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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 5875 简单立方格子的θ系列;还写出非负整数n作为3个平方和(零被允许)的方法。
(原M4092)
七十
1, 6, 12、8, 6, 24、24, 0, 12、30, 24, 24、8, 24, 48、0, 6, 48、36, 24, 24、48, 24, 0、24, 30, 72、32, 0, 72、48, 0, 12、48, 48, 48、48, 48, 48、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、y、γ、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、2

评论

整数的有序三元组(i,j,k)的数目,使得n=i ^ 2+j ^ 2+k ^ 2。

简单立方晶格中交替单位电荷的Maelelun-Coulomb能量为Suth{{n>=1 }(-1)^ n*a(n)/qRT(n)=-A0854. -马塔尔4月29日2006

A(A000 4215(k)=0=k=1,2,3,…但没有其他元素A000 5875是零。-格雷姆麦克雷1月15日2007

有人认为这个序列是指F.C.C.晶格,这是无稽之谈(这里的协调数,θ系列中的第二项,是6,不是12)。-斯隆1月25日2011

推荐信

H. Cohen,数论,第1卷:工具和丢番图方程,Springer Verlag,2007,第317页。

J. H. Conway和N.J.A.斯隆,“Sphere Packings,格和群”,Springer Verlag,第107页。

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链接

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J. L. Mordell用三个正方形表示整数

Eric T. Mortenson一个KRONECKER型恒等式和一个数表示为三个平方和的表示,阿西夫:1702.01627(数学,NT),2017。

G. Nebe和N.J.A.斯隆,这个网格的主页

M. SomosRAMANUJAN-THETA函数简介

Eric Weisstein的数学世界,θ系列

Eric Weisstein的数学世界,Ramanujan Theta函数

与平方和相关的序列的索引条目

公式

数n表示为3平方的和,IFF n不是形式4 ^ A(8K+7)(参见)。A000 037

有一个经典公式(主要是由于高斯):

对于3个平方和的Ray3(n):写(唯一)-n=d(2 ^ vf)^ 2,用d<0基本判别式,f奇数,v>=-1。然后Ry3(n)=12L((d/),0)(1 -(d/2))SuMu{{df}Mu(d)(d/d)σ(f/d)。

这里MU是莫比厄斯函数,(D/2)和(D/D)是Kronecker Legendre符号,σ是除数函数的和,L((d/),0)=h(d)/(w(d)/ 2)是二次字符(d/)的L函数的0的值,等于在特殊情况d= -4和-3中除以2或3的类数h(d)。- Henri Cohen(Henri·科恩(AT)数学,U-BordEux1.FR),5月12日2010

A(n)=3*T(n),如果n=1,2,5,6 mod 8,=2*T(n),如果n=3 mod 8,如果n=7 mod 8,则=0,如果n=0 0 mod 4,则=a(n/4),其中t(n)=A117726(n)。[来自Moreno Wagstaff ]。

“如果12e(n)是n的表示数,作为三个平方和,则e(n)=2f(n)-g(n),其中G(n)=行列式的类数n,f(n)=不均匀类数。”- Dickson,引用Kronecker。参见A117726]

A(n)=和(d^ 2,n,b(n/d^ 2)),其中b()=A07590()给出了本原解的个数。

φ(q)^ 3在Q幂中的展开,其中PHI()是RAMANUJANθ函数。-米迦勒索摩斯,10月25日2006。

周期4序列的Euler变换〔6,- 9, 6,- 3,…〕。-米迦勒索摩斯10月25日2006

G.f.:(Suth{{k在z } x^ k^ 2)^ 3。

A(8×n+7)=0。A(4×n)=A(n)。

A(n)=A000 4015(2×N)=A01445(2×N)=A000 4013(4×N)=A16983A(4×N)。A(4×n+1)=6A045 834(n)。A(8×n+3)=8A000 844(n)。A(8×n+5)=24A045 831(n)。-米迦勒索摩斯,军03 2012

