搜索： 编号：a000122
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A000122号
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| 雅可比θ函数θ_3（x）=Sum_{m=-oo..oo}x^（m^2）的展开式（k^2=n的整数解的个数）。 |
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1503
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1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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一维晶格Z的Theta级数。
此外，本质上与一维晶格A_1、A*_1、D_1、D*_1的θ级数相同。
将n写成正方形的方法的数量。
密切相关：theta_4（x）=Sum_{m=-oo..oo}（-x）^（m^2）。请参见A002448美元.
D.Zagier在《模块形式的1-2-3》第30页列出的14个原始eta-products中的第6个，它们是重量为1/2的全纯模块形式-迈克尔·索莫斯2016年5月4日
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参考文献
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Tom M.Apostol，数论中的模函数和狄利克雷级数，第二版，施普林格，1990年，练习1，第91页。
J.M.Borwein和P.B.Borwein.，《Pi和AGM》，威利出版社，1987年，第64页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第104页，[5n]。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球面封装、格和群”，Springer Verlag，第102页。
N.J.Fine，《基本超几何系列与应用》，美国运通。数学。Soc.，1988年；第93页，等式（34.1）；第78页，等式（32.22）。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《定理352》，第282页。
J.Tannery和J.Molk，Eléments de la Théorie des Fonctions Elliptiques，第2卷，Gauthier-Villars，巴黎，1902年；切尔西，纽约，1972年，见第27页。
E.T.Whittaker和G.N.Watson，《现代分析课程》，剑桥大学出版社，第4版，1963年，第464页。
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链接
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史蒂文·芬奇，数学常数II《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018年。
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，关于整数作为三角数和的表示《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
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配方奶粉
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eta（q^2）^5/（eta（q）*eta（q^4））^2的q次幂展开。
周期4序列的欧拉变换[2，-3，2，-1，…]。
G.f.A（x）满足0=f（A（x-迈克尔·索莫斯2004年7月20日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^3），A（x ^9）），其中f（u，v，w）=w^4-v^4+w*（u-w）^3-迈克尔·索莫斯2019年5月11日
G.f.：求和{m=-oo..oo}x^（m^2）；
a（0）=1；对于n>0，a（n）=0，除非n是一个正方形，当a（n）=2。
G.f.：产品{k>0}（1-x^（2*k））*（1+x^）（2*k-1））^2。
G.f.：s（2）^5/（s（1）^2*s（4）^2），其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q）），其中eta（q）是Dedekind函数，参见。A010815号.[罚款]
雅可比三乘积恒等式表明，对于|x|<1，z！=0，产品{n>0}{（1-x^（2n））（1+x^。
对于n>0，a（n）=2*（楼层（sqrt（n））-楼层（squart（n-1）））-米凯尔·奥尔顿2015年1月17日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4t））=2^（1/2）（t/i）^（1/2）f（t），其中q=exp（2Pi it）-迈克尔·索莫斯2016年5月5日
Dirichlet g.f.：2*zeta（2s）-1-弗朗索瓦·奥格2019年10月26日
G.f.似乎等于exp（2*Sum_{n>=0}x^（2xn+1）/（2*n+1）*（1+x^））-彼得·巴拉2021年12月23日
G.f.A.（x）满足A（x）*A（-x）=A（-x^2）^2。
A（x）=和{n>=1}x^（n-1）*乘积{k>=n}1-（-x）^k。
A（x）^2=1+4*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*x^（2*n-1）/（1-x^。例如，见罚款，26.63。
A（x）=1+2*Sum_{n>=1}x^（n*（n+1）/2）*（乘积_{k=1..n-1}1+x^k）/（乘积_{k=1..n}1+x^（2*k））。见Fine，方程式14.43。（结束）
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例子
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G.f.=1+2*q+2*q^4+2*q^9+2*q^16+2*q ^ 25+2*q ^ 36+2*q ^ 49+2*。。。
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MAPLE公司
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加法（x^（m^2），m=-10..10）：seq（系数（%，x，n），n=0..100）；
#备选方案
如果n=0，则
1;
elif issqr（n）那么
2;
其他的
0 ;
结束条件：；
结束进程：
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数学
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a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
系数列表[Sum[x^（m^2），{m，-（n=10），n}]，x]
（4 q赭石[q^2]/q赭石[1，-q]^2+O[q]^101）[[3]](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年9月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^5/（eta（x+a）*eta（x^4+a））^2，n））}/*迈克尔·索莫斯2011年3月14日*/
（PARI）{a（n）=发行方（n）*2-（n==0）}/*迈克尔·索莫斯1999年6月17日*/
（Magma）基（模形式（Gamma0（4），1/2），100）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/
（岩浆）L:=晶格（“A”，1）；A<q>：=θ系列（L，20）；A/*迈克尔·索莫斯2014年11月13日*/
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]）
Q.representation_number_list（105）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（朱莉娅）
使用Nemo
函数JacobiTheta3（len，r）
R、 x=多项式环（ZZ，“x”）
e=θ_qexp（r，len，x）
0中j的[fmpz（系数（e，j））：len-1]结束
A000122列表（len）=JacobiTheta3（len，1）
A000122列表（105）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月12日
（Python）
从sympy.theory.primetest导入为平方
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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