0,4

此外，排列n-1个非重叠圆的方法有很多：例如，有4种方法可以排列3个圆，用（（O））、（OO）、（O）O、OOO表示，也可以参见示例。（当然，这里的规则不同于常见的计数括号问题-比较A000108号,A001190型,A001699号参见斯隆链接的证明和沃格勒链接的图解（7）作为6个圆圈的排列。

取一个由n个x组成的字符串，以所有可能的合法方式插入n-1^和n-1对括号（参见。A003018号). 序列给出了不同功能的数量。单节点树为“x”。使节点f2成为f1的子节点表示f1^f2。由于（f1^f2）^f3只是f1^（f2*f3），我们可以将其视为f1同时提升到f2和f3，也就是说，f1将f2和f三作为子代。例如，对于n=4，不同的函数是（x^x）^x；（x^（x^x））^x；x^（（x^x）^x）；（x^（x^x））-W·埃德温·克拉克和俄罗斯考克斯2003年4月29日；已由更正凯斯·布里格斯2005年11月14日

此外，除了一个循环外，n阶无圈的连通多重图的数目-华盛顿·邦菲姆2010年9月4日

此外，具有n+1个节点的已种植树木数。

Genitrini（2016）也称为“Polya树”-N.J.A.斯隆2017年3月24日

F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux，组合物种和树状结构，坎布。1998年，第279页。

N.L.Biggs等人，《图论1736-1936》，牛津，1976年，第42、49页。

Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第305998页。

A.Cayley，《关于树的分析形式及其在化学组合理论中的应用》，英国协会进展报告。科学。45（1875），257-305=数学。论文，第9卷，427-460（见第451页）。

J.L.Gross和J.Yellen编辑，《图论手册》，CRC出版社，2004年；第526页。

F.Harary，图论。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1969年，第232页。

F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第54和244页。

亚历山大·卡彭科（Alexander S.Karpenko），《ukasiewicz Logics and Prime Numbers》，Luniver Press，Beckington，2006年，第82页。

D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第1卷：基本算法，3d Ed.1997，第386-388页。

D.E.Knuth，《计算机编程艺术》，第1卷，第3版，《基本算法》，第395页，例2。

D.E.Knuth，TAOCP，第4卷，第7.2.1.6节。

G.Polya和R.C.Read，群、图和化学化合物的组合计数，Springer-Verlag，1987年，第63页。

R.C.Read和R.J.Wilson，《图形地图集》，牛津，1998年。【Neven Juric的评论：第64页错误地给出了a（21）=35224832。】

J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第138页。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Robert G.Wilson v，n=0..1000时的n，a（n）表（前201个术语来自N.J.A.Sloane）

M.J.H.Al-Kaabi、D.Manchon和F.Patras，自由李代数的单项基和预李结构，arXiv:1708.08312[math.RA]，2017年，见第5页。

Lluís Alemany-Puig和Ramon Ferrer-i-Cancho，树的随机投影线性化中期望边长和的线性时间计算，arXiv:2107.03277[cs.CL]，2021。

Winfried Auzinger、H Hofstaetter和O Koch，非线性发展方程流的符号处理及其在分步时间积分器分析中的应用，arXiv预印本arXiv:1605.00453[math.NA]，2016。

罗兰·巴赫，树圈和完备图的有限域上可逆Schrodinger算子的计数，预印本，2015年。

A.凯利，关于树的分析形式阿默尔。数学杂志。，4 (1881), 266-268.

巴托梅·菲尔（Bartomeu Fiol）、杰罗·马丁内斯·蒙托亚（Jairo Martínez-Montoya）和阿兰·里奥斯·福克尔曼（Alan Rios Fukelman），N=2超热场理论的平面极限，arXiv:2003.02879[hep-th]，2020年。

P.Flajolet、S.Gerhold和B.Salvy，关于对数、幂和n阶素函数的非完整性，arXiv:math/0501379[math.CO]，2005年。

P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第71页。

洛伊克·福西，类型修饰根树的代数结构，arXiv:1811.07572[math.RA]，2018年。

A.Genitrini，Polya结构的完全渐近展开，arXiv:1605.00837[math.CO]，2016年5月3日，第6页。

Bernhard Gittenberger、Emma Yu Jin和Michael Wallner，关于随机Pólya结构的形状，arXiv | 1707.02144[math.CO]，2017-2018；离散数学。，341 (2018), 896-911.

