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A001263号

Narayana数T（n，k）=C（n-1，k-1）*C（n，k-1。也称为加泰罗尼亚三角。

+10
369

1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 6, 6, 1, 1, 10, 20, 10, 1, 1, 15, 50, 50, 15, 1, 1, 21, 105, 175, 105, 21, 1, 1, 28, 196, 490, 490, 196, 28, 1, 1, 36, 336, 1176, 1764, 1176, 336, 36, 1, 1, 45, 540, 2520, 5292, 5292, 2520, 540, 45, 1, 1, 55, 825, 4950, 13860, 19404, 13860, 4950, 825

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,5

偏序集2*（k-1）*（n-k）或具有行<=k-1、列<=n-k和项<=2的平面分区中的反链（或序理想）数-米奇·哈里斯2000年7月15日

T（n，k）是具有k个峰值的Dyck n路径数。a（n，k）=从（0,0）到（k，n+1-k）的晶格路径对（P，Q）的数量，每一对由单位阶跃East或North组成，因此P严格位于Q之上，端点除外-大卫·卡伦2004年3月23日

避免-132且具有k-1下降的[n]排列数-迈克·扎布罗基2004年8月26日

T（n，k）是穿过n块玻璃的路径数，从一侧进入和离开，长度为2n，具有k个反射（其中穿过一块玻璃是单位长度）-米奇·哈里斯2006年7月6日

反对角线和由A004148号（无第一学期）。

T（n，k）是具有n个内部节点和k-1个跳跃的完整二叉树的数量。在完整二叉树的预序遍历中，从较深级别的节点到严格较高级别的节点的任何转换都称为跳转-Emeric Deutsch公司2007年1月18日

发件人加里·亚当森2007年10月22日：（开始）

第n行可以使用（n-1）个三角形项的升序行（A）和降序行（B）通过以下操作生成；例如第6行：

A： 1….3…6…10…15

B： 15…10…6……3……1

C： 1…15…50…50…15…1=第6行。

A、B的最左列->C的前两项；然后是当前列的操作B*C/A=第C行的下一项（例如，10*15/3=50）。继续操作，我们得到第6行：（1，15，50，50，15，1）。（结束）

前面的评论可以升级为：三角级数的ConvOffsStoT变换；第6行是（1，3，6，10，15）的ConvOffs变换。参考三角形A117401号作为ConvOffsStoT变换的另一个示例，以及Maple变换下的OEIS-加里·亚当森2012年7月9日

有关拉格朗日反演的联系，请参见A134264号. -汤姆·科普兰2008年8月15日

T（n，k）也是高度k（映射的高度是其图像集的基数）的降阶和保序映射（n元素集的）的数量-阿卜杜拉希·奥马尔2008年8月21日

这个三角形的第n行是A_n型结合面体的单形复数对偶的h-向量[Fomin&Reading，p.60]。请参见A033282号有关A_n型结合面体的相应f向量数组，请参见A008459号和A145903型分别用于类型B和类型D的副综合体的h矢量。此三角形的希尔伯特变换（请参见A145905号对于此转换的定义）是A145904号. -彼得·巴拉2008年10月27日

T（n，k）也是[n]到k个块的非交叉集分区数。给定集合{1,2，…，n}的分区P，P中的交叉是四个整数[a，b，c，d]，其中a，c在一个块中，b，d在不同的块中。非交叉分区是没有交叉的分区-彼得·卢什尼2011年4月29日

非交叉集划分也称为亏格0划分。根据将n个集的亏格g的划分计算为k个非空子集的第二类亏格依赖的Stirling数S2（n，k，g），一个亏格依赖于T（n，k，0）-罗伯特·科克雷，2024年2月15日

的对角线A089732号是行A001263号. -汤姆·科普兰2012年5月14日

发件人彼得·巴拉，2013年8月7日：（开始）

设E（y）=Sum_{n>=0}y^n/（n！*（n+1）！）=1/平方米（y）*贝塞尔（1,2*平方米（y））。那么这个三角形就是关于序列n的广义Riordan数组（E（y），y）*（n+1）！定义见Wang和Wang。

生成函数E（y）*E（x*y）=1+（1+x）*y/（1！*2！）+（1+3*x+x^2）*y^2/（2！*3！）+。。。。囊性纤维变性。A105278号带有生成函数exp（y）*E（x*y）。

这个数组的n次幂有一个生成函数E（y）^n*E（x*y）。特别是矩阵逆A103364号具有生成函数E（x*y）/E（y）。（结束）

T（n，k）是x轴上方不相交的n个拱的数量，从顶点1到2n开始和结束，k是从奇数顶点开始到更高偶数顶点结束的拱的数量。例如：T（3,2）=3[16,25,34][14,23,56][12,36,45]-罗杰·福特2014年6月14日

Fomin和Reading在第31页指出，Narayana矩阵的行是结合面体及其对偶的h向量-汤姆·科普兰2017年6月27日

行多项式P（n，x）=和{k=1..n}T（n，k）*x^（k-1），加上P（0，x）=1乘以（n+1）是三角形对角序列o.g.f.s的分子多项式A103371号：G（n，x）=（n+1）*P（n，x）/（1-x）^{2*n+1}，对于n>=0。这是用拉格朗日定理应用于Riordan三角形来证明的A135278号=（1/（1-x）^2，x/（1-x。请参阅下面的示例-沃尔夫迪特·朗，2017年7月31日

