显示找到的25个结果中的1-10个。
雅可比θ函数θ_3（x）=Sum_{m=-oo..oo}x^（m^2）的展开式（k^2=n的整数解的个数）。
+10
1506
1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0
评论
一维晶格Z的Theta级数。
此外，本质上与一维晶格A_1、A*_1、D_1、D*_1的θ级数相同。
将n写成正方形的方法的数量。
密切相关：theta_4（x）=Sum_{m=-oo..oo}（-x）^（m^2）。请参阅A002448号.
D.Zagier在《模块形式的1-2-3》第30页列出的14个原始eta-products中的第6个，它们是重量为1/2的全纯模块形式-迈克尔·索莫斯，2016年5月4日
参考文献
Tom M.Apostol，《数论中的模函数和Dirichlet级数》，第二版，施普林格出版社，1990年，练习1，第91页。
J.M.Borwein和P.B.Borwein，Pi和年度股东大会，Wiley，1987年，第64页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第104页，[5n]。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第93页，等式（34.1）；第78页，等式（32.22）。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《定理352》，第282页。
J.Tannery和J.Molk，Eléments de la Théorie des Fonctions Elliptiques，第2卷，Gauthier-Villars，巴黎，1902年；切尔西，纽约，1972年，见第27页。
E.T.Whittaker和G.N.Watson，《现代分析课程》，剑桥大学出版社，第4版，1963年，第464页。
链接
史蒂文·R·芬奇，数学常数II《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018年。
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
配方奶粉
eta（q^2）^5/（eta（q）*eta（q^4））^2的q次幂展开。
周期4序列的欧拉变换[2，-3，2，-1，…]。
G.f.A（x）满足0=f（A（x-迈克尔·索莫斯2004年7月20日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^3），A（x ^9）），其中f（u，v，w）=w^4-v^4+w*（u-w）^3-迈克尔·索莫斯2019年5月11日
G.f.：求和{m=-oo..oo}x^（m^2）；
a（0）=1；对于n>0，a（n）=0，除非n是一个正方形，当a（n）=2。
G.f.：产品{k>0}（1-x^（2*k））*（1+x^）（2*k-1））^2。
G.f.：s（2）^5/（s（1）^2*s（4）^2），其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q）），其中eta（q）是Dedekind函数，参见。A010815号.[罚款]
雅可比三乘积恒等式指出，对于|x|<1，z！=0，产品{n>0}{（1-x^（2n））（1+x^。
对于n>0，a（n）=2*（楼层（sqrt（n））-楼层（squart（n-1）））-米凯尔·奥尔顿2015年1月17日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4t））=2^（1/2）（t/i）^（1/2）f（t），其中q=exp（2Pi it）-迈克尔·索莫斯2016年5月5日
Dirichlet g.f.：2*zeta（2s）-1-弗朗索瓦·奥格2019年10月26日
G.f.似乎等于exp（2*Sum_{n>=0｝x^（2*n+1）/（（2*n+1）*（1+x^（2*n+1）））-彼得·巴拉2021年12月23日
G.f.A.（x）满足A（x）*A（-x）=A（-x^2）^2。
A（x）=和{n>=1}x^（n-1）*乘积{k>=n}1-（-x）^k。
A（x）^2=1+4*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*x^（2*n-1）/（1-x^。例如，见罚款，26.63。
A（x）=1+2*Sum_{n>=1}x^（n*（n+1）/2）*（乘积_{k=1..n-1}1+x^k）/（乘积_{k=1..n}1+x^（2*k））。见Fine，方程式14.43。（结束）
例子
G.f.=1+2*q+2*q^4+2*q^9+2*q^16+2*q ^ 25+2*q ^ 36+2*q ^ 49+2*。。。
MAPLE公司
加（x^（m^2），m=-10..10）：seq（系数（%，x，n），n=0..100）；
#备选方案
如果n＝0，那么
1;
elif issqr（n）那么
2;
其他的
0 ;
结束条件：；
结束进程：
数学
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
系数列表[Sum[x^（m^2），{m，-（n=10），n}]，x]
（4 q赭石[q^2]/q赭石[1，-q]^2+O[q]^101）[[3]](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年9月16日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^5/（eta（x+a）*eta（x^4+a））^2，n））}/*迈克尔·索莫斯2011年3月14日*/
（PARI）{a（n）=发行方（n）*2-（n==0）}/*迈克尔·索莫斯1999年6月17日*/
（岩浆）基础（模块形式（Gamma0（4），1/2），100）[1]/*迈克尔·索莫斯，2014年6月10日*/
（岩浆）L:=晶格（“A”，1）；A<q>：=θ系列（L，20）；A/*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*/
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]）
Q.representation_number_list（105）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（朱莉娅）
使用Nemo
函数JacobiTheta3（len，r）
R、 x=多项式环（ZZ，“x”）
e=θ_qexp（r，len，x）
0中j的[fmpz（系数（e，j））：len-1]结束
A000122列表（len）=JacobiTheta3（len，1）
A000122列表（105）|>打印#彼得·卢什尼，2018年3月12日
（Python）
从sympy.theory.primetest导入为平方
将n写成4个平方和的方法数量；也是四维立方晶格Z^4的θ级数。
+10
198
