搜索: a345924-编号:a345925
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1, 1, 3, 10, 35, 126, 462, 1716, 6435, 24310, 92378, 352716, 1352078, 5200300, 20058300, 77558760, 300540195, 1166803110, 4537567650, 17672631900, 68923264410, 269128937220, 1052049481860, 4116715363800, 16123801841550, 63205303218876, 247959266474052
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0, 3
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评论
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请注意,没有边的唯一根树没有叶子,因此a(0)=1是按照约定的-迈克尔·索莫斯2011年7月30日
汉克尔变换是A000027号; 例如:Det([1,1,3,10;1,3,10,35;3,10,35126;10,35126462])=4-菲利普·德尔汉姆2007年4月13日
a(n)是函数f:[n]->[n]的个数,对于所有x,在[n]中,如果x<y,则f(x)<=f(y)。所以2*a(n)-n=A045992号(n) ●●●●-杰弗里·克雷策2009年4月2日
() (11) (22) (33)
(121) (132)
(1111) (231)
(1122)
(1221)
(2112)
(2211)
(11121)
(12111)
(111111)
对于n>0,a(n)也是2n与交替和2的整数合成数。
(结束)
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参考文献
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L.W.Shapiro和C.J.Wang,通过2 X 2矩阵生成恒等式,《数值国会》,205(2010),33-46。
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链接
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安瓦尔·加布拉(Anwar Al Ghabra)、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko,多根平面树的计数,arXiv:2301.09765[math.CO],2023。
Toufik Mansour和Mark Shattuck,n种颜色成分及其相关序列的统计,程序。印度学院。科学。(数学科学)第124卷,第2期,2014年5月,第127-140页。
米尔恰·梅尔卡,余弦幂和的一个注记《整数序列》,第15卷(2012年),第12.5.3条。
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配方奶粉
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总面积:(1+1/sqrt(1-4*x))/2。
a(n)=二项式(2*n-1,n)。
a(n)=(n+1)*A000108号(n) /2,n>=1.-B.Dubalski(Dubalski,AT)atr.bydgoszcz.pl),2002年2月5日(年A060150型)
a(n)=(0^n+C(2n,n))/2-保罗·巴里2004年5月21日
a(n)是x^n在1/(1-x)^n中的系数,也是1/(1-x)^n.的前n个系数的和。给定B(x),其性质是:B(x。
a(n)=和{k=0..n}二项式(2n,k)cos((n-k)*Pi)};
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,(n-k)/2)(1+(-1)^(n-k;
a(n)=和{k=0..floor(n/2)}二项式(n,k)cos((n-2k)Pi/2)}(带插值零);(结束)
通用公式:1/(1-x/(1-2x/(1-(1/2)x/(1-1-(3/2)x/;
例如:(曝气序列)(1+Bessel_I(0,2*x))/2。(结束)
例如:E(x)=1+x/(g(0)-2*x);G(k)=(k+1)^2+2*x*(2*k+1)-2*x*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月21日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*二项式(2*n,n+k)-米尔恰·梅卡2012年1月28日
a(n)=rf(n,n)/ff(n,n),其中rf是上升阶乘,ff是下降阶乘-彼得·卢什尼2012年11月21日
递归D-有限:n*a(n)+2*(-2*n+1)*a(n-1)=0-R.J.马塔尔2012年12月4日
a(n)=表层([1-n,-n],[1],1)-彼得·卢什尼2014年9月22日
G.f.:1+x/W(0),其中W(k)=4*k+1-(4*k+3)*x/(1-(4*k+1)*x:(4*k+3-;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年11月13日
例如:(1+exp(2*x)*BesselI(0.2*x))/2-伊利亚·古特科夫斯基2021年11月3日
求和{n>=0}1/a(n)=5/3+4*Pi/(9*sqrt(3))。
求和{n>=0}(-1)^n/a(n)=3/5-8*log(phi)/(5*sqrt(5)),其中phi是黄金比率(A001622号). (结束)
a(n)~2^(2*n-1)/sqrt(n*Pi)-斯特凡诺·斯佩齐亚2024年4月17日
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例子
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G.f.=1+x+3*x^2+10*x^3+35*x^4+126*x^5+462*x^6+1716*x^7+。。。
有三个边的五根有序树有10片叶子。
..x。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
…o.x.x.x……x。。。。。。。。。
…好…好……好….x.o.x.x.x。。
…r…r…r…r…r…r…r。。。。
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MAPLE公司
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seq(二项式(2*n-1,n),n=0..24)#彼得·卢什尼2014年9月22日
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数学
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a[n_]:=级数系数[(1-x)^-n,{x,0,n}];