T（n，k）是具有k-1 uu块（成对连续向上步长）的半长度n的Dyck路径数-亚历山大·伯斯坦2020年6月22日

如果您正在搜索Narayama数字，正确的拼写是Narayana-N.J.A.斯隆2020年11月11日

以加拿大数学家Tadepalli Venkata Narayana（1930-1987）的名字命名。这些数字也被称为“Runyon数字”，源于贝尔电话实验室的John P.Runyon（1922-2013），他在研究电话通信系统时使用了这些数字-阿米拉姆·埃尔达尔如Bóna和Sagan（见链接）所指出的，Percy Alexander MacMahon（见参考文献，第495条）首次研究了Narayana数-彼得·卢什尼2022年4月28日

发件人安德烈亚·阿莱特·埃斯帕尼亚2022年11月14日：（开始）

T（n，k）是在完整图k_n上与拉普拉斯系统相关联的转移图中走向同步的路径的度分布，对应于有序初始条件x_1<x_2<…<x_n。

对于n=2N+1和k=n+1，T（n，k）是完全二部图k_{n，n}上与拉普拉斯系统相关的过渡图中的状态数，对应于有序（x_1<x_2<…<x_n和x_{n+1}<x_{N2}<…<x_{2N}）和平衡（Sum_{i=1..n}x_i/n=Sum__{i=n+1..2N}x_ i/n）初始条件。（结束）

发件人古斯·怀斯曼，2023年1月23日：（开始）

还有具有n个节点和k个叶子的未标记有序根树的数量。请参阅Marko Riedel的链接。例如，行n=5统计以下树：

（（（（o）））

（（（o）o）（（oo）o）

（（（oo））（（ooo））

（o）（o）

（o（o））（o（oo））

（o（o））

无序版本为A055277号.标准有序树中的叶子按A358371型.

（结束）

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维基百科，非交叉隔断

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配方奶粉

a（n，k）=C（n-1，k-1）*C（n，k-1=0; a（n，0）=0。

三角形等于[0,1,0,1,0,1，0,1，…]DELTA[1，0,1,0，1，0，…]，其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号.

0＜n，1＜＝k＜＝n a（n，1）＝a（n，n）＝1 a（n，k）＝和（i＝1..n-1，和（r＝1..k-1，a（n-1-i，k-r）a（i，r）））+a（n-1，k）a（n，k）＝和（i＝1..k-1，二项式（n+i-1，2k-2）*a（k-1，i））-迈克·扎布罗基2004年8月26日

T（n，k）=C（n，k）*C（n-1，k-1）-C（n，k-1A007318号). -杰拉尔德·麦卡维2005年2月24日

T（n，k）=二项式（n-1，k-1）^2-二项式-大卫·卡伦2005年11月2日

a（n，k）=C（n，2）（a（n-1，k）/（n-k）*（n-k+1）-米奇·哈里斯2006年7月6日

中央立柱=A000891号，（2n）*（2n+1）！/（n！*（n+1）！）^2. -零入侵拉霍斯2006年10月29日

G.f.：（1-x*（1+y）-sqrt（（1-xx（1+y））^2-4*y*x^2））/（2*x）=和{n>0，k>0}a（n，k）*x^n*y^k。

发件人彼得·巴拉，2008年10月22日：（开始）

与参数（1,1）的雅可比多项式的关系：

第n+1行生成多项式等于1/（n+1）*x*（1-x）^n*Jacobi_P（n，1,1，（1+x）/（1-x））。因此，如上所述，Narayana多项式的零点都是实的和非正的。k+2列的O.g.f:1/（k+1）*y^（k+2）/（1-y）^（k+3）*Jacobi_P（k，1,1，（1+y）/（1-y））。囊性纤维变性。A008459号.

T（n+1，k）是方格上n个单位步的行走次数（即从原点开始，到x轴上的格点结束，并保持在上半平面y>=0[Guy]上的向上（U）、向下（D）、右（R）或左（L）方向的每一步）。例如，T（4,3）=6计算从原点到晶格点（1,0）的六次行走RRL、LRR、RLR、UDL、URD和RUD，每一次都是3个步骤。与表格比较A145596号-A145599号.

在形式为f（x）=1+ax+bx^2+的形式幂级数上定义函数I。。。通过以下迭代过程。归纳地定义f^（1）（x）=f（x）和f^。然后在形式幂级数环上的x-adic拓扑中设置I（f（x））=lim_{n->infinidy}f^（n）（x）；算子I也可以定义为I（f（x））：=1/x*x/f（x）的级数反转。

这个数组的o.g.f.是I（1+t*x+t*x2+t*x^3+…）=1+t*x+（t+t^2）*x^2+（t+3*t^2+t^3）*x*3+…=1/（1-x*t/（1-x/（1-x*t/（1-x/（1-…））））（作为连分数）。囊性纤维变性。A108767号,2011年12月和A141618号.（结束）

