里·德特利夫斯2009年12月18日；已由更正约翰内斯·梅耶尔2012年11月28日
数学
表[n！*Sum[Sum[1/k，{k，1，m}]，{m，1，n}]，}n，0，20}](*亚历山大·阿达姆楚克，2006年4月14日*）
a[n]：=（n+1）！（EulerGamma-1+PolyGamma[n+2]）；
表[a[n]，{n，0，21}](*彼得·卢什尼2022年2月19日*）
黄体脂酮素
（最大值）
a（n）：=n*和（（-1）^（k+1）*二项式（n+1，k+1））/k，k，1，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年10月10日*/
（PARI）对于（n=0，25，打印1（n！*总和（k=0，n-1，（k+1）/（n-k）），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2017年1月20日
（Python）
从数学导入阶乘
f=阶乘（n）
范围（n）内k的返回和（f*（k+1）//（n-k））#柴华武2022年6月23日
行读取的三角形：T（n，k）是Charlier多项式的系数：A046716号转置，对于0<=k<=n。
+10
24
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 6, 1, 1, 24, 29, 10, 1, 1, 89, 145, 75, 15, 1, 1, 415, 814, 545, 160, 21, 1, 1, 2372, 5243, 4179, 1575, 301, 28, 1, 1, 16072, 38618, 34860, 15659, 3836, 518, 36, 1, 1, 125673, 321690, 318926, 163191, 47775, 8274, 834, 45, 1, 1, 1112083, 2995011
评论
[Gessel]中出现了三角形的签名版本-彼得·巴拉2012年8月31日
T（n，k）是{1,2，…，n}（Cf。A000522号)正好有k个循环。T（3,2）=6：我们置换子集{1,2}，{1,3}，}的元素。每个都有一个具有2个循环的置换。我们排列{1,2,3}的元素，有三个排列有两个循环。3*1 + 1*3 = 6. -杰弗里·克雷策2013年2月24日
在Chihara的书中，行多项式（具有递增幂）是Charlier多项式（-1）^n*C^（a）_n（-x），其中a=-1，n>=0。见第170页，等式（1.4）。
在伊斯梅尔的书中，目前的查利尔多项式在第177页用C_n（-x；a=1）表示，等式（6.1.25）。（结束）
参考文献
T.S.Chihara，《正交多项式导论》，Gordon and Breach，纽约，伦敦，巴黎，1978年，第六章，第1节，第170-172页。
《一元经典和量子正交多项式》，剑桥大学出版社，2005年，EMA，第98卷，第177页。
链接
Marin Knežević、Vedran Krčadinac和Lucija Relić，二项式系数和无符号斯特林数的矩阵乘积，arXiv:2012.15307[math.CO]，2020年。
W.F.Lunnon、P.A.B.Pleasants和N.M.Stephens，Bell数对复合模量I的算术性质《算术学报》第35卷（1979年），第1-16页。
配方奶粉
例如：exp（t）/（1-t）^（-x）=Sum_{n>=0}C（-x，n）*t^n/n！。
T（n+1，k）=（n+1）*T（n，k）+T。
T（n，k）=（-1）^（n-k）*Sum_{j=0..n}C（-j-1，n-1）*S1（j，k），其中S1是第一类有符号斯特灵数-彼得·卢什尼2016年4月10日
三角形（-1）^（n+k）T（n，k）的绝对值T（n、k），其中第n行给出了x^k，0<=k<=n的系数，在和{k=0..n}二项式（n，k）（-1）（n-k）x^{-丹尼尔·福格斯2019年10月13日
第n行多项式为
R（n，x）=和{k=0..n}（-1）^k*二项式（n，k）*k！*二项式（-x，k）。
这些多项式出现在常数的串联加速度公式中
R（n，x）=KummerU[-n，1-n-x，1]-彼得·卢什尼2019年10月27日
求和{j=0..m}（-1）^（m-j）*Bell（n+j）*T（m，j）=m！*和{k=0..n}二项式（k，m）*Stirling2（n，k）-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年8月6日
例子
三角形开始
1;
1, 1;
1, 3, 1;
1, 8, 6, 1;
1, 24, 29, 10, 1;
1, 89, 145, 75, 15, 1;
