A004148-OEIS公司

抵消

0,4

产生于列举RNA分子的二级结构。图中显示了带有6个核苷酸的17个结构（根据Waterman，1978）。

汉克尔变换是周期8序列[1，0，-1，-1，-1,0，1，1，…](A046980型).

枚举长度为n的无峰Motzkin路径。例如：a（5）=8，因为我们有HHHH、HHUHD、HUHDH、HUHHD、UHDHH、UHHHD和UUHDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）-Emeric Deutsch公司2003年11月19日

没有UUU和DDD的半长n-1的Dyck路径数，其中U=（1,1）和D=（1，-1）（n>0）-Emeric Deutsch公司2003年11月19日

对于n>=1，a（n）=对角线严格不相交且与底面无对角线入射的（n+2）-边的剖切数。（（n+2）-gon的一侧指定为底面。）-大卫·卡伦2004年3月23日

对于n>=2，a（n-2）=无UU-free Motzkin n-paths的数量=无DU-free Motzkin n-path的数量-大卫·卡伦，2004年7月15日

a（n）=无UU-free Motzkin n路径的数量，不包含低峰值（低峰值是地面上的UD对，即移除该UD对将创建一对Motzkin路径）。对于n>=1，a（n）=无UU-Motzkin（n-1）-路径数=无DU Motz kin（n-1）-路数。a（n）是渐近的~cn^（-3/2）（1+phi）^n，其中c=1.1043…和phi=（1+sqrt（5））/2-大卫·卡伦2004年7月15日。在封闭形式中，c=平方（30+14*sqrt（5））/（4*squart（Pi））=1.104365547309692849-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日

a（n）=所有金字塔尺寸大于等于2的Dyck（n+1）路径数。金字塔是k个向上步紧跟k个向下步的最大子路径，其大小为k-大卫·卡伦2004年10月24日

a（n）=无小金字塔的半长n+1的Dyck路径数（n>=1）。金字塔是一个形式为kUs的极大序列，后面跟着kDs，k>=1。小金字塔是k=1的金字塔。例如，a（4）=4统计以下Dyck 5路径（由小写字母表示的金字塔，并用竖线分隔）：uuuuu ddddd、Uuudd | uuddD、uudd |uuuddd、Uuudd|uudd-大卫·卡伦2004年10月25日

发件人Emeric Deutsch公司2006年1月8日：（开始）

a（n）=长度为n-1的Motzkin路径数，在>=1级没有峰值。示例：a（4）=4，因为我们有HHH、HUD、UDH和UHD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。

a（n）=长度为n+1的Motzkin路径数，x轴上无水平台阶，且水平>=1处无峰值。例如：a（4）=4，因为我们有UHHD、UHDUD、UDUHD和UUHDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。

a（n）=长度为2n且没有偶数长度上升和下降的Dyck路径数。上坡（下坡）是上（下）步的最大序列。例如：a（4）=4，因为我们有UDUDUD、UDUUUDDD、UUUDDUD和UUUDUDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。

a（n）=长度为2n的Dyck路径数，其上升长度仅为1或2，且没有UUDD形式的峰值。上坡是上坡的最大序列。例如：a（4）=4，因为我们有UDUDUD、UDUUDUD和UUDUDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。

a（n）=[n+1]中没有单元素的非交叉分区数，在每个块中，最左边的两个点的形式为i，i+1。例如：a（4）=4，因为我们有12345、12/345、123/45和125/34；非交叉分区145/23不满足要求，因为1和4不连续。

a（n）=没有单例的[n+1]的非交叉分区数，可能除了块/1/和形式为/i、i+1/的块，可能除了区块/1,2/。例如：a（4）=4，因为我们有12345、1/2345、12/345和15/234。

