搜索： a032924-编号：a032925
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1, 2, 5, 7, 13, 14, 17, 22, 23, 26, 41, 43, 53, 67, 70, 71, 77, 79, 122, 130, 131, 133, 134, 149, 151, 157, 158, 161, 202, 203, 205, 206, 211, 214, 215, 229, 230, 233, 238, 239, 241, 365, 367, 373, 374, 377, 391, 394, 395, 401, 403, 445, 446, 449, 454, 455, 457
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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该序列在以3为基数的无零数范围内的相对渐近密度为27/（4*Pi^2）=1/A214549型=0.683917…（Banks和Shparlinski，2004）。
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链接
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William D.Banks和Igor E.Shparlinski，限制数字的算术性质《算术学报》，第112卷，第4期（2004年），第313-332页；备用链路.
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数学
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选择[范围[500]！成员Q[Integer Digits[#，3]，0]&&SquareFreeQ[#]&]
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黄体脂酮素
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（PARI）是（n）=vecmin（数字（n，3））>0&&issquarefree（n）；
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 7, 6, 8, 15, 14, 24, 31, 18, 36, 24, 31, 42, 90, 42, 44, 84, 57, 93, 98, 54, 68, 126, 144, 72, 140, 96, 80, 186, 133, 186, 224, 156, 252, 132, 160, 204, 266, 150, 152, 300, 158, 240, 378, 192, 306, 240, 252, 312, 212, 378, 324, 264, 230, 432, 450, 234, 432
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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William D.Banks和Igor E.Shparlinski，限制数字的算术性质《算术学报》，第112卷，第4期（2004年），第313-332页；备用链路.
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配方奶粉
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数学
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DivisorSigma[1，选择[Range[300]！成员Q[整数位数[#，3]，0]&]]
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黄体脂酮素
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（PARI）列表a（kmax）=对于（k=1，kmax，if（vecmin（digits（k，3））>0，打印1（sigma（k），“，”））；
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 4, 6, 4, 12, 6, 8, 16, 10, 22, 20, 12, 16, 40, 42, 20, 42, 20, 24, 52, 66, 32, 24, 70, 36, 60, 78, 32, 110, 60, 60, 100, 48, 130, 108, 66, 72, 148, 150, 72, 156, 78, 64, 132, 100, 168, 160, 102, 210, 104, 106, 168, 228, 88, 112, 232, 96, 238, 240, 110
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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William D.Banks和Igor E.Shparlinski，限制数字的算术性质，《算术学报》，第112卷，第4期（2004年），第313-332页；备用链路.
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配方奶粉
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φ（k）/k的渐近平均值A032924号：极限{m->oo}（1/m）*和{k=1..m}a（k）/A032924号（k） =27/（4*Pi^2）=1/A214549型=0.683917…（Banks和Shparlinski，2004）。
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数学
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EulerPhi[选择[范围[300]！成员Q[整数位数[#，3]，0]&]]
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黄体脂酮素
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（PARI）lista（kmax）=对于（k=1，kmax，如果（vecmin（数字（k，3））>0，print1（eulerphi（k），“，”））；
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A366347飞机
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| a（n）的素因子的数量与n的三元展开式的非零数列数量相同；如果第k次运行对应于A032924号（e） 并且出现在m-10之后，则a（n）的p-adic赋值为e（其中p对应于第m个素数）。 |
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+20
2
