平方和函数

的表示数通过允许零和区分符号和顺序的正方形，表示为.特殊情况对应于两个正方形通常简单地表示（例如，Hardy和Wright 1979年，第241页；Shanks1993年，第162页）。

例如，考虑将5表示为两个平方和的方法数量：

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

所以.同样，

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			（14）

所以.

这个Wolfram语言功能方形R[k,n个]给予.相反，函数权力陈述[n个,k，2]给出了的无序无符号表示的列表作为列表正方形，例如，给出作为5的唯一“唯一”表示。

功能与莱布尼茨级数和高斯圆问题（希尔伯特和科恩·沃森1999年，第27-39页）。它也由逆Möbius给出序列的变换和（斯隆和普洛夫，1995年，第22页）。这个平均订单是,但正常顺序是0（Hardy 1999，第55页）。

Jacobi给出了对于这些案例、4、6和8（雅各比1829；哈代和赖特1979，第316页；哈代1999年，第132页）。案例通过等式计算得出、4和6系数的雅可比θ函数 ,、和.解决方案其中12个是刘维尔（1864、1866）和艾森斯坦发现的（哈代和赖特1979年，第316页），格拉舍（1907）给出了最多然而和包含的函数仅定义为模函数，但不是算术函数（Hardy和Wright，1979年，第316页）。拉马努詹（2000）将Glaisher表扩展至.Boulyguine（1915）发现了其中每个函数都有一个算术定义（哈迪和赖特1979年，第316页；迪克森2005年，第317页）。

Dirichlet发现它是一个涉及二次互易符号的有限和。和由艾森斯坦、史密斯和明可夫斯基发现。莫代尔，Hardy和Ramanujan开发了一种适用于奇数平方（Hardy 1920；Mordell 1920，1923；Estermann 1937；Hardy 1999）。

要从多少方面找出正整数可以表示为正方形无视秩序和标志，因子为

(15)

其中秒是质数表单的和s是质数表单的 .如果没有这样的整数表示因为很奇怪，那么就没有表示。否则，定义

(16)

的表示数作为两个平方的和忽略顺序和符号然后由给出

$r_2^'（n）={0，如果任何a_i是半整数；1/2B，如果所有a_i都是整数，B是偶数；1/2（B-（-1）^（a_0）），如果所有的a_i均是整数，而B是奇数$

(17)

（Beiler 1966年，第140-142页）。

同样，对于由提供

$r2（n）={0，如果任何a_i是半整数；4B，如果所有a_i都是整数。$

(18)

A类正整数可以表示为两个平方和若（iff）每个首要的因素表单的作为一种均匀的力量出现，正如欧拉首先建立的那样1738年。在四平方和定理,拉格朗日证明了正整数可以写为总和最多四个正方形,尽管除了数字之外，四个可以减少到三个属于表格 .

迪奥芬图斯首先研究了一个等价于求三个平方和的问题,并表示，对于这个问题，不得为以下形式但这是一个不充分的条件（Dickson 2005，第259页）。1621年，巴赫特随后被排除在外和最后，费马（约1636年）指出，巴赫特的情况未能排除，149等，并给出了正确的充分条件不得为以下形式，所以不符合形式，或同等.

1636年，费马表示不表单的整数是三个有理平方的和，1638年，笛卡尔对整数平方证明了这一点。1658年，费马随后声称（但没有证明）,哪里是形式的任意素数（即形式的任何质数)是三个平方的和。1775年，拉格朗日制作了一些费马断言的进展，但无法完全证明。1785年，勒让德注意到费马的断言适用于所有奇数（不仅仅是素数），并且然后给出了一个不完整的证据，证明每个数字或其两倍都是三个方块。

Beguelin（1774）得出结论，每个与1、2、3、5或6（mod 8）全等的整数都是三个平方的和，但没有足够的证据（Dickson 2005，第15页）。然后，在勒让德的1798年无名之地，勒让德证明每个不符合形式的正整数或是没有公因数的三个平方的和（纳格尔1951年，第194页；Wells 1986，第48和56页；哈代1999年，第12页；萨文2000).