G.f.：1/（1-x-xy-x^2y/（1-x-x-xy-x2y/（1-……（连分数））-保罗·巴里2010年9月28日

例如：exp（（1+y）x）*Bessel_I（1,2*sqrt（y）x-保罗·巴里2010年9月28日

G.f.：A（x，y）=exp（求和n>=1}[求和k=0..n}C（n，k）^2*y^k]*x^n/n）-保罗·D·汉纳2010年10月13日

对于t中的Narayana多项式，F（x，t）=（1-（1+t）*x-sqrt（1-2*（1+t）*x+（（t-1）*x）^2）/（2*x）x中的o.g.F.，g（x，t）=x/（t+（1+吨）*x+x^2）是x中的成分逆。t中的第n个Narayana多项式由（1/n！）*（（H（x，t）*D_x）^n）x在x=0时计算得出，即F（x，t）=exp（x*H（u，t）*D_u）u，在u=0时计算。此外，dF（x，t）/dx=H（F（x、t），t）-汤姆·科普兰2011年9月4日

偏移量为0，A001263号=和{j>=0}A132710型^j/A010790美元（j），归一化贝塞尔fct。可表示为帕斯卡矩阵A007318号，n/[（n-k）！*k！]，用b（n）阴影化=A002378号（n）对于n>0且b（0）=1：A001263号（n，k）=b.（n！）/{b.[（n-k）！]*b.（k！）}其中b.（n）=b（n）*b（n-1）*b（0），广义阶乘（参见示例）-汤姆·科普兰2011年9月21日

当F（x，t）={1-（1-t）*x-sqrt[1-2*（1+t）*x+[（t-1）*x]^2]}/2时，t中Narayana多项式在x中的移位o.g.F.，g（x，t）=x/[t-1+1/（1-x）]是x中的成分逆函数。因此，当HA119900个)，t中的第（n-1）个Narayana多项式由在x=0处评估的（1/n！）*（（H（x，t）*d/dx）^n）x给出，即，F（x，t）=exp（x*H（u，t）*d/du）u，在u=0处评估。此外，dF（x，t）/dx=H（F（x、t），t）-汤姆·科普兰2011年9月30日

T（n，k）=二项式（n-1，k-1）*二项式-菲利普·德尔汉姆2011年11月5日

A166360型（n-k）=T（n，k）模型2-莱因哈德·祖姆凯勒2013年10月10日

列的阻尼和，以前导顺序为：lim_{d->0}d^（2k-1）sum_{N>=k}T（N，k）（1-d）^N=Catalan（N）-约阿希姆·伍特克2014年9月11日

将第n列乘以n！生成无符号Lah数的还原，A089231号. -汤姆·科普兰，2016年1月7日

行多项式：（x-1）^（n+1）*（P（n+1，（1+x）/（x-1，。。。其中P（n，x）表示第n个勒让德多项式-彼得·巴拉2017年3月3日

行多项式R（n，x）=超几何（[-n，-n-1]，[2]，x）的系数生成基于（0,0）的三角形-彼得·卢什尼2018年3月19日

将第n条对角线乘以n！，主对角线n=1，生成Lah矩阵A105278号G等于的无穷小生成器A132710型，Narayana三角形等于Sum_{n>=0}G^n/（（n+1）*n！）=（sqrt（G））^（-1）*I_1（2*sqrt。（参见2011年9月21日的公式。）-汤姆·科普兰，2020年9月23日

T（n，k）=温度（n，k-1）*C（n-k+2,2）/C（k，2）-宇春记2020年12月21日

例子

三角形的初始行为：

[1] 1

[2] 1, 1

[3] 1, 3, 1

[4] 1, 6, 6, 1

[5] 1, 10, 20, 10, 1

[6] 1, 15, 50, 50, 15, 1

[7] 1, 21, 105, 175, 105, 21, 1

[8] 1, 28, 196, 490, 490, 196, 28, 1

[9] 1, 36, 336, 1176, 1764, 1176, 336, 36, 1;

...

对于所有n、12…n（1块）和1|2|3||n（n个块）是非交叉集合分区。

本影表示示例：

A007318号（5，k）=[1,5/1,5*4/（2*1），…，1]=（1,5,10,10,5,1），

所以A001263号（5，k）={1，b（5）/b（1），b（5*b（4）/[b（2）*b（1）]，…，1}

= [1,30/2,30*20/(6*2),...,1]=(1,15,50,50,15,1).

第一项=最后一项=b.（5！）/[b.（0！）*b.（5）]=1-汤姆·科普兰2011年9月21日

的行多项式和对角序列A103371号：n=4，P（4，x）=1+6*x+6*x^2+x^3，第五对角线的o.g.f.为g（4，x）=5*P（4、x）/（1-x）^9，即[5，75，525，…]。请参阅上面的评论-沃尔夫迪特·朗2017年7月31日

MAPLE公司

A001263号：=（n，k）->二项式（n-1，k-1）*二项式；

a： =proc（n，k）选项记住；局部i；如果k=1或k=n，则1加上（二项式（n+i-1，2*k-2）*a（k-1，i），i=1..k-1）；fi；结束时间：

#或者，作为基于（0，0）的三角形：

R:=n->简化（超几何（[-n，-n-1]，[2]，x））：Trow:=n->seq（系数（R（n，x），x，j），j=0..n）：seq（Trow（n），n=0..9）#彼得·卢什尼2018年3月19日

