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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a280851-编号：a280852
显示找到的32个结果中的1-10个。
第页12 三 4
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A237593型
按行读取的三角形，其中第n行列出了A237591型然后是同一行但顺序相反的元素。
+10
503
1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 4, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 2, 1, 1, 2, 4, 5, 2, 1, 1, 2, 5, 5, 2, 2, 2, 2, 5, 6, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 6, 6, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 6, 7, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 7, 7, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 7, 8, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 8, 8, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,3
评论
第n行是2*n的回文组合。
T（n，k）也是正方形网格第一象限上Dyck路径中第k个线段的长度，连接x轴和y轴，从（n，0）到（0，n），从垂直方向的线段开始，参见示例。
猜想1：第n条Dyck路径下的面积等于A024916号（n） ，所有正整数<=n的所有除数之和。
如果猜想为真，则第n条Dyck路径表示第n行元素交替和之后的边界段A236104型.
猜想2：两条相邻的Dyck路径从不相交（用手检查，直到n=128），因此第n条Dyck道路和（n-1）-st Dyck路之间的总面积等于sigma（n）=A000203号（n） n的除数之和。
之间的连接A196020型和A237271号如下所示：A196020型-->A236104型-->A235791型-->A237591型-->此序列-->A239660型-->A237270型-->A237271号.
编写了PARI脚本区域（n）和chkcross（n）来检查这两个属性，并已运行到n=10000-米歇尔·马库斯2014年3月27日
来自的评论富兰克林·T·亚当斯-沃特斯关于与sigma对称表示有关的序列A235791型和相关序列，2014年3月31日：（开始）
开始的地方是A235791型，这很简单。然后转到A237591型，也很简单，并且A237593型，仍然非常简单。
然后，您需要解释A237593型作为Dyck路径。这种解释是根据行程长度进行的，因此2,1,1,2表示向上两次、向下一次、向上一次和向下两次。因为A237593型对称且长度均匀，此路径将始终对称。
现在令人惊讶的事实是，n的Dyck路径所包围的区域（位于其侧面）总是包括n-1的包围区域；加上的平方数是sigma（n）。
最后，看看由n而非n-1封闭的连接区域；这些区域的大小是sigma的对称表示。（结束）
编写了Mathematica函数，通过n=30000验证了这两个属性-哈特穆特·F·W·霍夫特2014年4月7日
看来，对于第n个集合，位于第一个对角线上的单元格数量等于A067742号（n） ，n的中间除数-米歇尔·马库斯2014年6月21日
选中的米歇尔·马库斯的猜想，其中两个Mathematica函数的最大值为n=100000，有关详细信息，请参见A240542型. -哈特穆特·F·W·霍夫特2014年7月17日
A003056号（n） 也是与第n行三角形相关的Dyck路径的峰值数-奥马尔·波尔2015年11月3日
与行关联的Dyck路径的峰值数A000396号（n） 这个三角形的第n个梅森素数A000668号（n） ，因此梅森素数在以下描述的金字塔中以两种方式可见A245092型. -奥马尔·波尔2016年12月19日
当n接近无穷大时的极限（三角形第n行中描述的Dyck路径下的面积除以n^2）等于Pi^2/12=zeta（2）/2。（参见。A072691美元.) -奥马尔·波尔2021年12月18日
等腰三角形和阶梯金字塔之间的联系是因为这个物体也可以被解释为弹出卡-奥马尔·波尔2022年11月9日
链接
罗伯特·普莱斯，n=1..15008时的n，a（n）表（行n=1..412，扁平）
米歇尔·马库斯，sigma（n）对称表示的彩色版本，多页，n=1..85
奥马尔·波尔，无限阶梯金字塔
奥马尔·波尔，金字塔中A000203的初始项图解
奥马尔·波尔，A001065在金字塔中的初始项图解
奥马尔·波尔，金字塔中A048050的初始项图解
奥马尔·波尔，金字塔中A067742的初始项图解
奥马尔·波尔，将初始术语表示为等腰三角形（行：1..28）
与sigma（n）相关的序列的索引项
配方奶粉
设j（n）=楼层（（sqrt（8n+1）-1）/2），然后T（n，k）=A237591型（n，k），如果k≤j（n）；否则T（n，k）=A237591型（n，2*j（n）+1-k）-哈特穆特·F·W·霍夫特，2014年4月7日（修正人奥马尔·波尔2015年5月31日）
例子
三角形开始：
n个
1 | 1, 1;
2 | 2, 2;
3 | 2, 1, 1, 2;
4 | 3, 1, 1, 3;
5 | 3, 2, 2, 3;
6 | 4, 1, 1, 1, 1, 4;
7 | 4, 2, 1, 1, 2, 4;
8 | 5, 2, 1, 1, 2, 5;
9 | 5, 2, 2, 2, 2, 5;
10 | 6, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 6;
11 | 6, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 6;
12 | 7, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 7;
13 | 7, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 7;
14 | 8, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 8;
15 | 8, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 8;
16 | 9, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 9;
17 | 9, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 9;
18 | 10, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 10;
19 | 10, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 10;
20 | 11, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 4, 11;
21 | 11, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 11;
22 | 12, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 12;
23 | 12, 5, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 5, 12;
24 | 13, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 13;
...
第8行和第9行在第一象限中被解释为Dyck路径的图示，以及sigma（9）=5+3+5=13的对称表示的图示，如下所示：
.
是的，是的
. .
. ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5
._ _ _ _ _ . | |_ _ _ _ _|
. | . |_ _ |_ _ 三
. |_ . | |_ |
. |_ _ . |_ _ |_|_ _ 5
. | . | | |
.面积=56|。面积=69|||
. | . | | |
. | . | | |
. . . . . . . . | . x…………|。x|_|
.
图1图2图3
.
图1。对于n=8，三角形的第八行是[5，2，1，1，2，5]，对称Dyck路径下的面积等于A024916号(8) = 56.
图2。对于n=9，三角形的第9行是[5，2，2，2,5]，对称Dyck路径下的面积等于A024916号(9) = 69.
图3。sigma（9）的对称表示：在两条对称Dyck路径之间有三个大小为[5,3,5]的区域（或部分）。
9的除数之和是1+3+9=A000203号(9) = 13. 另一方面，Dyck路径下的面积之差等于sigma（9）=69-56=5+3+5=13的对称表示部分之和，等于9的除数之和。
.
第一象限中Dyck路径的初始项图解：
（第n行=1..28）
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|_ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
.
n： 1 2 3 4 5 6 7 8 10..12..14..16..18..22..24..26..28
.
图中第一组n个对称区域的总面积（以及单元总数）似乎等于A024916号（n） ，所有正整数<=n的所有除数之和。
图中第n组对称区域的总面积（以及细胞总数）似乎等于σ（n）=A000203号（n） （手动检查n=128）。
发件人奥马尔·波尔2015年8月18日：（开始）
上图也是中描述的阶梯金字塔的俯视图A245092型这也是所述楼梯的俯视图A244580型，在这两种情况下，该图均表示结构的前28层。请注意，该图包含（并源自）一个隐藏模式，如下所示。
.
将初始术语表示为等腰三角形：
第_行_
1 _|1|1|_
2 _|2 _|_ 2|_
3 _|2 |1|1| 2|_
4 _|3 _|1|1|_ 3|_
5 _|3 |2 _|_ 2| 3|_
6 _|4 _|1|1|1|1|_ 4|_
7 _|4 |2 |1|1| 2| 4|_
8 _|5 _|2 _|1|1|_ 2|_ 5|_
9 _|5 |2 |2 _|_ 2| 2| 5|_
10 _|6 _|2 |1|1|1|1| 2|_ 6|_
11 _|6 |3 _|1|1|1|1|_ 3| 6|_
12 _|7 _|2 |2 |1|1| 2| 2|_ 7|_
13 _|7 |3 |2 _|1|1|_ 2| 3| 7|_
14 _|8 _|3 _|1|2 _|_ 2|1|_ 3|_ 8|_
15 _|8 |3 |2 |1|1|1|1| 2| 3| 8|_
16 |9 |3 |2 |1|1|1|1| 2| 3| 9|
...