每当有一个首要的除数属于表格到古怪的权力; 它加倍了到达新的首要的属于表格 .前几个值是1、4、4、0、4、8、0、0、四、四、八、0、零、八、零、四、8、4、，0, 8, 0, 0, 0, 0, 12, 8, 0, 0, ... （组织环境信息系统A004018号).A类兰伯特级数由提供

(19)

（哈代和赖特，1979年，第258页）。这个生成函数对于由提供

			(20)
			(21)
			(22)

哪里是一个雅可比椭圆函数和是一个问-Pochhammer符号.

它由以下公式明确给出

			(23)
			(24)
			(25)

哪里是的数字约数属于表单的（希尔伯特和科恩·沃森1999年，第37-38页；哈代1999年，第12页）。

服从意外的身份

(26)

对于,

(27)

和

(28)

（哈代1999年，第82页）。

求和函数的前几个值（例如，Hardy和Wright 1979，第270页）由

(29)

是0、4、8、8、12、20、20、二十、二十四、二十八、三十六。。。（组织环境信息系统A014198级),其中Shanks（1993）定义的修改函数是

			（30）
			(31)

的显式值下表给出了10的几次幂（Mitchell 1966；Shanks 1993，第165和234页）。


0	5
1	37
2	317
三	3149
4	31417
5	314197
6	3141549
8	314159053
10	31415925457
12	3141592649625
14	31415926535058

渐近结果包括

			(32)
			(33)

哪里是一个常量，称为希尔皮斯基常数.上面的左图显示

(34)

具有用曲线包络线表示，右图显示

(35)

值为表示为实心水平线。

解决方案的数量

(36)

对于给定的不受符号或相对大小的限制,、和由提供高斯证明了如果是无平方的和，然后

r3（n）={24h（-n），n=3（mod 8）；12h（-4n），n=1,2,5,6（mod八）；0，n=7（mod八月）

(37)

（Arno 1992），其中是类别编号属于.

这个生成函数对于由提供

			(38)
			(39)

一般来说，

(40)

对于,

(41)

的标识,和由提供

			(42)
			(43)

哪里和

(44)

（雅各比1829，§40-42；史密斯1965；哈代和赖特1979，第314页）。

对于,

(45)

哪里

			(46)
			(47)
			(48)

这个方程式和那个方程式由Liouville（1864年、1866年）提供。

			(49)
			(50)
			(51)

哪里

			(52)
			(53)

是所谓的奇异级数、和是τ函数.

对于较大的即使，但它们很快就会变得极其复杂仅以模块函数的展开形式简单地写。

另请参见

类别编号,丢番图方程——二次幂,费马的多边形数定理,高斯圆问题,Landau-Ramanujan常数,莱布尼茨系列,Prime（主要）因子,原始毕达哥拉斯三元组,毕达哥拉斯四联体,毕达哥拉斯语三倍的,Sierpinski常数,陶（Tau）功能

与Wolfram一起探索| Alpha

更多需要尝试的事情：

工具书类

第四类的虚设二次域《阿里斯学报》。 60, 321-334, 1992.A.H.贝勒。娱乐《数论：数学女王的娱乐》。纽约：多佛，1966年。医学博士布利奎因。“陈述“un nombre entier par une somme de carrés”。”Comptes Rendus Hebdomadaires公司科学研究院 161, 28-30, 1915.迪克森，路易斯安那州。历史《数论》第2卷：丢番图分析。纽约：多佛，第259和317页，2005年。Eisenstein，G.“关于代表的说明联合国命名为巴黎圣母院。”J.reine angew。数学。 35,368-369, 1847.Eisenstein，G.“Zerfällung象限理论”德尔·普里姆扎赫伦

und（单位）

."J.reine angew。数学。 37, 97-126, 1848.艾斯特曼，T.“On将数字表示为平方和。”《阿里斯学报》。 2,47-79, 1936. 重印于Prace mat.-fiz公司。 45, 93-125, 1937.好吧，J.A.公司。“Ramanujan Tau函数的新表示。”程序。阿默尔。数学。Soc公司。 128, 723-726, 1999.Glaisher，J.W。L。“关于数字表示为的和的数字