1, 415, 814, 545, 160, 21, 1;
1, 2372, 5243, 4179, 1575, 301, 28, 1;
1, 16072, 38618, 34860, 15659, 3836, 518, 36, 1;
生产矩阵为
1, 1;
0, 2, 1;
0, 1, 3, 1;
0, 1, 3, 4, 1;
0, 1, 4, 6, 5, 1;
0, 1, 5, 10, 10, 6, 1;
0, 1, 6, 15, 20, 15, 7, 1;
0, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 8, 1;
0, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 9, 1; （结束）
MAPLE公司
A094816号：=（n，k）->（-1）^（n-k）*加法（二项式（-j-1，-n-1）*斯特林1（j，k），j=0..n）：
数学
nn=10；f[list_]：=选择[list，#>0&]；地图[f，范围[0，nn]！系数列表[级数[Exp[x]/（1-x）^y，{x，0，nn}]，{x、y}]//网格(*杰弗里·克雷策2013年2月24日*）
压扁[表[（-1）^（n-k）和[二项式[-j-1，-n-1]斯特林S1[j，k]，{j，0，n}]，{n，0，9}，{k，0，n}]](*彼得·卢什尼2016年4月10日*）
p[n_]：=超几何U[-n，1-n-x，1]；
表[系数列表[p[n]，x]，{n，0，9}]//展平(*彼得·卢什尼2019年10月27日*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=局部（A）；如果（k<0||k>n，0，A=x*O（x^n）；polceoff（n！*polceof（exp（x+A）/（1-x+A，^y，n），k））}/*迈克尔·索莫斯2006年11月19日*/
（鼠尾草）
定义行（_R）：
s=总和（（0..n）中k的二项式（n，k）*风险因子（x，k））
return展开.list（）
[（0..9）中n的低（n）]#彼得·卢什尼2019年6月28日
1, -1, 2, -6, 24, -120, 720, -5040, 40320, -362880, 3628800, -39916800, 479001600, -6227020800, 87178291200, -1307674368000, 20922789888000, -355687428096000, 6402373705728000, -121645100408832000, 2432902008176640000
评论
这个序列的项构成了阶乘级数，欧拉称之为发散级数。
欧拉将这个系列总结为0.596347(A073003型=Gompertz常数）。
A002104号（n+1）=p（-1），其中p（x）是唯一的n次多项式，使得p（k）=a（k）对于k=0，1。。。，-迈克尔·索莫斯2012年4月30日
log（1+x）=和{n>=1}a（n-1）/n*x ^n个-詹姆斯·布登哈根2015年5月24日
似乎a（n）是n+1 X n+1矩阵的行列式，其元素为m（i，j）=商（i/j）+余数（i/j）-安德烈斯·西卡廷2018年2月11日
参考文献
A.N.科万斯基。连分式及其推广在逼近理论问题中的应用。格罗宁根：荷兰诺德霍夫，1963年。见第141页（10.19）
R.Roy，《数学发展的来源》，剑桥大学出版社，2011年。见第186页。
链接
杰弗里·拉加里亚斯，欧拉常数：欧拉的工作与现代发展，公牛。阿默尔。数学。Soc.，第50卷，第4期（2013年），第527-628页；预印本，arXiv:1303.1856[math.NT]，2013年。
V.S.Varadarajan，欧拉及其无穷级数著作，公牛。阿默尔。数学。Soc.，44（2007年第4期），515-539。（见第527和530页。）
配方奶粉
求和{i=0..n}（-1）^i*i^n*二项式（n，i）=（-1）*n*n！.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日
a（n）=[1，-1，2，-6，24，…]的斯特林变换是A000007号（n） =[1,0,0,0，0，…]。
a（n）=-n*a（n-1），除非n=0。a（n）=（-1）^n*A000142号（n） ●●●●。
例如：1/（1+x）。
G.f.：积分（t=1/x，无穷大，（e^-t）/t）e^（1/x）/x=1/（1+x/。