A(4×n+2)=12A045 828(n)。-米迦勒索摩斯,SEP 03 2014

a(n)=(1)^ n *A21338(n)。-米迦勒索摩斯5月21日2015

a(n)=(6/n)*SuMu{{K=1…n}A18690(k)* A(N-K),A(0)=1。-马山由一5月27日2017

例子

顺序和符号被考虑:A(1)=6,从1=(+-1)^ 2+0 ^ 2+0 ^ 2,A(2)=12从2=(=-2)^ +(+ -^)^ + ^ ^ ^;A(α)=γ==(=-^)^+(+-^)^+(+ -^)^等。

G.F.=1+6×q+12×q+2+8×q*3+6×q* 4+24*q^ 5+24*q^ 6+6+q^α+q*y^+* *q^+…

枫树

(和(x^(m^ 2),m=- 10…10)^ 3;SEQ(COEF(%,x,n),n=0…50);

替代

AA55875列表:= PROC(LEN)系列(JAB)(0,X)^ 3,X,LEN + 1;

SEQ(COFEF(%,x,j),j=0…Le-1)结束:A00 5875列表(75);彼得卢斯尼,10月02日2018

Mathematica

平方〔3,范围〔0, 80〕〕哈维·P·戴尔7月21日2011*)

a[n]:=级数系数[Opjiththeta〔3, 0,q] ^ 3,{q,0,n}〕;(*)米迦勒索摩斯6月25日2014*)

a [n]:=长度@ FunDebug [n=x^ 2 +y^ 2 +z ^ 2,{x,y,z },整数,10 ^ 9 ];(*)米迦勒索摩斯5月21日2015*)

QP= qPoCHM锤;系数列表[QP[Q^ 2 ] ^ 5 /(qp[q] *qp[q^ 4 ])^ 2)^ 3 +o[q] ^ 80,q](*)让弗兰11月24日2015*)

黄体脂酮素

(PARI){A(n)=IF(n<0, 0,PoCOFEF)(和(k=1,Sqrtnt(n),2×x^ k^ 2, 1 +x*o(x^ n))^ 3,n));

(a){a(n)=i(a);If(n<0, 0,a= x*o(x^ n));polcoeff((η(x ^ 2 +a)^ 5 /(η(x+a)*η(x^ 4 +a))^ 2)^ 3,n)};/*;米迦勒索摩斯,军03 2012 *

(PARI){A(n)=i(G);IF(n<0, 0,G=〔1, 0, 0;0, 1, 0;0, 0, 1〕;POLCOFEF(1+2×x Ser(qFRP(g,n)),n))};/*;米迦勒索摩斯5月21日2015*

(圣人)

q=对角线二次型(ZZ,[1)* 3)

QualthPosix编号表(75)彼得卢斯尼6月20日2014

(岩浆)基(模(GAMMA1(4),3/2),75)〔1〕;米迦勒索摩斯6月25日2014*

(朱丽亚)A000 0122.

AA55875列表(LEN)=JabBuiTeTa3(LeN,3)

AA55875列表(75)>彼得卢斯尼3月12日2018

交叉裁判

行D=3A122141以及A319574第三栏A2668.

囊性纤维变性。A07590(本原解)A117609(部分和)A000 4215(零点的位置)。

模拟4方:A000 0118.

x^ 2+y^ 2+k*z ^ 2:A000 5875A01445A034 933A16983AA1697.

囊性纤维变性。A000 0164A000 4013A000 4015A000 844A045 828A045 831A045 834A21338.

RAMANUJAN-theta函数:f(q)(参见)A121378(φ(q))A000 0122(psi(q))A010054)(χ(q))A000 0700

语境中的顺序:A27 966 A1057 A21338*A266933 A266927 A246932

相邻序列:A000 5872 A000 583 A000 584*A000 5876 A000 587 A000 588

关键词

诺恩容易

作者

斯隆

扩展

更多条款杰姆斯·A·塞勒斯8月22日2000

地位

经核准的

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最后修改10月14日18:28 EDT 2019。包含328022个序列。(在OEIS4上运行)