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1, 2, 4, 3, 8, 16, 9, 32, 64, 5, 6, 12, 27, 128, 256, 81, 512, 1024, 25, 18, 36, 243, 2048, 4096, 729, 8192, 16384, 7, 10, 20, 15, 24, 48, 45, 96, 192, 125, 54, 108, 2187, 32768, 65536, 6561, 131072, 262144, 625, 162, 324, 19683, 524288, 1048576, 59049
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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这个序列是Doudna序列的变体(A005940号); 这里我们考虑三元展开式中非零数字的游程，还有二进制展开式中的游程。
我们可以为任意固定基b>=2设计一个类似的序列：
-情况b＝3对应于当前序列，
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链接
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配方奶粉
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对于任意k>=0，a（3^k）=素数（1+k）。
a（2*3^k）=素数（1+k）^2，对于任何k>=0。
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例子
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对于n=46：46的三元展开式是“1201；我们有两行非零数字：“12”（=5=A032924号（4） ）和“1”（=1）后=A032924号（1） ）在1-1 0秒之后；所以a（46）=素数（2）^4*prime（1）^1=3^4*2^1=162。
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黄体脂酮素
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（PARI）请参阅链接部分。
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 4, 7, 5, 8, 13, 22, 16, 25, 14, 23, 17, 26, 40, 67, 49, 76, 43, 70, 52, 79, 41, 68, 50, 77, 44, 71, 53, 80, 121, 202, 148, 229, 130, 211, 157, 238, 124, 205, 151, 232, 133, 214, 160, 241, 122, 203, 149, 230, 131, 212, 158, 239, 125, 206, 152, 233, 134, 215, 161, 242, 364
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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根节点没有路径，因此第一个节点路径为0。所有其他路径都由以下术语表示A032924号这是以3为基数的数字，不包含零。从最低的数字基数3开始，如果这是1，那么从根节点到较低级别节点的路径是向左的，否则是向右的。每个连续的数字顺序定义下一个路径，直到达到最高数字顺序并找到指定的节点。
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链接
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例子
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a（11）=25，因此节点11的路径由25给出，当表示为基数3时，该值为221。因此，从根节点到第11个节点的路径是左、右、右。
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数学
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嵌套[{m_，p_}]：=（如果[EvenQ[m]，ind=1，ind=2]；{Floor[m/2]，3p+ind}）；表[NestWhile[nest，{n，0}，#[[1]=1&][[2]，{n，1100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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或者，n>=0出现2^n次-乔恩·佩里2002年9月21日
a（n）+1=n的二进制展开中的位数。
log_2（0）=无穷大。
发件人保罗·魏森霍恩，2010年9月29日，2020年8月11日更新：（开始）
算术平均值：m（1，（c+1）/c）=（2*c+1）/（2*c）；调和平均值：h（1，（c+1）/c）=2*（c+1，（2*c+1）；
a（n）是从2/1达到（n+1）/n的平均数；m表示0，h表示1，n的逆二进制展开，不带前导1，给出了均值序列。
例如，n=20；无前导1:0010-->m m h m或m（1，m（1、h（1、m（2）））的二进制逆展开=21/20。
n从4到7的4个双重含义：
m（1，m（1,2））=m（1,3/2）=5/4，
h（1，m（1,2））=h（1,3/2）=6/5，
m（1，h（1,2））=m（1,4/3）=7/6，
作为绝对值的函数，定义了Z\{0}上的最小欧氏函数v。对于某些函数v:R，环R是欧几里德的\{0}->N a除以非零b可以定义为余数r满足r=0或v（r）<v（b）。对于取v（n）=|n|的整数，v（n）=floor（log_2（|n|））也有效；此外，它是具有最小可能值的可能性。如果除以b>0，则始终可以选择|r|<=floor（b/2）；该序列满足a（1）=0且递归地满足a（n）=1+max（a（1。。。，a（地板（n/2）），对于n>1-马克·范·吕文2011年2月16日
在1..n范围内找到任何k所需的最大猜测次数，答案为“较高”、“较低”和“正确”-乔恩·佩里2013年11月2日
a（n）+1是一个n元素集的成对不相交子集的最小数目，使得对于从1到n的每个k，都有一个基数为k的集，该集是其中一些子集的并集-沃伊切赫·拉斯卡2019年4月15日
n节点二叉树的最小高度-宇春记2021年3月22日
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参考文献
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Rüdeger Baumann，计算机Knobelei，登录Heft 159（2009），74-77-保罗·魏森霍恩2010年9月29日
G.H.Hardy，关于Vacca博士伽马系列的注释，夸特。J.纯应用。数学。，第43卷（1912年），第215-216页。
恩斯特·雅各布斯塔尔（Ernst Jacobsthal），《欧拉舍·孔斯坦特的未来》，《数学与自然》（Mathematisch-Naturwissenschaftliche Blätter），第3卷，第9期（1906年），第153-154页。
Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第1卷：基本算法，第400页。
Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4A卷，组合算法，第7.1.3节，问题41，第589页发件人N.J.A.斯隆2012年8月3日