此图是序列的简单表示。
图每侧第n级水平线段的数量等于A001227号（n） ，n的奇数除数。
图表左侧的水平线段数量加上右侧的水平线段的数量等于A054844号（n） ●●●●。
图中第n层垂直线段的总数等于A131507号（n） ●●●●。
请注意，这种对称图案也出现在所述阶梯金字塔的前视图中A245092型，这与西格玛有关A000203号、divisors函数和其他相关序列。该图表示金字塔的前16层。（结束）
数学
行[n_]：=楼层[（Sqrt[8n+1]-1）/2]
s[n_，k_]：=天花板[（n+1）/k-（k+1）/2]-天花板[（n+1）/（k+1）-（k+2）/2]
f[n_，k_]：=如果[k<=行[n]，s[n，k]，s[n，2行[n]+1-k]]
表格形式[表格[f[n，k]，{n，1，50}，{k，1，2行[n]}](*哈特穆特·F·W·霍夫特2014年4月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）行（n）={my（orow=row237591（n））；向量（2*#orow，i，如果（i<=#orow、orow[i]、orow[2*#orow-i+1]））；}
面积（n）={my（rown=row（n））；冲浪=0；h=n；奇数=1；对于（i=1，#row，if（奇数，冲浪+=h*rown[i]，h-=rown[i；）；奇数=！奇数；）；冲浪；}
高度（v，n）={vh=向量（n）；ivh=1；h=n；奇数=1；对于（i=1，#v，if（奇数，对于（j=1，v[i]，vh[ivh]=h；ivh++），h-=v[i'；）；奇数=！奇数；）；vh；}
isabove（hb，ha）={对于（i=1，#hb，如果（hb[i]<ha[i]，返回（0））；）；返回（1）；}
chkcross（nn）={hga=concat（高度（行（1），1），0）；对于（n=2，nn，hgb=高度（行，n），n）；如果（！isabove（hgb，hga），打印（“pb cross at n=”，n））；hga=concat（hgb，0））；}\\米歇尔·马库斯2014年3月27日
（Python）
从sympy导入sqrt
导入数学
def row（n）：返回int（math.floor（（sqrt（8*n+1）-1）/2）
定义s（n，k）：返回int（math.ceil（（n+1）/k-（k+1）/2））-int
def T（n，k）：如果k<=行（n）其他s（n，2*row（n）+1-k），则返回s（n、k）
对于范围（1，11）中的n：打印[T（n，k）对于范围（1,2*行（n）+1）中的k]#印地瑞尼Ghosh2017年4月21日
交叉参考
第n行长度为2*A003056号（n） ●●●●。
行总和给出A005843号，n>=1。
第k列从行开始A008805号（k-1）。
第1列=右边框=A008619号，n>=1。
平分法在A259176型,A259177型.
有关更多信息，请参阅A262626型.
囊性纤维变性。A000203号,A000217号,A001065号,A001227号,A024916号,A048050型,A054844号,A067742号,A072691美元,A131507号,A196020型,A221529号,A235791型,A236104型,A237048型,A237270型,A237271号,A237590型,A237591型,A239660型,A239931型-A239934型,A244050型,A244580型,A245092型,A249351型,A261350型,A261699型,A262611型,A262612型,A279387型,A280850型,2008年8月51日,A286000型,A286001型,A296508型,A335616飞机,A340035.
关键字
非n,标签,看
作者
奥马尔·波尔2014年2月22日
状态
经核准的
A000384号
六边形数：a（n）=n*（2*n-1）。
（原名M4108 N1705）
+10
442
0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
两个完整图的连接中的边数，每个图的顺序为n，K_n*K_n-罗伯托·马丁内斯二世2002年1月7日
熵函数H（x）=（1+x）log（1+x）+（1-x）log（1-x）的幂级数展开式具有1/a_i作为x^（2i）的系数（奇数项为零）托马索·托福利（tt（AT）bu.edu），2002年5月6日
的部分总和A016813号（4n+1）。偏移量=0时，a（n）=（2n+1）（n+1）=A005408号*A000027号=2n^2+3n+1，即a（0）=1-杰里米·加德纳2002年9月29日
序列还给出了原始勾股三角形的最大半周长，该三角形的半径为n-1。这样的三角形有连续的较长边，短边2n-1，斜边a（n）-（n-1）=A001844号（n） ，面积（n-1）*a（n）=6*A000330号（n-1）-Lekraj Beedassy公司2003年4月23日
12^（n-1）的除数，即。，A000005号(A001021号（n-1））-亨利·博托姆利2001年10月22日
更一般地说，如果p1和p2是两个任意选择的不同素数，那么a（n）是（p1^2*p2）^（n-1）的除数，或者是A054753号^（n-1）-蚂蚁之王2011年8月29日
形状的标准表格数量（2n-1,1,1）（n>=1）-Emeric Deutsch公司2004年5月30日
众所周知，对于n>0，A014105号（n） [0,3,10,21，…]是2n+1个连续整数中的第一个，因此第一个n+1个此类整数的平方和等于最后一个n的平方和；例如，10^2+11^2+12^2=13^2+14^2。
不太为人所知的是，对于n>1，a（n）[0,1,6,15,28，…]是2n个连续整数中的第一个，使得前n个这样的整数的平方和等于最后n-1加n^2的平方和；例如，15^2+16^2+17^2=19^2+20^2+3^2-查理·马里恩2006年12月16日
a（n）也是一个完全数A000396号当n是偶数超完美数时A061652号. -奥马尔·波尔2008年9月5日
从0开始，沿0、6、……方向读取行，找到序列。。。和从1开始的直线，在方向1，15。。。，在顶点为广义六边形数的方形螺旋中A000217号. -奥马尔·波尔2009年1月9日
设Hex（n）=六角形数，T（n）=三角形数，则Hex（n）=T（n”）+3*T（n-1）-文森佐·利班迪，2010年11月10日
对于n>=1，1/a（n）=和{k=0..2*n-1}（（-1）^（k+1）*二项式（2*n-1，k）*二项式（2xn-1+k，k）*H（k）/（k+1。
从划分为象限的正方形的n种颜色中选择任意2种颜色的可能不同颜色的数目-保罗·克利里2010年12月21日
中三角形的中心项A051173号. -莱因哈德·祖姆凯勒2011年4月23日
对于n>0，a（n-1）是三元组（w，x，y）的数目，所有项都在{0，…，n}中，max（|w-x|，|x-y|）=|w-y|-克拉克·金伯利，2012年6月12日
a（n）是以2n为基数的偶数金字塔板中一个多米诺骨牌的位置数-塞萨尔·埃利乌德·洛扎达2012年9月26日
部分金额给出A002412号. -奥马尔·波尔2013年1月12日
设一个三角形有T（0,0）=0和T（r，c）=|r^2-c^2|。第（n）行和第（n-1）行中的术语之差之和为a（n）-J.M.贝戈2013年6月17日
a（n+1）=A128918号（2*n+1）-莱因哈德·祖姆凯勒2013年10月13日
在T_（i+1，i）=a（i+1）且下三角矩阵T的所有其他元素为零的情况下，T是A176230型，类似于A132440号用于Pascal矩阵-汤姆·科普兰2013年12月11日
a（n）是正好有两个1的长度为2n的二元序列的数目。a（2）=6，因为我们有：{0,0,1,1}，{0,1,0}，}，1,0,1,1}，2,0,1}。带插值零点的普通生成函数是：（x^2+3*x^4）/（1-x^2）^3-杰弗里·克雷策2014年1月2日
对于n>0，a（n）是最大的整数k，使得k^2+n^2是k+n的倍数。更一般地说，对于m>0和n>0来说，使k^（2*m）+n^-德里克·奥尔2014年9月4日
（0,1,4,0,0,0，…）的二项式变换和（0,1，4,4,…）的第二部分和-加里·亚当森2015年10月5日
对于n>=4，a（n）还给出了简单李代数D_n的维数-沃尔夫迪特·朗2015年10月21日
对于n>0，a（n）等于n+11的n部分组成的数量，避开第2、3、4部分-米兰Janjic2016年1月7日
同时给出了n-鸡尾酒会图中最小控制集和最大无冗余集的个数-埃里克·韦斯特因2017年6月29日和8月17日
正如Beedassy的公式所示，这个六边形数列是三角形数列的奇数平分。这两个序列都是比喻数字序列。对于A000384号，a（n）可以通过将其三角形数乘以其六边形数来求出。例如，让我们使用数字153。153据说是第17个三角形数，但也被认为是第9个六边形数。三角形（17）六边形（9）。17*9=153. 因为六边形数列是三角形数列的子集，所以六边形的数列总是既有三角形数又有六边形数。n*（2*n-1），因为（2*n-1）呈现三角形编号-布鲁斯·尼克尔森2017年11月5日
另外，数字k具有以下性质：在sigma（k）的对称表示中，最小的Dyck路径具有中心谷，最大的Dycl路径具有中心峰，n>=1。因此，所有大于0的六边形数都有中间除数。（参见。A237593型.) -奥马尔·波尔，2018年8月28日
素数n和k=2..n-1的k^a（n-1）modn=1-约瑟夫·舒尼亚2019年2月10日
考虑所有毕达哥拉斯三元组（X，Y，Z=Y+1）通过增加Z:a（n+1）给出相关三角形的半周长；A005408号,A046092号和A001844号给出X、Y和Z值-拉尔夫·斯坦纳2020年2月25日
请参阅A002939号（n） =2*a（n）对应周长-M.F.哈斯勒2020年3月9日
似乎这些是数字k，其性质是sigma（k）对称表示中的最小子部分为1-奥马尔·波尔2021年8月28日
上述推测是正确的。请参阅A280851型作为证据-哈特穆特·F·W·霍夫特2022年2月2日
第n个六角形数等于从2*n-1开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和；例如，1、2+4、3+5+7、4+6+8+10等。通常，第n个2k正方数是从（k-2）*n-（k-3）开始具有相同奇偶性的n个连续整数的和。当k=1和2时，此结果生成正整数，A000027号和方块，A000290型分别是-查理·马里恩2022年3月2日
猜想：对于n>0，min{k，存在{0,1,2，…，A（n）}的子集A，B，使得|A|=|B|=k和A+B={0,12,2，……，2*A（n-迈克尔·朱2022年3月9日
参考文献
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与多边形数相关的序列索引.
