搜索： a054341-id:a054341
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1, 3, 10, 34, 117, 405, 1407, 4899, 17083, 59629, 208284, 727900, 2544751, 8898873, 31125138, 108881166, 380928795, 1332824049, 4663705782, 16319702046, 57109857519, 199859075307, 699435489795, 2447823832671, 8566818534141, 29982268505595, 104933418068332
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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Riordan数组的第一列（（1-2x）/（1+x+x^2），x/（1+x+x^2））^（-1）。[保罗·巴里，2008年11月6日]
a（n）是长度为n的Motzkin路径数，其中0级的（1,0）-步骤有3种颜色。例如：a（3）=34，因为表示U=（1,1）、H=（1,0）和D=（1，-1），我们有3^3=27条HHH形状路径、3条HUD形状路径、三条UDH形状路径和1条UHD形状路径-Emeric Deutsch公司2011年5月2日
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链接
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Isaac DeJager、Madeleine Naquin和Frank Seidl，高阶有色Motzkin路2019年维拉姆。
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配方奶粉
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G.f.：1/（1-3*x-x^2/（1-x-x^2/（1-x-x-x^ 2/（1-…））），一个连分数-伊利亚·古特科夫斯基2021年11月19日
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数学
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表[级数系数[2/（1-5*x+Sqrt[1-2*x-3*x^2]），{x，0，n}]，{n，0，20}]
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（2/（1-5*x+平方（1-2*x-3*x^2））\\乔格·阿恩特，2013年5月6日
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 3, 0, 1, 0, 5, 0, 4, 0, 1, 5, 0, 9, 0, 5, 0, 1, 0, 14, 0, 14, 0, 6, 0, 1, 14, 0, 28, 0, 20, 0, 7, 0, 1, 0, 42, 0, 48, 0, 27, 0, 8, 0, 1, 42, 0, 90, 0, 75, 0, 35, 0, 9, 0, 1, 0, 132, 0, 165, 0, 110, 0, 44, 0, 10, 0, 1, 132, 0, 297, 0, 275, 0, 154, 0, 54, 0, 11, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0.8
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评论
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有墙行走：从（0,0）到（n，m）的n步行走次数的三角形，其中每一步都从（a，b）到（a+1，b+1）或（a+1、b-1），并且路径保持在非负象限内。
T（n，m）是长度n结束于高度m的Dyck路径的左因子数。例如：T（4,2）=3，因为我们有UDUU、UUDU和UUUD，其中U=（1,1）和D=（1，-1）。（这基本上是与前面的wall属性walk不同的公式。）-Emeric Deutsch公司2011年6月16日
“加泰罗尼亚三角形的形成方式与帕斯卡三角形相同，只是垂直条左侧可能没有数字。”[康韦和史密斯]
对于行多项式p（n，x）：=和{m=0..n}（a（n，m）*x^m）：c（z^2）/（1-x*z*c（z*2））。行总和（x=1）：A001405号（中心二项式）。
在夏皮罗等人的语言中，这种下三角（普通）卷积阵列被视为矩阵，属于Riordan群的Bell子群。给定Bell-matrix逆矩阵的m=0列的g.f.Ginv（x）（此处A049310型)由Ginv（x）=（f^{（-1）}（x））/x从其m=0列的g.f.（此处g（x）=1/（1+x^2））获得，其中f（x）：=x*g（x），f^{（-1）{是f的成分反函数（此处我们发现Ginv，0）=1，c（x^2”）。参见Shapiro等人的参考。