方形，其中

不超过18。”程序。伦敦数学。Soc公司。 5,479-490, 1907.格罗斯瓦尔德，E。陈述整数的平方和。纽约：Springer-Verlag，1985年。哈代，G.H.“关于数字作为两个平方和的表达式”夸脱。数学杂志。 46, 263-283, 1915.Hardy，G.H.“平均值算术函数的阶

和

."程序。伦敦数学。Soc公司。 15, 192-213,1916Hardy，G.H.“关于数字作为和的表示任意数量的正方形，五个的特殊值。”事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。 21,255-284, 1920.G.H.哈代。“数字的表示作为平方和。“第9章英寸拉马努扬：关于他的生活和工作所建议主题的十二讲，第三版。纽约：切尔西，1999年。G.H.哈代。和Wright，E.M。“功能

,"“公式证明

，”“的生成函数

、“和”订单

、“和”更多的陈述方形。“§16.9、16.10、17.9、18.7和20.13英寸安数字理论导论，第5版。英国牛津：克拉伦登出版社，第241-243、256-258、270-271和314-315页，1979年。希尔伯特，D.和Cohn-Vossen，S。几何图形和想象力。纽约：切尔西，1999年。雅各比；C.G.公司。J。基础新星理论功能椭圆星。德国哥尼斯堡，1829G.A.琼斯。和Jones，J.M。“平方和。”通道10英寸初级数论。柏林：Springer-Verlag，第191-215页，1998年。刘维尔，J.“Extrait d’une lettre addressée a M.Besge（关于代表奇数的两倍等于12个平方的和）。”J.de数学。纯净的et应用程序。 9, 296-298, 1864.J.刘维尔“Nombre desQulconque sous la forme d’une somme de dix carrés代表。”J.de数学。纯et应用。 11, 1-8, 1866.Milne，S.“无限精确平方和公式族，Jacobi椭圆函数，续分数和舒尔函数。”拉马努扬J。 6, 7-149, 2002.重印于数学发展5。马萨诸塞州波士顿：Kluwer，2002年。闵可夫斯基，H.“系数平方形式上的莫尔条纹实体。”梅莫尔斯派发了顶级潜水员学者法国科学院 29, 1-180, 1887.米切尔，西海岸。“

-维度超球体。”数学。计算。 20,300-310, 1966.莫代尔，L.J。“关于数字的表示总计

方形。”夸脱。数学杂志。 48, 93-104, 1920.莫代尔，洛杉矶。“关于将数字表示为奇数平方和。”事务处理。剑桥菲洛斯。Soc公司。 22, 361-372, 1923.莫雷诺，C.J.公司。和Wagstaff，S.S。总和整数平方的。查普曼和霍尔/CRC，2005年。纳格尔，T。介绍数字理论。纽约：威利出版社，1951年。拉马努扬，S。已收集斯里尼瓦萨·拉马努扬的论文（编辑G.H.Hardy，P.V.S.Aiyar，和B.M。威尔逊）。普罗维登斯，RI:Amer。数学。Soc.，2000年。萨文，A.“形状编号”量子 11, 14-18, 2000.塞鲁，R.“素数和两个平方和”§2.11 in编程对于数学家来说。柏林：Springer-Verlag，第18-19页，2000年。柄，D。解决了的《数论中未解决的问题》，第四版。纽约：切尔西，第162-153页，1993新泽西州斯隆。答：。序列A004018号/立方米218和A014198号在线百科全书整数序列。”新泽西州斯隆。答：。和Plouffe，S。这个整数序列百科全书。加州圣地亚哥：学术出版社，1995年。史密斯，H·J。美国。“莫伊尔苏拉代表处（Mémoire sur la représentation des nombres）巴黎圣母院。”梅莫尔斯公关法国科学院院士。2 291887年1月1日至72日。H·J·史密斯。美国。报告关于数论。纽约：切尔西，1965年。乌斯彭斯基，J.V。“关于Jacobi关于同时表示的算术定理两种不同的二次型。”事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。 30,385-404, 1928.Wagon，S.“虚拟保理的魔力”教育与研究中的数学。 5, 43-47, 1996.威尔斯，D。这个企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯：企鹅出版社，1986年。

参考Wolfram | Alpha

平方和函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“平方和函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SumSquaresFunction.html

平方和函数

另请参见

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

参考Wolfram | Alpha

引用如下：

主题分类