双向无限序列的索引项.
常系数线性递归的索引项，签名（3，-3,1）。
配方奶粉
a（n）=和{k=1..n}tan^2（（k-1/2）*Pi/（2n））-伊格纳西奥·拉罗萨·卡涅斯特罗2001年4月17日
例如：exp（x）*（x+2x^2）-保罗·巴里，2003年6月9日
通用格式：x*（1+3*x）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中，去掉了最初的零
a（n）=A000217号（2*n-1）=A014105号（-n）。
a（n）=4*A000217号（n-1）+编号-Lekraj Beedassy公司2004年6月3日
a（n）=M^n*[1,0,0]的右项，其中M=3X3矩阵[1,0,1,0；1,1,0；1,4,1]。例如：a（5）=45，因为M^5*[1,0,0]=[1,5,45]-加里·亚当森2006年12月24日
三角形的行和2014年11月13日. -加里·亚当森2007年7月27日
第n行的行和，三角形A134234号启动（1、6、15、28…）-加里·亚当森2007年10月14日
从偏移量1开始，=[1,5,4,0,0,0，…]的二项式变换。也，A004736号* [1, 4, 4, 4, ...]. -加里·亚当森2007年10月25日
（n）^2+（a（n）+1）^2+…+（a（n）+n-1）^2=（a（n）+n+1）^2+…+（a（n）+2n-1）^2+n^2；例如，6^2+7^2=9^2+2^2；28^2 + 29^2 + 30^2 + 31^2 = 33^2 + 34^2 + 35^2 + 4^2. -查理·马里恩2007年11月10日
a（n）=二项式（n+1,2）+3*二项式。
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n2）+a（n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=6-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a（n）=a（n-1）+4*n-3（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月20日
a（n）=A007606号(A000290型（n） ）-莱因哈德·祖姆凯勒2011年2月12日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+4-蚂蚁之王2011年8月26日
a（n+1）=A045896号（2*n）-莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月12日
a（2^n）=2^（2n+1）-2^n-伊万·伊纳基耶夫2013年4月13日
a（n）=二项式（2*n，2）-加里·德特利夫斯2013年7月28日
a（4*a（n）+7*n+1）=a（4*1（n）+7*n）+a（4xn+1）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
和{n>=1}1/a（n）=2*log（2）=1.38629436111989=A016627号. -瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月27日
和{n>=1}（-1）^n/a（n）=log（2）-Pi/2-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年4月20日
a（n+1）=三项式（2*n+1，2）=三项式（2xn+1，4*n），对于n>=0，带有三项式不规则三角形A027907号.a（n+1）=（n+1”）*（2*n+1）=（1/Pi）*Integral_{x=0..2}（1/sqrt（4-x^2））*（x^2-1）^（2*n+1）*R（4*n-2，x），其中R多项式系数在A127672号[Comtet，p.77，q=3，n->2*n+1，k=2的积分公式，用x=2*cos（phi）重写]-沃尔夫迪特·朗2018年4月19日
和{n>=1}1/（a（n））^2=2*Pi^2/3-8*log（2）=1.0345588…=10*A182448号-A257872型. -R.J.马塔尔2019年9月12日
a（n）=(A005408号（n-1）+A046092号（n-1）+A001844号（n-1））/2-拉尔夫·斯坦纳2020年2月27日
产品{n>=2}（1-1/a（n））=2/3-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年1月21日
a（n）=楼层（总和{k=（n-1）^2..n^2}平方（k）），对于n>=1-Amrit Awasthi公司2021年6月13日
a（n+1）=A084265号（2*n），n>=0-哈特穆特·F·W·霍夫特2022年2月2日
a（n）=A000290型（n）+A002378号（n-1）-查尔斯·库斯尼奇2022年9月11日
MAPLE公司
A000384号：=n->n*（2*n-1）；序列(A000384号（k） ，k=0..100）#韦斯利·伊万·赫特2013年9月27日
数学
表[n*（2n-1），{n，0，100}](*韦斯利·伊万·赫特2013年9月27日*）
线性递归[{3，-3，1}，{0，1，6}，50](*哈维·P·戴尔2015年9月10日*）
连接[{0}，累加[Range[1，312，4]]](*哈维·P·戴尔，2016年3月26日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[PolygonalNumber[RegularPolygon[6]，n]，{n，0，48}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
多边形编号[6，范围[0，20]](*埃里克·韦斯特因2017年8月17日*）
系数列表[级数[x*（1+3*x）/（1-x）^3，{x，0，100}]，x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月2日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=n*（2*n-1）
（PARI）a（n）=二项式（2*n，2）\\阿尔图·阿尔坎2015年10月6日
（哈斯克尔）
a000384 n=n*（2*n-1）
a000384_list=扫描（+）0 a016813_list
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月16日
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是孤立项。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+4，y+4
A000384号=列表（）
打印（[下一页(A000384号)对于范围（49）内的i）#彼得·卢什尼2019年8月4日
交叉参考
囊性纤维变性。A000217号,A014105号,A127672号,A027907号,A005408号,A046092号,A001844号.
a（n）=A093561号（n+1，2），（4，1）-帕斯卡柱。
a（n）=A100345号（n，n-1）对于n>0。
囊性纤维变性。A002939号（两倍a（n）：勾股三元组的和（X，Y，Z=Y+1））。
囊性纤维变性。A280851型.
关键字
非n,容易的,美好的,改变
作者
N.J.A.斯隆
扩展
部分编辑人乔格·阿恩特2010年3月11日
状态
经核准的
A237270型
按行读取的三角形，其中第n行列出了sigma（n）的对称表示部分。
+10
275
1, 3, 2, 2, 7, 3, 3, 12, 4, 4, 15, 5, 3, 5, 9, 9, 6, 6, 28, 7, 7, 12, 12, 8, 8, 8, 31, 9, 9, 39, 10, 10, 42, 11, 5, 5, 11, 18, 18, 12, 12, 60, 13, 5, 13, 21, 21, 14, 6, 6, 14, 56, 15, 15, 72, 16, 16, 63, 17, 7, 7, 17, 27, 27, 18, 12, 18, 91, 19, 19, 30, 30, 20, 8, 8, 20, 90
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
T（n，k）是σ（n）对称图中第n组区域的第k个区域中的单元数，参见示例。
第n行是西格玛（n）的回文合成。
行总和给出A000203号.