{1,2，…，n}的对合数，它们避开了模式132并且正好有k个不动点。例如：T（4,2）=3，因为我们有2134、4231和3214。{1,2，…，n}的对合数，它们避开了模式321并且正好有k个不动点。例如：T（4,2）=3，因为我们有1243、1324和2134。{1,2，…，n}的对合数，它们避开了模式213并且正好有k个不动点。例如：T（4,2）=3，因为我们有1243、1432和4231-Emeric Deutsch公司，2006年10月12日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->126093年; (0,3) ->A126970号; (1,0) ->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; (1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1) ->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->A126953号; (3,1) ->126954英镑; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; （3，4）->124574英镑; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
按不带零的列，第n行=A000108号与自身卷曲了n次；等于A=（1+x+2x^2+5x^3+14x^4+…），则第n行=A^（n+1）的系数-加里·亚当森2009年5月13日
作为右上角三角形，行表示5-sqrt（24）的幂：
5-平方英尺（24）^1=0.101020514。。。
5平方码（24）^2=0.010205144。。。
5平方（24）^3=0.001030928。。。
（除以sqrt（96），这些幂表示A007318号，中间列为1/sqrt（96）。）（结束）
T（n，k）是长度n的离散Dyck路径数（即长度n的Motzkin路径，在正高度没有（1,0）步），具有k（1,0-步）。例如：T（5,3）=4，因为表示U=（1,1），D=（1，-1），H=1,0），我们有HHUD、HHUDH、HUDHH和UDHHH-Emeric Deutsch公司2011年6月1日
设S（N，x）表示x中的第N个切比雪夫S多项式（参见A049310型，参见[W.Lang]）。那么x^n=sum_{k=0..n}T（n，k）*S（k，x）-L.埃德森·杰弗里2012年9月6日
这个三角形a（n，m）也出现在有理数ρ（n）=2*cos（Pi/n）=R（n，2）上代数数的幂ρ
rho（N）^N=总和（a（N，m）*R（N，m+1），m=0..N），N>=0，在N>=1中相同。R（N，j）=S（j-1，x=rho（N））（切比雪夫S(A049310型)). 请参阅以下对此的评论A039599号（甚至权力）和A039598号（奇数幂）。证据：见L.Edson Jeffery于2012年9月6日发表的评论，该评论源于T（n，k）（此处称为a（n，k））是Riordan三角形的倒数A049310型. -沃尔夫迪特·朗2013年9月21日
贝尔型Riordan三角形（c（x^2），x*c（x*2））的所谓A序列是A（x）=1+x^2。这证明了Henry Bottomley在公式部分中给出的关于a（n，m）=a（n-1，m-1）+a（n-1，m+1），n>=1和m>=1的输入的递归性。这个Riordan三角形的Z序列是Z（x）=x，它证明了递归a（n，0）=a（n-1,1），n>=1，a（0,0）=1。有关Riordan三角形的A序列和Z序列，请参阅下面的W.Lang链接A006232号. -沃尔夫迪特·朗2013年9月22日
三角形行描述了李代数sl（2）的标准（二维）表示的张量幂分解为不可约。因此，a（n，m）是标准表示的第n张量幂的第m（m+1）维）不可约表示的重数-Mamuka Jibladze公司2015年5月26日
Riordan行多项式p（n，x）属于Boas-Buck类（参见中的注释和参考A046521号)因此，它们满足Boas-Buck恒等式：（E_x-n*1）*p（n，x）=（E_x+1）*Sum_{j=0..n-1}（1/2）*（1-（-1）^j）*二项式（j+1，（j+1）/2）*p（n-1-j，x），对于n>=0，其中E_x=x*d/dx（Euler算子）。对于三角形a（n，m），这需要对公式部分中给出的列m序列进行递归-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
对于第n行，非零值表示由n+1个不相交的拱在x轴上下形成的奇数分量（环），具有以下约束：顶部在位置1和下一个连续的奇数位置有底部（（n+3）/2）起始拱。所有其他起始顶部拱门的位置都是均匀的。底部拱门是一道彩虹拱门。如果分量=1，则拱结构为半弯曲解。
示例：对于第3{0，2，0，1}行，有3个拱配置：2个拱配置的组件=1；1有一个组件=3。c=组件，U=顶部拱从奇数位置开始，U=顶部拱在偶数位置开始；d=顶部拱结束：
.