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链接
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郭乃涵，标准拼图的枚举，arXiv:2006.14070[math.CO]，2020年。
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配方奶粉
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a（n）=如果n>1，则a（floor（n/2））+1；否则为0-莱因哈德·祖姆凯勒2001年10月29日
通用公式：（1/（1-x））*和{k>=1}x^2^k-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月13日
a（n）=k，其中2^k<=n<2^（k+1）；a（n）=地板（log2（n））-保罗·魏森霍恩2010年9月29日
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例子
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a（5）＝2，因为5（＝101）的二进制展开式有三个比特。
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MAPLE公司
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ilog2（n）；
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数学
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楼层[Log[2，Range[110]]](*哈维·P·戴尔2012年7月16日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，BitLength[n]-1]；(*迈克尔·索莫斯2018年7月10日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[伊洛格2（n）：n in[1..130]]；
（PARI）{a（n）=floor（log（n）/log（2））}\\如果不是几乎所有n，可能会对许多n产生不正确的结果。最好使用最新的代码。
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，#binary（n）-1）}/*迈克尔·索莫斯2014年5月28日*/
（哈斯克尔）
a000523 1=0
a000523 n=1+a000522（div n 2）
a000523_list=0:f[0]其中
f xs=ys++f ys其中ys=map（+1）（xs++xs）
（Python）
返回长度（bin（n））-3#柴华武2020年7月9日
（Python）
定义a（n）：返回n.bit_length（）-1
打印（[a（n）表示范围（1106）中的n）]#迈克尔·布拉尼基2023年4月18日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000193号,A000195号,A001222号,A001620号,A003462号,A004233号,A029837号,A032924号,A061168号（部分金额），A070939号,A081604号,A107680号,A113473号,A152487号,A240857型.
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关键词
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作者
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扩展
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乔·基恩（jgk（AT）jgk.org）指出的第四学期的错误已经纠正。
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状态
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经核准的
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0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 27, 28, 30, 31, 36, 37, 39, 40, 81, 82, 84, 85, 90, 91, 93, 94, 108, 109, 111, 112, 117, 118, 120, 121, 243, 244, 246, 247, 252, 253, 255, 256, 270, 271, 273, 274, 279, 280, 282, 283, 324, 325, 327, 328, 333, 334, 336, 337, 351, 352
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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3不除二项式（2s，s）当且仅当s是该序列的成员时，其中二项式=A000984号（s） 是中心二项式系数。
这是词典学上最早的非负数递增序列，不包含长度为3的算术级数Robert Craigen（craigenr（AT）cc.umanitoba.ca），2001年1月29日
此外，n-1的最终值以2为基数写入，然后以3为基数读取，最后将结果转换为以10为基数Philippe LALLOUET（philip.LALLOUET（AT）wanadoo.fr），2007年6月23日
态射的不动点：0->01；1 -> 34; 2 -> 67; ...; n->（3n）（3n+1），从a（1）=0开始-菲利普·德尔汉姆2011年10月22日
该序列似乎列出了满足条件和（二项式（n，k）^（2*j），k=0..n）mod 3<>0，对于任何j，偏移量为0。参见Maple代码-加里·德特利夫斯，2011年11月28日
此外，根据Philippe Lallouet的上述评论，序列必须由规则生成：a（1）=0，如果m在序列中，那么3*m和3*m+1也是如此-L.埃德森·杰弗里2015年11月20日
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参考文献
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理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第3版，斯普林格出版社，2004年，第E10节，第317-323页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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J.-P.Allouche和J.Shallit，k-正则序列的环，理论计算机科学。，98 (1992), 163-197.
J.-P.Allouche和J.Shallit，k-正则序列的环，理论计算机科学。，98 (1992), 163-197.