F.戈贝尔，有根树与自然数的1-1对应，J.Combin。理论，B 29（1980），141-143。

F.Goebel和R.P.Nederpelt，迭代幂的数值结果数阿默尔。数学。月刊，80（1971），1097-1103。

米卡·哥尔斯和朱卡·索米拉，分布式计算中的局部可检查证明理论计算。12，第19号论文，33页（2016年）。

Vsevolod Gubarev、，字段和上的Rota-Baxter运算符，arXiv:1811.08219[math.RA]，2018年。

Ivan Gutman和Yeong-Nan Yeh，从Matula数推导树的性质《数学研究所出版物（贝尔格莱德）》（N.S.），第53卷（67），第17-22页（1993）。

R.K.盖伊，给N.J.A.Sloane的信，1988-04-12（带注释的扫描副本）

R.K.Guy和J.L.Selfridge，阶梯状圆括号的筑巢和栖息习惯（带注释的缓存副本）

R.K.Guy和J.L.Selfridge，阶梯状圆括号的筑巢和栖息习惯阿默尔。数学。月刊80（8）（1973），868-876。

F.Harary和G.Prins，同胚不可约树和其他物种的数量《数学学报》。101（1-2）（1959）141-161，见第146页。

F.Harary和R.W.Robinson，无枝树的数量，Jnl。Reine Angewandte Mathematik莱因·安格万特·马塞马提克278（1975），322-335。（带注释的扫描副本）

R.Harary和R.W.Robinson，同构因子分解VIII：可分树，Combinatorica 4（2）（1984）169-179，等式（4.3）

INRIA算法项目，组合结构百科全书57

E.Kalinowski和W.Gluza，强耦合极限下Hubbard模型高阶项的估计，arXiv:1106.4938[cond-mat.str-el]，2011（物理评论B 85，0451052012年1月）。

P.Leroux和B.Miloudi，水獭的形式，《科学年鉴》。数学。魁北克，第16卷，第1期，第53-80页，1992年。（带注释的扫描副本）

Dominique Manchon，关于有根树的数学（法国，2019年）。

数学溢出，讨论

R.J.Mathar，平面上不相交圆的拓扑可区别集，arXiv:1603.00077[math.CO]，2016年。

D.马图拉，基于素因式分解的自然根树计数，SIAM Rev.10（1968）273。

R.I.McLachlan、K.Modin、H.Munthe-Kaas和O.Verdier，什么是屠夫系列，真的吗？有根树的故事和进化方程的数值方法，arXiv预印本arXiv:1512.00906[math.NA]，2015。

伊戈尔·帕克，枚举组合学中的复杂性问题，arXiv:1803.06636[math.CO]，2018年。

E.M.Palmer和A.J.Schwenk，关于随机森林中的树数，J.Combin。《理论》，B 27（1979），109-121。

N.Pippenger，等色树的计数，SIAM J.离散数学。，14 (2001), 93-115.

G.波利亚，Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen、Graphen和chemische Verbingengen《数学学报》，第68卷，第1期，第145-254页，（1937年）。

罗宾逊，给N.J.A.Sloane的信，1980年7月29日

F.Ruskey，有根树的信息

A.J.Schwenk，给N.J.A.Sloane的信，1972年8月

N.J.A.斯隆，初始术语说明

N.J.A.斯隆，有根树之间的双射与圆的排列

N.J.A.斯隆，五十年后的《整数序列手册》，arXiv:2301.03149[math.NT]，2023年，第1页。

彼得·斯坦巴赫，简单图形现场指南，第1卷，第17部分（有关本书第1、2、3、4卷，请参阅A000088号,A008406号,A000055号,A000664号）

彼得·斯坦巴赫，简单图形现场指南，第3卷，第10部分（有关本书第1、2、3、4卷，请参阅A000088号,A008406号,A000055号,A000664号）

彼得·斯坦巴赫，简单图形现场指南，第3卷，第12部分（有关本书第1、2、3、4卷，请参阅A000088号,A008406号,A000055号,A000664号）

罗杰·福格勒，六个圆2015年（a（7）的图解为六个圆圈的排列数）。

埃里克·魏斯坦的数学世界，有根的树

埃里克·魏斯坦的数学世界，种植的树木

G.肖，康特拉克

“核心”序列的索引项

与根树相关的序列的索引项

与树相关的序列的索引项

与括号相关的序列的索引项

常数连分式的索引项

G.f.A（x）满足A（x[波利亚]

