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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A007564号 三次应用反转变换时向左移动。
(原M3556)
23
1、1、4、19、100、562、3304、20071124996、793774、5120632、33463102、221060008、1473830308、990486192、67015401391、456192667396、312022822934、21467769499864、1482465983411018、1027656663676600、7148588698592956、49884553176689584 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

更一般地说,(1+m*x-sqrt(m^2*x^2-(2*m+2)*x+1))/(2*m*x)的系数由a(n)=和{k=0..n}(m+1)^k*n(n,k),其中n(n,k)=(1/n)*二项式(n,k)*二项式(n,k+1)是Narayana数(A001263). -贝诺伊特·克罗伊特2003年5月24日

如果y=x*A(x),则3*y^2-(1+2*x)*y+x=0和x=y*(1-3*y)/(1-2*y)。-迈克尔·索莫斯2003年9月28日

19,4,4序列,。。。以g.f.(1-4*x-sqrt(1-8*x+4*x^2))/(6*x)且有一(n)=和{k=0..地板(n(n-1)/2)}二项式(n-1,2k)*C(k)*4^(n-1-2*k*k)*3^k.a(n+1=1)=Sum{k=0.a(n+1)=Sum{k=0.地板(n/2 n/2)}二项(n,2*2*k)*C(k)*4^(n-2*k)*3^ k计数的3^ k计数的NOZK4 ^,4^ 4^(n-2*2*k*长度n,其中水平台阶有4种颜色,向上台阶有3种颜色。它是A107264x和x的倒数对应于1*4的级数。-保罗·巴里2005年5月18日

这个序列的Hankel变换是3^2项(n+1,2)。-菲利普·德莱厄姆2007年10月29日

a(n)是半长n的薛定谔路径数,其中在0级没有(2,0)-步,在更高的水平上,它们有两种颜色。示例:a(2)=4,因为我们有UDUD、UUDD、UBD和URD,其中U=(1,1),D=(1,-1),而B(R)是蓝色(红色)(2,0)-步。-德国金刚砂2011年5月2日

a(n)是半长n-1的薛定谔路径数,其中0级的(2,0)-步有3种颜色,较高级别的有2种颜色。示例:a(3)=19,因为表示U=(1,1),H=(1,0),D=(1,-1),我们有3^2=9条HH形状的路径,3条HUD形状的路径,3条UDH形状的路径,2条UHD形状的路径,以及UDUD和UUDD中每个形状的1条路径。-德国金刚砂2011年5月2日

大卫·凯伦2013年6月21日:(开始)

a(n)=具有n个边的(左)种植的二叉树的数目,其中每个顶点都有一个指定的最爱邻居。种植的二叉树按加泰罗尼亚数字计算A000108号.

示例:对于n=2,有2棵种植的二叉树:从根开始的边LL和LR(L=左,R=右)。每个顶点只有一个顶点,有两个邻居,因此a(2)=4。

验证轮廓:每个顶点有1,2或3个邻居。让X(分别。Y) 用2表示顶点的数目。3) 邻居。然后X+2Y=n-1(将非根边分割成具有一个公共父顶点和单个顶点的对)。因此,指定最喜欢的邻居的选择数是2^X*3^Y=2^(n-1)(3/4)^Y。Y的分布是已知的,因为在旋转对应下,也就是deBruijn Morselt双射,n边种植的二叉树中有2个子节点的顶点对应于Dyck路径中的ddu,而ddu具有Touchard分布(A091894号)gf F(x,y)=(1-2x+2xy-平方米(1-4x+4x^2-4x^2 y))/(2xy)。因此,期望的g.f.,和{n>=1}a(n)*x^n,是1/2*(f(2x,3/4)-1)。(结束)

参考文献

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

G、 C.格雷贝尔,n=0..1000时的n,a(n)表(术语0到100由T.D.Noe表示)

C、 乐队成员,M.Bousquet-Mélou,A.Denise,P.Flajolet,D.Gardy和D.Gouyou Beauchamps,生成树的生成函数离散数学246(1-3),2002年3月,第29-55页。

保罗·巴里,基于整数序列的广义Pascal三角形构造《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.2.4条。

P、 巴里,A.轩尼诗,以及与之相关的多输入多输出(MIMO)阵列和三角多项式的计算,国际期刊。2011年第14期11.3.8

保罗·巴里和奥伊夫·轩尼诗,广义Narayana多项式、Riordan数组和格路径《整数序列杂志》,第15卷,2012年,12.4.8。

M、 伯恩斯坦和斯隆,一些典型整数序列,线性分析。应用,226-228(1995),57-72;勘误表320(2000),210。[arXiv链接]

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Z、 陈H潘,加权Catalan-Schroder-Motzkin路恒等式,arXiv:1608.02448(2016),公式(1.13)a=1,b=3。