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配方奶粉
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对n进行编号，使x^n在prod中的系数>0（k>=0，1+x^（3^k））-贝诺伊特·克洛伊特2003年7月29日
a（n+1）=和{k=0..m}b（k）*3^k，n=和（b（k”*2^k）。
a（2n+1）=3a（n+1），a（2n+2）=a（2n+1）+1，a（0）=0。
a（n+1）=3*a（楼层（n/2））+n-2*楼层（n/2）-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月27日
通用公式：（x/（1-x））*Sum_{k>=0}3^k*x^2^k/（1+x^2*k）-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月27日
如果偏移量更改为零，则：a（0）=0，a（n+1）=f（a（n）+1，f（a）+1），其中f（x，y）=如果x<3和x<>2，则y否则如果xmod 3=2，则f（y+1，y+1）否则f（floor（x/3），y）。（结束）
我们有liminf_{n->infinity}a（n）/n^（log（3）/log（2））=1/2和limsup_{n->infinity}a（n）/n^（log（3）/log（2））=1-Gheorghe Coserea公司2015年9月13日
a（2^k+m）=a（m）+3^k，其中1<=m<=2^k和1<=k，a（1）=0，a（2）=1-保罗·魏森霍恩2020年3月22日
总和{n>=2}1/a（n）=2.68285311096617543085391690458469937482167709141571481517175660967228184705…（使用Baillie和Schmelzer的kempnerSums.nb计算，请参阅链接）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年2月12日
a（n）≍n ^k，其中k=log 3/log 2=1.5849625007。（我认为常数在1/2到1之间变化。）-查尔斯·格里特豪斯四世2024年3月29日
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例子
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a（6）=12，因为6=0*2^0+1*2^1+1*2 ^2=2+4和12=0*3^0+1*3^1+1*3 ^2=3+9。
该序列被视为具有长度为1、1、2、4、8、16…的行的三角形：
0
1
3, 4
9, 10, 12, 13
27, 28, 30, 31, 36, 37, 39, 40
81, 82, 84, 85, 90, 91, 93, 94, 108, 109, 111, 112, 117, 118, 120, 121
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MAPLE公司
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t:=（j，n）->加（二项式（n，k）^j，k=0..n）：
我从1岁到400岁
如果（t（4，i）mod 3<>0），则打印（i）fi
#替代Maple计划：
a： =proc（n）选项记住：局部k，m：
如果n=1，则0 elif n=2，则1 elif n>2，则k：=楼层（log[2]（n-1））：m：=n-2^k：进程名称（m）+3^k：fi：结束进程：
seq（a（n），n=1..20）#保罗·魏森霍恩2020年3月22日
#第三个Maple项目：
a： =n->`如果`（n=1，0，irem（n-1，2，'q'）+3*a（q+1））：
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数学
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表[FromDigits[IntegerDigits[k，2]，3]，{k，60}]
选择[Range[0，400]，DigitCount[#，3，2]==0&](*哈维·P·戴尔2012年1月4日*）
从数字[#，3]和/@元组[{0，1}，7](*哈维·P·戴尔2019年5月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A=矢量（100）；对于（n=2，#A，A[n]=if（n%2，3*A[n\2+1]，A[n-1]+1））；A类\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年7月24日
（PARI）是（n）=while（n，如果（n%3>1，返回（0））；n=3）；1 \\查尔斯·格里特豪斯四世2013年3月7日
（哈斯克尔）
a005836 n=a005836_列表！！（n-1）
a005836_list=过滤器（==1）。a039966）[0..]
（Python）
return int（格式（n-1，'b'），3）#柴华武，2015年1月4日
（朱莉娅）
函数a（n）
m、 r，b=n，0，1
当m>0时
m、 q=divrem（m，2）
r+=b*q
b*=3
结束
r端；[a（n）for n in 0:57]|>打印ln#彼得·卢什尼2021年1月3日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002426号,A004793号,A005823号,A007088号,A007089号,A032924号,A033042号-A033052号,A054591号,A055246号,A062548号,A065361号,A074940号,A081601号,A081603号,A081611号,A083096号,A089118号,A121153号,A170943号,A185256个.