G.f.：1-x/（G（0）+x），其中G（k）=1+（k+1）*x/（1+x*（k+2）/G（k+1a*（a+1）*b*（b+1）*x^2！-…+a*（a+1）**（a+n-1）*b*（b+1）**（b+n-1）*x^n/n！+。。。；见[A.N.Khovanskii，p.141（10.19）]；（连分数，2步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月14日
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1+x*（k+1）/（1+xx*（k/1）/U（k+1；（连分数，2步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月15日
a（n）=（-1）^n*det（S（i+1，j）|，1<=i，j<=n），其中S（n，k）是第二类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.：2/G（0），其中G（k）=1+1/（1-2*x*（k+1）/（2*x*k+1）+1+2*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月30日
例如：1/（1+x）=g（0），其中g（k）=1-x*（k+1）*（k+2）/（1+（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年1月29日
对于n>=1，a（n）=圆（zeta^（n）（2）），其中zeta^（n）是黎曼zeta函数的n阶导数-伊恩·福克斯，2017年11月13日
a（n）=（n+1）^（n+1”）*Integral_{x=0..1}（x*log（x））^n dx-彼得·詹姆斯·福尔曼2018年10月27日
例子
G.f.=1-x+2*x^2-6*x^3+24*x^4-120*x^5+720*x^6-5040*x^7+。。。
MAPLE公司
seq（（-1）^n*阶乘（n），n=0..20）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月27日
数学
nn=20；系数列表[系列[1/（1+x），｛x，0，nn｝]，x]范围[0，nn]！（*或*）
递归表[{a[0]==1，a[n]==-n*a[n-1]}，a[n]，{n，20}]](*哈维·P·戴尔2011年5月10日，稍作修改罗伯特·威尔逊v2018年2月12日*）
a[n]：=（-1）^n*n！；数组[a，22，0](*罗伯特·威尔逊v，2018年2月11日*）
次数@@@分区[Riffle[Range[0,30]！，{1, -1}], 2] (*哈维·P·戴尔2019年12月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，（-1）^n*n！）}；
（岩浆）[（-1）^n*阶乘（n）:n in[0..25]]//文森佐·利班迪2011年5月12日
（哈斯克尔）
a133942 n=a133942_list！！n个
a133942_list=zipWith（*）a000142_list$cycle[1，-1]
（Python）
导入数学
对于范围（0，25）中的n：print（（-1）**n*math.factorial（n），end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年10月27日
（GAP）列表（[0..20]，n->（-1）^n*阶乘（n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月27日
导数算子[log（D），x^n D^n]=D[（xD）！/（xD-n）！]/D（xD。
+10
22
1, -1, 2, 2, -3, 3, -6, 8, -6, 4, 24, -30, 20, -10, 5, -120, 144, -90, 40, -15, 6, 720, -840, 504, -210, 70, -21, 7, -5040, 5760, -3360, 1344, -420, 112, -28, 8, 40320, -45360, 25920, -10080, 3024, -756, 168, -36, 9, -362880, 403200, -226800, 86400, -25200, 6048, -1260, 240, -45, 10
评论
设D=D/dx和[A，B]=A·B-B·A。然后每一行对应于换向器展开式中的算子系数：xD:^k=x^kD^k[log（D），：xD:^n]=[-log（x），：xD:^n]=sum（k=0到n-1，a（n，k）：xD:hk）。例如，f.由[log（D），exp（t:xD:）]=[-log（x），xp（t:xD:。