数学

T[n_，k_]：=如果[k==0，0，二项式[n-1，k-1]二项式[n，k-1]/k]；

扁平[表[二项式[n-1，k-1]二项式[n，k-1]/k，{n，15}，{k，n}]](*哈维·P·戴尔2012年2月29日*）

TRow[n_]：=系数列表[Hypergeometric2F1[1-n，-n，2，x]，x]；

表[TRow[n]，{n，1，11}]//展平(*彼得·卢什尼2018年3月19日*）

aot[n_]：=如果[n==1，{{}}，联接@@表[Tuples[aot/@c]，{c，联接@@Permutations/@IntegerPartitions[n-1]}]；

表[Length[Select[aot[n]，Length[Position[#，{}]==k&]]，{n，2，9}，{k，1，n-1}](*古斯·怀斯曼2023年1月23日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n，k）=如果（k==0，0，二项式（n-1，k-1）*二项式（n，k-1）/k）}；

（PARI）{T（n，k）=polcoeff（exp（sum（m=1，n，sum（j=0，m，二项式（m，j）^2*y^j）*x^m/m）+O（x^（n+1））），n，x），k，y）}\\保罗·D·汉纳2010年10月13日

（哈斯克尔）

a001263 n k=a001263_tabl！！（n-1）！！（k-1）

a001263_row n=a001263 _ tabl！！（n-1）

a001263_tabl=zipWith dt a007318_tabl（尾部a007318-tabl），其中

dt us vs=zipWith（-）（zipWist（*）us（tail vs））

（zipWith（*）（尾随我们++[0]）（初始vs））

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年10月10日

（岩浆）/*三角形*/[[二项式（n-1，k-1）*二项式[n，k-1]/k:k in[1..n]]：n in[1..15]]//文森佐·利班迪2014年10月19日

（鼠尾草）

@缓存函数

定义T（n，k）：

如果k==n或k==1：返回1

如果k<=0或k>n：返回0

返回二项式（n，2）*（T（n-1，k）/（（n-k）*（n-k+1））+T（n-1,k-1）/（k*（k-1）））

对于n in（1..9）：打印（[T（n，k）for k in（1..n）]）#彼得·卢什尼2014年10月28日

（GAP）平面（列表（[1..11]，n->List（[1..n]，k->二项式（n-1，k-1）*二项式#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月12日

交叉参考

其他版本在中A090181号和A131198号. -菲利普·德尔汉姆2007年11月18日

对比变量：A181143号,A181144号. -保罗·D·汉纳2010年10月13日

行总和给出A000108号（加泰罗尼亚数字），n>0。

列给出A000217号,A002415号,A006542号,A006857号,A108679号.A084938号.

囊性纤维变性。A000372号,A002083号,A056932号,A056939号,A056940号,A056941号,A065329号,A073345美元.

A145596号,A145597号,A145598号,A145599号. -彼得·巴拉2008年10月22日

A008459号（h-向量类型B结合面体），A033282美元（f-矢量类型A结合面体），A145903型（h-向量类型D结合面体），A145904号（希尔伯特变换）-彼得·巴拉2008年10月27日

囊性纤维变性。A016098型和A189232号交叉集分区的数量。

囊性纤维变性。A243752型.

囊性纤维变性。A089231号,A103371号,A135278号.

囊性纤维变性。A002378号,A007318号,A010790美元,A089732号,A105278号,A119900个,A132710型,A134264号.

m=1，…，的广义二项式系数（n，k）_m的三角形（或广义Pascal三角形），。。。，12:A007318号（帕斯卡），A001263号,A056939号,A056940号,A056941美元,A142465号,A142467号,A142468号,174109年,A342889型,A342890型,A342891型.

囊性纤维变性。A000081号,A005043号,A032027号,A055277号,A358371型.

关键词

非n,容易的,表,美好的,看

作者

N.J.A.斯隆

扩展

删除了某些危险或潜在危险的链接-N.J.A.斯隆2021年1月30日

状态

经核准的

A090181号

纳拉亚纳三角(A001263号)当0<=k<=n时，按行读取。

+10
41

1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 6, 6, 1, 0, 1, 10, 20, 10, 1, 0, 1, 15, 50, 50, 15, 1, 0, 1, 21, 105, 175, 105, 21, 1, 0, 1, 28, 196, 490, 490, 196, 28, 1, 0, 1, 36, 336, 1176, 1764, 1176, 336, 36, 1, 0, 1, 45, 540, 2520, 5292, 5292, 2520, 540, 45, 1, 0, 1, 55, 825, 4950, 13860

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,9

具有k个峰值的Dyck n路径数-彼得·卢什尼2014年5月10日

链接

因德拉尼尔·戈什，行0..100，扁平

余欣凹，加权小Schröder数的一些性质及其组合含义，arXiv:1912.00555[math.CO]，2019年。

保罗·巴里，整数序列的连分式和变换，JIS 12（2009）09月7.6日。

保罗·巴里，不变数三角形、特征三角形和Somos-4序列，arXiv预印本arXiv:1107.5490[math.CO]，2011。

保罗·巴里，关于Narayana三角形的推广，J.国际顺序。14 (2011) # 11.4.5.