关于为（a，b）的以下值生成函数Product_｛k>=0｝（1+a*x^（b^k）），请参见：（1,2）A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665美元, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
避免指定长度算术累进的递增序列汇总（每对中的第二个序列通过第一个序列加1得到）：
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关键词
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非n,美好的,容易的,基础,标签
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作者
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扩展
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OEIS副编辑编辑，2009年4月7日
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 111, 112, 113
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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条目1到79与对应的子序列匹配A043095型，但随后81、91-98、100、102等仅在两个序列中的一个序列中-R.J.马塔尔，2008年10月13日
a（n）=n以9为基数，其中不允许零，但允许九。使用的九个不同的数字是1、2、3…、。。。，9而不是0、1、2…、。。。，8.要从允许零的“规范”基9序列中获得此序列，只需将任何0替换为9，然后从左侧的一组数字中减去1即可。例如，9^3=729（10）（以10为基数）=1000（9）（以9为基数）=889-罗宾·加西亚2014年1月15日
反转：给定一个项m，指数n，使得a（n）=m可以通过以下公式计算A052382号_逆（m）=m-sum{1<=j<=k}floor（m/10^j）*9^（j-1），其中k:=floor（log_10（m））[有关Smalltalk中的实现，请参阅Prog部分]。
示例1：A052382号_逆（137）=137-（楼层（137/10）+楼层（137/100）*9）=137-（13*1+1*9）=137-22=115。
示例2：A052382号_逆（4321）=4321-（楼层（4321/10）+楼层（43201/100）*9+楼层（4221/1000）*81）=4321-（432*1+43*9+4*81）=4321-。（结束）
这些数字从a（1）=1到无穷大的倒数之和，称为Kempner级数，收敛到一个极限：23.103447……其十进制展开式为A082839号. -伯纳德·肖特2019年2月23日
整数n>0使用以9为基数的双射数字编码，请参阅下面的维基百科链接-阿洛伊斯·海因茨2020年2月16日
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参考文献
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保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos），“年轻人和老年人的数学问题”，多尔恰尼数学博览会，1991年，第258页。
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链接
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配方奶粉
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a（n+1）=f（a（n）），其中f（x）=1+如果x模10<9，则x其他10*f（[x/10]）-莱因哈德·祖姆凯勒2009年11月15日
a（n）=总和{j=0..m-1}（1+b（j）mod 9）*10^j，其中m=楼层（log_9（8*n+1）），b（j。
另外：a（n）=和{j=0..m-1}（1+A010878号（b（j））*10^j。
a（9*n+k）=10*a（n）+k，k=1..9。
特殊值：
a（k*（9^n-1）/8）=k*（10^n-1）/9，k=1..9。
a（（17*9^n-9）/8）=2*10^n-1。
a（（9^n-1）/8-1）=10^（n-1）-1，n>1。
不平等：
a（n）<=（1/9）*（（8*n+1）^（1/log_10（9））-1），等式适用于n=（9^k-1）/8，k>0。
a（n）>（1/10）*（8*n+1）^（1/log_10（9））-1），n>0。
下限和上限：
lim-inf a（n）/10^log9（8*n）=1/10，对于n->无穷大。
lim-inf a（n）/n^（1/log_10（9））=8^（1/1log_10，9））/10，对于n->无穷大。
lim-supa（n）/10^log9（8*n）=1/9，对于n->无穷大。
lim-supa（n）/n^（1/log_10（9））=8^（1/1log_10，9）/9，对于n->无穷大。
通用公式：G（x）=（x^（1/8）*（1-x））^（-1）和{j>=0}10^j*z（j）^。
另外：g（x）=（1/（1-x））和{j>=0}（1-10（x^9^j）^9+9。这里，f_j服从递归f_0（x）=1/（1-x^9），f_（j+1）（x）=10x*f_j（x^9。
另外：g（x）=（1/（1-x））*（（总和{k=0..8}h_（9，k）（x））-9*h_（9,9）（x。
数字以p为基数且仅使用数字1、2、3…的类似序列的通用公式。。。d、 其中1<d<p：
a（n）=总和{j=0..m-1}（1+b（j）mod d）*p^j，其中m=楼层（log_d（（d-1）*n+1）），b（j。
特殊值：
a（k*（d^n-1）/（d-1））=k*（10^n-1。
a（d*（（2d-1）*d^（n-1）-1）/（d-1））=（（d+9）*10^n-d）/9=10^n+d*（10^n-1）/9。
a（（d^n-1）/（d-1）-1）=d*（10^（n-1）-1）/9，n>1。