有关log（D）的其他公式，请参阅mathoverflow链接并在其中链接到相关的mathstack交换问题。此外，R_x=log（D）=-log（x）+c-sum[n=1到infinty，（-1）^n1/n:xD:^n/n！]=
-log（x）+Psi（1+xD）=-log（x”）+c+Ein（：xD:），其中c是Euler-Marcheroni常数，Psi（x）是digamma函数，Ein（x）则是指数积分的一种（参见维基百科）。：xD:^k操作。通勤；因此，换向器简化为-log（x）项。
第n行还对应于运算符xD:^k中的d[（xD）！/（xD-n）！]/d（xD是第一个的有符号和无符号斯特林多项式(A008275号)和第二个(A008277号)种类。无符号St1的导数为A028421号。参见示例。这种形式来自于MathOverflow链接和Pincherle导数中显示的升高和降低运算符之间的关系。结果可以通过A094638号与著名的Witt李代数和伪微分算子/符号相关，以包含其他积分数组。
将一个额外的头行零添加到下三角数组中，并将其表示为T（列和行中的初始索引为0）。让dP=A132440号，Pascal矩阵的无穷小生成器，I，单位矩阵，然后exp（T）=I+dP，即T=log（I+dP）。此外，（T_n）^n=0，其中T_n表示n×n子矩阵，即T_n是n阶幂零-汤姆·科普兰2014年3月1日
任何一对升降操作。Lp（n，x）=n·p（n-1，x）和Rp（n、x）=p（n+1，x）满足[L，R]=1，这意味着（RL）^n=St2（n，：RL:）和since（St2（·，u））/（St2（·，u）-n）！=u^n，当进行本影计算时，d[（RL）！/（RL-n）！]/d（RLA238363型当LHS减少为RL:^k项之和时，与上述L=d/dx和R=x完全相同。（请注意，上面的R_x是一个不同于x的提升运算，相关的L_x=-xD。）-汤姆·科普兰2014年3月2日
关于与彩色森林的关系、旗杆上旗帜的配置以及用色多项式编码的完整图K_n顶点的着色，请参见130534英镑. -汤姆·科普兰2014年4月5日
配方奶粉
a（n，k）=（-1）^（n-k-1）*n/（（n-k）*k！）对于k＝0到（n-1）。
例如：log（1+t）*exp（x*t）。
无符号数组的E.g.f.：-log（1-t）*exp（x*t）。
行多项式的降阶运算为L=d/dx，即Lp（n，x）=n*p（n-1，x）。
例如，对于未签名的相关版本，f.是-log（1+t）*exp（x*t）/t=exp（t*s（·，x）），其中s（n，x）=（-1）^n*p（n+1，-x）/（n+1）。设L=d/dx和R=x-（1/（（1-d）log（1-d。因此，R（-1）^（n-1）p（n，-x）/n=（-1）*n p（n+1，-x）/（n+1）。
将每个对角线除以其第一个元素（-1）^（n-1）*（n-1”）！产生相反的结果A104712号.
A） P（x）=exp（x*dP）=exp[x*（e^M-I）]=exp[M*B（.，x）]=（I+dP）^B（.、x），以及
B） P（：xD:）=exp（dP:xD:=
（1+dP）^（xD），作用P（：xD:）g（x）=exp（dP:xD:。
C） P（x）^m=P（m*x）。P（2倍）=A038207号（x） =exp[M*B（.，2x）]，n-D超立方体的面向量。（结束）
B） =[St1]*[dP]*[St1]^（-1）
C） =[St2]^（-1）*[dP]*[St2]
D） =[St2]^（-1）*[dP]*[St1]^（-1），
E） P（x）=[St2]*exp（x*M）*[St1]=[St2]*（I+dP）^x*[St1）。
F） exp（x*M）=[St1]*P（x）*[St2]=（I+dP）^x，
其中（I+dP）^x=总和（k>=0，C（x，k）*dP^k）。
设行向量Rv=（c0c1c2c3…）和列向量Cv（x）=（1x^2x^3…）^Transpose。形成幂级数V（x）=Rv*Cv（x）和W（y）：=V（x。）与（x）^n=x_n=（y）_n=y/（y-n）！。然后
G） U（：xD:）=dV（：xD：）/d（xD）=dW（xD，
H） U（x）=dV（x）/dy:=dW（y）/dy，用y^n=y_n=Bell（n，x）计算，以及
贝努利多项式Ber_n（x）与多项式q_n（x）=p（n+1，x）/（n+1）有关，例如f.[log（1+t）/t]e^ D_x]x^n-汤姆·科普兰2016年11月6日
例子
前几行多项式是
p（1，x）=1
p（2，x）=-1+2x
p（3，x）=2-3x+3x^2
p（4，x）=-6+8x-6x^2+4x^3
p（5，x）=24-30x+20x^2-10x^3+5x^4
...........