1, 8, 24, 32, 24, 48, 96, 64, 24, 104, 144, 96, 96, 112, 192, 192, 24, 144, 312, 160, 144, 256, 288, 192, 96, 248, 336, 320, 192, 240, 576, 256, 24, 384, 432, 384, 312, 304, 480, 448, 144, 336, 768, 352, 288, 624, 576, 384, 96, 456, 744, 576, 336, 432, 960, 576, 192
评论
a^2+b^2+c^2+d^2是Ramanujan的54个通用四元二次型之一-迈克尔·索莫斯2008年4月1日
a（n）也是四元数q=a+bi+cj+dk，其中a、b、c、d是整数，即a^2+b^2+c^2+d^2=n（即n是q的范数）。这些是Lipschitz整数四元数-里克·L·谢泼德2009年3月27日
Williams 2012表1中列出的126个η商中的第5个和第35个-迈克尔·索莫斯2018年11月10日
参考文献
J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，纽约：Springer-Verlag出版社，1996年，第8章，第231-2页。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，《球形填料、晶格和群》，Springer-Verlag，第108页，等式（49）。
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第78页，等式（32.28）。另见第94页顶部。
E.Freitag和R.Busam，Funktitionenthorie 1、4。Auflage，Springer，2006年，第392页。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第314页，定理386。
Carlos J.Moreno和Samuel S.Wagstaff，Jr.，《整数平方和》，Chapman&Hall/CRC，2006年，第29页。
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链接
乔治·安德鲁斯（George E.Andrews）、S.B.Ekhad和D.Zeilberger整数表示为四个平方和的雅可比公式的简短证明，arXiv:math/92062003[math.CO]，1992年。
乔治·安德鲁斯（George E.Andrews）、苏米特·库马尔·贾（Sumit Kumar Jha）和J.洛佩斯·博尼拉（J.López-Bonilla），平方和、三角数和除数和《整数序列杂志》，第26卷（2023年），第23.2.5条。
R.T.Bumby，四个平方和，《数论》（纽约，1991-1995），1-8，斯普林格，纽约，1996年。
H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/00407061[math.NT]，2004年。
M.D.Hirschorn，雅可比四方形定理的简单证明《美国数学学会学报》，第101卷，第3期（1987年11月），第436-438页
小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
配方奶粉
G.f.：theta_3（q）^4=（乘积{n>=1}（1-q^（2n））*（1+q^）（2n-1））^2）^4=eta（-q）^8/eta（q^2）；eta=Dedekind函数。
对于n>0，a（n）=8×σ（n）-32×∑（n/4），其中，如果n不是4的倍数，则后一项为0。
周期4序列的欧拉变换[8，-12，8，-4，…]-迈克尔·索莫斯2002年12月16日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^3），A（x ^9）），其中f（u，v，w）=v^4-30*u*v^2*w+12*u*v*w*（u+9*w）-u*w*，（u^2+9*w*u+81*w^2）-迈克尔·索莫斯2006年11月2日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4*t））=4*（t/i）^2*f（t），其中q=exp（2*Pi*i*t）-迈克尔·索莫斯2008年1月25日
对于n>0，a（n）/8是乘法的，a（p^n）/8=1+p+p^2+…+p^n表示p是奇素数，a（2^n）/8=1+2表示n>0。
通用公式：1+8*Sum_{k>0}x^k/（1+（-x）^k）^2=1+8*Summ_{k>0}k*x^k:（1+。
G.f=s（2）^20/（s（1）*s（4））^8，其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q）），其中eta（q）是Dedekind函数，参见。A010815号.[罚款]
Fine根据n的除数给出了a（n）的另一个显式公式。
Dirichlet g.f.：求和{n>=1}a（n）/n^s=8*（1-4^（1-s））*zeta（s）*zeta（s-1）。[Ramanu.J.7（2003）95-127，等式（3.2）]-R.J.马塔尔2012年7月2日
对于n>=1:a（n）=8*Sum_{d|n}b（d）*d，如果d/4不是整数，则b（d。例如，见Freitag-Busam参考，第392页。
对于n>=1:a（n）=8*sigma（nA000265号)中给出了sigmaA000203号参见Moreno-Wagstaff参考，定理2。6（雅各比），第29页。（结束）
例子
G.f.=1+8*q+24*q^2+32*q^3+24*q^4+48*q^5+96*q^6+64*q*7+24*q ^8+。。。
a（1）=8计数1=1^2+0^2+0 ^2+0^2=0 ^2+1^2+0^2+0 ^2=0 ^2+0 ^2+1 ^2+0.^2=0^2+0 ^2+0 ^2+1^2，还有4个总和，其中1 ^2被（-1）^2替换-R.J.马塔尔2023年5月16日
MAPLE公司
（加上（q^（m^2），m=-10..10））^4；seq（系数（%，q，n），n=0..50）；
#备选方案：
A000118列表：=proc（len）系列（JacobiTheta3（0，x）^4，x，len+1）；
seq（系数（%，x，j），j=0..len-1）结束：A000118列表（57）#彼得·卢什尼2018年10月2日
数学
表[SquaresR[4，n]，{n，0，46}]
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]^4，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月12日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，8和[If[Mod[d，4]>0，d，0]，{d，除数@n}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年2月20日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，8*sumdiv（n，d，if（d%4，d）））}/*迈克尔·索莫斯2003年4月1日*/