不平等：
a（n）<=（10^log_d（（d-1）*n+1）-1）/9，等式适用于n=（d^k-1）/（d-1），k>0。
a（n）>（d/10）*（10^log_d（（d-1）*n+1）-1）/9，n>0。
下限和上限：
lim-inf a（n）/10^log_d（（d-1）*n）=d/90，对于n->无穷大。
lim-supa（n）/10^log_d（（d-1）*n）=1/9，对于n->无穷大。
G.f.：G（x）=（1/（1-x））和{j>=0}（1-（d+1）（x^d^j）^d+d（x^d_j）^（d+1。这里，f_j服从递归f_0（x）=1/（1-x^d），f_（j+1）（x）=px*f_j（x^d。
（结束）
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=0.696899720。。。
和{n>=1}1/a（n）^2=1.6269683705819。。。
和{n>=1}1/a（n）=23.1034479=A082839号这个所谓的凯姆普纳级数收敛得很慢。对于总和的计算，使用以下快速收敛的部分和分数是有帮助的：
lim{n->无穷}（和{k=p（n）..p（n+1）-1}1/a（k））/（和{k=p（n-1）..p。
（结束）
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例子
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MAPLE公司
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a： =proc（n）局部d，l，m；m： =n；l： =空；
当m>0时，d：=irem（m，9，'m'）；
如果d=0，则d:=9；m： =m-1 fi；
l： =d，l
od；解析（cat（l））
结束时间：
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a052382 n=a052382_list！！（n-1）
a052382_list=迭代f 1，其中
f x=1+如果r<9，则x其他10*f x'，其中（x'，r）=divMod x 10
（Magma）[1..114]中的[n:n | Intseq（n）中不是0]//布鲁诺·贝塞利2011年5月28日
（sh）seq 0 1000 | grep-v 0#约尔格·阿恩特2011年5月29日
（PARI）a（n）=对于（w=0，oo，如果（n>=9^w，n-=9^w，返回（（10^w-1）/9+来自数字（数字（n，9）））\\雷米·西格里斯特2017年7月26日
（PARI）
应用（{A052382号（n，L=logint（n，9））=从数字（数字（n-9^L>>3，9））+10^L\9｝，[1.100]）
下一个_A052382号（n，d=数字（n+=1））={表示（i=1，#d，d[i]||return（n-n%（d=10^（#d-i+1））+d\9））；n}\\least a（k）>n。用于A038618号.
\\有关更多程序，请参阅OEIS Wiki页面（请参阅LINKS）-M.F.哈斯勒，2020年1月11日
（Smalltalk）
^自零：10
^自零自由反向：10
零自由：基数
“回答基数中的第n个零自由数，其中n是接收器。对于基数>2有效。
用法：n无零：b[b=10用于此序列]
答案：a（n）“
|n m s c bi cid|
n：=自身。
c：=基础-1。
m:=（基数-2）*n+1整数楼层对数：c。
d：=n-（（（c raisedToInteger:m）-1）//（基数-2））。
bi：=1。
ci：=1。
s：=0。
1至：m
执行：
[：i|
s：=（d//ci\\c+1）*bi+s。
bi:=基础*bi。
ci:=c*ci]。
^秒
zerofree_inverse：基数
“回答索引n，使第n个零自由数在基数为=m，其中m是接收器。对于基数>2有效。
用法：m zerofree_inverse:b[b=10用于此序列]
答案：n“
|百万分之一秒|
m:=自身。
s：=0。
p:=基础。
q：=1。
[p<m]whileTrue:
[s:=m//p*q+s。
p:=基础*p。
q:=（基数-1）*q]。
^米-秒
（Python）
A052382号=[n代表范围（1，10**5）中的n，如果不是str（n）.count（'0'）]
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交叉参考
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关键词
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基础,容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A053645号
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| 到2的最大幂的距离小于或等于n；用二进制写n，将第一个数字改为零，然后再转换回十进制。 |
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+10
86
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0, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,6
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评论
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也没有初始零：以3为基数的无零数字(A032924号: 1, 2, 11, 12, 21, ...), 三元数字减少1，读取为二进制-M.F.哈斯勒2020年6月22日
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链接
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J.-P.Allouche和J.Shallit，k-正则序列的环，预印本，理论计算机科学。，98 (1992), 163-197.