第n行具有长度A237271号（n） ●●●●。
在三角形的第2n-1行中，第一项和最后一项都等于n。
如果n是奇数素数，那么第n行是[m，m]，其中m=（1+n）/2。
与的连接A196020型如下所示：A196020型-->A236104型-->A235791型-->A237591型-->A237593型-->A239660型-->这个序列。
有关八分位中的边界段，请参见A237591型.
有关象限中的边界线段，请参见A237593型.
有关缓和曲线中的边界段，另请参见A239660型.
有关螺旋每个象限中的零件，请参见A239931型,A239932型,A239933型,A239934型.
我们可以在中描述的阶梯金字塔的梯田上找到螺旋A244050型. -奥马尔·波尔2016年12月7日
T（n，k）也是第k级阶地的面积，从左到右，在第n级，从顶部开始，在A245092型（请参阅链接部分）-奥马尔·波尔，2018年8月14日
链接
罗伯特·普莱斯，n=1..15542时的n，a（n）表（行n=1..5000，扁平）
哈特穆特·F·W·霍夫特，Mathematica代码的示例可视化文档
米歇尔·马库斯，sigma（n）对称表示的彩色版本，多页，n=1..85
奥马尔·波尔，无限阶梯金字塔（A237593、A237270、A262626）
奥马尔·波尔，阶梯金字塔透视图（16层）
奥马尔·波尔，四象限阶梯金字塔透视图（11层）这是由四个金字塔副本背对背地组合而成的（参见。A244050型).
N.J.A.斯隆，螺旋线的另一张图
N.J.A.斯隆，仅显示外部边界的缓和曲线
与sigma（n）相关的序列的索引项
例子
前27个术语作为螺旋的区域（或部分）的插图，由前15.5行A239660型:
.
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. | _ _ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ _ _ 7
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. | | | | | | 3 _ _ | | | | | |
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. 8 |_ _ _ _ _ _ _ _ _|
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[有关螺旋线的其他两个图纸，请参见链接-N.J.A.斯隆2020年11月16日]
如果序列不包含负项，则其项可以在象限中表示。对于图的构造，我们使用对称Dyck路径A237593型如下所示：
---------------------------------------------------------------
σ对称三角图（n=1..24）
---------------------------------------------------------------
. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1; |_| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
3; |_ _|_| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
2, 2; |_ _| _|_| | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
7; |_ _ _| _|_| | | | | | | | | | | | | | | | | |
3, 3; |_ _ _| _| _ _|_| | | | | | | | | | | | | | | |
12; |_ _ _ _| _| | _ _|_| | | | | | | | | | | | | |
4, 4; |_ _ _ _| |_ _|_| _ _|_| | | | | | | | | | | |
15; |_ _ _ _ _| _| | _ _ _|_| | | | | | | | | |
5, 3, 5; |_ _ _ _ _| | _|_| | _ _ _|_| | | | | | | |
9, 9; |_ _ _ _ _ _| _ _| _| | _ _ _|_| | | | | |
6, 6; |_ _ _ _ _ _| | _| _| _| | _ _ _ _|_| | | |
28; |_ _ _ _ _ _ _| |_ _| _| _ _| | | _ _ _ _|_| |
7, 7; |_ _ _ _ _ _ _| | _ _| _| _| | | _ _ _ _|
12, 12; |_ _ _ _ _ _ _ _| | | | _|_| |* * * *
8, 8, 8; |_ _ _ _ _ _ _ _| | _ _| _ _|_| |* * * *
31; |_ _ _ _ _ _ _ _ _| | _ _| _| _ _|* * * *
9, 9; |_ _ _ _ _ _ _ _ _| | |_ _ _| _|* * * * * *
39; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | _ _| _|* * * * * * *
10, 10; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | | |* * * * * * * *
42; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | _ _ _|* * * * * * * *
11, 5, 5, 11; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | |* * * * * * * * * * *
18, 18; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| |* * * * * * * * * * *
12, 12; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| |* * * * * * * * * * *
60; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _|* * * * * * * * * * *
...
图中第一组n个对称区域中的单元总数等于A024916号（n） ，所有正整数的所有除数之和<=n，因此图中第n组对称区域中的单元总数等于sigma（n）=A000203号（n） ●●●●。
对于n=9，第9行A237593型是[5,2,2,2,5]和第8行A237593型是[5，2，1，1，2，5]，因此，在两个对称Dyck路径之间有三个区域（或部分）的大小为[5，3，5]。因此，第9行是[5、3、5]。
9的除数之和是1+3+9=A000203号(9) = 13. 另一方面，sigma（9）对称表示的部分之和为5+3+5=13，等于9的除数之和。
对于n=24A237593型是[13,4,3,2,1,1,1,1,2,3,4,13]和第23行A237593型是[12,5,2,2,1,1,1,1,2,5,12]，因此在两个对称Dyck路径之间只有一个区域（或部分）大小为60，所以第24行是60。
24的除数之和是1+2+3+4+6+8+12+24=A000203号(24) = 60. 另一方面，sigma（24）对称表示的部分之和为60，等于24的除数之和。
注意，图中*的数字是24^2-A024916号(24) = 576 - 491 =A004125号(24) = 85.
发件人奥马尔·波尔2020年11月22日：（开始）
还要考虑中定义的无限双楼梯图A335616飞机（见定理）。
对于n=15，前15级的图如下所示：
.
级别“双空箱”图
. _
1 _|1|_
2 _|1 _ 1|_
3 _|1 |1| 1|_
4 _|1 _| |_ 1|_
5 _|1 |1 _ 1| 1|_
6 _|1 _| |1| |_ 1|_
7 _|1 |1 | | 1| 1|_
8 _|1 _| _| |_ |_ 1|_
9 _|1 |1 |1 _ 1| 1| 1|_
10 _|1 _| | |1| | |_ 1|_
11 _|1 |1 _| | | |_ 1| 1|_
12 _|1 _| |1 | | 1| |_ 1|_
13 _|1 |1 | _| |_ | 1| 1|_
14 _|1 _| _| |1 _ 1| |_ |_ 1|_
15 |1 |1 |1 | |1| | 1| 1| 1|
.
从开始A196020型以及中描述的算法之后A280850型和A296508型应用于上图，我们有一个新的图表，如下所示：
.
级别“Ziggurat”图
. _
6 |1|
7 _ | | _
8 _|1| _| |_ |1|_
9 _|1 | |1 1| | 1|_
10 _|1 | | | | 1|_
11 _|1 | _| |_ | 1|_
12 _|1 | |1 1| | 1|_
13 _|1 | | | | 1|_
14 _|1 | _| _ |_ | 1|_
15 |1 | |1 |1| 1| | 1|
.
第15排
属于A249351型: [1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,2,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1]
第15排
三角形：[8,8,8]
第15排
属于A296508型: [ 8, 7, 1, 0, 8 ]
第15排
属于A280851型[ 8, 7, 1, 8 ]
.