C、 焦化装置,特征序列族,离散数学。2004年第282-250页。

施叔甫,王亚玲,关于两个Schröder三角形的双目标递归性,arXiv:1908.03912[math.CO],2019年。

欧芙轩尼诗,格的正交分式及其在格上的应用,博士论文,沃特福德理工学院,2011年10月。

INRIA算法项目,组合结构百科全书443

梁惠乐,雷美尔,郑赛南,多项式的Stieltjes矩序列,arXiv:1710.05795[math.CO],2017年,见第11页。

N、 J.A.斯隆,变换

公式

G、 f.:(1+2*x-sqrt(1-8*x+4*x^2))/(6*x)。-德国金刚砂2001年11月3日

a(0)=1;对于n>=1,a(n)=和{k=0..n}3^k*n(n,k),其中n(n,k)=(1/n)*二项式(n,k)*二项式(n,k+1)是Narayana数(A001263). -贝诺伊特·克罗伊特2003年5月24日

a(n)=和{k=0..n}A088617号(n,k)*3^k*(-2)^(n-k)。-菲利普·德莱厄姆2004年1月21日

偏移量为1:a(1)=1,a(n)=-2*a(n-1)+3*Sum{i=1..n-1}a(i)*a(n-i))。-贝诺伊特·克罗伊特2004年3月16日

D-有限,递归a(n)=(4*(2n-1)*a(n-1)-4*(n-2)*a(n-2))/(n+1),对于n>=2,a(0)=a(1)=1。-菲利普·德莱厄姆2005年8月19日

保罗·巴里2008年12月15日:(开始)

G、 f.:1/(1-x/(1-3x/(1-x/(1-3x/(1-x/(1-3x/(1-x/(1-3x……)。。。。。。。。(续分数)。

a(n+1)的g.f.为1/(1-4x-3x^2/(1-4x-3x^2/(1-4x-3x^2/(1-4x-3x^2。。。。(续分数)。(结束)

a(0)=1,对于n>=1,3a(n)=A047891号(n) 一。-Aoife轩尼诗(Aoife.Hennessy(AT)gmail.com),2009年12月2日

a(n)=M^n中的左上项,M=生产矩阵:

1,1

3,3,3

1,1,1,1

3,3,3,3,3

1,1,1,1,1,1,1

...

-加里·W·亚当森2011年7月8日

G、 f.:A(x)=(1+2*x-sqrt(1-8*x+4*x^2))/(6*x)=1/G(0);G(k)=1+2*x-3*x/G(k+1);(连分式,1步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年1月5日

a(n)~sqrt(6+4*sqrt(3))*(4+2*sqrt(3))^n/(6*sqrt(Pi)*n^(3/2))。-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月7日

a(n)=2^n/sqrt(3)*LegendreP(n,-1,2),对于n>=1,其中LegendreP是第一类相关的Legendre函数,用Maple表示法。-罗伯特·以色列2015年3月24日

例子

G、 f.=1+x+4*x^2+19*x^3+100*x^4+562*x^5+3304*x^6+20071*x^7+124996*x^8+。。。

枫木

A007564号_list:=proc(n)局部j,a,w;a:=数组(0..n);a[0]:=1;

对于w从1到n,做a[w]:=a[w-1]+3*加上(a[j]*a[w-j-1],j=1..w-1)od;

转换(a,列表)结束:A007564号_列表(21)#彼得·卢什尼2011年5月19日

数学

a[0]=1;a[1]=1;a[n_]/;n>=2:=a[n]=a[n-1]+3和[a[k-1]a[n-k],{k,n-1}];表[a[n],{n,0,10}](*大卫·凯伦2009年8月25日*)

表[超几何2f1[-n,1-n,2,3],{n,0,22}](*阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2012年8月13日*)

表[(2^n(LegendreP[n+1,2]-LegendreP[n-1,2])+2 KroneckerDelta[n])/(6n+3),{n,0,20}](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年11月1日*)

系数列表[系列[(1+2x Sqrt[1-8x+4x^2])/(6x),{x,0,30}],x](*哈维·P·戴尔2016年2月7日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,和(k=0,n,3^k*二项式(n,k)*二项式(n,k+1))/n}/*迈克尔·索莫斯2003年9月28日*/

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n++;polcoeff(serreverse(x*(1-3*x)/(1-2*x)+x*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2003年9月28日*/

(PARI)a(n)=(2^n*(pollegendre(n+1,2)-pollegendre(n-1,2))+2*(n==0))/(6*n+3)\\米歇尔·马库斯2015年11月2日

(PARI)x='x+O('x^100);Vec((1+2*x-sqrt(1-8*x+4*x^2))/(6*x))\\阿尔图阿尔坎2015年11月2日

交叉引用

囊性纤维变性。A047891号,A054872号.

上下文顺序:A306511型 A124779号 A083882号*A218185年 A086624号 A307121

相邻序列:A007561号 A007562号 A007563号*A007565号 A007566号 A007567号

关键字

,美好的,本征

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月9日14:27。包含336323个序列。(运行在oeis4上。)