J.-P.Allouche和J.Shallit，k-正则序列的环，理论计算机科学。，98（1992）、163-197（见例24）。
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配方奶粉
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通用公式：1/（1-x）*（（2x-1）/（1-x”）+和{k>=1}2^（k-1）*x^2^k）-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月18日
a（1）=0，a（2n）=2a（n），a（2 n+1）=2a-（n）+1-N.J.A.斯隆2003年9月13日
a（n）=f（n-1,1），其中f（n，m）=如果n<m，则n为f（n-m，2*m）-莱因哈德·祖姆凯勒2009年5月20日
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例子
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序列以不规则三角形开头：
0;
0,1;
0,1,2,3;
0,1,2,3,4,5,6,7;
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;
...
（结束）
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MAPLE公司
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seq（n-2^ilog2（n），n=1..1000）#罗伯特·伊斯雷尔2015年12月23日
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数学
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表[FromDigits[Rest[IntegerDigits[n，2]]，2]，{n，100}](*岩部裕一（u）ki2017年5月25日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a053645 1=0
a053645 n=2*a053645n’+b，其中（n’，b）=divMod n 2
a053645_list=concatMap（0`enumFromTo`）a000225_list
（岩浆）[1..70]]中的[n-2^Ilog2（n）：n//文森佐·利班迪，2019年7月18日
（Python）
定义a（n）：返回n-2**（n.bit_length（）-1）
打印（[a（n）代表范围（1，85）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年7月3日
（Python）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000225号,A000523号,A002262号,A004760型,A006257号,A006516号,A030308年,A036987号,A053644号,A062050型,A083741号,A160588号.
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A007931号
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| 只包含1和2的数字。按字典顺序排列的长度为n的非空二进制字符串。 |
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+10
82
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1, 2, 11, 12, 21, 22, 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222, 1111, 1112, 1121, 1122, 1211, 1212, 1221, 1222, 2111, 2112, 2121, 2122, 2211, 2212, 2221, 2222, 11111, 11112, 11121, 11122, 11211, 11212, 11221, 11222, 12111, 12112, 12121, 12122
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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用二元系统书写的数字[Smullyan，Stillwell]-N.J.A.斯隆2019年2月13日
逻辑二进制序列：在其前面加一个空单词，使字母表上的所有二进制单词都为{1,2}。
长度k的最小二进制字是a（2^k-1）。
关于逻辑二进制序列，请参阅Mathematica程序，使用（0,1）代替（1,2）；序列从0,1,00,01,10开始-克拉克·金伯利2012年2月9日
a（n）是以2为基数的n，其中不允许零，但允许二。使用的两个不同的数字是1，2，而不是0，1。要从允许零的“规范”基2序列中获得此序列，只需将任何0替换为2，然后从左侧的一组数字中减去1：（10-->2；100-->12；110-->22；1000-->112；1010-->122）-罗宾·加西亚2014年1月31日
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参考文献
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J.-P.Allouche和J.Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第2页发件人N.J.A.斯隆2012年7月26日
K.Atanassov，《关于第97、98和99个Smarandache问题，数论和离散数学笔记》，保加利亚索菲亚，第5卷（1999），第3期，89-93。
R.M.Smullyan，形式系统理论，普林斯顿，1961年。
John Stillwell，《逆向数学》，普林斯顿，2018年。见第90页。
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链接
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詹姆斯·福斯特，没有零符号的数字系统《数学杂志》，第21卷，第1期。（1947年），第39-41页。
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配方奶粉
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要得到a（n），请以2为基数写n+1，去掉首字母1，将1加到所有剩余的数字上：例如，以2为底的十一（11）是1011；去掉首字母1，在剩下的数字上加1：a（10）=122-克拉克·金伯利2003年3月11日