top UuUdUddd c=3 top UdUuUddd c=1 top Ud UdUudd c=1
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对于第4{2，0，3，0，1}行，有6个拱形配置：2有一个组件=1；3具有组件=3:1具有组件=1。（结束）
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参考文献
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J.H.Conway和D.A.Smith，《四元数和八元数》，A K Peters，Ltd.，马萨诸塞州纳提克，2003年。见第60页。MR1957212（2004a:17002）
A.Nkwanta，晶格路径和RNA二级结构，《非裔美国人数学》，编辑N.Dean，Amer。数学。Soc.，1997年，第137-147页。
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链接
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张向科、胡晓斌、雷洪平和叶延宁，加法公式的组合证明，《组合学电子期刊》，23（1）（2016），第1.8页。
E.Deutsch、A.Robertson和D.Saracino，精细限制对合《欧洲组合数学杂志》28（2007），481-498（见第486和498页）。
W.F.Klostermeyer、M.E.Mays、L.Soltes和G.Trapp，帕斯卡菱形《斐波纳契季刊》，35（1997），318-328。
Frank Ruskey和Mark Weston，具有对合等距的球面维恩图，《组合学电子期刊》，第18期（2011年），第191期。
L.W.Shapiro、S.Getu、Wen-Jin Woan和L.C.Woodson，Riordan集团，离散应用。数学。34 (1991) 229-239.
W.-J.Woan，加泰罗尼亚小径面积，离散数学。，226 (2001), 439-444.
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配方奶粉
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a（n，m）：如果n<m或n-m奇数，则=0，否则a（n、m）=（m+1）*二项式（n+1，（n-m）/2）/（n+1）；
a（n，m）=（4*（n-1）*a（n-2，m）+2*（m+1）*a。
第m列的G.f.：c（x^2）*（x*c（x*2））^m，其中c（x）=加泰罗尼亚数字的G.fA000108号.
如果n>0且m>=0，a（n，m）=a（n-1，m-1）+a（n-1，m+1），a（0，0）=1，a（0,m）=0，如果m>0，a-亨利·博托姆利2001年1月25日
如果m+n是奇数，则求和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=0；和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=A000108号（（m+n）/2）如果m+n是偶数-菲利普·德尔汉姆2005年5月26日
T（n，k）=和{i=0..n，（-1）^（n-i）*C（n，i）*和{j=0..i，C（i，j）*（C（i-j，j+k）-C（i-j、j+k+2））}}；k列具有例如，f.BesselI（k，2x）-BesselI（k+2,2x）-保罗·巴里2006年2月16日
和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）=2^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
行多项式C（n，x）的递归性：=和{m=0..n}a（n，m）*x^m=x*Sum_{k=0..n}Chat（k）*C（n-1-k，x），n>=0，其中C（-1，1/x）=1/x和Chat（k）=A000108号（k/2）如果n是偶数，否则为0。从行多项式的o.g.f:g（z；x）：=Sum_{n>=0}C（n，x）*z^n=C（z^2）*（1+x*z*g（z，x））开始A000108号. -艾哈迈特·扎希德·库乔和沃尔夫迪特·朗2015年8月23日
m列序列的Boas-Buck递推（见上文注释）为：a（n，m）=（（m+1）/（n-m））*Sum_{j=0..n-1-m}（1/2）*（1-（-1）^j）*二项式（j+1，（j+1）/2）*a（n-1-j，k），对于n>m>=0，输入a（m，m）=1-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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例子
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三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 0 1
2:1 0 1
3: 0 2 0 1
4: 2 0 3 0 1
5: 0 5 0 4 0 1
6: 5 0 9 0 5 0 1
7: 0 14 0 14 0 6 0 1
8: 14 0 28 0 20 0 7 0 1
9:0 42 0 48 0 27 0 8 0 1
10:42 0 90 0 75 0 35 0 9 0 1
例如，第四行对应于多项式p（3，x）=2*x+x^3。
生产矩阵为
0, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0,0,00,0,1,0,0，0,1,0，1（结束）
列k=2，n=6的Boas-Buck递推：a（6，2）=（3/4）*（0+2*a（4，2）+0+6*a（2，2））=（3/4）*（2*3+6）=9-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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MAPLE公司
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T： =proc（n，k）：如果n+k mod 2=0，则（k+1）*二项式（n+1，（n-k）/2）/（n+1）else 0 fi end：对于从0到13的n，do seq（T（n，k），k=0..n）od；#生成三角形序列；Emeric Deutsch公司2006年10月12日
F： =proc（l，p）如果（（l-p）mod 2）=1，则为0，否则为（p+1）*l/（（（l-p）/2）！*（（l+p）/2+1）！）；fi；结束；
r： =n->[序列（F（n，p），p=0..n）]；[序列（r（n），n=0..15）]#N.J.A.斯隆2011年1月29日
A053121号：=proc（n，k）选项记忆`如果`（k>n或k<0，0，`如果`（n=k，1，
进程名（n-1，k-1）+进程名（n-1，k+1））结束进程：
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数学
