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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000081号 具有n个节点(或具有固定点的连接函数)的未标记根树的数量。
(原名M1180 N0454)
674
0, 1, 1, 2, 4, 9, 20, 48, 115, 286, 719, 1842, 4766, 12486, 32973, 87811, 235381, 634847, 1721159, 4688676, 12826228, 35221832, 97055181, 268282855, 743724984, 2067174645, 5759636510, 16083734329, 45007066269, 126186554308, 354426847597, 997171512998 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,4

评论

此外,排列n-1个非重叠圆的方法有很多:例如,有4种方法可以排列3个圆,用((O))、(OO)、(O)O、OOO表示,也可以参见示例。(当然,这里的规则不同于常见的计数括号问题-比较A000108号,A001190型,A001699号参见斯隆链接的证明和沃格勒链接的图解(7)作为6个圆圈的排列。

取一个由n个x组成的字符串,以所有可能的合法方式插入n-1^和n-1对括号(参见。A003018号). 序列给出了不同功能的数量。单节点树为“x”。使节点f2成为f1的子节点表示f1^f2。由于(f1^f2)^f3只是f1^(f2*f3),我们可以将其视为f1同时提升到f2和f3,也就是说,f1将f2和f三作为子代。例如,对于n=4,不同的函数是(x^x)^x;(x^(x^x))^x;x^((x^x)^x);(x^(x^x))-W·埃德温·克拉克俄罗斯考克斯2003年4月29日;已由更正凯斯·布里格斯2005年11月14日

此外,除了一个循环外,n阶无圈的连通多重图的数目-华盛顿·邦菲姆2010年9月4日

此外,具有n+1个节点的已种植树木数。

Genitrini(2016)也称为“Polya树”-N.J.A.斯隆2017年3月24日

参考文献

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彼得·斯坦巴赫,简单图形现场指南,第1卷,第17部分(有关本书第1、2、3、4卷,请参阅A000088号,A008406号,A000055号,A000664号

彼得·斯坦巴赫,简单图形现场指南,第3卷,第10部分(有关本书第1、2、3、4卷,请参阅A000088号,A008406号,A000055号,A000664号

彼得·斯坦巴赫,简单图形现场指南,第3卷,第12部分(有关本书第1、2、3、4卷,请参阅A000088号,A008406号,A000055号,A000664号

罗杰·福格勒,六个圆2015年(a(7)的图解为六个圆圈的排列数)。

埃里克·魏斯坦的数学世界,有根的树

埃里克·魏斯坦的数学世界,种植的树木

G.肖,康特拉克

“核心”序列的索引项

与根树相关的序列的索引项

与树相关的序列的索引项

与括号相关的序列的索引项

常数连分式的索引项

配方奶粉

G.f.A(x)满足A(x[波利亚]

同时A(x)=和{n>=1}A(n)*x^n=x/Product_{n>=1}(1-x^n)^A(n)。

递归:a(n+1)=(1/n)*和{k=1..n}(和{d|k}d*a(d))*a(n-k+1)。

渐近c*d^n*n^(-3/2),其中c=A187770号=0.439924…和d=A051491号=2.955765…[波利亚;克努特,第7.2.1.6节]。

欧拉变换是偏移量为-1的序列本身-迈克尔·索莫斯2001年12月16日

对于n>1,a(n)=A087803号(n)-A087803号(n-1)-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月6日

对于n>1,a(n)=A123467号(n-1)-福尔克·胡夫纳2015年11月26日

例子

G.f.=x+x^2+2*x^3+4*x^4+9*x^5+20*x^6+48*x^7+115*x^8+。。。

发件人乔格·阿恩特2014年6月29日:(开始)

具有6个节点的a(6)=20树具有以下级别序列(根级别=0)和括号单词:

01: [ 0 1 2 3 4 5 ] (((((())))))

02: [ 0 1 2 3 4 4 ] ((((()()))))