c=(1-(1-4 x)^(1/2))/(2 x);系数列表[级数[1/(1-(c-1)),{x,0,20}],x](*杰弗里·克雷策2010年12月2日*)
表[二项式[2n-1,n],{n,0,20}](*文森佐·利班迪2014年8月7日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,With[{m=2n},m!级数系数[(1+BesselI[0,2x])/2,{x,0,m}]];(*迈克尔·索莫斯2014年11月22日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=和(i=0,n,二项式(n+i-2,i))};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff((1+1/sqrt(1-4*x+x*O(x^n)))/2,n)};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polceoff(1/(1-x+x*O(x^n))^n,n))};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,二项式(2*n-1,n))};
(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,polcoeff(subst((1-x)/(1-2*x),x,serreverse(x-x^2+x*O(x^n)),n))};
(鼠尾草)
返回rising_factorial(n,n)/falling_factial(n,n)
(岩浆)[二项式(2*n-1,n):n in[0..30]]//文森佐·利班迪2014年8月7日
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交叉参考
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n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合:
囊性纤维变性。A000027号,A000070型,A000097号,A000108号,A001622号,A006232号,A008965号,A039599号,A045992号,A058696号,A094527号,A097070型,A110162号,A110555号,A180662号,A238279号,A239830型,A325534型,A325535型,A333213飞机,A344607飞机,A344611型,A344617飞机.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A002054号
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| 二项式系数C(2n+1,n-1)。 (原名M3913 N1607)
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+10 88
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1, 5, 21, 84, 330, 1287, 5005, 19448, 75582, 293930, 1144066, 4457400, 17383860, 67863915, 265182525, 1037158320, 4059928950, 15905368710, 62359143990, 244662670200, 960566918220, 3773655750150, 14833897694226, 58343356817424, 229591913401900
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a(n)=S_{n+2}中正好包含一个312模式的置换数。例如,S_3的a_1=1置换恰好包含一个312模式,而S_4的a_2=5置换正好包含一个321模式,即1423、2413、3124、3142和4231。如果312被132、213或231(但不是123或321,参见A003517号). [评论修订人N.J.A.斯隆2022年11月26日]
半长n+1的所有Dyck路径中的谷数。示例:a(2)=5,因为UD*UD*UD、UD*UUDD、UUDD*UD、UUD*UDD、UUUDDD,其中U=(1,1),D=(1,-1),谷值用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
半长n+1的所有Dyck路径中的UU数(双上升)。示例:a(2)=5,因为UDUDUD、UDU*UDD、U*UDDUD、U*UDUDD、U*U*UDDD,双升序用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
在半长n+1的所有Dyck路径中,高于一级(高峰值)的峰值数。例如:a(2)=5,因为UDUDUD、UDUU*DD、UU*DDUD、UU*DU*DD和UUU*DDD,峰值用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
通过非交叉对角线将凸(n+3)-边剖分为多个区域的次数,其中n-1个区域为三角形。例如:a(2)=5,因为凸五边形ABCDE被AC、BD、CE、DA、EB中的任何对角线分割成正好包含1个三角形的区域-Emeric Deutsch公司2004年5月31日
具有n+1个内部节点的所有完整二叉树中的跳转数。在全二叉树的预序遍历中,从更深层次的节点到严格更高层次的节点的任何转换都被称为跳跃-Emeric Deutsch公司2007年1月18日
a(n)是所有Dyck路径中非空Dyck子路径的总数(A000108号)例如,Dyck路径UUDUUDDD的Dyck子路径延伸到位置1-8(整个路径)、2-3、2-7、4-7、5-6,因此为a(4)贡献5-大卫·卡伦2008年7月25日
a(n+1)是避免模式132的所有n个排列集合中的上升总数。例如,a(2)=5,因为集合123、213、231、312、321中有5个上升-切恩·霍姆伯格2013年10月25日
具有最大条目2n+1的形状(n+1,n+1)递增表的数量。递增表是一个半标准表,其中的行和列严格递增,条目集是正整数的初始段。例如:a(2)=5计算五个表(124)(235)、(123)(245)、(124”(345)、“(134)(244)”、“(123)”(245”)-奥利弗·佩切尼克2014年5月2日
a(n)是2n+1到大小为2的n-1块和大小为3的1块的非交叉分区数-奥利弗·佩切尼克2014年5月2日
半平面中的路径数x>=0,从(0,0)到(2n+1,3),由步骤U=(1,1)和D=(1,-1)组成。例如,对于n=2,我们有5条路径:UUUUD、UUUDU、UUDUU、UDUUU、DUUUU-何塞·路易斯·拉米雷斯2015年4月19日
还有2n+2位的二进制数和两个大于1的0的二进制数。例如,a(2)=5个二进制数为:100001、100010、100100、101000、110000,十进制值为33、34、36、40、48。允许第一个数字0表示A001791号,排名依据345910美元/A345912型.