同时A（x）=和{n>=1}A（n）*x^n=x/Product_{n>=1}（1-x^n）^A（n）。

递归：a（n+1）=（1/n）*和{k=1..n}（和{d|k}d*a（d））*a（n-k+1）。

渐近c*d^n*n^（-3/2），其中c=A187770号=0.439924…和d=A051491号=2.955765…[波利亚；克努特，第7.2.1.6节]。

欧拉变换是偏移量为-1的序列本身-迈克尔·索莫斯2001年12月16日

对于n>1，a（n）=A087803号（n）-A087803号（n-1）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月6日

对于n>1，a（n）=A123467号（n-1）-福尔克·胡夫纳2015年11月26日

G.f.=x+x^2+2*x^3+4*x^4+9*x^5+20*x^6+48*x^7+115*x^8+。。。

发件人乔格·阿恩特2014年6月29日：（开始）

具有6个节点的a（6）=20树具有以下级别序列（根级别=0）和括号单词：

01: [ 0 1 2 3 4 5 ] (((((())))))

02: [ 0 1 2 3 4 4 ] ((((()()))))

03: [ 0 1 2 3 4 3 ] ((((())())))

04: [ 0 1 2 3 4 2 ] ((((()))()))

05: [ 0 1 2 3 4 1 ] ((((())))())

06: [ 0 1 2 3 3 3 ] (((()()())))

07: [ 0 1 2 3 3 2 ] (((()())()))

08: [ 0 1 2 3 3 1 ] (((()()))())

09: [ 0 1 2 3 2 3 ] (((())(())))

10: [ 0 1 2 3 2 2 ] (((())()()))

11: [ 0 1 2 3 2 1 ] (((())())())

12: [ 0 1 2 3 1 2 ] (((()))(()))

13: [ 0 1 2 3 1 1 ] (((()))()())

14: [ 0 1 2 2 2 2 ] ((()()()()))

15: [ 0 1 2 2 2 1 ] ((()()())())

16: [ 0 1 2 2 1 2 ] ((()())(()))

17: [ 0 1 2 2 1 1 ] ((()())()())

18: [ 0 1 2 1 2 1 ] ((())(())())

19: [ 0 1 2 1 1 1 ] ((())()()())

20: [ 0 1 1 1 1 1 ] (()()()()())

（结束）

N:=30:a:=[1，1]；对于从3到n的n，dox*mul（（1-x^i）^（-a[i]），i=1..n-1）；系列（%，x，n+1）；b：=系数（%，x，n）；a:=[操作（a），b]；od:a；A000081号：=过程（n），如果n=0，则为1，否则为a[n]；fi；结束；G000081:=系列（添加（a[i]*x^i，i=1..N），x，N+2）；#也用于A000055号

规格：=[T，{T=Prod（Z，Set（T））}]；A000081号：=n->combstruct[count]（规范，大小=n）；[seq（combstruct[count]（规范，大小=n），n=0..40）]；

#用Maple计算结果的更有效方法。它使用两个过程：

a:=进程（n）局部k；a（n）：=添加（k*a（k）*s（n-1，k），k=1..n-1）/（n-1）结束过程：

a（0）：=0:a（1）：=1:s：=进程（n，k）局部j；s（n，k）：=加（a（n+1-j*k），j=1..iquo（n，k））；#Joe Riel（joer（AT）san.rr.com），2008年6月23日

#更有效的方法是使用Euler变换：

with（numtheory）：a:=proc（n）选项记住；局部d，j`如果`（n<=1，n，（add（add）（d*a（d），d=除数（j））*a（n-j），j=1..n-1））/（n-1））结束：

seq（a（n），n=0..50）#阿洛伊斯·海因茨2008年9月6日

s[n_，k_]：=s[n，k]=a[n+1-k]+如果[n<2k，0，s[n-k，k]]；a[1]=1；a[n]：=a[n]=和[a[i]s[n-1，i]i，{i，1，n-1}]/（n-1）；表[a[i]，{i，1，30}](*罗伯特·拉塞尔*)

a[n]：=a[n]=如果[n<=1，n，和[Sum[d*a[d]，{d，除数[j]}]*a[n-j]，{j，1，n-1}]/（n-1）]；表[a[n]，{n，0，30}](*Jean-François Alcover公司2014年2月17日之后阿洛伊斯·海因茨*)

a[n_]：=a[n]=如果[n<=1，n，和[a[n-j]除数和[j，#a[#]&]，{j，n-1}]/（n-1）]；表[a[n]，{n，0，30}](*简·曼加尔丹2014年5月7日之后阿洛伊斯·海因茨*)