03: [ 0 1 2 3 4 3 ] ((((())())))

04: [ 0 1 2 3 4 2 ] ((((()))()))

05: [ 0 1 2 3 4 1 ] ((((())))())

06: [ 0 1 2 3 3 3 ] (((()()())))

07: [ 0 1 2 3 3 2 ] (((()())()))

08: [ 0 1 2 3 3 1 ] (((()()))())

09: [ 0 1 2 3 2 3 ] (((())(())))

10: [ 0 1 2 3 2 2 ] (((())()()))

11: [ 0 1 2 3 2 1 ] (((())())())

12: [ 0 1 2 3 1 2 ] (((()))(()))

13: [ 0 1 2 3 1 1 ] (((()))()())

14: [ 0 1 2 2 2 2 ] ((()()()()))

15: [ 0 1 2 2 2 1 ] ((()()())())

16: [ 0 1 2 2 1 2 ] ((()())(()))

17: [ 0 1 2 2 1 1 ] ((()())()())

18: [ 0 1 2 1 2 1 ] ((())(())())

19: [ 0 1 2 1 1 1 ] ((())()()())

20: [ 0 1 1 1 1 1 ] (()()()()())

(结束)

MAPLE公司

N:=30:a:=[1,1];对于从3到n的n,dox*mul((1-x^i)^(-a[i]),i=1..n-1);系列(%,x,n+1);b:=系数(%,x,n);a:=[操作(a),b];od:a;A000081号:=过程(n),如果n=0,则为1,否则为a[n];fi;结束;G000081:=系列(添加(a[i]*x^i,i=1..N),x,N+2);#也用于A000055号

规格:=[T,{T=Prod(Z,Set(T))}];A000081号:=n->combstruct[count](规范,大小=n);[seq(combstruct[count](规范,大小=n),n=0..40)];

#用Maple计算结果的更有效方法。它使用两个过程:

a:=进程(n)局部k;a(n):=添加(k*a(k)*s(n-1,k),k=1..n-1)/(n-1)结束过程:

a(0):=0:a(1):=1:s:=进程(n,k)局部j;s(n,k):=加(a(n+1-j*k),j=1..iquo(n,k));#Joe Riel(joer(AT)san.rr.com),2008年6月23日

#更有效的方法是使用Euler变换:

with(numtheory):a:=proc(n)选项记住;局部d,j`如果`(n<=1,n,(add(add)(d*a(d),d=除数(j))*a(n-j),j=1..n-1))/(n-1))结束:

seq(a(n),n=0..50)#阿洛伊斯·海因茨2008年9月6日

数学

s[n_,k_]:=s[n,k]=a[n+1-k]+如果[n<2k,0,s[n-k,k]];a[1]=1;a[n]:=a[n]=和[a[i]s[n-1,i]i,{i,1,n-1}]/(n-1);表[a[i],{i,1,30}](*罗伯特·拉塞尔*)

a[n]:=a[n]=如果[n<=1,n,和[Sum[d*a[d],{d,除数[j]}]*a[n-j],{j,1,n-1}]/(n-1)];表[a[n],{n,0,30}](*Jean-François Alcover公司2014年2月17日之后阿洛伊斯·海因茨*)

a[n_]:=a[n]=如果[n<=1,n,和[a[n-j]除数和[j,#a[#]&],{j,n-1}]/(n-1)];表[a[n],{n,0,30}](*简·曼加尔丹2014年5月7日之后阿洛伊斯·海因茨*)

(*首先做*)<<数值微分方程分析`;(*然后*)

屠夫树计数[30](*v8以后罗伯特·威尔逊v2014年9月16日*)

a[n:0|1]:=n;a[n]:=a[n]=和[ma[m]a[n-k*m],{m,n-1},{k,(n-1)/m}]/(n-1;表[a[n],{n,0,30}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月6日*)