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a[n，m]/；n<m||奇数Q[n-m]=0；a[n_，m_]=（m+1）二项式[n+1，（n-m）/2]/（n+1）；扁平[表[a[n，m]，{n，0，12}，{m，0，n}][[1；；90]](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a053121 n k=a053121_tabl！！不！！k个
a053121_row n=a053121.tabl！！n个
a053121_tabl=迭代
（\row->zipWith（+）（[0]++行）（尾行++[0，0]））[1]
（鼠尾草）
M=矩阵（ZZ，dim，dim）
对于n in（0..dim-1）：M[n，n]=1
对于n in（1..dim-1）：
对于k in（0..n-1）：
M[n，k]=M[n-1，k-1]+M[n-1，k+1]
返回M
（PARI）T（n，m）=如果（n<m||（n-m）%2，返回（0））；（m+1）*二项式（n+1，（n-m）/2）/（n+1）
对于（n=0，9，对于（m=0，n，打印1（T（n，m）“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年3月9日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A126075号
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| 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，定义为：T（0,0）=1，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=2*T（n-1,0）+T（n-1.1），T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-l，k+1），如果k>=1。 |
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+10
29
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1, 2, 1, 5, 2, 1, 12, 6, 2, 1, 30, 14, 7, 2, 1, 74, 37, 16, 8, 2, 1, 185, 90, 45, 18, 9, 2, 1, 460, 230, 108, 54, 20, 10, 2, 1, 1150, 568, 284, 128, 64, 22, 11, 2, 1, 2868, 1434, 696, 348, 150, 75, 24, 12, 2, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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Riordan数组（c（x^2）/（1-2xc（x*2）），xc（x ^2））其中c（x）=加泰罗尼亚数字的g.fA000108号. -菲利普·德尔汉姆2007年3月18日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形通过为（x，y）选择不同的值而产生：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; （0.3）->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; ((1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1) ->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->A126953号; (3,1) ->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; （4,3）->A126791号; (4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
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链接
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配方奶粉
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和{k=0..n}T（n，k）*（-k+1）=2^n-菲利普·德尔汉姆2007年3月25日
T（n，k）=和{j=0..floor（（n-k）/2）}2^（n-k-2*j）*二项式（n，j）-彼得·巴拉2018年2月20日
x的降次幂的第n行多项式是有理函数（1-x^2）/（1-2*x）*（1+x^2。例如，对于n=4，（1-x^2）/（1-2*x）*（1+x^2，^4=（30*x^4+14*x*3+7*x^2+2*x+1）+O（x^5）。（结束）
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例子
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三角形开始：
1;
2, 1;
5, 2, 1;
12, 6, 2, 1;
30, 14, 7, 2, 1;
74, 37, 16, 8, 2, 1;
185, 90, 45, 18, 9, 2, 1;
460, 230, 108, 54, 20, 10, 2, 1;
1150、568、284、128、64、22、11、2、1；
2868, 1434, 696, 348, 150, 75, 24, 12, 2, 1;
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MAPLE公司
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加法（2^（n-k-2*j）*二项式（n，j），j=0..层（（n-k）/2））
结束进程：
#三角形显示序列
对于从0到10的n，执行seq(126075英镑（n，k），k=0..n）结束do；
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数学
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T[0,0，x_，y_]：=1；T[n，0，x_，y]：=x*T[n-1，0，x，y]+T[n-1，1，x，y]；T[n_，k_，x_，y]：=T[n，k，x，y]=如果[k<0||k>n，0，T[n-1，k-1，x，y]+y*T[n-1，k，x，y]+T[n-l，k+1，x，y]]；表[T[n，k，2，0]，{n，0，49}，{k，0，n}]//扁平(*G.C.格雷贝尔2017年4月21日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 5, 3, 1, 6, 10, 9, 4, 1, 10, 22, 22, 14, 5, 1, 20, 44, 54, 40, 20, 6, 1, 35, 93, 123, 109, 65, 27, 7, 1, 70, 186, 281, 276, 195, 98, 35, 8, 1, 126, 386, 618, 682, 541, 321, 140, 44, 9, 1, 252, 772, 1362, 1624, 1440, 966, 497, 192, 54, 10, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,4