还有2n+2的整数组合数,其中序列(y_1,…,y_k)的交替和是sum_i(-1)^(i-1)y_i。例如,a(3)=21的组合是:
(35) (152) (1124) (11141) (111113)
(251) (1223) (12131) (111212)
(1322) (13121) (111311)
(1421) (14111) (121112)
(2114) (121211)
(2213) (131111)
(2312)
(2411)
以下与这些组合物有关:
(结束)
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第828页。
乔治·格拉泽(George Grätzer),《一般格理论》(General Lattice Theory)。Birkhauser,巴塞尔,1998年,第2版,第474页,第3行。
A.P.Prudnikov,Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev,“积分与级数”,第1卷:“初等函数”,第4章:“有限和”,纽约,Gordon和Breach科学出版社,1986-1992年。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年[备选扫描件]。
安瓦尔·加布拉(Anwar Al Ghabra)、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko,多根平面树的计数,arXiv:2301.09765[math.CO],2023。
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov,置换的纯下降统计量《离散数学》,第340卷,第10期(2017年),第2550-2558页;预印本, 2017.
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian,具有给定模式位置模的灾难的Dyck路径,澳大利亚J.Comb。(2022)第84卷,第2期,398-418。
A.凯利,关于多边形的划分,程序。伦敦数学。Soc.,Vol.22(1891),pp.237-262=数学论文集,Vols。1-13,剑桥大学出版社,伦敦,1889-1897年,第13卷,第93页及其后。
Emeric Deutsch公司,Dyck路径枚举,离散数学。,第204卷,第1-3期(1999年),第167-202页。
卢卡·费拉里和伊曼纽尔·穆纳里尼,一些路径格中边的计数,J.国际顺序。,第17卷(2014年),第14.1.5条;arXiv预印本,arXiv:12036792【math.CO】,2012年。
何晓宇、黄慧卿、南义勋和塔珀,随机方块和反向随机方块,arXiv:2109.12455[math.CO],2021。
克莱门斯·休伯格(Clemens Heuberger)、莎拉·塞尔柯克(Sarah J.Selkirk)和斯蒂芬·瓦格纳(Stephan Wagner),基于降阶模k高度的广义Dyck路径枚举,arXiv:2204.14023[math.CO],2022。
沃纳·克兰迪克,树、跳跃和真正的根,J.计算与应用数学。,第162卷,第1期(2004年),第51-55页。
图菲克·曼苏尔,Dyck路径统计《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.1.5条。
Toufik Mansour和Alek Vainshtein,计算排列中123的出现次数,arXiv:math/01005073[math.CO],2001年。
罗纳德·里德,关于多边形的一般剖分《Aequationes Mathematicae》,第18卷,第1-2期(1978年),第370-388页;预打印, 1974.