（结束）

a（n+1）=[1，1，2，4，8，17，37，…]给出了Narayana三角形的反对角线和，A001263号. -菲利普·德尔汉姆2006年10月21日

a（n）=没有UDU和DUD的Dyck（n+1）-路径的数量。例如，a（4）=4统计UUUU DDDDD、UUUDDUUDDD、UUDDUUUDDD和UUUDDDUUDD-大卫·卡伦2007年5月8日

a（n）也是不含峰谷高度2（mod 3）的半长n的Dyck路径数马军（Majun（AT）math.sinica.edu.tw），2008年11月29日

a（n+1）的G.f.是1/（1-x-x^2-x^3/（1-x-x^2-x ^3/）（1-…（连分数））-保罗·巴里2009年5月20日

Motzkin数的Chebyshev变换A001006号：g.f.是（1-x-（1-2x-3x^2）^（1/2））/（2x^2-保罗·巴里2010年3月10日

对于n>=1，从（0,0）开始，在水平轴上结束，且从不低于该轴的权重为n-1的晶格路径数，其步长有以下四种：权重为1的（1,0）-步长，权重为2的（1,0-步长，（1,1）-步宽为2的步长，以及权重为1（1，-1）-步幅。路径的权重是其步骤的权重之和。a（4）=4，因为用h（h）表示权重1（2）的（1,0）阶跃，并且u=（1,1），d=（1，-1），我们有以下四条权重3的路径：hH，hH，hhh和ud。（参见Bona-Knopfmacher参考第295页的g.f.C（x）。）

发件人大卫·卡伦，2014年8月27日：（开始）

a（n）=具有大小为1或2的所有块且没有形式为/i，i+1/的块的[n]的非交叉分区数。例如：a（4）=4，因为我们有1234、13/2/4、14/2/3和1/24/3。

似乎a（n）=[n]的排列数，避免了三个虚线图案123、132、24-13，并且不包含小跳跃（一个单位的跳跃）。例如，a（4）=4表示3214、3241、4213和4321，但不表示4312，因为12是一个小跳跃。（结束）

DU数量_{k} -等效性Łukasiewicz路径的类。Łukasiewicz路径是P-等价的，如果模式P在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯尔吉佐夫2018年4月8日

a（n）也是在[n]上避免对合的3412个数，没有形式（i，i+1）的转置。例如，a（4）=4计算对合1234、1432、3214、4231-胡安·吉尔2020年5月23日

对于n>=2，a（n）等于具有长度为n的气穴的Dyck路径数。具有气穴的Dayck路径是Z^2第一象限中的非空晶格路径，从原点开始，到x轴结束，由向上步U=（1,1）和向下步D_k=（1，-k），k>=1组成，其中两个向下步不能连续。例如，长度为2的唯一路径是UD_1；对于长度3，我们有UU_D2；对于长度4，有2条路径：UUUD_3、UD_1UD_1；对于长度5，我们有4条路径：UUUUD_4、UUD_2UD_1、UD_1UUD_2、UUD_1UD_2-谢尔盖·柯吉佐夫2022年12月15日

参考文献

卡梅隆、奈奥米和埃弗雷特·沙利文。《固定高度有标记水平台阶的无峰莫茨金路径》，《离散数学》344.1（2021）：112154。

A.Nkwanta，晶格路径和RNA二级结构，离散数学中的DIMACS系列。和理论计算机科学，34，1997，137-147。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

链接

Seiichi Manyama，n=0..2404时的n，a（n）表（T.D.Noe的前201个术语）

安德烈·阿西诺夫斯基（Andrei Asinowski）、阿克塞尔·巴彻（Axel Bacher）、西里尔·班德利尔（Cyril Banderier）和伯恩哈德·吉滕贝格（Bernhard Gittenberger），具有禁止模式的格路的分析组合学：枚举方面《语言与自动机理论与应用国际会议》，S.Klein，C.Martín-Vide，D.Shapira（编辑），Springer，Cham，第195-206页，2018年。

Andrei Asinowski、Axel Bacher、Cyril Banderier和Bernhard Gittenberger，具有禁止模式的格路径的分析组合、向量核方法和下推自动机的生成函数巴黎北部信息实验室（LIPN 2019）。

安德烈·阿辛诺夫斯基（Andrei Asinowski）、西里尔·班德利尔（Cyril Banderier）和瓦莱丽·罗特纳（Valerie Roitner），具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).