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评论
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T（n，k）是高度为正且无水平台阶且有k个蓝色台阶的2-Motzkin路径（即具有蓝色和红色台阶的Motzkin路径）的数量。例如：T（4,2）=9，因为表示U=（1,1），D=（1，-1），B=蓝色（1,0），R=红色（1,0”），我们有BBRR、BRBR、BRRB、RBBR、RBRB、RRBB、BBUD、BUDB和UDBB-Emeric Deutsch公司，2011年6月7日
以夏皮罗等人的语言引用（见A053121号)这种下三角（普通）卷积阵列被视为矩阵，属于Riordan群的Bell子群。
行多项式p（n，x）（x的递增幂）的g.f.是1/（1-（1+x）*zz^2*c（z^2）），c（x）是加泰罗尼亚数的g.f.xA000108号.
Riordan阵列（（平方（1+2x）-平方（1-2x））/（2x*sqrt（1-2x）），（平方（2+2x）-sqrt（1-2 x）），
Riordan阵列的逆矩阵（（1+x）/（1+2x+2x^2），x（1+x）/（3+2x+2x*2））(A181472号). （结束）
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链接
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配方奶粉
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m列的G.f.：cbi（x）*（x*cbi（x））^m，其中cbi（x）：=（1+x*c（x^2））/sqrt（1-4*x^2）=1/（1-x-x^2*c（x^2）），其中c（x）是加泰罗尼亚数字的G.fA000108号.
T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，l）+和{j>=0}T（n-l，k+1+j）*（-1）^j-菲利普·德尔汉姆2012年2月23日
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例子
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第四行多项式（n=3）：p（3，x）=3+5*x+3*x^2+x^3。
发件人保罗·巴里，2010年10月21日：（开始）
三角形开始
1;
1, 1;
2、2、1；
3, 5, 3, 1;
6, 10, 9, 4, 1;
10, 22, 22, 14, 5, 1;
20, 44, 54, 40, 20, 6, 1;
35, 93, 123, 109, 65, 27, 7, 1;
生产矩阵为
1, 1;
1, 1, 1;
-1, 1, 1, 1;
1, -1, 1, 1, 1;
-1, 1, -1, 1, 1, 1;
1, -1, 1, -1, 1, 1, 1;
-1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, 1;
1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, 1;
-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, 1; （结束）
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数学
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c[n，j]/；n<j||OddQ[n-j]=0；c[n_，j_]=（j+1）二项式[n+1，（n-j）/2]/（n+1）；t[n_，k_]：=和[c[n，j]*二项式[j，k]，{j，0，n}]；扁平[表[t[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}][[；；66]](*Jean-François Alcover公司2011年7月13日之后菲利普·德尔汉姆*)
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黄体脂酮素
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（PARI）
A053121号（n，k）=如果（（n-k+1）%2==0，0，（k+1）*二项式（n+1，（n-k）\2）/（n+1））；
T（n，k）=总和（j=k，n，A053121号（n，j）*二项式（j，k））；
对于（n=0，10，对于（k=0，n，打印1（T（n，k），“，”））\\G.C.格雷贝尔2019年7月21日
（岩浆）
A053121号：=func<n，k|（（n-k+1）mod 2）eq 0 select 0 else（k+1）*二项式（n+1，Floor（（n-k）/2））/（n+1）>；
T： =函数<n，k|（&+[二项式（j，k）*A053121号（n，j）：[k.n]]中的j）>；
[T（n，k）：[0..n]中的k，[0..10]]中的n//G.C.格雷贝尔，2019年7月21日
（鼠尾草）
如果（n-k+1）%2==0：返回0
else：返回（k+1）*二项式（n+1，（n-k）//2）/（n+1）
def T（n，k）：返回和（二项式（j，k）*A053121号（n，j）对于j in（k.n））
[T（n，k）代表k in（0..n）]代表n in（0..10）]#G.C.格雷贝尔2019年7月21日
（间隙）
如果（（n-k+1）mod 2）＝0，则返回0；
否则返回（k+1）*二项式（n+1，Int（（n-k）/2））/（n+1）；
fi；
结束；
T： =函数（n，k）
return总和（[k.n]，j->二项式（j，k）*A053121号（n，j））；
结束；
平面（列表（[0..10]，n->List（[0..n]，k->T（n，k）））#G.C.格雷贝尔2019年7月21日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A127358号
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| a（n）=和{k=0..n}二项式（n，floor（k/2））*2^（n-k）。 |
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+10
8