（*首先做*）<<数值微分方程分析`；（*然后*）

屠夫树计数[30]（*v8以后罗伯特·威尔逊v2014年9月16日*）

a[n:0|1]：=n；a[n]：=a[n]=和[ma[m]a[n-k*m]，{m，n-1}，{k，（n-1）/m}]/（n-1；表[a[n]，{n，0，30}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月6日*）

条款=31；A[_]=0；Do[A[x_]=x*Exp[Sum[A[x^k]/k，{k，1，j}]]+O[x]^j//正常，{j，1，terms}]；系数列表[A[x]，x](*Jean-François Alcover公司2018年1月11日*）

（PARI）{a（n）=局部（a=x）；如果（n<1，0，对于（k=1，n-1，a/=（1-x^k+x*O（x^n））^polceoff（a，k））；polceof（a，n））}/*迈克尔·索莫斯2002年12月16日*/

（PARI）{a（n）=局部（a，A1，an，i）；如果（n<1，0，an=Vec（a=A1=1+O（x^n））；对于（m=2，n，i=m\2；an[m]=和（k=1，i，an[k]*an[m-k]）+极坐标（如果（m%2，a*=（A1-x^i）^-an[i]，a），m-1）；an[n]）}/*迈克尔·索莫斯2003年9月5日*/

（PARI）N=66；A=矢量（N+1，j，1）；

对于（n=1，n，A[n+1]=1/n*和（k=1，n，sumdiv（k，d，d*A[d]）*A[n-k+1]））；

连接（[0]，A）\\乔格·阿恩特2014年4月17日

（岩浆）N:=30；P<x>：=PowerSeriesRing（Rationals（），N+1）；f:=func<A|x*&*[Exp（Evaluate（A，x^k）/k）：k in[1..N]]>；G:=x；对于[1..N]中的i，G：=f（G）；结束；G000081:=G；A000081号：=[0]cat Eltseq（G）；//Geoff Bailey（Geoff（AT）mathemath.usyd.edu.au），2009年11月30日

（最大值）

g（m）：=块（[si，v]，s:0，v:divisors（m），对于v do中的si（s:s+r（m/si）/si），s）；

r（n）：=如果n=1，则1其他和（Co（n-1，k）/k！，k、 1，n-1）；

Co（n，k）：=如果k=1，则g（n）其他和（g（i+1）*Co（n-i-1，k-1），i，0，n-k）；

名单（r（n），n，1，12）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2012年6月15日*/

（哈斯克尔）

导入Data.List（genericIndex）

a000081=通用索引a000081_llist

a000081_list=0:1:f 1[1，0]其中

f x ys=y:f（x+1）（y:ys）其中

y=总和（zipWith（*）（映射h[1..x]）ys）`div`x

h=总和。地图（\d->d*a000081 d）。a027750_低

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年6月17日

（鼠尾草）

@缓存函数

定义a（n）：

如果n<2：返回n

返回加法（除数（j）中d的加法（d*a（d））*a（n-j）（1,.n-1）中j的加法）/（n-1）

[范围（31）中n的a（n）]#彼得·卢什尼2014年7月18日之后阿洛伊斯·海因茨

（鼠尾草）[0]+[根树（n）.范围（1，31）中n的基数（）]#弗雷迪·巴雷拉2019年4月7日

（Python）

从functools导入lru_cache

从sympy导入除数

@lru_cache（最大大小=无）

def divisor_tuple（n）：#缓存的无序除数元组

返回元组（除数（n，生成器=True））

@lru_cache（最大大小=无）

定义A000081号（n） ：如果n<=1，则返回n*A000081号（d） 对于divisor_tuple（k）中的d*A000081号（n-k）对于范围（1，n）中的k）//（n-1）#柴华武2022年1月14日

囊性纤维变性。A000041号（分区），A000055号（未生根的树木），A000169号,A001858号,A005200型,A027750型,A051491号,A051492号,A093637号,A187770号,A199812号,A255170型,A087803号（部分金额）。

的行总和A144963号. -加里·亚当森2008年9月27日

囊性纤维变性。A209397型（对数（A（x）/x））。

囊性纤维变性。A000106号（自我进化）。

第k列=第1列，共列A033185号.

上下文中的序列：A292556型 A145550型 A123467号*A124497号 A286983型 A289971型

相邻序列：A000078号 A000079号 A000080号*A000082号 A000083号 A000084号

非n,容易的,核心,美好的,特征,改变

N.J.A.斯隆

经核准的