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）^5/（eta/*迈克尔·索莫斯2008年4月1日*/
（PARI）q='q+O（'q^66）；Vec（（eta（q^2）^5/（eta）^2*eta（q ^4）^2））^4）/*乔格·阿恩特2013年4月8日*/
（PARI）a（n）=8*西格玛（n）-如果（n%4，0，32*西格马（n/4））\\米歇尔·马库斯2016年7月13日
（Sage）A=模块形式（Gamma0（4），2，prec=57）。basis（）；A[0]+8*A[1]#迈克尔·索莫斯2014年6月12日
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*4）
Q.演示文稿_编号列表（60）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma0（4），2），57）；A[1]+8*A[2]/*迈克尔·索莫斯2014年8月21日*/
（哈斯克尔）
a000118 0=1
A000118列表（len）=JacobiTheta3（len，4）
A000118列表（57）|>打印#彼得·卢什尼，2018年3月12日
（Python）
从sympy导入除数
定义a（n）：如果n==0，则返回1；如果d%4，则返回8*sum（d代表除数（n）中的d！=0)
（Python）
从symy导入divisorsigma
定义A000118号（n） ：如果n==0，则返回1；如果n%2，则返回8*除数_sigma（n）#柴华武2022年6月27日
方格的Theta级数（或将n写成2个方格之和的方法数）。通常用r（n）或r_2（n）表示。
（原名M3218）
+10
123
1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 12, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 0, 8, 0, 4, 8, 0, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 4, 12, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 16, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 4, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 4, 8, 0, 0, 16, 0, 0, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 4, 0, 12, 8
评论
半径为sqrt（n）的圆上正方形格子中的点数。等价地，范数n的高斯整数的数量（参见Conway-Sloane，第106页）。
D_2晶格的Theta级数。
Martin（1996）表一中列出的74个eta商中的第6个。
这个序列中的零对应于除数为4k+1和4k+3的整数，或者等价于那些除数为4 k+3且具有奇数指数的素数因子的整数(A022544号). -蚂蚁之王2013年3月12日
如果A（q）=1+4*q+4*q^2+4*q*4+8*q^5+。。。表示这个序列的o.g.f.，那么函数f（q）：=1/4*（A（q^2）-A（q^4））=（和{n>=0}q^（2*n+1）^2）^2是o.g.f，用于计算正整数n可以写成两个正奇数平方和的方式-彼得·巴拉2013年12月13日
由于（2/Pi）*K=theta_3（0，q）^2，椭圆函数的实四分之一周期K作为雅可比项q的级数，（2/Pi）*K的展开系数。例如，见Whittaker-Watson，第486页-沃尔夫迪特·朗2016年7月15日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第162页，#16（7），r（n）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第106页。
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第78页，等式（32.23）。
E.Grosswald，整数表示为平方和。Springer Verlag，纽约，1985年，第15页，第32页，引理2（带证明），第116页，（9.10）第一个公式。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第240页，r（n）。
W.König和J.Sprekels，Karl Weierstraß（1815-1897），施普林格演讲会，威斯巴登，2016年，第186-187页和第280-281页。
C.D.Olds、A.Lax和G.P.Davidoff，《数字的几何》，数学。美国协会。，2000年，第51页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
E.T.Whittaker和G.N.Watson，《现代分析课程》，第四版，再版，1958年，剑桥大学出版社。
链接
H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/00407061[math.NT]，2004年。
S.Cooper和M.Hirschhorn，数论结果的组合证明，整数4（2004），#A09。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[请注意，本文的较新版本具有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至本列表下一个出版物。]
M.Kontsevich和D.Zagier，时期《高等教育科学研究所2001年IHES/M/01/22》。出版于B.Engquist和W.Schmid，编辑，《数学无限-2001年及以后》，2卷。，Springer-Verlag，2001年，第771-808页，第2.3节。示例3。
Y.Martin，乘法eta商，事务处理。阿默尔。数学。Soc.348（1996），编号12，4825-4856，见第4852页表一。
配方奶粉
θ_3（q）^2=（和{n=-oo..+oo}q^（n^2））^2=Product_{m>=1}（1-q^。
系数n为n=p1^a1*p2^a2*…*q1^b1*q2^b2*…*2^c，其中p是素数==1（mod 4），q是素数==3（mod 3）。如果任何b是奇数，则a（n）=0，否则a（n）=4*（1+a1）*（1+2）*。。。
G.f.=s（2）^10/（s（1）^4*s（4）^4），其中s（k）:=subs（q=q^k，eta（q）），eta（q）是Dedekind函数，参见。A010815号.[罚款]