Sergey Avgustinovich、Sergey Kitaev和Alexander Valyuzhenich，避免排列上的装箱网格模式.

Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、Rémi Maréchal和Vincent Vajnovszki，带有气穴的Grand Dyck小路，arXiv:2211.04914[math.CO]，2022。

Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian，模某些模式的Łukasiewicz路径的枚举，arXiv:1804.01293[math.CO]，2018年。

Jean-Luc Baril和JoséL.Ramírez，奈特通往加泰罗尼亚数字的道路法国科姆特大学（2022年）。

Jean-Luc Baril和JoséLuis Ramírez，避免有序关系对的加泰罗尼亚语单词的下降分布，arXiv:2302.12741[math.CO]，2023。

Jean-Luc Baril和JoséL.Ramírez，墙上的斐波那契和加泰罗尼亚小路, 2023.

保罗·巴里，关于Narayana三角形的推广，J.国际顺序。14 (2011) # 11.4.5.

保罗·巴里，Pascal三角、三叉树和交替符号矩阵的Jacobsthal分解《整数序列杂志》，2016年第19期，第16.3.5条。

保罗·巴里，Riordan伪卷积、连分式和Somos 4序列，arXiv:1807.05794[math.CO]，2018年。

保罗·巴里，广义加泰罗尼亚递归、Riordan数组、椭圆曲线和正交多项式，arXiv:1910.00875[math.CO]，2019年。

保罗·巴里，使用Riordan阵列和Catalan数对Somos 4、6和8序列的推测，arXiv:2211.12637[math.CO]，2022。

Paul Barry、Aoife Hennessy和Nikolaos Pantelidis，Riordan子群的代数性质，J Algebr Comb 53，1015-1036（2021）。

安东尼奥·贝尔尼尼（Antonio Bernini）、马特奥·塞维蒂（Matteo Cervetti）、卢卡·费拉里（Luca Ferrari）和埃纳尔·斯坦格里姆森（Einar Steingrisson），Dyck模式偏序集中区间的枚举组合，arXiv:1910.00299[math.CO]，2019年。

M.Bona和A.Knopfmacher，关于某些成分具有相同零件数的概率安·库姆。，14 (2010), 291-306.

A.J.Bu和Robert Dougherty-Bliss，使用上下文无关语法枚举受限Dyck路径，arXiv:2009.09061[math.CO]，2020年。

亚历山大·伯斯坦（Alexander Burstein）和路易斯·夏皮罗（Louis W.Shapiro），Riordan群中的伪进化，arXiv:2112.11595[math.CO]，2021。

Naiomi T.Cameron和Asamoah Nkwanta，关于Riordan群中的一些（伪）对合《整数序列杂志》，第8卷（2005年），第05.3.7条。

C.焦化装置，枚举一类晶格路径，离散数学。，271 (2003), 13-28.

Emeric Deutsch和Sergi Elizalde，限制simsun置换安·库姆。16，第253-269号（2012年）。

Emeric Deutsch和L.W.Shapiro，有序树与2-Motzkin路之间的双射及其许多结果，光盘。数学。256 (2002) 655-670.

R.Donaghey，加泰罗尼亚树和括号上的自同构《组合理论》，B辑，29（1980），75-90。

Robert G.Donnelly、Molly W.Dunkum、Sasha V.Malone和Alexandra Nance，对称斐波那契分配格和特殊线性李代数的表示，arXiv:2012.14991[math.CO]，2020年。

T.Doslic、D.Svrtan和D.Veljan，二级结构的列举方面，离散。数学。，285 (2004), 67-82.