更一般地说，对于n>=1，西格玛（n）的对称表示的原始图和n的“Ziggurat”图之间似乎存在相同的对应关系。
有关子部分的定义，请参见239387英镑还有A296508型,2008年8月51日.（结束）
数学
T[n_，k_]：=天花板[（n+1）/k-（k+1）/2]（*来自A235791型*)
path[n_]：=模块[｛c=Floor[（Sqrt[8n+1]-1）/2]，h，r，d，rd，k，p=｛｛0，n｝｝｝，h=映射[T[n，#]-T[n，#+1]&，范围[c]]；r=连接[h，反向[h]]；d=扁平[表[{{1，0}，{0，-1}}，}，c]，1]；
rd=转座[{r，d}]；对于[k=1，k<=2c，k++，p=Join[p，Map[Last[p]+rd[[k，2]]*#&，Range[rd[[k，1]]]]]；第页]
段[n_]：=SplitBy[Map[Min，Drop[Drop[path[n]，1]，-1]-path[n-1]]，#==0&]
a237270[n_]：=选择[Map[Apply[Plus，#]&，segments[n]]，#！=0 &]
展平[地图[a237270，范围[40]]（*数据*）
(*哈特穆特·F·W·霍夫特2014年6月23日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A004125号,A023196号,A024916号,A153485型,A196020型,A221529号,A231347型,A235791型,A235796型,A236104型,A236112号,A236540型,237046英镑,237048英镑,A237271号,A237590型,A237591型,A237593型,A239050型,A239660型,A239663型,A239665型,A239931型,A239932型,A239933型,A239934型,240020英镑,A240062型,A244050型,A245092型,A249351型,A262626型,A280850型,A280851型,A296508型,A335616飞机,A340035.
关键字
非n,标签,看
作者
奥马尔·波尔2014年2月19日
扩展
延伸螺旋的图纸奥马尔·波尔2020年11月22日
状态
经核准的
A235791型
行读取的不规则三角形：T（n，k），n>=1，k>=1。其中，k列以非递减顺序列出每个正整数的k个副本，k列的第一个元素位于k（k+1）/2行。
+10
242
1, 2, 3, 1, 4, 1, 5, 2, 6, 2, 1, 7, 3, 1, 8, 3, 1, 9, 4, 2, 10, 4, 2, 1, 11, 5, 2, 1, 12, 5, 3, 1, 13, 6, 3, 1, 14, 6, 3, 2, 15, 7, 4, 2, 1, 16, 7, 4, 2, 1, 17, 8, 4, 2, 1, 18, 8, 5, 3, 1, 19, 9, 5, 3, 1, 20, 9, 5, 3, 2, 21, 10, 6, 3, 2, 1, 22, 10, 6, 4, 2, 1, 23, 11, 6, 4, 2, 1, 24, 11, 7, 4, 2, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
第n行元素的交替平方和等于所有正整数<=n的所有除数之和，即和{k=1。。A003056号（n） }（-1）^（k-1）*（T（n，k））^2=A024916号（n） ●●●●。
第n行具有长度A003056号（n） 因此，k列的第一个元素位于行中A000217号（k） ●●●●。
有关更多信息，请参阅A236104型.
第n行的和给出A060831型（n） ，所有正整数的奇除数之和<=n-奥马尔·波尔2014年3月1日。[一个等价的断言是A237048型是n的奇数除数，这由以下公式证明哈特穆特·F·W·霍夫特在中的注释中A237048型. -N.J.A.斯隆2020年12月7日]
来自的评论富兰克林·T·亚当斯-沃特斯关于与sigma对称表示有关的序列A235791型和相关序列，2014年3月31日：（开始）
开始的地方是A235791型，这很简单。然后转到A237591型，也很简单，并且A237593型，仍然非常简单。
然后，您需要解释A237593型作为Dyck路径。这种解释是根据行程长度进行的，因此2,1,1,2表示向上两次、向下一次、向上一次和向下两次。因为A237593型对称且长度均匀，此路径将始终对称。
现在令人惊讶的事实是，n的Dyck路径所包围的区域（位于其侧面）总是包括n-1的包围区域；加上的平方数是sigma（n）。
最后，看看由n而非n-1封闭的连接区域；这些区域的大小是sigma的对称表示。（结束）
发件人哈特穆特·F·W·霍夫特2014年4月7日：（开始）
编写了Mathematica函数，以检查n=20000以下的第一个属性。
T（n，（sqrt（8n+1）-1）/2+1）=0表示所有n>=1，这对于以下公式很有用237591加元和A237593型.（结束）
交替行和给出A240542型. -奥马尔·波尔2014年4月16日
猜想：T（n，k）也是所有正整数<=n分为k个连续部分的总数，即A285898型，或按照相同族的三角形：237048英镑. -奥马尔·波尔2017年4月28日，2020年11月24日
上述推测是正确的。很快就会添加证明（它使用列的生成函数）-N.J.A.斯隆2020年11月24日
T（n，k）也是σ（n）对称表示的最大Dyck路径的第k个顶点和中心顶点之间所有线段的总长度。换句话说：T（n，k）是最后一个(A003056号（n） -k+1）第n行的项A237591型. -奥马尔·波尔2021年9月7日
T（n，k）也是三角形第n行中描述的Dyck路径的第k个顶点和中心顶点之间的曼哈顿距离A237593型. -奥马尔·波尔2023年1月11日
链接
G.C.格鲁贝尔，前150行的n，a（n）表，扁平化
配方奶粉
T（n，k）=天花板（（n+1）/k-（k+1）/2），对于1<=n，1<=k<=地板（（sqrt（8n+1）-1）/2）=A003056号（n） ●●●●-哈特穆特·F·W·霍夫特2014年4月7日
对于k列（k>=1）：x^（k*（k+1）/2）/（（1-x）*（1-x^k））-N.J.A.斯隆2020年11月24日
T（n，k）=和{j=1..n}A237048型（j，k）-奥马尔·波尔2017年5月18日
T（n，k）=平方米(邮编：236104（n，k））-奥马尔·波尔2018年2月14日
西格玛（n）=和{k=1。。A003056号（n） }（-1）^（k-1）*（T（n，k）^2-T（n-1，k）*2），假设T（k*（k+1）/2-1，k）=0-奥马尔·波尔2018年10月10日
a（s（n，k））=T（n，k），n>=1，1<=k<=r=楼层（（sqrt（8*n+1）-1）/2），其中s（n、k）=r*n-r*（r+1）*（r+2）/6+k将此序列三角形中的位置（第n行，第k列）转换为其在序列中的位置-哈特穆特·F·W·霍夫特2021年2月24日
例子
三角形开始：
1;
2;
3, 1;
4, 1;
5, 2;
6, 2, 1;
7, 3, 1;
8, 3, 1;
9, 4, 2;
10, 4, 2, 1;
11, 5, 2, 1;
12, 5, 3, 1;
13, 6, 3, 1;
14, 6, 3, 2;
15, 7, 4, 2, 1;
16, 7, 4, 2, 1;
17, 8, 4, 2, 1;
18, 8, 5, 3, 1;
19, 9, 5, 3, 1;
20, 9, 5, 3, 2;
21, 10, 6, 3, 2, 1;
22, 10, 6, 4, 2, 1;
23, 11, 6, 4, 2, 1;
24, 11, 7, 4, 2, 1;
25, 12, 7, 4, 3, 1;
26, 12, 7, 5, 3, 1;
27, 13, 8, 5, 3, 2;
28, 13, 8, 5, 3, 2, 1;
...
对于n=10，三角形的第10行是10，4，2，1，所以我们得到10^2-4^2+2^2-1^2=100-16+4-1=87，与A024916号（10） =87，所有正整数的所有除数之和<=10。
发件人奥马尔·波尔2015年11月19日：（开始）
第三象限中初始项的图解：
.年
行_|
1 _|1|
2 _|2 _|
3 _|3 |1|
4 _|4 _|1|
5 _|5 |2 _|
6 _|6 _|2|1|
7 _|7 |3 |1|
8 _|8 _|3 _|1|
9 _|9 |4 |2 _|
10 _|10 _|4 |2|1|
11 _|11 |5 _|2|1|
12 _|12 _|5 |3 |1|
13 _|13 |6 |3 _|1|
14 _|14 _|6 _|3|2 _|
15 _|15 |7 |4 |2|1|
16 _|16 _|7 |4 |2|1|
17 _|17 |8 _|4 _|2|1|
18 _|18 _|8 |5 |3 |1|
19 _|19 |9 |5 |3 _|1|
20 _|20 _|9 _|5 |3|2 _|
21 _|21 |10 |6 _|3|2|1|
22 _|22 _|10 |6 |4 |2|1|
23 _|23 |11 _|6 |4 |2|1|
24 _|24 _|11 |7 |4 _|2|1|
25 _|25 |12 |7 _|4|3 |1|
26 _|26 _|12 _|7 |5 |3 _|1|
27 _|27 |13 |8 |5 |3|2 _|
28 |28 |13 |8 |5 |3|2|1|
...