eta（q^2）^10/（eta（q）*eta（q^4））^4的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
（phi（q）^2+phi（-q）^2）/2的q^2次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数。
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=（u-v）^2-（v-w）*4*w-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
周期4序列的欧拉变换[4，-6，4，-2，…]-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
莫比乌斯变换是周期4序列[4，0，-4，0，…]-迈克尔·索莫斯2007年9月17日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4t））=2（t/i）f（t），其中q=exp（2Pi it）。
常数sqrt（Pi）/Gamma（3/4）^2在以base-exp（Pi）展开时产生序列的前324项，需要450位常数-西蒙·普劳夫2011年3月3日
设s=16*q*（E1*E4^2/E2^3）^8，其中Ek=Product_{n>=1}（1-q^（k*n））（s=k^2，其中k是椭圆k），则g.f.是超几何（[+1/2，+1/2]，[+1]，s）（2/Pi*椭圆k（k）的q次幂展开）-乔格·阿恩特2011年8月15日
Dirichlet g.f.Sum_{n>=1}a（n）/n^s=4*zeta（s）*L_（-4）（s），其中L是（移位）的D.g.fA056594号[Raman.J.7（2003）95-127]-R.J.马塔尔2012年7月2日
a（n）=楼面（1/（n+1））+4*楼面（cos（Pi*sqrt（n））^2）-4*楼面-韦斯利·伊万·赫特2013年1月9日
雅可比恒等式：theta_3（0，q）^2=1+4*Sum_{r>=0}（-1）^r*q^（2*r+1）/（1-q^。参见，例如，格罗斯瓦尔德参考文献（第15页，第116页，但第32页，引理2和证明，在总和中输入了r>=1，而不是r>=0，也在证明中）。请参阅Jacobi-Legendre信件的链接。
Weierstraß使用的恒等式（参见König-Prekels书，第187页，等式（5.12）和第281页，以及参考文献，但第186页（5.11）中的F（x）应该以nu=1而不是0开头）：theta_3（0，q）^2=1+4*Sum_{n>=1}q^n/（1+q^（2*n））。证明：类似于前面的雅可比恒等式。（结束）
G.f.：Theta_3（q）^2=超几何（[1/2，1/2]，[1]，lambda（q））A115977号（j） *q^j.参见Kontsevich和Zagier链接，带有Theta->Theta_3、z->2*z和q->q^2-沃尔夫迪特·朗2018年5月27日
例子
G.f.=1+4*q+4*q^ 2+4*q^ 4+8*q^5+4*q ^ 8+4*q ^ 9+8*q ^ 10+8*q^ 13+4*-约翰·坎农2006年12月30日
MAPLE公司
（总和（x^（m^2），m=-10..10））^2；
#备选方案：
A004018列表：=proc（len）系列（JacobiTheta3（0，x）^2，x，len+1）；
seq（系数（%，x，j），j=0..len-1）结束：
t1:=A004018列表（102）；
r2:=n->t1[n+1]#彼得·卢什尼2018年10月2日
数学
平方R[2，范围[0，110]](*哈维·P·戴尔，2011年10月10日*）
a[n_]：=平方R[2，n]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]^2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*）
a[n_]：=具有[{m=反椭圆NomeQ@q}，级数系数[EllipticK[m]/（Pi/2），{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，4和[KroneckerSymbol[-4，d]，{d，除数@n}]]; （*或*）a[n_]：=级数系数[QPochhammer[q^2]^10/；(*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=polcoeff（1+4*和（k=1，n，x^k/（1+x^（2*k）），x*O（x^n）），n）}/*迈克尔·索莫斯2003年3月14日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，4*总和（n，d，（d%4==1）-（d%4==3））}/*迈克尔·索莫斯2004年7月19日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，2*qfrep（[1,0；0,1]，n）[n]）}/*迈克尔·索莫斯，2005年5月13日*/
（PARI）a（n）=如果（n==0，返回（1））；my（f=系数（n））；4*prod（i=1，#f~，if（f[i，1]%4==1，f[i；2]+1，if，（f[i，2]%2&&f[i、1]>2，0，1））\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月2日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma1（4），1），100）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*2）
Q.representation_number_list（102）#彼得·卢什尼2014年6月20日
A004018列表（len）=JacobiTheta3（len，2）
A004018列表（102）|>打印#彼得·卢什尼，2018年3月12日
（Python）
来自sympy导入因子
定义a（n）：
如果n==0：返回1
安=4
对于因子（n）.items（）中的pi，ei：
如果pi%4==1:an*=ei+1
elif pi%4==3和ei%2：返回0
返回
打印（[a（n）表示范围（102）中的n）#迈克尔·布拉尼基2021年9月24日
（Python）
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A004018号（n） ：return prod（1 if p==2 else（e+1 if p&3==1 else（e+1）&1）for p，e in factorint（n）.items（））<<2 if n else 1#柴华武，2022年7月7日，2024年6月21日更正。
简单立方晶格的Theta级数；还有将非负整数n写成3个平方和的方法（允许为零）。