对于n=3:z/（z-3）=z^3-3z^2+2z=St1（3，z），导数为3z^2-6z+2，以及
3·St2（2，x）-6.St2（1，x）+2=3（x^2+x）-6x+2=3x^2-3x+2=p（3，x）。要查看与运算符形式主义的关系，请注意（xD）^k=St2（k，：xD:）和（xD/（xD-k）=[St2（·，：xD:）]/[St2（·，：xD:）-k]！=：xD:^k。
三角形a（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
1: 1
2: -1 2
3: 2 -3 3
4: -6 8 -6 4
5: 24 -30 20 -10 5
6: -120 144 -90 40 -15 6
7: 720 -840 504 -210 70 -21 7
8: -5040 5760 -3360 1344 -420 112 -28 8
9: 40320 -45360 25920 -10080 3024 -756 168 -36 9
10: -362880 403200 -226800 86400 -25200 6048 -1260 240 -45 10
-----------------------------------------------------------------------
数学
a[n，k_]：=（-1）^（n-k-1）*n/（n-k）*k！）；表[a[n，k]，{n，1，10}，{k，0，n-1}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2015年7月9日*）
扩展
Pincherle形式主义由添加汤姆·科普兰2014年2月27日
Poisson-Charlier多项式的一个特例的系数。
+10
17
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 6, 8, 1, 1, 10, 29, 24, 1, 1, 15, 75, 145, 89, 1, 1, 21, 160, 545, 814, 415, 1, 1, 28, 301, 1575, 4179, 5243, 2372, 1, 1, 36, 518, 3836, 15659, 34860, 38618, 16072, 1, 1, 45, 834, 8274, 47775, 163191, 318926, 321690, 125673, 1, 1, 55, 1275, 16290, 125853, 606417, 1809905, 3197210, 2995011, 1112083, 1
评论
序列a（n）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）是序列b（n）=（n+x-1）的二项式变换！/（x-1）-菲利普·德尔汉姆2004年6月18日
链接
E.A.Enneking和J.C.Ahuja，广义贝尔数，光纤。夸脱。，14 (1976), 67-73.
配方奶粉
Enneking和Ahuja引用给出了t（n，k）=t（n-1，k）-n*t（n-l，k-1）-（n-1）*t（n-2，k-2）的递推公式，其中t（n、0）=1和t。
设P（x，n）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k，然后求和_{n>=0}P（x、n）*T^n/n！=exp（xt）/（1-xt）^（1/x）-菲利普·德尔汉姆2004年6月12日
T（n，0）=1，T（n、k）=（-1）^k*Sum_{i=n-k.n}（-1）i*C（n，i）*S1（i，n-k），其中S1=第一类斯特林数(A008275号).