保罗·巴里，关于Riordan矩序列的一种变换，arXiv:1802.03443[math.CO]，2018年。

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保罗·巴里，Riordan伪卷积、连分式和Somos 4序列，arXiv:1807.05794[math.CO]，2018年。

Paul Barry和Aoife Hennessy，关于Narayana三角形及相关多项式、Riordan阵列和MIMO容量计算的注记，J.国际顺序。14（2011），第11.3.8条。

FindStat-组合统计查找器，Dyck路径的峰值数,Dyck路径的双倍上升数,Dyck路径的山谷数,二叉树中除第一个外的左向叶数,Dyck路径的左隧道数

Aoife轩尼诗，Riordan阵列的研究及其在连分式、正交多项式和格路中的应用2011年10月，沃特福德理工学院博士论文。

配方奶粉

三角形T（n，k），按行读取，由[0，1，0，1A084938号对于n>0，T（0，0）=1，T（n，0）=0，对于k>0，T（n，k）=C（n-1，k-1）*C（n，k-1。

和{j>=0}T（n，j）*二项式（j，k）=A060693号（n，k）-菲利普·德尔汉姆2007年5月4日

和{k=0..n}T（n，k）*10^k=A143749号（n+1）-菲利普·德尔汉姆2008年10月14日

发件人保罗·巴里，2008年11月10日：（开始）

多项式P（n，x）的系数数组=x^n*2F1（-n，-n+1；2；1/x）。

T（n，k）=和{j=0..n}（-1）^（j-k）*C（2n-j，j）*C*A000108号（n-j）。（结束）

和{k=0..n}T（n，k）*5^k*3^（n-k）=A152601型（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2008年12月10日

和{k=0..n}T（n，k）*（-2）^k=A152681号（n）；总和_｛k=0..n｝T（n，k）*（-1）^k=A105523号（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2009年2月3日

和{k=0..n}T（n，k）*2^（n+k）=A156017号（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2011年11月27日

T（n，k）=C（n，n-k）*C（n-1，n-k”）/（n-k+1）-彼得·卢什尼2014年5月10日

例如：1+积分（（sqrt（t）*exp（（1+t）*x）*BesselI（1,2*sqrt-彼得·卢什尼2014年10月30日

通用格式：（1+x-x*y-qrt（（1-x*（1+y））^2-4*y*x^2））/（2*x）-阿洛伊斯·海因茨，2021年11月28日，编辑罗恩·范登伯格，2021年12月19日

T（n，k）=[x^k]（（（2*n-1）*（1+x）*p（n-1，x）-（n-2）*（x-1）^2*p-彼得·卢什尼2022年4月26日

基于行的递归（请参阅Python程序）：

T（n，k）=（（（B（k）+B（k-1））*（2*n-1）-（A（k）-2*A（k-1#彼得·卢什尼2022年5月2日

例子

三角形开始：

[0] 1;

[1] 0, 1;

[2] 0, 1, 1;

[3] 0, 1, 3, 1;

[4] 0, 1, 6, 6, 1;

[5] 0, 1, 10, 20, 10, 1;

[6] 0, 1, 15, 50, 50, 15, 1;

[7] 0, 1, 21, 105, 175, 105, 21, 1;

[8] 0, 1, 28, 196, 490, 490, 196, 28, 1;

[9] 0, 1, 36, 336, 1176, 1764, 1176, 336, 36, 1;

MAPLE公司

A090181号：=（n，k）->二项式（n，n-k）*二项式(A090181号（n，k），k=0..n），n=0..5）#彼得·卢什尼2014年5月10日

#或者：

egf:=1+int（（sqrt（t）*exp（（1+t）*x）*BesselI（1,2*sqrt；

s：=n->n*coeff（系列（egf，x，n+2），x，n）；seq（打印（seq（系数s（n），t，j），j=0..n），n=0..9）#彼得·卢什尼2014年10月30日

数学

扁平[表[和[（-1）^（j-k）*二项式[2n-j，j]*二项法[j，k]*加泰罗尼亚数字[n-j]，{j，0，n}]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*因德拉尼尔·戈什2017年3月5日*）

p[0，_]：=1；p[1，x_]：=x；p[n，x_]：=（（2n-1）（1+x）p[n-1，x]-（n-2）（x-1）^2p[n-2，x]）/（n+1）；

表[系数列表[p[n，x]，x]、{n，0，9}]//表格(*彼得·卢什尼2022年4月26日*）

黄体脂酮素

（鼠尾草）

定义A090181号_第（n）行：

U=[0]*（n+1）

对于DyckWords（n）中的d：

U[d.峰数（）]+=1

返回U

对于范围（8）中的n：A090181号_行（n）#彼得·卢什尼2014年5月10日

functools导入缓存中的（Python）

@高速缓存

定义Trow（n）：

如果n==0：返回[1]

如果n==1：返回[0，1]

如果n==2：返回[0，1，1]

A=Trow（n-2）+[0，0]

B=套管（n-1）+[1]

对于范围（n-1，1，-1）中的k：

B[k]=（（B[k]+B[k-1]）*（2*n-1）

-（A[k]-2*A[k-1]+A[k-2]）*（n-2）//（n+1））

返回B

对于范围（10）中的n：打印（Trow（n））#彼得·卢什尼2022年5月2日

（PARI）

c（n）=二项式（2*n，n）/（n+1）；

tabl（nn）={对于（n=0，nn，对于（k=0，n，print1（总和（j=0，n，（-1）^（j-k）*二项式（2*n-j，j）*二项式（j，k）*c（n-j）），“，”；）；print（）；}；

表（11）\\因德拉尼尔·戈什2017年3月5日

（Magma）[[（&+[（-1）^（j-k）*二项式（2*n-j，j）*二项式（j，k）*二项式（2*n-2*j，n-j）/（n-j+1）：j in[0.n]]）：k in[0.n]]：n in[0.10]]；

交叉参考

三角形镜像A131198号.A000108号（行总和，加泰罗尼亚语）。

柱：A000217号,A002415号,A006542号,A006857号.