罗伯特·道赫特·布利斯，数论和组合数学的实验方法，罗格斯大学博士论文（2024年）。见第96页。

D.德雷克，加权Dyck路到Schröder路的双射，J.国际顺序。13 (2010) # 10.9.2.

埃里克·S·艾格和凯莉·鲁宾，雪豹排列及其奇偶线，arXiv:1508.05310[math.CO]，2015年。

S.B.Ekhad和M.Yang，R.J.Mathar在OEIS中对许多推测重现的自动证明，arXiv:1707.04654（2017）。

Juan B.Gil和Luiz E.Lopez，对称弧图的枚举，arXiv:2203.10589[math.CO]，2022。

Ivo L.Hofacker、Christian M.Reidys和Peter F.Stadler，对称环状匹配与RNA折叠.离散。数学。，312:100-112, 2012. 参见等式27。

INRIA算法项目，组合结构百科全书421

Emma Y.Jin和Christian M.Reidys，带有伪结的RNA结构的渐近枚举《数学生物学公报》70（2008），951-970。见公式22。

刘树昌、马骏和杨安业，具有峰值和山谷回避集的堤坝路径，学生应用数学。121 (3) (2008) 263-289. 【摘自马军（Majun（AT）math.sinica.edu.tw），2008年11月29日】

Sophie Morier Genoud和Valentin Ovsienko，关于q变形实数，arXiv:1908.04365[math.QA]，2019年。

索菲·莫里尔·盖诺和瓦伦丁·奥维辛科，量子实数与q变形Conway-Coxeter饰带，arXiv:2011.10809[math.QA]，2020年。参见第3.3节。提到这个序列。

E.Munarini和N.Z.Salvi，无锯齿的二进制字符串《联合国图书馆》（Séminaire Lotharingien de Combinatoire），B49h（2004），第15页。

A.Nkwanta和A.Tefera，加泰罗尼亚生成函数和数的奇异关系和恒等式《整数序列杂志》，16（2013），#13.9.5。

瓦伦丁·奥维辛科，模不变q变形数：第一步, 2023.

A.Panayotopoulos和P.Vlamos，弯道切割程度《人工智能应用与创新》，IFIP信息与通信技术进展，第382卷，2012年，第480-489页；内政部10.1007/978-3642-33412-2_49.-发件人N.J.A.斯隆2012年12月29日

N.J.A.斯隆，a（6）=17的图解（摘自Waterman，1978）。

P.R.Stein和M.S.Waterman，关于推广Catalan数和Motzkin数的一些新序列，离散数学。，26 (1978), 261-272.

P.R.Stein和M.S.Waterman，关于推广Catalan数和Motzkin数的一些新序列[更正带注释的扫描副本]

M.Vauchassade de Chaumont和G.Viennot，正口Polynómes orthononaux et problèmes d’enumération en biologie moléculaire，Sem.Loth公司。梳子。B08l（1984）79-86。

M.S.Waterman，主页（包含他的论文副本）

M.S.Waterman，单链核酸的二级结构，《基础与组合学研究》，第1卷，第167-2121978页。

配方奶粉

a（n+1）=a（n）+a（1）*a（n-2）+aa（n-1）*a（0）。

总面积：（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4））/（2*x^2）-迈克尔·索莫斯2003年7月20日

G.f.：（1/z）*（1-C（-z/（1-3*z+z^2）），其中C（z）=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数-Emeric Deutsch公司2003年11月19日

G.f.：1+f（x，x）/x，其中f（x、t）是Narayana数的G.f.：xF^2-（1-x-tx）f+tx=0-Emeric Deutsch公司2003年11月19日