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配方奶粉
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a(n)=Sum_{j=0..n-1}二项式(2*j,j)*二项式(2*n-2*j,n-j-1)/(j+1)。-Yong Kong(ykong(AT)curagen.com),2000年12月26日
a(n)=二项式(2*n+1,n-1)=n*C(n+1)/2,C(n)=A000108号(n) (加泰罗尼亚语)。
G.f.:(1-2*x-(1-3*x)*c(x))/(x*(1-4*x)),带有A000108号.(结束)
通用:2F1(5/2,2;4;4*x)-R.J.马塔尔2015年8月9日
递归D-有限:a(n+1)=a(n)*(2*n+3)*(2*n+2)/(n*(n+3))-柴华湖,2016年1月26日
例如:(贝塞尔I(0,2*x)+(1-1/x)*BesselI(1,2*x。
a(n)~2^(2*n+1)/sqrt(Pi*n)。(结束)
a(n)=(1/(n+1))*和{i=0..n-1}(n+1-i)*二项式(2n+2,i),n>=1-塔拉斯·戈伊,2018年8月9日
总面积:(x-1+(1-3*x)/sqrt(1-4*x))/(2*x^2)-迈克尔·索莫斯2021年7月28日
和{n>=1}1/a(n)=5/3-2*Pi/(9*sqrt(3))。
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=52*log(phi)/(5*sqrt(5))-7/5,其中phi是黄金比率(A001622号). (结束)
G.f.:x/(1-4*x)^2*c(-x/(1-1-4*x))^3,其中c(x)=(1-sqrt(1-4**))/(2*x)是加泰罗尼亚数字的G.fA000108号. -彼得·巴拉2024年2月3日
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例子
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G.f.=x+5*x^2+21*x^3+84*x^4+330*x^5+1287*x^6+5005*x^7+。。。
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MAPLE公司
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with(combstruct):seq((count(Composition(2*n+2),size=n)),n=1..24)#零入侵拉霍斯2007年5月3日
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数学
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系数列表[系列[8/((Sqrt[1-4x]+1)^3)*Sqrt[1-4x]),{x,0,22}],x](*罗伯特·威尔逊v2011年8月8日*)
a[n]:=二项式[2n+1,n-1];(*迈克尔·索莫斯2014年4月25日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=二项式(2*n+1,n-1)};
(Magma)[二项式(2*n+1,n-1):[1..30]]中的n//文森佐·利班迪2015年4月20日
(Python)
来自未来进口部
对于范围(1,10**3)中的n:
b=b*(2*n+2)*(2*n+3)//(n*(n+3#柴华湖2016年1月26日
(GAP)列表([1..25],n->二项式(2*n+1,n-1))#穆尼鲁·A·阿西鲁,2018年8月9日
(Sage)[(1..25)中n的二项式(2*n+1,n-1)]#G.C.格鲁贝尔2019年3月22日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000097号,A000346号,A000984号,A001622号,A001700号,A007318号,A008549号,A031444号,A058622号,A097805号,2016年1月,A138364号,A163493号,A202736型.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A058622号
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| a(n)=2^(n-1)-((1+(-1)^n)/4)*二项式(n,n/2)。 |
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+10 50
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0, 1, 1, 4, 5, 16, 22, 64, 93, 256, 386, 1024, 1586, 4096, 6476, 16384, 26333, 65536, 106762, 262144, 431910, 1048576, 1744436, 4194304, 7036530, 16777216, 28354132, 67108864, 114159428, 268435456, 459312152, 1073741824, 1846943453
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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a(n)是1大于0的n位二进制序列的数目-杰弗里·克雷策2009年7月16日
映射到在数字行上以0结束且步长为1或-1的行走数-本杰明·费拉鲍姆2011年3月6日
Chris Godsil观察到a(n)是(n+1)-折叠立方体图的独立数;证明是通过Cvetkovic的特征值界来建立一个上界和独立集的直接构造,当n是奇数(奇数,偶数)时,通过观察距固定顶点奇数(对应,偶数的)距离处的顶点-斯坦·瓦贡2013年1月29日
还有包含奇数多于偶数的{1,2,…,n}子集的数目。例如,对于n=4,a(4)=5,并且5个子集是{1}、{3}、{1,3}、{1,2,3}、{1,3,4}。请参见A014495号当偶数和奇数的数目相同时-恩里克·纳瓦雷特2018年2月10日
此外,零个数与一个数不同的长度为n的二进制序列的一半。这也是具有非零交替和的n的整数组成的数目,其中序列(y_1,…,y_k)的交替和为sum_i(-1)^(i-1)y_i。也是具有交替和<=0的n+1的整数组成的数目,按A345915型(反面:A345916型). -古斯·怀斯曼2021年7月19日
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参考文献
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A.P.Prudnikov,Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev,“积分和级数”,第1卷:“初等函数”,第4章:“有限和”,纽约,Gordon和Breach科学出版社,1986-1992,等式(4.2.1.7)
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链接
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配方奶粉
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a(n)=2^(n-1)-((1+(-1)^n)/4)*二项式(n,n/2)。
a(n)=和{i=0..floor((n-1)/2)}二项式(n,i)。
G.f.:2*x/((1-2*x)*(1+2*x+(1+2**)*(1-2**))^(1/2))-弗拉德塔·乔沃维奇2003年4月27日
例如f:(E^(2x)-I_0(2x))/2,其中I_n是修改的贝塞尔函数-本杰明·费拉鲍姆2011年3月6日
D-有限,递归n*a(n)+2*(-n+1)*a(n-1)+4*-R.J.马塔尔2021年9月23日
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例子
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G.f.=x+x^2+4*x^3+5*x^4+16*x^5+22*x^6+64*x^7+93*x^8+。。。