相反，给定a（n），要得到n：从所有数字中减去1，前缀为初始1，将此二进制数转换为以10为基数，减去1。例如，a（6）=22->11->111->7->6-N.J.A.斯隆2012年7月9日
这些公式仅用于计算以10为基数的数字1和2。
a（n）=总和{j=0..m-1}（1+b（j）mod 2）*10^j，其中m=楼层（log_2（n+1）），b（j”=楼层（（n+1-2^m）/（2^j））。
特殊值：
a（k*（2^n-1））=k*（10^n-1”）/9，k=1,2。
a（3*2^n-2）=（11*10^n-2”）/9=10^n+2*（10^n-1）/9。
a（2^n-2）=2*（10^（n-1）-1）/9，n>1。
不平等：
a（n）<=（10^log2（n+1）-1）/9，等式适用于n=2^k-1，k>0。
a（n）>（2/10）*（10^log2（n+1）-1）/9。
下限和上限：
lim-inf a（n）/10^log_2（n）=1/45，对于n-->无穷大。
lim-supa（n）/10^log_2（n）=1/9，对于n-->无穷大。
G.f.：G（x）=（1/（x（1-x）））*sum_{j=0.无穷大}10^j*x^（2*2^j）*（1+2x^2^j。
另外：g（x）=（1/（1-x））*（h（2,0）（x）+h（2,1）。
另外：g（x）=（1/（1-x））sum_{j>=0}（1-3（x^2^j）^2+2。fj服从递归f_0（x）=1/（1-x^2），f_（j+1）（x）=10x*f_j（x2）。（结束）
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例子
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在组织环境信息系统中，正数不能以0开头，否则该序列将被写为：0，1，00，01，10，1000，001，010，011，100，101，110，111，0000，0001，0010，0011，0100，0101，0111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111，00000，00001，00010，00011，0011。。。
a（10）=122。
a（100）=211212。
a（10^3）=222212112。
a（10^4）=1122211121112。
a（10^5）=2111122121211112。
a（10^6）=222121111112111112。
a（10^7）=11221112112122121111112。
a（10^8）=1222221212211211111112。
a（10^9）=221222112212122112121111112。（结束）
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MAPLE公司
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#生成序列的Maple程序：
a： =proc（n）局部m，r，d；m、 r：=n，0；
当m>0时，d：=irem（m，2，'m'）；
如果d=0，则d:=2；m： =m-1 fi；
r： =d，r
od；解析（cat（r））/10
结束时间：
#Maple程序反转此序列：给定a（n），它返回n-N.J.A.斯隆2012年7月9日
反转7931:=进程（u）
局部t1，t2，i；
t1:=换算（u，基数，10）；
[seq（t1[i]-1，i=1..nops（t1））]；
[操作（%），1]；
t2:=换算（%，基数，2，10）；
加上（t2[i]*10^（i-1），i=1..nops（t2））-1；
结束；
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数学
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f[n_]：=起始数字[静止@整数位数[n+1，2]+1]；数组[f，42](*罗伯特·威尔逊v2006年9月14日*）
d[n_]：=起始数字[静止@整数位数[n+1，2]+1]；数组[FromCharacterCode[ToCharacterCode[ToString[d[#]]]-1]&，100](*彼得·J·C·摩西，应要求克拉克·金伯利2012年2月9日*）
扁平[表格[起始数字/@元组[{1，2}，n]，{n，5}]](*哈维·P·戴尔2014年9月13日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a007931 n=f（n+1），其中
f x=如果x<2，则0（10*f x’）+m+1
其中（x'，m）=divMod x 2
（PARI）适用（{A007931号（n） =来自数字（[d+1|d<-二进制（n+1）[^1]]）}，[1..44]）\\M.F.哈斯勒，2020年11月3日，替换2015年3月26日起的旧代码
（PARI）/*反函数*/应用（{A007931号_inv（N）=来自数字（[d-1|d<-数字（N）]，2）+2<<登录（N，10）-1}，[1，2，11，12，21，22，111]）\\M.F.哈斯勒2020年11月9日
（岩浆）[1..100000]|Set（Intseq（n））子集{1，2}]中的n:n//文森佐·利班迪，2016年8月19日
（Python）
定义a（n）：返回int（bin（n+1）[3:].replace（'1'，'2'）.replate（'0'，'1'））
打印（[a（n）代表范围（1，45）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年5月13日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007932号（数字1-3），A059893号,A045670号,A052382号（数字1-9），A059939号,A059941号,A059943号,A032924号,A084544号,A084545号,A046034号（素数2,3,5,7），A089581号,A084984号（无素数）；A001742号,A001743号,A001744号：循环；A202267号（数字0、1和素数），A202268型（数字1,4,6,8,9），A014261号（奇数），A014263号（偶数）。
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关键词
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非n,基础,美好的,容易的
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作者
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R.穆勒
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扩展
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经核准的
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