（原M4092）
+10
82
1, 6, 12, 8, 6, 24, 24, 0, 12, 30, 24, 24, 8, 24, 48, 0, 6, 48, 36, 24, 24, 48, 24, 0, 24, 30, 72, 32, 0, 72, 48, 0, 12, 48, 48, 48, 30, 24, 72, 0, 24, 96, 48, 24, 24, 72, 48, 0, 8, 54, 84, 48, 24, 72, 96, 0, 48, 48, 24, 72, 0, 72, 96, 0, 6, 96, 96, 24, 48, 96, 48, 0, 36, 48, 120
评论
整数的有序三元组（i，j，k）的数量，使得n=i^2+j^2+k^2。
简单立方晶格中交变单位电荷的马德龙库仑能为Sum_{n>=1}（-1）^n*a（n）/sqrt（n）=-A085469号. -R.J.马塔尔2006年4月29日
参考文献
H.Cohen，《数论》，第1卷：工具和丢番图方程，Springer-Verlag，2007年，第317页。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第107页。
H.Davenport，《高等算术》。剑桥大学出版社，第7版，1999年，第五章。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共学院。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第3卷第109页。
E.Grosswald，整数表示为平方和。Springer-Verlag，纽约州，1985年，第54页。
L.Kronecker，Crelle，第LVII卷（1860年），第248页；沃克，第四卷，第188页。
C.J.Moreno和S.S.Wagstaff，Jr.，《整数平方和》，查普曼和霍尔出版社，2006年，第43页。
T.Nagell，《数论导论》，威利出版社，1951年，第194页。
W.Sierpiński，1925年。Teorja Liczb。第1-410页（第61页）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
H·J·S·史密斯，《数论报告》，再版于他的《数学文集》第1卷。论文，切尔西，纽约，1979年，见第338页，等式（B'）。
链接
S.K.K.Choi、A.V.Kumchev和R.Osburn，关于三个平方和，arXiv:math/0502007[math.NT]，2005。
M.Doring、J.Haidenbauer、U.-G.Meissner和A.Rusetsky，动量格上的动态耦合通道方法，arXiv:1108.0676[hep-lat]，2011年。
R.J.Mathar，简单立方格的层次细分，arXiv:1309.3705[数学.MG]，2013年。
J.L.Mordell，整数的三个正平方表示密歇根州数学。J.7（3）：289-290（1960）。
配方奶粉
有一个经典公式（主要是由于高斯）：
对于3平方和r_3（n）：写（唯一）-n=D（2^vf）^2，具有D<0基本判别式，f奇数，v>=-1。则r3（n）=12L（（D/.），0）（1-（D/2））和{D|f}μ（D）（D/D）σ（f/D）。
这里，mu是Moebius函数，（D/2）和（D/D）是Kronecker-Legendre符号，sigma是除数函数的和，L（（D/.），0）=h（D）/（w（D）/2）是二次字符（D/亨利·科恩（Henri Cohen（AT）math.u-bordeaux1.fr），2010年5月12日
a（n）=3*T（n），如果n==1,2,5,6 mod 8，=2*T（n），如果n==3 mod 8=A117726号（n） ●●●●。[Moreno-Wagstaff]。
“如果12E（n）是n作为三个平方和的表示数，那么E（n。[参见。A117726号.]
a（n）=和{d^2|n}b（n/d^2），其中b（）=A074590号（）给出了基元解的数量。
φ（q）^3的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2006年10月25日。
周期4序列的欧拉变换[6，-9，6，-3，…]-迈克尔·索莫斯2006年10月25日
G.f.：（Z}x^（k^2）中的和{k）^3。
a（8*n+7）=0。a（4*n）=a（n）。
例子
考虑了顺序和符号：a（1）=6 from 1=（+-1）^2+0^2+0 ^2，a（2）=12 from 2=（+-1）^2+（+-一）^2+0^2；a（3）=8，从3=（+-1）^2+（+-1，^2+（+-1）^2开始，依此类推。
G.f.=1+6*q+12*q^2+8*q^3+6*q^4+24*q^5+24*q ^6+12*q ^8+30*q ^9+24*q ^10+。。。
MAPLE公司
（总和（x^（m^2），m=-10..10））^3；seq（系数（%，x，n），n=0..50）；
备选方案：
A005875list:=proc（len）系列（JacobiTheta3（0，x）^3，x，len+1）；
seq（系数（%，x，j），j=0..len-1）结束：A005875列表（75）#彼得·卢什尼2018年10月2日
数学
平方R[3，范围[0，80]](*哈维·P·戴尔2011年7月21日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]^3，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月25日*）
a[n_]：=长度@FindInstance[n==x^2+y^2+z^2，{x，y，z}，整数，10^9]；(*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（和（k=1，平方（n），2*x^k^2，1+x*O（x^n））^3，n））}；
（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；极系数（（eta（x^2+a）^5/（eta（x+a）*eta（x^4+a））^2）^3，n））}/*迈克尔·索莫斯2012年6月3日*/
（PARI）{a（n）=我的（G）；如果（n<0，0，G=[1，0，0；0，1；0，0/*迈克尔·索莫斯2015年5月21日*/
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*3）
Q.representation_number_list（75）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（岩浆）基础（模块形式（伽马1（4），3/2），75）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年6月25日*/
A005875列表（len）=JacobiTheta3（len，3）