条款=31;A[_]=0;Do[A[x_]=x*Exp[Sum[A[x^k]/k,{k,1,j}]]+O[x]^j//正常,{j,1,terms}];系数列表[A[x],x](*Jean-François Alcover公司2018年1月11日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=局部(a=x);如果(n<1,0,对于(k=1,n-1,a/=(1-x^k+x*O(x^n))^polceoff(a,k));polceof(a,n))}/*迈克尔·索莫斯2002年12月16日*/

(PARI){a(n)=局部(a,A1,an,i);如果(n<1,0,an=Vec(a=A1=1+O(x^n));对于(m=2,n,i=m\2;an[m]=和(k=1,i,an[k]*an[m-k])+极坐标(如果(m%2,a*=(A1-x^i)^-an[i],a),m-1);an[n])}/*迈克尔·索莫斯2003年9月5日*/

(PARI)N=66;A=矢量(N+1,j,1);

对于(n=1,n,A[n+1]=1/n*和(k=1,n,sumdiv(k,d,d*A[d])*A[n-k+1]));

连接([0],A)\\乔格·阿恩特2014年4月17日

(岩浆)N:=30;P<x>:=PowerSeriesRing(Rationals(),N+1);f:=func<A|x*&*[Exp(Evaluate(A,x^k)/k):k in[1..N]]>;G:=x;对于[1..N]中的i,G:=f(G);结束;G000081:=G;A000081号:=[0]cat Eltseq(G);//Geoff Bailey(Geoff(AT)mathemath.usyd.edu.au),2009年11月30日

(最大值)

g(m):=块([si,v],s:0,v:divisors(m),对于v do中的si(s:s+r(m/si)/si),s);

r(n):=如果n=1,则1其他和(Co(n-1,k)/k!,k、 1,n-1);

Co(n,k):=如果k=1,则g(n)其他和(g(i+1)*Co(n-i-1,k-1),i,0,n-k);

名单(r(n),n,1,12)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年6月15日*/

(哈斯克尔)

导入Data.List(genericIndex)

a000081=通用索引a000081_llist

a000081_list=0:1:f 1[1,0]其中

f x ys=y:f(x+1)(y:ys)其中

y=总和(zipWith(*)(映射h[1..x])ys)`div`x

h=总和。地图(\d->d*a000081 d)。a027750_低

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年6月17日

(鼠尾草)

@缓存函数

定义a(n):

如果n<2:返回n

返回加法(除数(j)中d的加法(d*a(d))*a(n-j)(1,.n-1)中j的加法)/(n-1)

[范围(31)中n的a(n)]#彼得·卢什尼2014年7月18日之后阿洛伊斯·海因茨

(鼠尾草)[0]+[根树(n).范围(1,31)中n的基数()]#弗雷迪·巴雷拉2019年4月7日

(Python)

从functools导入lru_cache

从sympy导入除数

@lru_cache(最大大小=无)

def divisor_tuple(n):#缓存的无序除数元组

返回元组(除数(n,生成器=True))

@lru_cache(最大大小=无)

定义A000081号(n) :如果n<=1,则返回n*A000081号(d) 对于divisor_tuple(k)中的d*A000081号(n-k)对于范围(1,n)中的k)//(n-1)#柴华武2022年1月14日

交叉参考

囊性纤维变性。A000041号(分区),A000055号(未生根的树木),A000169号,A001858号,A005200型,A027750型,A051491号,A051492号,A093637号,A187770号,A199812号,A255170型,A087803号(部分金额)。

的行总和A144963号. -加里·亚当森2008年9月27日

囊性纤维变性。A209397型(对数(A(x)/x))。

囊性纤维变性。A000106号(自我进化)。

第k列=第1列,共列A033185号.

上下文中的序列:A292556型 A145550型 A123467号*A124497号 A286983型 A289971型

相邻序列:A000078号 A000079号 A000080号*A000082号 A000083号 A000084号

关键词

非n,容易的,核心,美好的,特征,改变

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的

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