G.f.A（x）满足函数方程：x^2*A（x，^2-（x^2-x+1）*A（x）+1=0-迈克尔·索莫斯2003年7月20日

g.f.A（x）的级数反转为-A（-x）（如果偏移量为1）-迈克尔·索莫斯2003年7月20日

a（n）=A088518号（2个）+A088518号（2n+1）-A088518号（2n+2）-Emeric Deutsch公司2003年11月19日

a（n）=Sum_{k=上限（（n+1）/2）.n}（二项式（k，n-k）*二项式（k，n-k+1）/k），对于n>=1-Emeric Deutsch公司2003年11月12日，该公式计算了（i）按对角线数计算的不相交对角线剖分，（ii）按向上阶梯数计算的无峰Motzkin路径，（iii）按上升次数计算的无UUU和无DDD Dyck路径-大卫·卡伦2004年3月23日

a（n）=总和{k=0..层（n/2）}A131198号（n-k，k）-菲利普·德尔汉姆2007年11月6日

G.f.：1/（1-x/（1-x^2/（1-x/（1-x ^2/-保罗·巴里2008年12月8日

通用公式：1/（1-x/（1-x（x-1）-x/（1-x（x-1）-x-（1-x-保罗·巴里2009年5月16日

发件人保罗·D·汉纳，2009年6月26日：（开始）

设A（x）^m=Sum_{n>=0}A（n，m）*x^n，则

a（n，m）=求和{k=0..n}求和{j=0..k}C（n-k+j+m，n-k）*m/（n-k+j+m）*C（n-k，k-j）*C（k-j，j）。

（结束）

发件人保罗·巴里，2010年3月10日：（开始）

G.f.：（1/（1+x^2））*M（x/（1+x2）），M（x）Motzkin数的G.fA001006号;

通用公式：1/（1-x+x^2-x^2/（1-x+x^2-x ^2/。

a（n）=和{k=0..层（n/2）}（-1）^k*C（n-k，k）*A001006号（n-2*k）。（结束）

通用公式：1+x*exp（和{n>=1}（x^n/n）*（和{k=0..n}C（n，k）^2*x^k））-保罗·D·汉纳2011年3月15日

G.f.：exp（总和{n>=1}A051292号（n） *x^n/n），其中A051292号（n）是n级的惠特尼数-保罗·D·汉娜2011年3月15日

设g.f.为A（x），则B（x）=（1+x*A（x。。。是该序列的g.f.加1；更一般地说，B（x）=C（x/（1+x+x^2）），其中C（x）是加泰罗尼亚数字的g.f(A000108号). -乔格·阿恩特2011年3月18日

递归D-有限：（n+2）*a（n）-（2n+1）*a-R.J.马塔尔2011年12月1日。这种递归源自Wilf-Zeilberger（WZ）证明技术，该技术应用于Sum_{k=上限（（n+1）/2）.n}（二项式（k，n-k）*二项式（k，n-k+1）/k）-T.阿姆德伯汉2012年7月23日

给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x-迈克尔·索莫斯2014年6月5日

G.f.：1-x/（x^2-1/（1-x/（x^2-1/（1-x/（x^2…）））））-迈克尔·索莫斯2014年6月5日

0=a（n）*（a（n+1）-5*a（n+2）-4*a如果n>=-1，则为（n+3）*（-a（n+3）+6*a（n+4）-5*a（n+5））+a（n+4）*-迈克尔·索莫斯2014年6月5日

a（n）=上层（[-n/2，（1-n）/2，（1-n）/2、1-n/2]，[2，-n，-n+1]，16）-彼得·卢什尼2020年1月25日

a（n）=Sum_{k=0..n-1}二项式（n-k，k+1）*n＞0时的二项式-里戈伯托·弗洛雷斯2023年4月17日

a（n）~5^（1/4）*phi^（2*n+2）/（2*sqrt（Pi）*n^（3/2）），其中phi=A001622号是黄金比例-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年5月5日