a(1)=1到a(5)=16的非零交替和组成:
(1) (2) (3) (4) (5)
(1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (3,1) (2,3)
(1,1,1) (1,1,2) (3,2)
(2,1,1) (4,1)
(1,1,3)
(1,2,2)
(1,3,1)
(2,1,2)
(2,2,1)
(3,1,1)
(1,1,1,2)
(1,1,2,1)
(1,2,1,1)
(2,1,1,1)
(1,1,1,1,1)
(结束)
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数学
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表[Sum[二项式[n,Floor[n/2+i]],{i,1,n}],{n,0,32}](*杰弗里·克雷策2009年7月16日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,(2^n-Boole[EvenQ@n]二项式[n,商[n,2])/2];(*迈克尔·索莫斯2014年11月22日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,n!系列系数[(Exp[2x]-BesselI[0,2x])/2,{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2014年11月22日*)
表[2^(n-1)-(1+(-1)^n)二项式[n,n/2]/4,{n,0,40}](*埃里克·韦斯特因2018年3月21日*)
系数列表[序列[2x/((1-2x)(1+2x+Sqrt[(1+2x)(1-2x)])),{x,0,40}],x](*埃里克·韦斯特因2018年3月21日*)
ats[y]:=总和[(-1)^(i-1)*y[[i]],{i,长度[y]}];表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n],ats[#]=0&]],{n,0,15}](*古斯·怀斯曼2021年7月19日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=2^(n-1)-((1+(-1)^n)/4)*二项式(n,n\2)\\米歇尔·马库斯2015年12月30日
(PARI)我的(x='x+O('x^100));concat(0,Vec(2*x/((1-2*x)*(1+2*x+((1+2**)*(1-2**))^(1/2))))\\阿尔图·阿尔坎2015年12月30日
(岩浆)[(2^n-(1+(-1)^n)*二项式(n,楼层(n/2))/2)/2:n in[0..40]]//G.C.格鲁贝尔2022年8月8日
(SageMath)[(0..40)中n的(2^n-二项式(n,n//2)*((n+1)%2))/2]#G.C.格鲁贝尔2022年8月8日
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交叉参考
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以下与具有非零交替和的成分有关:
n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合:
囊性纤维变性。A000070型,A000097号,A007318号,A008549号,A034871号,A114121号,A120452号,A163493号,A210736号,A239830型,344611美元.
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关键字
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非n
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作者
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Yong Kong(ykong(AT)curagen.com),2000年12月29日
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状态
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经核准的
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A345197型
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| 方阵A(n)的级联,每个方阵按行读取,其中A(n。 |
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+10 49
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1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 0, 3, 4, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,25
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评论
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序列(y_1,…,y_k)的交替和为sum_i(-1)^(i-1)y_i。
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链接
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例子
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n=1..7的矩阵:
1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0
0 1 0 0 1 2 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 5 0
0 1 0 0 0 2 2 0 0 0 3 4 3 0 0 0 4 6 6 4 0 0
0 0 1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 3 6 6 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
矩阵n=5计算以下成分:
i=-3:i=-1:i=1:i=3:i=5:
-----------------------------------------------------------------
k=1:|0 0 0 0(5)
k=2:|(14)(23)(32)(41)0
k=3:|0(131)(221)(122)(311)(113)(212)0
k=4:|0(1211)(1112)(2111)(1121)0
k=5:|0(11111)0 0
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数学
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ats[y]:=总和[(-1)^(i-1)*y[[i]],{i,长度[y]}];
表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n],Length[#]==k&&ats[#]==i&]],{n,0,6},{k,1,n},},[i,-n+2,n,2}]
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交叉参考
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n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合:
囊性纤维变性。A000070型,A000097号,A000346号,A007318号,A008549号,A025047美元,A032443号,A034871号,A114121号,A120452号,A238279号,A239830型,A344604飞机.