囊性纤维变性。A001263号,A084938号,A243752型.

和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A000007号（n），A000108号（n），A006318号（n），A047891号（n+1），A082298号（n），A082301号（n），A082302号（n），A082305号（n），A082366号（n），A082367号（n）对于x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9-菲利普·德尔汉姆2006年8月10日

总和_｛k=0..n｝x^（n-k）*T（n，k）=A090192号（n+1），A000012号（n），A000108号（n），A001003号（n），A007564美元（n），A059231号（n），A078009号（n），A078018号（n），A081178号（n），A082147号（n），A082181号（n），A082148号（n），A082173号（n）对于x=-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11-菲利普·德尔汉姆2006年10月21日

和{k=0..n}T（n，k）*x^k*（x-1）^（n-k）=A000012号（n），A006318号（n），A103210型（n），A103211号（n），A133305型（n），2013年3月6日（n），A133307号（n），A133308号（n），A133309号（n） x=1、2、3、4、5、6、7、8、9-菲利普·德尔汉姆2007年10月20日

关键词

容易的,非n,表

作者

菲利普·德尔汉姆2004年1月19日

状态

经核准的

A243753型

半长n的Dyck路径的数目A（n，k）避免了k的二进制展开式给出的连续步长模式，其中1=U=（1,1），0=D=（1，-1）；方阵A（n，k），n>=0，k>=0。

+10
24

1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 1, 9, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 9, 1, 21, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 4, 9, 21, 1, 51, 1, 1, 0, 0, 0

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,40

链接

阿洛伊斯·海因茨，反对角线n=0..140，平坦

例子

方阵A（n，k）开始：

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...

0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...

0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, ...

0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 4, 4, 4, ...

0, 0, 0, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 9, ...

0, 0, 0, 1, 1, 9, 1, 21, 21, 23, ...

0, 0, 0, 1, 1, 21, 1, 51, 51, 63, ...

0, 0, 0, 1, 1, 51, 1, 127, 127, 178, ...

0, 0, 0, 1, 1, 127, 1, 323, 323, 514, ...

0, 0, 0, 1, 1, 323, 1, 835, 835, 1515, ...

MAPLE公司

A： =proc（n，k）选项记忆；局部b，m，r，h；

如果k<2，则返回`if`（n=0，1，0）fi；

m： =iquo（k，2，'r'）；h： =2^ilog2（k）；b：=

proc（x，y，t）选项记忆`if`（y<0或y>x，0，`if`（x=0，1，

`如果`（t=m且r=1，0，b（x-1，y+1，irem（2*t+1，h））+

`如果`（t=m且r=0，0，b（x-1，y-1，irem（2*t，h））））

结束；忘记（b）；

b（2*n，0，0）

结束时间：

seq（seq（A（n，d-n），n=0..d），d=0..14）；

数学

A[n_，k_]：=A[n，k]=模[{b，m，r，h}，如果[k<2，返回[If[n==0，1，0]]；{m，r}=商余数[k，2]；h=2^楼层[Log[2，k]]；b[x_，y_，t_]：=b[x，y；b[2*n，0，0]]；表[表[A[n，d-n]，{n，0，d}]，{d，0，14}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2015年1月27日之后阿洛伊斯·海因茨*)

交叉参考

列给出：0、1、2：A000007号, 3, 4, 6:A000012号, 5:A001006号（n-1）对于n>0，7，8，14：A001006号, 9:A135307号, 10:A078481美元对于n>0、11、13：A105633号（n-1）对于n>0，12:A082582号, 15, 16:A036765号, 19, 27:A114465号, 20, 24, 26:157003加元, 21:A247333型, 25:187256英镑（n-1）对于n>0。

主对角线给出A243754型或第k列=第0列，共列A243752型.

囊性纤维变性。A242450型,A243827号,A243828号,A243829号,A243830型,A243831型,A243832型,A243833型,A243834型,A243835型,A243836型.

关键词

非n,表

作者

阿洛伊斯·海因茨2014年6月9日

状态

经核准的

A243827号

半长n的Dyck路径的数量A（n，k）正好出现由k的二进制展开式给出的连续步长模式，其中1=U=（1,1），0=D=（1，-1）；方阵A（n，k），n>=0，k>=0。

+10
17

0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 6, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 11, 10, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 6, 26, 15, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 11, 16, 57, 21, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 26, 45, 120, 28, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 15, 57, 126, 247, 36, 1, 0, 0

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,25

链接

阿洛伊斯·海因茨，反对偶n=0..140，平坦

例子

方阵A（n，k）开始：

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, ...

0, 0, 1, 3, 4, 2, 4, 1, 1, 1, ...

0, 0, 1, 6, 11, 6, 11, 4, 5, 5, ...