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1, 3, 8, 21, 54, 138, 350, 885, 2230, 5610, 14088, 35346, 88596, 221952, 555738, 1391061, 3480870, 8708610, 21783680, 54483510, 136254964, 340729788, 852000828, 2130354786, 5326563004
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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汉克尔变换是（-1）^n。通常，给定r>=0，由求和{k=0..n}二项式（n，floor（k/2））*r^（n-k）}给出的序列具有汉克尔变换（1-r）^n，该序列是切比雪夫映射g（x）->（1/sqrt（1-4x^2））g（xc（x^2A000108号.
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链接
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Isaac DeJager、Madeleine Naquin、Frank Seidl、，高阶有色Motzkin路2019年维拉姆。
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配方奶粉
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总面积：（1/sqrt（1-4x^2））（1+x*c（x^2。
a（n）是M^n的顶行项之和，M是一个无限平方生产矩阵，如下所示：
2, 1, 0, 0, 0, ...
1, 0, 1, 0, 0, ...
0, 1, 0, 1, 0, ...
0，0，1，0，1。。。
0, 0, 0, 1, 0, ...
…（结束）
猜想：2*n*a（n）+（-5*n-4）*a（n-1）+2*（-4*n+13）*a-R.J.马塔尔2012年11月30日
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例子
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a（3）=21=（12+6+2+1），其中M^3=（12，6，2，1）的顶行。
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数学
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表[Sum[二项式[n，Floor[k/2]]2^（n-k），{k，0，n}]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔，2012年6月3日*）
系数列表[系列[（1+2*x-Sqrt[1-4*x^2]）/（2*Sqrt[1-4*x^2]*（x-1+Sqrt[1-4*x^2]）），｛x，0，50｝]，x](*G.C.格雷贝尔2017年5月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^50）；Vec（（1+2*x-sqrt（1-4*x^2））/（2*sqrt\\G.C.格雷贝尔，2017年5月22日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A305561型
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| 2*x*（1-2*x）/（1+2*x-8*x^2-sqrt（1-4*x^2））的展开。 |
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+10
1
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1, 1, 3, 8, 23, 64, 182, 512, 1451, 4096, 11594, 32768, 92710, 262144, 741548, 2097152, 5931955, 16777216, 47454210, 134217728, 379628818, 1073741824, 3037013748, 8589934592, 24296051198, 68719476736, 194368201572, 549755813888, 1554944869676, 4398046511104
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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G.f.：1/（1-和{k>=1}二项式（k，floor（k/2））*x^k）。
递归D-有限：n*（n+1）*a（n）+（n-1）*（n-5）*a-R.J.马塔尔2020年1月25日
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MAPLE公司
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a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加(
a（n-i）*二项式（i，楼层（i/2）），i=1..n）
结束时间：
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数学
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nmax=29；系数列表[系列[2 x（1-2 x）/（1+2 x-8 x ^2-Sqrt[1-4 x ^2]），{x，0，nmax}]，x]
nmax=29；系数列表[级数[1/（1-总和[二项式[k，Floor[k/2]]x^k，{k，1，nmax}]），{x，0，nmax{]，x]
a[0]＝1；a[n_]：=a[n]=和[二项式[k，Floor[k/2]]a[n-k]，{k，1，n}]；表[a[n]，{n，0，29}]
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黄体脂酮素
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（岩浆）m:=35；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；系数（R！（2*x*（1-2*x）/（1+2*x-8*x^2-Sqrt（1-4*x^2）））//文森佐·利班迪2020年1月27日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1、1、3、6、16、37、95、230、582、1434、3606、8952、22446、55917、140007、349374、874150、2183230、5460506、13643972、34118328、85270626、213205958、532926716、1332420796、3330739972、8327221380、20816939100、52043684970、130105200765、325267849335、813155081070