A005875列表（75）|>打印#彼得·卢什尼，2018年3月12日
（Python）
从数学导入isqrt
1, 6, 12, 28, 30, 72, 56, 120, 117, 180, 132, 336, 182, 336, 360, 496, 306, 702, 380, 840, 672, 792, 552, 1440, 775, 1092, 1080, 1568, 870, 2160, 992, 2016, 1584, 1836, 1680, 3276, 1406, 2280, 2184, 3600, 1722, 4032, 1892, 3696, 3510, 3312, 2256, 5952
参考文献
B.C.Berndt，Ramanujan的θ函数理论，θ函数：从古典到现代，Amer。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，1993年，第1-63页。MR 94m:11054。见第43页。
G.H.Hardy，Ramanujan：关于其生活和工作所建议主题的十二场讲座，AMS Chelsea Publishing，罗德岛普罗维登斯，2002年，第166-167页。
链接
Passawan Noppakaew和Prapanpong Pongsriam，一些多项式与算术函数的乘积，J.国际顺序。（2023）第26卷，第23.9.1条。
配方奶粉
与a（p^e）相乘=p^e*（p^（e+1）-1）/（p-1）。
通用公式：和{n>0}n^2*x^n/（1-x^n）^2-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月27日
G.f.：phi_{2，1}（x）其中phi_{r，s}（x）=和{n，m>0}m^r*n^s*x^{m*n}-迈克尔·索莫斯2003年4月2日
G.f.也是（Q-P^2）/288，其中P、Q是Ramanujan-Lambert级数-迈克尔·索莫斯2003年4月2日。参见哈代参考文献，第136页，等式（10.5.4）（附证明）。关于Q和P、（10.5.6）和（10.5.5），见E_4A004009号和E_2A006352号分别是-沃尔夫迪特·朗2017年1月30日
Dirichlet g.f.：zeta（s-1）*zeta（s-2）-R.J.马塔尔2011年2月16日
L.g.f.：和{k>=1}k*x^k/（1-x^k）=和{n>=1}a（n）*x^n/n-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月13日
求和{k>=1}1/a（k）=1.43838992593341878327654586317835912516578562765374838768-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年9月20日
G.f.：求和{n>=1}n*q^n*（1+q^n）/（1-q^n。
一个更快收敛的g.f.：求和{n>=1}q^（n^2）*（n^3*q^。（结束）
a（n）=和{k=1..n}σ_2（gcd（n，k））。
a（n）=总和{k=1..n}σ_2（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gccd（n、k））。（结束）
a（n）=Sum_{1<=j，k<=n}sigma_1（gcd（j，k，n））。
a（n）=Sum_{d除以n}sigma_1（d）*J_2（n/d）=Summ_{d除n}sigma_2（d）*phi（n/d），其中Jordan指向函数J_2（n）=A007434号（n） ●●●●。（结束）
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（数量理论）：[n*sigma（n）$n=1.50]#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年1月1日
数学
#Divisor Sigma[1，#]和/@范围[80](*哈维·P·戴尔2011年3月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n==0，0，n*σ（n））}
（PARI）{对于（n=11000，写入（“b064987.txt”，n，“”，n*sigma（n））}\\哈里·史密斯2009年10月2日
（MuPAD）编号：：sigma（n）*n$n=1.81//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（哈斯克尔）
（岩浆）[1..70]]中的[n*SumOfDivisors（n）:n//文森佐·利班迪2019年1月1日
（GAP）a:=列表（[1..50]，n->n*Sigma（n））；；打印（a）#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年1月1日
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A038040型,A002618号,A000010号,A001157号,A143308号,A143311号,A004009号,A006352号,A000594号,A126832号,A069097号（莫比乌斯变换），A001001号（逆Mobius变换），A237593型,A244580型.
1, 16, 112, 448, 1136, 2016, 3136, 5504, 9328, 12112, 14112, 21312, 31808, 35168, 38528, 56448, 74864, 78624, 84784, 109760, 143136, 154112, 149184, 194688, 261184, 252016, 246176, 327040, 390784, 390240, 395136, 476672, 599152, 596736, 550368, 693504, 859952
评论
o.g.f.的相关恒等式是theta_3（x）^8=1+16*Sum_{j>=1}j^3*x^j/（1-（-1）^j*x^j）。见Hardy-Wright参考，第315页-沃尔夫迪特·朗2016年12月8日
参考文献
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第77页，等式（31.61）；第79页等式（32.32）。
E.Grosswald，整数表示为平方和。Springer-Verlag，纽约州，1985年，第121页。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第314-315页。
链接
H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/00407061[math.NT]，2004年。
陈世超，rs（n）的同余《数论杂志》，第130卷，第9期，2010年9月，第2028-2032页。
M.Peters，九个正方形的和《阿里斯学报》。，102 (2002), 131-135.
