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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000081号 具有n个节点(或具有不动点的连通函数)的未标记根树的数目。
(原M1180 N0454)
582
0,1,1,2,4,9,20,48,115,286,719,1842,4766,12486,32973,87811,235381,634847,1721159,4688676,12826228,35221832,97055181,2682855,743724984,2067174645,5759636510,16083734329,45007066269,126186554308,354426847597 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,4个

评论

另外,排列n-1个非重叠圆的方法的数目:例如,有4种方法来排列3个圆,如((O)),(OO),(O)O,OOO,也可参见示例。(当然这里的规则不同于通常的括号计数问题-比较A000108号,A001190型,A001699型)见斯隆的链接作为证明,沃格勒的链接说明a(7)作为6个圆圈的排列。

取一个nx的字符串,以所有可能的合法方式插入n-1^和n-1对括号(参见。A003018型). 序列给出了不同函数的数目。单节点树是“x”。使节点f2成为f1的子节点表示f1^f2。因为(f1^f2)^f3就是f1^(f2*f3),所以我们可以把它看作是f1同时提升到f2和f3,也就是说,f1和f2和f3是子代。E、 g.对于n=4,不同的函数是((x^x)^x)^x;(x^(x^x))^x;x^((x^x)^x);x^(x^(x^x))。-W、 埃德温·克拉克罗斯考克斯2003年4月29日;更正人凯斯·布里格斯2005年11月14日

除一个圈外无圈的n阶连通多重图的个数。-华盛顿博菲姆2010年9月4日

还种植了n+1个节点的树。

Genitrini(2016)也将其称为“Polya trees”。-N、 斯隆2017年3月24日

参考文献

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链接

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数学溢出,讨论

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F、 罗斯基,植根于树上的信息

A、 J.施文克,写给N.J.A.斯隆的信,1972年8月

N、 斯隆,初始术语说明

N、 J.A.斯隆,有根树间的双射与圆的排列

彼得·斯坦巴赫,简单图形现场指南,第一卷,第17部分(关于本书的第1、2、3、4卷,请参见A000088号,A008406号,A000055型,A000664号分别为。)

彼得·斯坦巴赫,简单图形现场指南,第3卷,第10部分(关于本书的第1、2、3、4卷,请参见A000088号,A008406号,A000055型,A000664号分别为。)

彼得·斯坦巴赫,简单图形现场指南,第3卷,第12部分(关于本书的第1、2、3、4卷,请参见A000088号,A008406号,A000055型,A000664号分别为。)

罗杰·福格勒,六个圆圈,2015(图a(7)为六个圆的排列数)。

埃里克·韦斯坦的数学世界,有根的树

埃里克·韦斯坦的数学世界,栽种的树

G、 萧,康特拉克

“核心”序列的索引项

与根树相关的序列的索引项

与树相关的序列的索引项

与括号相关的序列的索引项

连续分数的索引项

公式

G、 f.A(x)满足A(x)=x*exp(A(x)+A(x^2)/2+A(x^3)/3+A(x^4)/4+…)[Polya]

还有A(x)=和{n>=1}A(n)*x^n=x/乘积{n>=1}(1-x^n)^A(n)。

循环:a(n+1)=(1/n)*和{k=1..n}(Sum{d|k}d*a(d))*a(n-k+1)。

渐近c*d^n*n^(-3/2),其中c=A187770号=0.439924。。。和d=A051491号=2.955765。。。【Polya;Knuth,第7.2.1.6节】。

欧拉变换本身就是偏移量为-1的序列。-迈克尔·索莫斯2001年12月16日

n>1时,a(n)=A087803号(牛)-A087803型(n-1)。-弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年11月6日

n>1时,a(n)=邮编:A123467(n-1)。-福尔克·霍夫纳2015年11月26日

例子

G、 f.=x+x^2+2*x^3+4*x^4+9*x^5+20*x^6+48*x^7+115*x^8+。。。

乔尔阿恩特2014年6月29日:(开始)

具有6个节点的a(6)=20树具有以下级别序列(根级别=0)和括号单词:

01:[0 1 2 3 4 5](((()))))))

[2(())4()

03:[0 1 2 3 4 3](((())()))

04:[0 1 2 3 4 2](((()))())

[1(()0)5(()3)())

((0)(()3)

07:[0 1 2 3 3 2](((()())())

08:[0 1 2 3 3 1](((()))())

09:[0 1 2 3 2 3](((())(()))

10: [0 1 2 3 2 2](((())())

11: [0 1 2 3 2 1](((())())

12: [0 1 2 3 1 2](((()))(())

13: [0 1 2 3 1 1](((()))())

14: [0 1 2 2 2 2]((()()()())

15: [0 1 2 2 2 1]((()()())())

16: [0 1 2 2 1 2]((()())(())

17: [0 1 2 2 1 1]((()())())

18: [0 1 2 1 2 1]((())(())())

19: [0 1 2 1 1 1]((())()())

20: [0 1 1 1 1 1](()()()()())

(结束)

枫木

N:=30:a:=[1,1];对于N从3到N do x*mul((1-x^i)^(-a[i]),i=1..N-1);系列(%,x,N+1);b:=系数(%,x,N);a:=[op(a),b];od:a;A000081号:=proc(n)如果n=0则1 else a[n];fi;end;g00081:=系列(add(a[i]*x^i,i=1..n),x,n+2);35;也用于A000055型