0, 0, 1, 10, 26, 16, 26, 15, 21, 17, ...

0, 0, 1, 15, 57, 45, 57, 50, 78, 54, ...

0, 0, 1, 21, 120, 126, 120, 161, 274, 177, ...

0, 0, 1, 28, 247, 357, 247, 504, 927, 594, ...

0, 0, 1, 36, 502, 1016, 502, 1554, 3061, 1997, ...

交叉参考

k=2-10列给出：A000012号（n）对于n>0，A000217号（n-1）对于n>0，A000295号（n-1）对于n>0，A005717号（n-1）对于n>1，A000295号（n-1）对于n>0，A014532号（n-2）对于n>2，A108863号,A244235型,A244236号.

主对角线给出A243770型或第k列=第1列A243752型.

囊性纤维变性。A243753型,A243828号,A243829号,A243830型,A243831型,A243832型,A243833型,A243834型,A243835型,A243836型.

关键词

非n,表

作者

阿洛伊斯·海因茨2014年6月11日

状态

经核准的

A243828号

半长n的Dyck路径的数量A（n，k）正好有两次（可能重叠）出现由k的二进制展开式给出的连续步长模式，其中1=U=（1,1）和0=D=（1，-1）；方阵A（n，k），n>=0，k>=0。

+10
14

0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 20, 15, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 15, 50, 21, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 12, 69, 105, 28, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 15, 40, 252, 196, 36, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 69, 135, 804, 336, 45, 0, 0

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,6

链接

阿洛伊斯·海因茨，反对角线n=0..140，平坦

例子

方阵A（n，k）开始：

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

2, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

0, 0, 3, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, ...

0, 0, 6, 6, 2, 3, 2, 1, 0, 0, ...

0, 0, 10, 20, 15, 12, 15, 5, 0, 2, ...

0, 0, 15, 50, 69, 40, 69, 24, 3, 15, ...

0, 0, 21, 105, 252, 135, 252, 98, 28, 69, ...

0, 0, 28, 196, 804, 441, 804, 378, 180, 273, ...

0, 0, 36, 336, 2349, 1428, 2349, 1386, 954, 1056, ...

交叉参考

主对角线给出A243771型或第k列=第2列A243752型.

囊性纤维变性。A243753型,A243827号,A243829号,A243830型,A243831型,A243832型,A243833型,A243834型,A243835型,A243836型.

关键词

非n,表

作者

阿洛伊斯·海因茨2014年6月11日

状态

经核准的

A243366号

半长n的Dyck路径的数量T（n，k），连续步骤UDUUDU正好有k个（可能重叠）出现（U=（1,1），D=（1，-1））；三角形T（n，k），n>=0，0<=k<=max（0，floor（n/2）-1），按行读取。

+10
13

1, 1, 2, 5, 13, 1, 37, 5, 112, 19, 1, 352, 70, 7, 1136, 259, 34, 1, 3742, 962, 149, 9, 12529, 3585, 627, 54, 1, 42513, 13399, 2584, 279, 11, 145868, 50201, 10529, 1334, 79, 1, 505234, 188481, 42606, 6092, 474, 13, 1764157, 709001, 171563, 27048, 2561, 109, 1

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

推测：通常，k列渐近于c（k）*d^n*n^（k-3/2），其中d=3.8821590268628506747194368909643384……是方程d^8-2*d^7-10*d^6+12*d_5-5*d^4-2*d_3-5*d^2-8*d-3=0的根，c（k-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月5日

链接

阿洛伊斯·海因茨，行n=0..200，扁平

例子

T（4,1）=1:UDUUDD。

T（5,1）=5:UDUDUUDUDD、UDUUDDUD、UDUDUDD，UDUUD、UDUUUDDD、UUDUUDDDD。

T（6,1）=19:ududududududd，udududududd，ududududududd，ududududududd，ududududududududd，udududududududududd，uddudududdd，uddudududdd，uddududududdd，uddudududddd，uududududddd，uududududddd，uududududddd，uududududddd，uududududddd，uududududddd，uududududddd。

T（6,2）=1:UDUUDUDD。

T（7,2）=7:UDUDUUDUDD，UDUUDUUDDD，UDUUUDUDDUD，UDUDUudUDD，udUUDUDUDD。

T（8,3）=1:UDUUDUUDUDDD。

三角形T（n，k）开始于：

: 0 : 1;

: 1 : 1;

: 2 : 2;

: 3 : 5;

: 4 : 13, 1;

: 5 : 37, 5;

: 6 : 112, 19, 1;

: 7 : 352, 70, 7;

: 8 : 1136, 259, 34, 1;

: 9 : 3742, 962, 149, 9;

: 10 : 12529, 3585, 627, 54, 1;

MAPLE公司

b： =proc（x，y，t）选项记忆`如果`（y<0或y>x，0，

`如果`（x=0，1，展开（b（x-1，y+1，[2，2，4，5，2，4][t]）*

`如果`（t=6，z，1）+b（x-1，y-1，[1，3，1，3，6，1][t]））

结束时间：

T： =n->（p->seq（系数（p，z，i），i=0..度（p）））（b（2*n，0，1））：

seq（T（n），n=0..20）；

数学

b[x_，y_，t_]：=b[x，y，t]=如果[y<0|y>x，0，如果[x==0，1，展开[b[x-1，y+1，{2，2，4，5，2，4}[[t]]*如果[t==6，z，1]+b[x-l，y-1，{1，3，6，1}[[t]]]；T[n_]：=函数[{p}，表[系数[p，z，i]，{i，0，指数[p，z]}][b[2*n，0，1]]；表[T[n]，{n，0，20}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2015年2月5日之后阿洛伊斯·海因茨*)

交叉参考

列k=0-10给出：2012年2月,2014年2月13日,A243414型,A243415型,A243416型,A243417型,A243418型,A243419型,A243420型,A243421型,A243422型.