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关键字
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A163493号
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| 长度为n的二进制字符串的数量,其中包含相同数量的00和01子字符串。 |
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+10 35
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1, 2, 2, 3, 6, 9, 15, 30, 54, 97, 189, 360, 675, 1304, 2522, 4835, 9358, 18193, 35269, 68568, 133737, 260802, 509132, 995801, 1948931, 3816904, 7483636, 14683721, 28827798, 56637969, 111347879, 219019294, 431043814, 848764585, 1672056525, 3295390800, 6497536449
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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《美国数学月刊》11424题的变体。术语是使用Maple 10计算的蛮力。
2011年12月上午提出的问题11610。
还有按长度和交替和计算整数组成的矩阵的反对角线和(A345197型). 因此,a(n)是长度为(n-s+3)/2的n+1的整数合成数,其中s是合成的交替和。例如,a(0)=1到a(6)=7的组合为:
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(11) (21) (31) (41) (51) (61)
(121) (122) (123) (124)
(221) (222) (223)
(1112) (321) (322)
(1211) (1122) (421)
(1221) (1132)
(2112) (1231)
(2211) (2122)
(2221)
(3112)
(3211)
(11131)
(12121)
(13111)
对于具有主(二进制字符串)解释的双射,取满足条件且从1开始的每个长度为n+1的二进制字符串的运行长度。
(结束)
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链接
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R.斯坦利,问题11610阿默尔。数学。月刊,118(2011),937;120 (2013), 943-944.
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配方奶粉
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总面积:1/2/(1-x)+(1+2*x)/2/sqrt((1-x)*(1-2*x)*(1+x+2*x^2))-施瑞德,于2011年4月29日更正
G.f.:(1+sqrt(1+4*x/((1-x)*(1-2*x)*(1+x+2*x^2)))/(2*(1-x))-迈克尔·索莫斯2012年1月30日
a(n)=总和(二项式(2*k-1,k)*二项式-乔尔·刘易斯2011年5月21日
猜想:-n*a(n)+(2+n)*a(n-1)+(3n-12)*a-R.J.马塔尔2011年11月28日
G.f.y=A(x)满足x=(1-x)*(1-2*x)*-迈克尔·索莫斯2012年1月30日
序列a(n)满足0=a(n,n)*(n^2-2*n)+a(n-1)*(-3*n^2+8*n-2)+a-迈克尔·索莫斯2012年1月30日
对于n>0,a(n)=(1+3*超深层([1/2,1-3*n/8,(1-n)/3,(2-n)/3、-n/3],[1,(1-n)/2,1-n/2,-3*n/8],-27)/2-斯特凡诺·斯佩齐亚,2024年4月26日
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例子
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1+2*x+2*x^2+3*x^3+6*x^4+9*x^5+15*x^6+30*x^7+54*x^8+97*x^9+。。。
a(0)=1到a(6)=15个二进制字符串:
() (0) (1,0) (0,0,1) (0,0,1,0) (0,0,1,1,0) (0,0,0,1,0,1)
(1) (1,1) (1,1,0) (0,0,1,1) (0,0,1,1,1) (0,0,1,0,0,1)
(1,1,1) (0,1,0,0) (0,1,1,0,0) (0,0,1,1,1,0)
(1,0,0,1) (1,0,0,1,0) (0,0,1,1,1,1)
(1,1,1,0) (1,0,0,1,1) (0,1,0,0,0,1)
(1,1,1,1) (1,0,1,0,0) (0,1,1,1,0,0)
(1,1,0,0,1) (1,0,0,1,1,0)
(1,1,1,1,0) (1,0,0,1,1,1)
(1,1,1,1,1) (1,0,1,1,0,0)
(1,1,0,0,1,0)
(1,1,0,0,1,1)
(1,1,0,1,0,0)
(1,1,1,0,0,1)
(1,1,1,1,1,0)
(1,1,1,1,1,1)
(结束)
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MAPLE公司
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with(组合):count:=proc(n)局部S,matches,A,k,i;S:=子集(\{seq(i,i=1..n)\}):匹配:=0:当不是S[完成]时做A:=S[下一个值]():k:=0:对于i从1到n-1做:如果不是(i在A中)并且不是(i+1在A中;返回(匹配项);结束进程:
#第二个Maple项目:
b: =proc(n,l,t)选项记忆`如果`(n-abs(t)<0,0,`如果`(n=0,1,
加法(b(n-1,i,t+`如果`(l=0,(-1)^i,0)),i=0..1))
结束时间:
a: =n->b(n,1,0):
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数学
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a[0]=1;a[n]:=和[二项式[2*k-1,k]*二项式[n-2*k,k]+二项式[2],k]*Binominal[n-2xk-1,k],{k,0,n/3}];
表[Length[Select[Tuples[{0,1},n],Count[Partition[#,2,1],{0,0}]==Count[Partition[#,2,1],{0,1}]&]],{n,0,10}](*古斯·怀斯曼2021年7月27日*)
a[0]:=1;a[n]:=(1+3*HypergeometricPFQ[{1/2,1-3*n/8,(1-n)/3,(2-n)/3;数组[a,37,0](*斯特凡诺·斯佩齐亚2024年4月26日*)