规格:=[T,{T=Prod(Z,Set(T))}];A000081号:=n->combstruct[count](spec,size=n);[seq(combstruct[count](spec,size=n),n=0..40)];

#用Maple计算结果的一种更有效的方法。它使用两个程序:

a:=过程(n)局部k;a(n):=加法(k*a(k)*s(n-1,k),k=1..n-1)/(n-1)结束过程:

a(0):=0:a(1):=1:s:=proc(n,k)local j;s(n,k):=add(a(n+1-j*k),j=1..iquo(n,k));#Joe Riel(joer(AT)san.rr.com),2008年6月23日

#更有效的方法是使用Euler变换:

with(numtheory):a:=proc(n)选项记住;局部d,j;`if`(n<=1,n,(add(add(d*a(d),d=divisors(j))*a(n-j,j=1..n-1))/(n-1))结束:

顺序(a(n),n=0..50)#海因茨2008年9月6日

数学

s[n_u,k_u]:=s[n,k]=a[n+1-k]+If[n<2k,0,s[n-k,k]];a[1]=1;a[n_u]:=a[n]=和[a[i]s[n-1,i]i,{i,1,n-1}]/(n-1);表[a[i],{i,1,30}](*罗伯特A.罗素*)

a[n_]:=a[n]=如果[n<=1,n,Sum[Sum[d*a[d],{d,除数[j]}]*a[n-j],{j,1,n-1}]/(n-1)];表[a[n],{n,0,30}](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2014年2月17日,之后海因茨*)

a[n_]:=a[n]=如果[n<=1,n,和[a[n-j]除数[j,#a[#]&],{j,n-1}]/(n-1)];表[a[n],{n,0,30}](*简·曼格尔丹2014年5月7日,之后海因茨*)

(*先做*)<<数值微分方程分析';(*然后*)

ButterTreeCount[30](*v8以上罗伯特·G·威尔逊五世2014年9月16日*)

{1[m,n]=n[m,n]=n[m,n]=n[m,n](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年11月6日*)

terms=31;A[\u]=0;Do[A[x\u]=x*Exp[Sum[A[x^k]/k,{k,1,j}]]+O[x]^j//Normal,{j,1,terms}];系数列表[A[x],x](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗,2018年1月11日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=局部(a=x);如果(n<1,0,对于(k=1,n-1,a/=(1-x^k+x*O(x^n))^polcoeff(a,k));polcoeff(a,n))}/*迈克尔·索莫斯2002年12月16日*/

(PARI){a(n)=局部(a,A1,an,i);如果(n<1,0,an=Vec(a=A1=1+O(x^n));对于(m=2,n,i=m\2;an[m]=和(k=1,i,an[k]*an[m-k])+polcoeff(如果(m%2,a*=(A1-x^i)^-an[i],a),m-1));an[n])}/*迈克尔·索莫斯2003年9月5日*/

(PARI)N=66;A=向量(N+1,j,1);

对于(n=1,n,A[n+1]=1/n*和(k=1,n,sumdiv(k,d,d*A[d])*A[n-k+1]);

concat([0],A)\\乔尔阿恩特2014年4月17日

(MAGMA)N:=30;P<x>:=PowerSeriesRing(Rationals(),N+1);f:=func<A | x*&*[Exp(Evaluate(A,x^k)/k):k in[1..N]]>中的k;G:=x;对于[1..N]中的i,G:=f(G);结束于;g00081:=G;A000081号:=[0]cat Eltseq(G);//杰夫贝利(Geoff(AT)mathematics.usyd.edu.au),2009年11月30日

(马克西玛)

g(m):=块([si,v],s:0,v:除数(m),对于v do中的si(s:s+r(m/si)/si),s);

r(n):=如果n=1,则1 else和(Co(n-1,k)/k!,k,1,n-1);

Co(n,k):=如果k=1,则g(n)else和(g(i+1)*Co(n-i-1,k-1),i,0,n-k);

候选名单(r(n),n,1,12)/*弗拉基米尔·克鲁基宁2012年6月15日*/

(哈斯克尔)

导入数据。列表(genericIndex)

a000081=通用索引a000081_列表

a000081_list=0:1:f 1[1,0]其中

f x ys=y:f(x+1)(y:ys),其中

y=求和(zipWith(*)(映射h[1..x])ys)`div`x

h=总和。地图(\d->d*a000081 d)。a027750_世界其他地区

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年6月17日

(圣人)

@缓存函数

定义a(n):

如果n<2:返回n

return add(除数(j)中d的add(d*a(d))*a(n-j)(1..n-1)中的j/(n-1)

[a(n)表示范围(31)内的n]#彼得·卢什尼2014年7月18日之后海因茨

(Sage)[0]+[RootedTrees(n).cardinality(),用于范围(1,31)]#弗雷迪·巴雷拉2019年4月7日

交叉引用

囊性纤维变性。A000041号(分区),A000055型(无根树),A000169号,A001858号,A005200型,A027750型,A051491号,A051492号,A093637型,A187770号,邮编:A199812,A255170号,A087803型(部分金额)。

行和邮编:A144963. -加里·W·亚当森2008年9月27日

囊性纤维变性。A209397号(对数(A(x)/x))。

囊性纤维变性。A000106号(自卷积)。

第k列=1,共A033185.

上下文顺序:A145549号 邮编:A292556 A145550*邮编:A123467 邮编:A124497 A286983年

相邻序列:A000078号 A000079号 A000080型*A000082号 A000083号 A000084号

关键字

,容易的,核心,美好的,本征

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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