T（n，k）也是结构第n行第k垂直线段（从左到右）和y轴之间的单元数。
请注意，结构第n行中的水平线段数等于A001227号（n） ，n的奇数除数。
图中还显示了金字塔前视图的左侧，如A245092型.（结束）
有关该图的更多信息，请参阅A286001型. -奥马尔·波尔2020年12月19日
发件人奥马尔·波尔，2021年9月8日：（开始）
对于n=12，第四象限中sigma（12）的对称表示如下所示：_
| |
| |
| |
| |
| |
_ _ _| |
_| _ _|
_| |
| _|
| _ _|
_ _ _ _ _ _| |3 1
|_ _ _ _ _ _ _|
12 5
.
对于n=12和k=1，最大Dyck路径的第一个顶点和中心顶点之间的所有线段的总长度等于12，因此T（12,1）=12。
对于n=12和k=2，第二个顶点和最大Dyck路径的中心顶点之间的所有线段的总长度等于5，因此T（12,2）=5。
对于n=12和k=3，第三个顶点和最大Dyck路径的中心顶点之间的所有线段的总长度等于3，因此T（12.3）=3。
对于n=12和k=4，第四个顶点和最大Dyck路径的中心顶点之间的所有线段的总长度等于1，因此T（12,4）=1。
因此，三角形的第12行是[12，5，3，1]。（结束）
数学
行[n_]：=楼层[（Sqrt[8*n+1]-1）/2]；f[n_，k_]：=天花板[（n+1）/k-（k+1）/2]；表[f[n，k]，{n，1，150}，{k，1，row[n]}]//展平(*哈特穆特·F·W·霍夫特2014年4月7日*）
黄体脂酮素
（PARI）行（n）=向量（（平方（8*n+1）-1）\2，i，1+（n-（i*（i+1）/2））\i）\\米歇尔·马库斯2014年3月27日
（Python）
从sympy导入sqrt
导入数学
定义T（n，k）：返回int（math.ceil（（n+1）/k-（k+1）/2））
对于范围（1,21）中的n：打印（[T（n，k）对于范围（1，int（math.floor（（sqrt（8*n+1）-1）/2））+1）中的k）]）#印地瑞尼Ghosh，2017年4月25日
交叉参考
第1..3列：A000027号,A008619号,A008620型.
行上的操作：A003056号（术语数量），237591加元（术语之间的差异），A060831型（总额），A339577飞机（产品），A240542型（交替求和），邮编：236104（正方形），A339576型（平方和），A024916号（交替平方和），A237048型（行之间的差异），A042974美元（右边框）。
囊性纤维变性。A000203号,A000217号,A001227号,A196020型,A211343型,A228813型,A231345型,A231347型,A235794型,A236106型,A236112号,A237270型,A237271号,A237593型,A239660型,A245092型,A261699型,A262626型,A286000型,A286001型,A280850型,A280851型,A296508型,A335616飞机.
关键字
非n,标签
作者
奥马尔·波尔2014年1月23日。
状态
经核准的
A196020型
行读取的不规则三角形：T（n，k），n>=1，k>=1。其中k列列出了与k-1个零交错的奇数，k列的第一个元素位于k（k+1）/2行。
+10
241
1, 3, 5, 1, 7, 0, 9, 3, 11, 0, 1, 13, 5, 0, 15, 0, 0, 17, 7, 3, 19, 0, 0, 1, 21, 9, 0, 0, 23, 0, 5, 0, 25, 11, 0, 0, 27, 0, 0, 3, 29, 13, 7, 0, 1, 31, 0, 0, 0, 0, 33, 15, 0, 0, 0, 35, 0, 9, 5, 0, 37, 17, 0, 0, 0, 39, 0, 0, 0, 3, 41, 19, 11, 0, 0, 1, 43, 0, 0, 7, 0, 0, 45, 21, 0, 0, 0, 0, 47, 0, 13, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
给出sigma（n）的一个恒等式：行n的交替和等于n的除数之和。有关证明，请参见马克斯·阿列克塞耶夫链接。
第n行具有长度A003056号（n） 因此，k列从行开始A000217号（k） ●●●●。
第n行中的正项数量为A001227号（n） ，n的奇数除数。
如果n=2^j，那么第n行中唯一的正整数是T（n，1）=2^（j+1）-1。
如果n是奇数素数，那么第n行中仅有的两个正整数是T（n，1）=2n-1和T（n、2）=n-2。
如果T（n，k）=3，则T（n+1，k+1）=1，为列k+1的第一个元素。
列k的部分和给出了列k的A236104型.
与西格玛对称表示的联系如下：A236104型-->A235791型-->A237591型-->A237593型-->A239660型-->237270英镑.
第n行的交替和等于从第n级阶梯金字塔中伸出的立方体单元数A245092型. -奥马尔·波尔2015年10月28日
猜想：T（n，k）是所有正整数<=n划分成k个连续部分的总数的平方与所有正整数<n划分成k个连续部分总数的平方之差-奥马尔·波尔2018年2月14日
发件人奥马尔·波尔2020年11月24日：（开始）
T（n，k）也是第k个双楼梯的前n层中的台阶数，该双楼梯在“双楼梯”图的第n层中至少有一个台阶，否则T（n、k）=0（参见示例部分）。
对于与的连接A280851型另请参见算法A280850型和推测A296508型.（结束）
第n行中的零数等于A238005型（n） ●●●●-奥马尔·波尔2021年9月11日
除了交替行和和除数和函数之外A000203号欧拉五边形定理的另一个联系是在不规则三角形中238442元第k列从第k个广义五边形数所在的行开始A001318号（k） 而这里第k列开始于第k广义六边形数所在的行A000217号（k） 。两者都有A001318号和A000217号是同一家族的连续成员：广义多边形数-奥马尔·波尔2021年9月23日
具有相同行长和交替行和等于sigma（n）的其他三角形为A252117号. -奥马尔·波尔2022年5月3日
链接
G.C.格鲁贝尔，前200行的n，a（n）表，扁平
马克斯·阿列克塞耶夫，A196020交替和性质的证明，SeqFan邮件列表，2013年11月17日。
保罗·D·汉纳，关于sigma的标识，SeqFan邮件列表，2013年11月18日。
与sigma（n）相关的序列的索引项
配方奶粉
A000203号（n） =总和{k=1。。A003056号（n） }（-1）^（k-1）*T（n，k）。
T（n，k）=2*A211343型（n，k）-1，如果A211343型（n，k）>=1，否则T（n，k）=0。
如果n==k/2（mod k）且n>=k（k+1）/2，则T（n，k）=2*n/k-k；否则T（n，k）=0-马克斯·阿列克塞耶夫2013年11月18日
T（n，k）=A236104型（n，k）-A236104型（n-1，k），假设A236104型（k*（k+1）/2-1，k）=0-奥马尔·波尔2018年10月14日
T（n，k）=A237048型（n，k）*A338721型（n，k）-奥马尔·波尔2022年2月22日
例子
三角形开始：
1;
三；
5, 1;
7, 0;
9, 3;
11, 0, 1;
13, 5, 0;
15, 0, 0;
17, 7, 3;
19, 0, 0, 1;
21, 9, 0, 0;
23, 0, 5, 0;
25, 11, 0, 0;
27, 0, 0, 3;
29, 13, 7, 0, 1;
31, 0, 0, 0, 0;
33, 15, 0, 0, 0;
35, 0, 9, 5, 0;
37, 17, 0, 0, 0;
39, 0, 0, 0, 3;
41, 19, 11, 0, 0, 1;
43, 0, 0, 7, 0, 0;
45, 21, 0, 0, 0, 0;
47, 0, 13, 0, 0, 0;
49, 23, 0, 0, 5, 0;
51, 0, 0, 9, 0, 0;
53, 25, 15, 0, 0, 3;
55, 0, 0, 0, 0, 0, 1;
...