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黄体脂酮素
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(Python)
从数学导入梳
定义A163493号(n) :如果其他n为1,则返回2+总和((x:=梳状((k:=m<<1)-1,m)*梳状(n-k,m))+(x*(n-3*m)<<1)//(n-k)for m in range(1,n//3+1))#柴华湖2024年5月1日
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交叉参考
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n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合:
囊性纤维变性。A000041号,A000070型,A000096号,A000097号,A000124号,A000346号,A007318号,A008549号,A025047美元,A131577号,A238279号.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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|
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6, 20, 25, 27, 30, 72, 81, 83, 86, 92, 98, 101, 103, 106, 109, 111, 116, 121, 123, 126, 272, 289, 291, 294, 300, 312, 322, 325, 327, 330, 333, 335, 340, 345, 347, 350, 360, 369, 371, 374, 380, 388, 393, 395, 398, 402, 405, 407, 410, 413, 415, 420, 425, 427
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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序列(y_1,…,y_k)的交替和为sum_i(-1)^(i-1)y_i。
标准顺序的第k个成分(分级反向放射学,A066099型)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集,在0前面加上前缀,取第一个差分,然后再次反转,即可获得。这给出了非负整数和整数组合之间的双射对应关系。
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链接
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例子
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术语序列和相应的组成开始于:
6: (1,2)
20: (2,3)
25: (1,3,1)
27: (1,2,1,1)
30: (1,1,1,2)
72: (3,4)
81: (2,4,1)
83: (2,3,1,1)
86: (2,2,1,2)
92: (2,1,1,3)
98: (1,4,2)
101: (1,3,2,1)
103: (1,3,1,1,1)
106: (1,2,2,2)
109: (1,2,1,2,1)
|
|
数学
|
stc[n_]:=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n,2]],1],0]]//反向;
ats[y]:=总和[(-1)^(i-1)*y[[i]],{i,长度[y]}];
选择[Range[0,100],ats[stc[#]]==-1&]
|
|
交叉参考
|
n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合:
囊性纤维变性。A000097号,A000346号,A008549号,A025047美元,A027187号,A031443号,A031448号,A114121号,A119899号,A126869号,A238279号,A344617飞机.
|
|
关键字
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
5, 18, 23, 25, 29, 68, 75, 78, 81, 85, 90, 95, 98, 103, 105, 109, 114, 119, 121, 125, 264, 275, 278, 284, 289, 293, 298, 303, 308, 315, 318, 322, 327, 329, 333, 338, 343, 345, 349, 356, 363, 366, 369, 373, 378, 383, 388, 395, 398, 401, 405, 410, 415, 418, 423
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
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抵消
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1,1
|
|
评论
|
序列(y_1,…,y_k)的反向交替和是sum_i(-1)^(k-i)y_i。
标准顺序的第k个成分(分级反向放射学,A066099型)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集,在0前面加上前缀,取第一个差分,然后再次反转,即可获得。这给出了非负整数和整数合成之间的双向对应。
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|
链接
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|
|
例子
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术语序列和相应的组成开始于:
5: (2,1)
18: (3,2)
23: (2,1,1,1)
25: (1,3,1)
29: (1,1,2,1)
68: (4,3)
75: (3,2,1,1)
78: (3,1,1,2)
81: (2,4,1)
85: (2,2,2,1)
90: (2,1,2,2)
95: (2,1,1,1,1,1)
98: (1,4,2)
103: (1,3,1,1,1)
105: (1,2,3,1)
|
|
数学
|
stc[n_]:=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n,2]],1],0]]//反向;
sats[y_]:=总和[(-1)^(i-Length[y])*y[[i]],{i,Length[y]}];
选择[Range[0,100],sats[stc[#]]==-1&]
|
|
交叉参考
|
n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合:
囊性纤维变性。A000070型,A000346号,A001105号,A008549号,A025047美元,A031444号,A034871号,A114121号,A126869号,A344608型,A345958型,345959美元.