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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Dyck偏移是一个步长为U=（1，1）和D=（1，-1）的晶格路径，它不低于x轴，并终止于x轴。
突变是指当k>=0时，从高度k到高度0的步骤C=（1，-k）。
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链接
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Cyril Banderier和Michael Wallner，具有灾难的格路径，arXiv:1707.01931[math.CO]，2017年，第7页。
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配方奶粉
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总面积：（1-平方米（1-4*z^2））*（2*z-1）/（z^2*（6*z-3+平方米（1-4*z*2）））。
a（n）~3/8*（5/2）^n。
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例子
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对于n=3，a（3）=6的解决方案为UUC、UDC、UCC、CUD、CUC、CCC。
对于n=4，a（4）=16的解决方案是UUUC、UUDD、UUDC、UUCC、UDUD、UDUC、UDCC、UCUD、UCUC、UCCC、CUUC、CUDC、CUCC、CCUD、CCUC、CCCC。
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MAPLE公司
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u1：=解（1-z*（1/u+u），u）[2]；
M：=（1-u1）/（1-2*z）；
E：=u1/z；
F：=E/（-M*z+1）；
系列（F，z，33）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（x，y）选项记忆`如果`（x=0，`如果`（y=0，1，0），
b（x-1，0）+`如果`（y>0，b（x-1,y-1），0）+b（x-1,y+1））
结束时间：
a： =n->b（n，0）：
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黄体脂酮素
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（PARI）我的（N=44，z='z+O（'z^N））；Vec（（1-sqrt（1-4*z^2））*（2*z-1）/（z^2*（6*z-3+sqrt
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交叉参考
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关键词
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非n,步行
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 0, 5, 0, 0, 12, 1, 0, 0, 30, 4, 1, 0, 0, 74, 17, 4, 1, 0, 0, 185, 56, 21, 4, 1, 0, 0, 460, 185, 74, 26, 4, 1, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形开始：
1;
2, 0;
5, 0, 0;
12, 1, 0, 0;
30, 4, 1, 0, 0;
74, 17, 4, 1, 0, 0;
...
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 1, 10, 6, 1, 33, 29, 9, 1, 110, 126, 57, 12, 1, 366, 518, 306, 94, 15, 1, 1220, 2052, 1494, 600, 140, 18, 1, 4065, 7925, 6849, 3389, 1035, 195, 21, 1, 13550, 30030, 30025, 17628, 6635, 1638, 259, 24, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=T（n-1，k-1）+3*T（n-1，k）+sum_{i，i>=0}T（n-l，k+1+i）*（-3）^i-菲利普·德尔汉姆，2012年2月23日
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例子
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三角形开始：1；3,1 ; 10,6,1 ; 33,29,9,1 ; 110,126,57,12,1 ; ...
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 6, 8, 6, 0, 1, 18, 30, 20, 10, 0, 1, 57, 108, 90, 40, 15, 0, 1, 186, 399, 378, 210, 70, 21, 0, 1, 622, 1488, 1596, 1008, 420, 112, 28, 0, 1, 2120, 5598, 6696, 4788, 2268, 756, 168, 36, 0, 1, 7338, 21200, 27990, 22320, 11970, 4536, 1260, 240, 45
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,7
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链接
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配方奶粉
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例子
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三角形开始：1；0,1 ; 1,0,1 ; 2,3,0,1 ; 6,8,6,0,1 ; 18,30,20,10,0,1 ; ...
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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