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A002448号 雅可比θ函数θ_4(x)的展开式。 83
1, -2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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评论
Ramanujanθ函数:f(q)(参见A121373号),φ(q)(A000122号),磅/平方英寸(q)(A010054级),chi(q)(A000700型).
D.Zagier在《模块形式的1-2-3》第30页列出的14个原始eta-products中的第2个,它们是重量为1/2的全纯模块形式-迈克尔·索莫斯2016年5月4日
参考文献
N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第93页,等式(34.11),第6页,等号(7.324)。
J.Tannery和J.Molk,Eléments de la Théorie des Fonctions Elliptiques,第2卷,Gauthier-Villars,巴黎,1902年;切尔西,纽约,1972年,见第27页。
E.T.Whittaker和G.N.Watson,《现代分析课程》,剑桥大学出版社,第4版,1963年,第464页。
链接
J.H.Conway和N.J.A.Sloane,球面填料、格和群《施普林格·弗拉格》,第103页。
J.W.L.Glaisher,关于无穷乘积级数的推导数学信使。,2(1873年),第141页。
迈克尔·索莫斯,Ramanujan theta函数简介
埃里克·魏斯坦的数学世界,Jacobi Theta函数
埃里克·魏斯坦的数学世界,q系列标识
D.Zagier,椭圆模形式及其应用在“模块化形式的1-2-3”中,Springer-Verlag,2008
配方奶粉
phi(-q)的q次幂展开式,其中phi()是Ramanujan theta函数。
η(q)^2/η(q^2)以q的幂展开-迈克尔·索莫斯2003年5月1日
2*sqrt(k'*k/(2Pi))的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2013年11月30日
周期2序列的欧拉变换[-2,-1,…]-迈克尔·索莫斯2003年5月1日
G.f.:Z}中的和{k(-1)^k*x^(k^2)=乘积{k>0}(1-x^k)/(1+x^k)-迈克尔·索莫斯,2003年5月1日。
一般公式:1-2和{k>0}x ^k/(1-x ^k)乘积{j=1..k}(1-x^j)/(1+x ^j)-迈克尔·索莫斯2012年4月12日
a(n)=-2*b(n),其中b(n-迈克尔·索莫斯2006年7月7日
a(3*n+1)=-2*A089802号(n) ,a(9*n)=a(n)-迈克尔·索莫斯2006年7月7日
a(3*n+2)=a(4*n+3)=0。a(4*n)=A000122号(n) ●●●●。a(n)=(-1)^n*A000122号(n) ●●●●。a(8*n+1)=-2*A010054号(n) ●●●●-迈克尔·索莫斯2012年4月12日
对于n>0,a(n)=2*(楼层(sqrt(n))-楼层(squart(n-1)))*(-1)^(楼层(m2(n)-米凯尔·奥尔顿2015年1月17日
G.f.是周期1傅里叶级数,满足f(-1/(16t))=32^(1/2)(t/i)^(1/2)G(t),其中q=exp(2Pi it),G()是A010054号. -迈克尔·索莫斯,2016年5月5日
a(0)=1,a(n)=-(2/n)*和{k=1..n}A002131号(k) *a(n-k),对于n>0-满山圣一2017年4月29日
通用公式:exp(总和{k>=1}(σ(k)-σ(2*k))*x^k/k)-伊利亚·古特科夫斯基2018年9月19日
发件人彼得·巴拉2021年2月19日:(开始)
G.f:A(q)=eta(q^2)^5/(eta(-q)*eta(q ^4))^2。
A(q)=1+2*Sum_{n>=1}(-1)^n*q^(n*(n+1)/2)/((1+q^n)*Product_{k=1..n}1-q^k)。
A(-q)^2=1+4*Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*q^(2*n-1)/(1-q^。例如,见罚款,26.63。
无符号序列具有g.f.1+2*Sum_{n>=1}q^(n*(n+1)/2)*(乘积_{k=1..n-1}1+q^k)/(乘积_{k=1..n}1+q ^(2*k))=1+2*q+2*q ^4+2*q^9+。。。。见Fine,方程式14.43。(结束)
表格彼得·巴拉2023年9月27日:(开始)
G.f.A.(q)满足A(q)*A(-q)=A(q^2)^2。
A(q)=Sum_{n>=1}(-q)^(n-1)*Product_{k>=n}1-q^k(结束)
例子
G.f.=1-2*q+2*q ^ 4-2*q^ 9+2*qq^ 16-2*q^ 25+2*。。。
MAPLE公司
总和((-x)^(m^2),m=-10..10);
数学
a[n_]:=级数系数[EllipticTheta[4,0,q],{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
QP=Q手锤;s=QP[q]^2/QP[q^2]+O[q]^105;系数列表[s,q](*Jean-François Alcover公司2015年12月1日,改编自PARI*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,(-1)^n*平方(n)*2-(n==0))}/*迈克尔·索莫斯1999年6月17日*/
(PARI){a(n)=my(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polcoeff(eta(x+a)^2/eta(x^2+a),n))}/*迈克尔·索莫斯2003年5月1日*/
(朱莉娅)
使用Nemo
函数JacobiTheta4(len,r)
R、 x=多项式环(ZZ,“x”)
e=θ_qexp(r,len,-x)
0中j的[fmpz(系数(e,j)):len-1]结束
A002448列表(len)=JacobiTheta4(len,1)
A002448列表(105)|>打印#彼得·卢什尼2018年3月12日
(Python)
从sympy.theory.primetest导入为平方
定义A002448号(n) :return(-is_square(n)if n&1 else is square(n))<<1 if n else 1#柴华武2023年5月17日
交叉参考
囊性纤维变性。A000122号A000203号A010054号A089802号.
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