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|
关键字
|
非n
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|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|
|
|
|
1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 42, 44, 45, 47, 52, 56, 57, 59, 62, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 82, 84, 85, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 95, 100, 104, 105, 107
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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|
|
抵消
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1,2
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|
评论
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序列(y_1,…,y_k)的交替和为sum_i(-1)^(i-1)y_i。
标准顺序的第k个成分(分级反向放射学,A066099型)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集,在0前面加上前缀,取第一个差分,然后再次反转,即可获得。这给出了非负整数和整数合成之间的双向对应。
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链接
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例子
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初始术语和相应的组成:
1: (1)
2: (2)
4: (3)
5: (2,1)
7: (1,1,1)
8: (4)
9: (3,1)
11: (2,1,1)
14: (1,1,2)
16: (5)
17: (4,1)
18: (3,2)
19: (3,1,1)
21: (2,2,1)
22: (2,1,2)
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|
数学
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stc[n_]:=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n,2]],1],0]]//反向;
ats[y]:=总和[(-1)^(i-1)*y[[i]],{i,长度[y]}];
选择[Range[0,100],ats[stc[#]]>0&]
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交叉参考
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n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合:
囊性纤维变性。A000070型,A000346号,A008549号,A025047美元,A027187号,A027193号,A032443号,A114121号,A163493号,A344609型,人民币345908元.
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|
关键字
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
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|
|
|
1, 6, 7, 20, 21, 26, 27, 30, 31, 72, 73, 82, 83, 86, 87, 92, 93, 100, 101, 106, 107, 110, 111, 116, 117, 122, 123, 126, 127, 272, 273, 290, 291, 294, 295, 300, 301, 312, 313, 324, 325, 330, 331, 334, 335, 340, 341, 346, 347, 350, 351, 360, 361, 370, 371, 374
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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序列(y_1,…,y_k)的反向交替和是sum_i(-1)^(k-i)y_i。
标准顺序的第k个成分(分级反向放射学,A066099型)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集,在0前面加上前缀,取第一个差分,然后再次反转,即可获得。这给出了非负整数和整数合成之间的双向对应。
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链接
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例子
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术语序列和相应的组成开始于:
1: (1)
6: (1,2)
7: (1,1,1)
20: (2,3)
21: (2,2,1)
26: (1,2,2)
27: (1,2,1,1)
30: (1,1,1,2)
31: (1,1,1,1,1)
72: (3,4)
73: (3,3,1)
82: (2,3,2)
83: (2,3,1,1)
86: (2,2,1,2)
87: (2,2,1,1,1)
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数学
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stc[n_]:=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n,2]],1],0]]//反向;
sats[y_]:=总和[(-1)^(i-Length[y])*y[[i]],{i,Length[y]}];
选择[Range[0,100],sats[stc[#]]==1&]
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交叉参考
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n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合:
囊性纤维变性。A000070型,A000097号,A000346号,A008549号,A025047美元,A027193号,A031448号,A034871号,A114121号,A120452号,A344607飞机.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 82
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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序列(y_1,…,y_k)的交替和为sum_i(-1)^(i-1)y_i。
标准顺序的第k个成分(分级反向放射学,A066099型)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集,在0前面加上前缀,取第一个差分,然后再次反转,即可获得。这给出了非负整数和整数合成之间的双向对应。
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链接
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例子
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术语序列和相应的组成开始于:
0: () 17: (4,1) 37: (3,2,1)
1: (1) 18: (3,2) 38: (3,1,2)
2: (2) 19: (3,1,1) 39: (3,1,1,1)
3: (1,1) 21: (2,2,1) 41: (2,3,1)
4: (3) 22: (2,1,2) 42: (2,2,2)
5: (2,1) 23: (2,1,1,1) 43: (2,2,1,1)
7: (1,1,1) 26: (1,2,2) 44: (2,1,3)
8: (4) 28: (1,1,3) 45: (2,1,2,1)
9: (3,1) 29: (1,1,2,1) 46: (2,1,1,2)
10: (2,2) 31: (1,1,1,1,1) 47: (2,1,1,1,1)
11: (2,1,1) 32: (6) 50: (1,3,2)
13: (1,2,1) 33: (5,1) 52: (1,2,3)
14: (1,1,2) 34: (4,2) 53: (1,2,2,1)
15: (1,1,1,1) 35: (4,1,1) 55: (1,2,1,1,1)
16: (5) 36: (3,3) 56: (1,1,4)
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数学
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stc[n_]:=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n,2]],1],0]]//反向;
ats[y]:=总和[(-1)^(i-1)*y[[i]],{i,长度[y]}];
选择[范围[0,100],ats[stc[#]]>=0&]
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交叉参考
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n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合:
囊性纤维变性。A000070型,A000346号,A008549号,A025047美元,A027187号,A032443号,A034871号,14121年,A163493号,A236913型,A238279号,A344607飞机,A344608型,A344610型,A344611型.
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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