对于n=15，15的除数是1，3，5，15，所以15的除法之和是1+3+5+15=24。另一方面，三角形的第15行是29、13、7、0、1，所以交替行和是29-13+7-0+1=24，等于15的除数之和。
如果n是偶数，那么第n行的交替和比n的除数和更容易计算。例如，24的除数之和是1+2+3+4+6+8+12+24=60，第24行三角形的交替和是47-0+13-0+0-0=60。
发件人奥马尔·波尔2020年11月24日：（开始）
对于三角形行的说明，请考虑中定义的无限“双楼梯”图A335616飞机（另请参阅那里的定理）。
对于n=15，前15级的图如下所示：
.
级别“双空箱”图
. _
1 _|1|_
2 _|1 _ 1|_
3 _|1 |1| 1|_
4 _|1 _| |_ 1|_
5 _|1 |1 _ 1| 1|_
6 _|1 _| |1| |_ 1|_
7 _|1 |1 | | 1| 1|_
8 _|1 _| _| |_ |_ 1|_
9 _|1 |1 |1 _ 1| 1| 1|_
10 _|1 _| | |1| | |_ 1|_
11 _|1 |1 _| | | |_ 1| 1|_
12 _|1 _| |1 | | 1| |_ 1|_
13 _|1 |1 | _| |_ | 1| 1|_
14 _|1 _| _| |1 _ 1| |_ |_ 1|_
15 |1 |1 |1 | |1| | 1| 1| 1|
.
第一个最大的双楼梯有29个水平台阶，第二个双楼梯有13个台阶，第三个双楼梯是7个台阶，而第五个双楼梯只有一个台阶。请注意，第四个双楼梯不计算在内，因为它在第15层没有水平台阶，所以第15行三角形是[29，13，7，0，1]。
有关“Ziggurat”图和sigma（15）对称表示的部分和子部分的连接，另请参见237270英镑.（结束）
MAPLE公司
T_row：=进程（n）局部T；
T:=（n，k）->如果modp（n-k/2，k）=0且n>=k*（k+1）/2，则2*n/k-k其他为0fi；
seq（T（n，k），k=1.楼层（（sqrt（8*n+1）-1）/2）结束：
seq（打印（T_row（n）），n=1..24）#彼得·卢什尼2015年10月27日
数学
T[n_，k_]：=如果[Mod[n-k*（k+1）/2，k]==0，2*n/k-k，0]
行[n_]：=楼层[（Sqrt[8n+1]-1）/2]
行[n_]：=映射[T[n，#]&，范围[row[n]]]
a1960 20[m_，n_]：=地图[line，Range[m，n]]
压扁[a1960 20[1，22]]（*数据*）
(*哈特穆特·F·W·霍夫特2015年10月26日*）
A196020行=函数[n，表[If[Divisible[Numerator[n-k/2]，k]&互质Q[分母[n-k/2，k]，2*n/k-k，0]，{k，1，Floor[（Sqrt[8 n+1]-1）/2]}]
压扁[表[A196020行[n]，｛n，1，24｝]](*彼得·卢什尼2015年10月28日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
定义T（n，k）：
q=（2*n-k）/2
b=k.divides（q.numerator（））和gcd（k，q.denominator（））==1
如果b为0，则返回2*n/k-k
对于n in（1..24）：[T（n，k）对于k in（1..floor（（sqrt（8*n+1）-1）/2））]#彼得·卢什尼2015年10月28日
交叉参考
第1-2列：A005408号,A193356号.
与进行比较A027750型,A238442号,A237270型,A237273号,A252117号,A280851型,A296508型.
囊性纤维变性。A000203号,A000217号,A001227号,A001318号,A003056美元,A211343型,A212119型,A228813型,A231345型,A231347型,A235791型,A235794型,A236104型,A236106型,A236112号,A237048型,A237271号,A237591型,A237593型,A238005型,A239660型,A244050型,A245092型,A261699型,A262626型,A286000型,A286001型,A280850型,A335616飞机,A338721型.
关键字
非n,标签
作者
奥马尔·波尔2013年2月2日
状态
经核准的
A279387型
行读取的不规则三角形：假设sigma（n）的对称表示由m组成=A250068型（n） 宽度为1的层，按递增顺序排列；则T（n，k）（n>=1，1<=k<=m）是第k层中的子部分的数量。
+10
77
1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 4, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 4, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 5, 1, 1, 4, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,3
评论
σ（n）对称表示的“子部分”被定义为将σ（n）的对称表示分解为宽度为1的连续层后出现的区域。
sigma（n）对称表示中宽度为1的层数如下所示A250068型.
σ（n）对称表示的第一层中的子部分数量等于A237271号（n） ●●●●。
我们可以找到sigma（n）的对称表示，即第n级阶梯金字塔的阶地（从顶部开始），如A245092型.
（所有上述评论与2016年11月5日旧版本的评论基本相同A275601型，与A001227号).
行n的和等于西格玛（n）的对称表示中的子部分的数量。
猜想：
sigma（n）对称表示中的子部分数量等于A001227号（n） ，n的奇数除数。
发件人哈特穆特·F·W·霍夫特2016年12月16日：（开始）
证明：
不规则三角形的每一行A262045型可以解释为步长为1、0和-1的步长函数。第n行中的数字是sigma（n）对称表示部分中线段的宽度。第n行线段（左半部分）中的每个新子部分都从相同的奇数索引开始，该索引表示不规则三角形中n的奇数除数dA237048型子部分以偶数索引e结尾，表示第二个奇数除数，满足d*e=oddpart（n），因此整个子部分被复制到表示的对称部分，或者子部分穿过中心并连续进入表示对称部分的右半部分。换句话说，第n行中子部分的数量等于n的奇数除数，即该猜想成立。（结束）
链接
n=1..97时的n，a（n）表。
例子
三角形开始（前18行）：
1;
1;
2;
1;
2;
1, 1;
2;
1;
三；
2;
2;
1, 1;
2;
2;
3, 1;
1;
2;
1, 2;
...
当n=12时，第11行三角形A237593型为[6,3,1,1,1,3,6]，同一三角形的第12行为[7,2,2,1,1,2,7]，因此sigma（12）=28的对称表示图如图1所示：
. _ _
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. _ _ _| | _ _ _| |
. _| _ _| _| _ _ _|
. _| | _| _| |
. | _| | _| _|
. | _ _| | |_ _|
. _ _ _ _ _ _| | 28 _ _ _ _ _ _| | 5
. |_ _ _ _ _ _ _| |_ _ _ _ _ _ _|
. 23
.
.图1。对称图2。解剖后
对称表示的sigma（12）表示
只有一部分sigma（12）分为以下几层
.包含28个单元格，因此宽度1可以看到两个“子部分”
.A237271号(12) = 1. 包含23个和5个单元格
分别为，因此第12行
.这个三角形是[1,1]
.行总和为A001227号(12) = 2,
.等于奇数除数
第页，共12页。
.
当n=15时，第14行三角形A237593型是[8，3，1，2，2，1，3，8]，同一三角形的第15行是[8，3，2，1，1，1，2，3，8]，因此西格玛（15）=24的对称表示图如图3所示：
. _ _
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. _ _ _|_| _ _ _|_|
. _ _| | 8 _ _| | 8
. | _| | _ _|
. _| _| _| |_|
. |_ _| 8 |_ _| 1
. | | 7
. _ _ _ _ _ _ _ _| _ _ _ _ _ _ _ _|
. |_ _ _ _ _ _ _ _| |_ _ _ _ _ _ _ _|
. 8 8
.
.图3。对称图4。解剖后
对称表示的sigma（15）表示
将sigma（15）大小为8的三个部分分成
.因为每个部分都包含宽度1，所以我们可以看到四个“子部分”。
.8个细胞，所以237271元(15) = 3. 第一层有三个子部分：
. [8, 7, 8]. 第二层有
.只有一个子部分大小为1，因此
.这个三角形的第15行是
.[3，1]，行总和为
.A001227号（15） =4，等于
.奇数除数为15。
.