行总和给出A000108号.

T（n，楼层（n/2）-1）给出A093178号（n）当n>3时。

T（45，k）=A243752型（45，k）。

T（n，0）=A243753型（n，45）。

关键词

非n,标签

作者

阿洛伊斯·海因茨，2014年6月3日

状态

经核准的

A243829号

半长n的Dyck路径的数量A（n，k）正好有三次（可能重叠）出现由k的二进制展开式给出的连续步长模式，其中1=U=（1,1），0=D=（1，-1）；方阵A（n，k），n>=0，k>=0。

+10
13

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 20, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 50, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 50, 105, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 5, 175, 196, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 20, 56, 490, 336, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 5, 80, 364, 1176, 540, 0, 0

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0, 10

链接

阿洛伊斯·海因茨，反对角线n=0..140，平坦

例子

方阵A（n，k）开始：

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

5, 5, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

0, 0, 6, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, ...

0, 0, 20, 10, 0, 4, 0, 1, 0, 0, ...

0, 0, 50, 50, 5, 20, 5, 6, 0, 0, ...

0, 0, 105, 175, 56, 80, 56, 35, 0, 5, ...

0, 0, 196, 490, 364, 315, 364, 168, 0, 49, ...

0, 0, 336, 1176, 1800, 1176, 1800, 750, 12, 280, ...

交叉参考

主对角线给出A243772号或第k=3列A243752型.

囊性纤维变性。A243753型,A243827号,A243828号,A243830型,A243831型,A243832型,A243833型,A243834型,A243835型,A243836型.

关键词

非n,表

作者

阿洛伊斯·海因茨2014年6月11日

状态

经核准的

A243830型

半长n的Dyck路径的数量A（n，k）正好有四次（可能重叠）出现由k的二进制展开式给出的连续步长模式，其中1=U=（1,1），0=D=（1，-1）；方阵A（n，k），n>=0，k>=0。

+10
13

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 14, 0, 0, 0, 0, 14, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 50, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 15, 175, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 105, 490, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 490, 1176, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 30, 14, 1764, 2520, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 140, 210, 5292, 4950, 0, 0

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,15

链接

阿洛伊斯·海因茨，反对角线n=0..140，平坦

例子

方阵A（n，k）开始：

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

14, 14, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

0, 0, 10, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, ...

0, 0, 50, 15, 0, 5, 0, 1, 0, 0, ...

0, 0, 175, 105, 0, 30, 0, 7, 0, 0, ...

0, 0, 490, 490, 14, 140, 14, 48, 0, 0, ...

0, 0, 1176, 1764, 210, 630, 210, 264, 0, 14, ...

交叉参考

主对角线给出A243773型或第k列=第4列A243752型.

囊性纤维变性。A243753型,A243827号,A243828号,A243829号,A243831型,A243832型,A243833型,A243834型,A243835型,A243836型.

关键词

非n,表

作者

阿洛伊斯·海因茨2014年6月11日

状态

经核准的

A243831型

半长n的Dyck路径的数量A（n，k）正好有五次（可能重叠）出现由k的二进制展开式给出的连续步长模式，其中1=U=（1,1），0=D=（1，-1）；方阵A（n，k），n>=0，k>=0。

+10
13

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 42, 0, 0, 0, 0, 0, 42, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 15, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 105, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 21, 490, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 196, 1764, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 1176, 5292, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 42, 0, 5292, 13860, 0, 0

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,21

链接

阿洛伊斯·海因茨，反对角线n=0..140，平坦

例子

方阵A（n，k）开始：

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

42, 42, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

0, 0, 15, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, ...

0, 0, 105, 21, 0, 6, 0, 1, 0, 0, 1, ...

0, 0, 490, 196, 0, 42, 0, 8, 0, 0, 13, ...

0, 0, 1764, 1176, 0, 224, 0, 63, 0, 0, 52, ...

0, 0, 5292, 5292, 42, 1134, 42, 390, 0, 0, 244, ...

交叉参考

主对角线给出A243774号或第k列=第5列A243752型.

囊性纤维变性。A243753型,A243827号,A243828号,A243829号,A243830型,A243832型,A243833型,A243834型,A243835型,A243836型.

关键词

非n,表

作者

阿洛伊斯·海因茨2014年6月11日

状态

经核准的

A243832型

半长n的Dyck路径的数量A（n，k）正好有六次（可能重叠）出现由k的二进制展开式给出的连续步长模式，其中1=U=（1,1），0=D=（1，-1）；方阵A（n，k），n>=0，k>=0。

+10
13

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 132, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 132, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 21, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 196, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 28, 1176, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 336, 5292, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 0, 2520, 19404, 0, 0