例子

G.f.=1+x+x^2+2*x^3+4*x^4+8*x^5+17*x^6+37*x^7+82*x^8+185*x^9+432*x^10+。。。

检测（[1]）=1，检测（[1，1；1，1]）=0，检测（[1]，1，1，2；1，2，4]）=-1-迈克尔·索莫斯，2022年5月12日

MAPLE公司

w:=进程（l）x-1-x ^2*（1-x ^l）/（1-x）结束：

S:=进程（l）（-w（l）-sqrt（w（l

#S（0）是Motzkin数的g.fA001006号,

#S（1）是该序列的g.f，

#S（2）是指A004149号等。

数学

a[0]=1；a[n_Integer]：=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k]，{k，n-2}]；数组[a，35，0]

系数列表[级数[（1-x+x^2-Sqrt[x^4-2x^3-x^2-2x+1]）/（2x^2），{x，0，40}]，x](*哈维·P·戴尔2011年5月9日*）

a[n_]：=系列系数[（1-x+x^2-Sqrt[1-2x-x^2-2x^3+x^4]）/（2x^2），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2014年6月5日*）

a[n]：=超几何PFQ[{-n/2，（1-n）/2，（1-n）/2，1-n/2}，{2，-n，-n+1}，16]；数组[a，33，0](*彼得·卢什尼2020年1月25日*）

表[如果[n==0，1，和[（二项式[n-k，k+1]二项式[n-k，k]/（n-k）），{k，0，n-1}]]，{n，0，10}](*里戈伯托·弗洛雷斯2023年4月17日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=polceoff（（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2+x^3*（-2+x+O（x^n）））/2，n+2）}/*迈克尔·索莫斯2003年7月20日*/

（PARI）a（n，m=1）=总和（k=0，n，总和（j=0，k，二项式（n-k+j+m，n-k）*m/（n-k+j+m）*二项式\\保罗·D·汉纳，2009年6月26日

（PARI）{a（n）=polcoeff（1+x*exp（和（m=1，n，和（k=0，m，二项式（m，k）^2*x^k）*x^m/m）+x*O（x^n）），n）}/*保罗·D·汉纳2011年3月15日*/

（PARI）{a（n）=本地(A051292号=1+（1-x^2）/平方（（1-3*x+x^2；polcoeff（exp（sum（m=1，n，polcoeff(A051292号，m）*x^m/m）+x*O（x^n）），n）}/*保罗·D·汉纳2011年3月15日*/

（最大值）a（n）：=系数（泰勒（（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4））/（2*x^2），x，0，n），x；名单（a（n），n，0，12）//伊曼纽尔·穆纳里尼，2001年7月7日

（哈斯克尔）

a004148 n=a004148_列表！！n个

a004148_list=1:f[1]，其中

f xs'@（x:xs）=y:f（y:xs'）其中

y=x+总和（zipWith（*）xs$reverse$tail xs）

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年11月13日

（PARI）{a（n）=my（a=1+O（x））；对于（k=1，n，a=1-x/（x^2-1/a））；波尔科夫（a，n）}/*迈克尔·索莫斯2014年6月5日*/

（Magma）R<x>：=动力系列环（理性（），35）；系数（R！（（1-x+x^2-Sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4））/（2*x^2））//G.C.格鲁贝尔2019年12月30日

（鼠尾草）

定义A004148号_列表（前c）：

P=PowerSeriesRing（ZZ，'x'，prec）

x=发电机（）。O（前c）

return（（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4））/（2*x^2））.list（）

A004148号_列表（35）#G.C.格鲁贝尔2019年12月30日

交叉参考

第二排A064645号.

囊性纤维变性。A000108美元,A001006号,A088518号,A051292号（lgf），A004149号,A131198号.

囊性纤维变性。A046980型（汉克尔变换）。

上下文中的顺序：A025241号 A292461个 A203019号*292460英镑 A085022号 A324936型

相邻序列：A004145号 A004146号 A004147号*A004149号 A004150型 A004151号

关键词

容易的,非n,美好的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的