T（n，k）=T（n-1，k）+n*T。
和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）=（-1）（n+1）*A023443号（n） ●●●●。（结束）
例子
三角形开始：
1;
1, 1;
1, 3, 1;
1, 6, 8, 1;
1, 10, 29, 24, 1;
1, 15, 75, 145, 89, 1;
1, 21, 160, 545, 814, 415, 1;
1, 28, 301, 1575, 4179, 5243, 2372, 1;
1, 36, 518, 3836, 15659, 34860, 38618, 16072, 1;
MAPLE公司
a:=proc（n，k）选项记忆；
如果k=0，则为1
elif k<0，然后为0
elif k=n，则（-1）^n
否则a（n-1，k）-n*a（n-l，k-1）-（n-1）*a（n-2，k-2）fi结束：
数学
t[_，0]=1；t[n_，k_]：=（-1）^k*和[（-1）*i*二项式[n，i]*StirlingS1[i，n-k]，{i，n-k，n}]；表[t[n，k]//Abs，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2014年1月10日*）
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k<0||k>n，0，如果[k==0||k==n，1，T[n-1，k]+n*T[n-1，k-1]-（n-1）*T[n 2，k-2]]；
表[T[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2024年7月31日*）
黄体脂酮素
（岩浆）
A046716号：=func<n，k|（&+[（-1）^j*二项式（n，k-j）*StirlingFirst（j+n-k，n-k）：[0..k]]）>中的j；
（SageMath）
定义A046716号（n，k）：返回和（二项式（n，k-j）*stirling_number1（j+n-k，n-k），对于范围（k+1）中的j）
1, 1, 1, -1, 2, 1, 2, -3, 3, 1, -6, 8, -6, 4, 1, 24, -30, 20, -10, 5, 1, -120, 144, -90, 40, -15, 6, 1, 720, -840, 504, -210, 70, -21, 7, 1, -5040, 5760, -3360, 1344, -420, 112, -28, 8, 1, 40320, -45360, 25920, -10080, 3024, -756, 168, -36, 9, 1, -362880, 403200, -226800, 86400, -25200, 6048, -1260, 240, -45, 10, 1
评论
班次A238363型并添加一个1的主对角线以获得此数组。行多项式形成一个特殊的Sheffer多项式序列，即Appell序列。
配方奶粉
a（n，k）=（-1）^（n+k-1）*n/（（n-k）*k！）对于k<n和a（n，n）=1。
沿第n对角线（n>0）诊断（n，k）=a（n+k，k）=（-1）^（n-1）（n-1）*A007318号（n+k，k）。
例如：（log（1+t）+1）*exp（x*t）。
例如，对于逆运算：exp（x*t）/（log（1+t）+1）。
行多项式的降/消和升/生成算子为L=D=D/dx和R=x+1/[（1+D）（1+log（1+D））]，即Lp（n，x）=n*p（n-1，x）和Rp（n、x）=p（n+1，x）。
行总和的示例：（log（1+t）+1）*exp（t）。比较|行汇总-1|=|A002741号|.
例如，无符号行总和：（-log（1-t）+1）*exp（t）。囊性纤维变性。A002104号+ 1.
让dP=A132440号，Pascal矩阵的无穷小生成器，I，单位矩阵，T，这个条目的下三角矩阵，然后exp（T-I）=I+dP，即T=I+log（I+dP）。此外，（T-I）_n）^n=0，其中（T-I-汤姆·科普兰2014年3月2日
用第一个元素（-1）^（n-1）*（n-1！产生帕斯卡三角形A007318号这相当于将e.g.f.乘以exp（t）/（log（1+t）+1）-汤姆·科普兰，2014年4月16日
B） =[St1]*[dP]*[St1]^（-1）+I
C） =[St2]^（-1）*[dP]*[St2]+I
D） =[St2]^（-1）*[dP]*[St1]^（-1-）+I，
p_n（x）=（1+对数（1+D））x^n=（1+D-D^2/2+D^3/3-…）x^n=x^n+n！*求和_（k=1，..，n）（-1）^（k+1）（1/k）x^（n-k）/（n-k）！。
例子
三角形a（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 1 1
2: -1 2 1
3: 2 -3 3 1
4: -6 8 -6 4 1
5: 24 -30 20 -10 5 1
6: -120 144 -90 40 -15 6 1
7: 720 -840 504 -210 70 -21 7 1