配方奶粉
θ_3（z）^8的展开式。同时a（n）=16*（-1）^n*Sum_{0<d|n}（-1）*d*d^3。
φ（q）^8的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2008年3月21日
G.f.：s（2）^40/（s（1）*s（4））^16，其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q））和eta（q）是Dedekind的函数，参见。A010815号.[罚款]
周期4序列的欧拉变换[16，-24，16，-8，…]-迈克尔·索莫斯2005年4月10日
a（n）=16*b（n）和b（n）与b（p^e）=（p^（3*e+3）-1）/（p^3-1）-2[p<3]相乘-迈克尔·索莫斯2005年9月25日
通用公式：1+16*Sum_{k>0}k^3*x^k/（1-（-x）^k）-迈克尔·索莫斯2005年9月25日
Dirichlet g.f.：求和{n>=1}a（n）/n^s=16*（1-2^（1-s）+4^（2-s））*zeta（s）*zeta*（s-3）。[博文和崔]，R.J.马塔尔2012年7月2日
例子
1+16*q+112*q^2+448*q^3+1136*q^4+2016*q^5+3136*q^6+5504*q^7+。。。
MAPLE公司
（总和（x^（m^2），m=-10..10））^8；
带有（数字理论）；rJ:=n->如果n=0，则1再加上16*（（-1）^（n+d）*d^3，d的除数（n））；fi；[序列（rJ（n），n=0..100）]#N.J.A.斯隆2018年9月15日
数学
表[SquaresR[8，n]，{n，0，33}](*雷·钱德勒2006年12月6日*）
正方形R[8，范围[0，50]](*哈维·P·戴尔2011年8月26日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，16*（-1）^n*sumdiv（n，d，（-1），^d*d^3））}
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）^5/（et（x+a）*eta（x^4+a））^2）^8，n））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月25日*/
（SageMath）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*8）
Q.representation_number_list（60）#彼得·卢什尼2014年6月20日
A000143列表（len）=雅可比θ3（len，8）
A000143列表（37）|>打印#彼得·卢什尼，2018年3月12日
（Python）
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A000143号（n） ：返回prod（（p**（3*（e+1））-（1 if p&1 else 15））//（p**3-1）for p，e in factor（n）.items（））<<4 if n else 1#柴华武，2024年6月21日
1, 12, 60, 160, 252, 312, 544, 960, 1020, 876, 1560, 2400, 2080, 2040, 3264, 4160, 4092, 3480, 4380, 7200, 6552, 4608, 8160, 10560, 8224, 7812, 10200, 13120, 12480, 10104, 14144, 19200, 16380, 11520, 17400, 24960, 18396, 16440, 24480, 27200
评论
o.g.f.的相关恒等式是theta_3（x）^6=1+16*Sum_{j>=1}j^2*x^j/（1+x^（2*j））-4*Sum_{j>=0}（-1）^j*-沃尔夫迪特·朗2016年12月8日
参考文献
E.Grosswald，整数表示为平方和。Springer-Verlag，纽约州，1985年，第121页。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第314页。
链接
H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/00407061[math.NT]，2004年。
陈世超，rs（n）的同余，《数论杂志》，第130卷，第9期，2010年9月，第2028-2032页。
配方奶粉
θ_3（z）^6的展开。
a（n）=4（求和{d|n，d==3mod4}d^2-求和{d_n，d==1mod4}d ^2）+16。[更正人肖恩·欧文2009年10月1日]
MAPLE公司
（总和（x^（m^2），m=-10..10））^6；
#备选方案：
A0000141列表：=proc（len）系列（JacobiTheta3（0，x）^6，x，len+1）；
seq（系数（%，x，j），j=0..len-1）end:A000141list（40）#彼得·卢什尼2018年10月2日
数学
表[SquaresR[6，n]，{n，0，40}](*雷·钱德勒2006年12月6日*）
平方R[6，范围[0，50]](*哈维·P·戴尔2011年8月26日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a0001410=1
a000141 n=16*a050470 n-4*a002173 n
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*6）
Q.representation_number_list（40）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（Python）
从数学导入prod
来自sympy导入因子
如果n==0：返回1
f=[（p，e，（0，1，0，-1）[p&3]）对于因子（n）中的p，e。items（）]
return（prod（（p**（e+1<<1）-c）//（p**2-c）对于f中的p，e，c）<<2）-prod（（（k:=p**2*c）**（e+1）-1）//（k-1）对于f中的p，e，c）<<2#柴华武，2024年6月21日
1, 14, 84, 280, 574, 840, 1288, 2368, 3444, 3542, 4424, 7560, 9240, 8456, 11088, 16576, 18494, 17808, 19740, 27720, 34440, 29456, 31304, 49728, 52808, 43414, 52248, 68320, 74048, 68376, 71120, 99456, 110964, 89936, 94864, 136080, 145222