8: -5040 5760 -3360 1344 -420 112 -28 8 1
9: 40320 -45360 25920 -10080 3024 -756 168 -36 9 1
10: -362880 403200 -226800 86400 -25200 6048 -1260 240 -45 10 1
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按行读取三角形：a（n，k）=（k-1）！*C（n，k）。
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1, 2, 1, 3, 3, 2, 4, 6, 8, 6, 5, 10, 20, 30, 24, 6, 15, 40, 90, 144, 120, 7, 21, 70, 210, 504, 840, 720, 8, 28, 112, 420, 1344, 3360, 5760, 5040, 9, 36, 168, 756, 3024, 10080, 25920, 45360, 40320, 10, 45, 240, 1260, 6048, 25200, 86400, 226800, 403200, 362880
评论
对于k>1，a（n，k）=对称群S_n的纯k圈置换数。
反向签名数组为A238363型有关Vandermonde行列式（Cauchy-Euler）导数的关系，请参见Chervov链接-汤姆·科普兰2014年4月10日
将T的第k列除以（k-1）！为每列生成A135278号（f向量，或n个单形的面向量）。然后忽略第一列A104712号因此T作用于列向量（-0，d，-d^2/2！，d^3/3！，…），给出了CP^n.Cf中d次超曲面的Euler类。A104712号以及其中的Dugger链接-汤姆·科普兰2014年4月11日
在初始i，j，n=1的情况下，给定元素为a（i=行，j=列）=（X_j）^（i-1）的n×n范德蒙矩阵V_n（X_1，…，X_n），其行列式|V_n|和n个矩阵的列向量C=（1,1，…，1），下三角矩阵T的第n行由（1/|V_n|）*V_n（：X_1*d/dx_1:，…，：X_n*d/dx_n:）|V_n|*C确定的列向量给出，其中：x_j*d/dx_j:^n=（x_j）^n*（d/dx_ j）^n-汤姆·科普兰2014年5月20日
配方奶粉
a（n，k）=（k-1）！C（n，k）=P（n，k）/k。
例如f.（按列）=exp（x）（（x^k）/k）。
a（n，k）=和（j=k.n-1，j！/（j-k）！）（参见Chervov链接）-汤姆·科普兰2014年4月10日
例如，按行：[（1+t）^n-1]/t。
行的E.g.f.，例如f.s:{exp[（1+t）*x]-exp（x）}/t。
行的O.g.f.e.g.f.s:{1/[1-（1+t）*x]-1/（1-x）}/t。
o.g.f.s行的示例：-exp（x）*log（1-t*x）。（结束）
例子
a（3,3）=2，因为（3-1）！C（3,3）=2。
1;
2 1;
3 3 2;
4 6 8 6;
5 10 20 30 24;
6 15 40 90 144 120;
7 21 70 210 504 840 720;
8 28 112 420 1344 3360 5760 5040;
9 36 168 756 3024 10080 25920 45360 40320;
数学
扁平[表[（k-1）！二项式[n，k]，{n，10}，{k，n}]]
黄体脂酮素
（岩浆）/*作为三角形：*/[[阶乘（k-1）*二项式（n，k）：k in[1..n]]：n in[1..15]]//文森佐·利班迪2014年10月21日
1, 1, 4, 18, 102, 695, 5485, 49077, 490308, 5404569, 65106103, 850535477, 11972432846, 180605413001, 2906109200293, 49678357272247, 898988188301320, 17167497793440977, 344991795682802331, 7277230501449340417, 160765066207998479698
配方奶粉
a（n）=总和（k=1..n，总和（i=0..n-k，二项式（n，i）*k^i*（-1）^（n-k-i）*Stirling1（n-i，k）），n>0，a（0）=1。
a（n）~n！*n ^（经验（1）-1）/伽马（经验（一））*（1-exp（一）*（经验（之一）-1）*log（n）/n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月21日
数学
系数列表[级数[（1/（1-x））^Exp[x]，{x，0，20}]，x]*范围[0，20]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月21日*）
黄体脂酮素
（极大值）a（n）：=和（和（二项式（n，i）*k^i*（-1）^（n-k-i）*stirling1（n-i，k），i，0，n-k），k，1，n）；
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