参考文献
E.Grosswald，整数表示为平方和。Springer-Verlag，纽约州，1985年，第121页。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第314页。
链接
陈世超，rs（n）的同余《数论杂志》，第130卷，第9期，2010年9月，第2028-2032页。
配方奶粉
G.f.：θ3（0，x）^7，其中θ3是第三个雅可比θ函数-罗伯特·伊斯雷尔2014年7月16日
MAPLE公司
级数（（总和（x^（m^2），m=-10..10））^7，x，101）；
#备选方案
#（至少需要Maple 17，并且仅在a（n）<=10^16左右时有效）：
N： =1000:#将a（0）转换为a（N）
带（信号处理）：
A： =矢量（N+1，数据类型=浮点[8]，i->分段（i=1，1，issqr（i-1），2，0））：
A2:=卷积（A，A）[1..N+1]：
A4:=卷积（A2，A2）[1..N+1]：
A5:=卷积（A，A4）[1..N+1]；
A7:=卷积（A2，A5）[1..N+1]；
#备选方案
A008451列表：=proc（len）系列（JacobiTheta3（0，x）^7，x，len+1）；
seq（系数（%，x，j），j=0..len-1）结束：A008451列表（37）#彼得·卢什尼2018年10月2日
数学
表[SquaresR[7，n]，{n，0，36}](*雷·钱德勒2006年11月28日*）
平方R[7，范围[0，50]](*哈维·P·戴尔2011年8月26日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*7）
Q.representation_number_list（37）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（Python）
从数学导入isqrt
1, 10, 40, 80, 90, 112, 240, 320, 200, 250, 560, 560, 400, 560, 800, 960, 730, 480, 1240, 1520, 752, 1120, 1840, 1600, 1200, 1210, 2000, 2240, 1600, 1680, 2720, 3200, 1480, 1440, 3680, 3040, 2250, 2800, 3280, 4160, 2800, 1920, 4320, 5040, 2800, 3472, 5920
评论
如果某个自然数t的n=5*t^2，则a（n）的单位数字为2，否则为0。见Moreno&Wagstaff，第258页，练习2-蚂蚁之王2013年3月17日
还有格Z^5的θ级数-肖恩·欧文2020年7月27日
参考文献
E.Grosswald，整数表示为平方和。Springer-Verlag，纽约州，1985年，第128页。
J.Carlos Moreno和Samuel S.Wagstaff Jr.，《整数平方和》，Chapman&Hall/CRC，（2006）。[蚂蚁之王2013年3月17日]
链接
陈世超，rs（n）的同余《数论杂志》，第130卷，第9期，2010年9月，第2028-2032页。
S.Cooper，五、七和九正方形的和，Ramanujan J.，第6卷，第4期，（2002）469-490。
配方奶粉
通用公式：（求和{j=-oo..+oo}x^（j^2））^5-R.J.马塔尔2007年7月31日
例子
G.f.=1+10*x+40*x ^ 2+80*x ^3+90*x ^4+112*x ^5+240*x ^6+。。。
数学
表[SquaresR[5，n]，{n，0，46}](*雷·钱德勒2006年11月28日*）
平方R[5，范围[0，50]](*哈维·P·戴尔2011年8月26日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*5）
Q.representation_number_list（47）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（PARI）a（n，k=5）=如果（n==0，返回（1））；如果（k<=0，返回（0））；如果（k==1，返回（issquare（n）））；我的（计数=0）；对于（v=0，平方（n），计数+=（2-（v==0））*如果（k>2，a（n-v^2，k-1），发行方；计数\\丹尼尔·苏图2021年8月28日
（Python）
从数学导入isqrt
1, 32, 480, 4480, 29152, 140736, 525952, 1580800, 3994080, 8945824, 18626112, 36714624, 67978880, 118156480, 197120256, 321692928, 509145568, 772845120, 1143441760, 1681379200, 2428524096, 3392205824, 4658843520, 6411152640
参考文献
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第314页。
E.Grosswald，整数表示为平方和。Springer-Verlag，纽约州，1985年，第107页。
链接
陈世超，rs（n）的同余《数论杂志》，第130卷，第9期，2010年9月，第2028-2032页。
配方奶粉
G.f.：θ3（0，q）^16，其中θ3是第三个雅可比θ函数-伊利亚·古特科夫斯基2017年1月13日
MAPLE公司
（总和（x^（m^2），m=-10..10）^16；
#备选方案：
A000152列表：=proc（len）系列（JacobiTheta3（0，x）^16，x，len+1）；
seq（系数（%，x，j），j=0..len-1）end:A000152list（24）#彼得·卢什尼2018年10月2日
数学
表[SquaresR[16，n]，{n，0，23}](*雷·钱德勒2006年11月28日*）
黄体脂酮素
（PARI）第一（n）=我的（x='x）；x+=O（x^（n+1））；Vec（（2*总和（k=1，平方（n），x^k^2）+1）^16）\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年7月29日
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