对于n=360，第359行三角形A237593型是[180，61，30，19，12，9，7，6，4，3，3，2，3，1，2，2，1，1）、（237）、（139），（71），（2，2）]，所以这个三角形的第360行是[1，1，1，1，2]，行和是A001227号（360）=6，等于360的奇数除数（图表太大，无法包含在内）。
发件人哈特穆特·F·W·霍夫特2016年12月16日：（开始）
45有6个子部分，其中2个具有对称副本，2个跨越中心。行长度为18，“|”表示行的中心标记。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | 9 8 7 6 5 4 3 2 1：头寸指数
1 0 1 1 2 1 1 1 2 | 2 1 1 2 2 1 1 0 1：第45行，共行A262045型
1 1 1 1 1 1 1 1 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1：第1层
1 1 |1 1:第2层
1 1 1 0 1 1 0 0 1 |：第45行，共行A237048型（奇数除数）
+ - + . + - . . +| : 水平变化（“.”无变化）
90有6个子部分和3层（行长为24）。
1 2 3 4 5 6 7 8..10..12 |.14..16..18..20.22..24：头寸指数
1 1 2 1 2 2 2 2 3 3 2 | 2 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1：第90行，共行A262045型
1 1 1 1 11 1 1 1 l 1 1 1 1|1 1 1 1 1.1 1 1 1 1:第1层
1 1 1 1 11 1 1 1 1|1 1 1 1 l 1 1 1 1:第2层
1 1 1 | 1 1 1：第3层
1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 |：第90行，共行A237048型
+ . + - + . . . + . . -| : 水平变化（“.”无变化）
连续级别的过程提供了对称表示的两个“默认”剖分，即从n处的边界到n-1处的边界或反向。（结束）
发件人奥马尔·波尔2020年11月24日：（开始）
对于n=18，我们有第17行三角形A237593型为[9，4，2，1，1，2，4，9]，同一三角形的第18行为[10，3，2，2，1,1，1、2，2、3，10]，因此sigma（18）=39的对称表示图如下图5所示：
. _ _
. | | | |
. | | | |
._ | | | |
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. _ _ _ _| | _ _ _ _| |
. | _ _ _| | _ _ _ _|
. _| | _| | |
. _| _ _| _| _|_|
. _ _| _| _ _| _| 2
. | | 39 | _ _|
. | _ _| | |_ _|
. | | | | 2
. _ _ _ _ _ _ _ _ _| | _ _ _ _ _ _ _ _ _| |
. |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _| |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _|
. 35
.
.图5。对称图6。解剖后
对称表示的sigma（18）表示
.有一部分尺寸为39，因此sigma（18）分为以下几层
.A237271号(18) = 1. 宽度1，我们可以看到三个“子部分”。
第一层有一个子部分
.尺寸35。第二层有
.大小为2的两个子部分，因此
.这个三角形的第18行是
.[1,2]，行总和为
.A001227号(18) = 3.
（结束）
数学
（*函数a341969[]定义于A341969型*)
a279387[n_]：=模块[{widthL=a341969[n]，partL，cL，top，ft，sL}，partL=选择[SplitBy[widthL，#==0&]，#={0}&]; cL=表格[0，最大[widthL]]；当[partL！={}，top=Last[partL]；ft=第一个[top]；sL=选择[SplitBy[top，#==ft&]，#={ft}&]；
cL[[ft]]++；partL=加入[Most[partL]，sL]]；cL]（中文）
压扁[a279387[74]]（*表格的前74行；哈特穆特·F·W·霍夫特，2021年2月24日*）
交叉参考
第n行的总和等于A001227号（n） ●●●●。
因此，如果n是奇数，那么行n的和等于A000005号（n） ●●●●。
第n行具有长度A250068型（n） ●●●●。
第1列给出A237271号.
有关“子部分”的更多信息，请参见A279388型和A279391型.
囊性纤维变性。A000203号,A196020型,A235791型,A236104型,A237048型,A237270型,A237591型,A237593型,A239657型,A243982型,24450加元,A245092型,A249223型,A249351型,A250070型,A262045型,2011年2月26日,A261699型,A262626型,A279693型,A280850型,A280851型,A296508型.
囊性纤维变性。A235791型,A237048型,A237270型,A237591型,A237593型,A247687型,A249223型,A250070型,A264102型,A280851型,A341969型.
关键字
非n,标签
作者
奥马尔·波尔2016年12月12日
扩展
定义编辑人奥马尔·波尔和N.J.A.斯隆2020年11月25日
状态
经核准的
249351元
按行读取的三角形，其中第n行列出了西格玛（n）的对称表示的宽度。
+10
63
1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,31
评论
这里，T（n，k）被定义为σ（n）对称表示的“第k个宽度”，其中n>=1和1<=k<=2n-1。说明：考虑中描述的sigma（n）的对称表示图A236104型,A237593型和其他相关序列。假设sigma（n）的图包含2n-1等距线段，这些线段平行于象限的主对角线[（0,0），（n，n）]。这些线段位于单元格的对角线上。两个平行线段之间的距离等于sqrt（2）/2。T（n，k）是第k段的长度除以sqrt（2）。注意三角形包含非负项，因为对于某些n，某些宽度的值等于零。有关某些宽度的图示，请参见哈特穆特·F·W·霍夫特的链接部分贡献A237270型.
第n行的长度为2*n-1。
行总和给出A000203号.
如果n是2的幂，那么第n行的所有项都是1。
如果n是一个偶数完美数，那么除中间项2外，第n行的所有项都是1。
如果n是奇数素数，则行n列（n+1）/2 1，n-2 0，（n+1，/2 1）。
第n行中的正项块数给出A237271号（n） ●●●●。
第n行第k个正项块的和给出A237270型（n，k）。
似乎中间的对角线也是A067742号（据推测米歇尔·马库斯在条目中A237593型并通过两个Mathematica函数进行检查，n=100000哈特穆特·F·W·霍夫特).
似乎梯形数(A165513型)也是具有sigma（k）对称表示的某些非中心宽度不等于1的性质的数字k>1-奥马尔·波尔2023年3月4日
链接
n=1..100时的n，a（n）表。
与sigma（n）相关的序列的索引项
例子
三角形开始：
1;
1,1,1;
1,1,0,1,1;
1,1,1,1,1,1,1;
1,1,1,0,0,0,1,1,1;
1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1;
1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1;
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;
1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1;
1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1;
1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1;
1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1;
...
---------------------------------------------------------------------------
.写成等腰三角形
序列开始：sigma的对称性
---------------------------------------------------------------------------
. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
. 1; |_| | | | | | | | | | | |
. 1,1,1; |_ _|_| | | | | | | | | |
. 1,1,0,1,1; |_ _| _|_| | | | | | | |
. 1,1,1,1,1,1,1; |_ _ _| _|_| | | | | |
. 1,1,1,0,0,0,1,1,1; |_ _ _| _| _ _|_| | | |
. 1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1; |_ _ _ _| _| | _ _|_| |
. 1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1; |_ _ _ _| |_ _|_| _ _|
. 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1; |_ _ _ _ _| _| |
. 1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1; |_ _ _ _ _| | _|
. 1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1; |_ _ _ _ _ _| _ _|
. 1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1; |_ _ _ _ _ _| |
.1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1; |_ _ _ _ _ _ _|
...
发件人奥马尔·波尔2020年11月22日：（开始）
还要考虑中定义的无限双楼梯图A335616飞机.
对于n=15，前15级的图如下所示：
.
级别“双空箱”图
. _
1 _|1|_
2 _|1 _ 1|_
3 _|1 |1| 1|_
4 _|1 _| |_ 1|_
5 _|1 |1 _ 1| 1|_
6 _|1 _| |1| |_ 1|_
7 _|1 |1 | | 1| 1|_
8 _|1 _| _| |_ |_ 1|_
9 _|1 |1 |1 _ 1| 1| 1|_
10 _|1 _| | |1| | |_ 1|_
11 _|1 |1 _| | | |_ 1| 1|_
12 _|1 _| |1 | | 1| |_ 1|_
13 _|1 |1 | _| |_ | 1| 1|_
14 _|1 _| _| |1 _ 1| |_ |_ 1|_
15 |1 |1 |1 | |1| | 1| 1| 1|
.
从开始A196020型以及中描述的算法之后A280850型和A296508型应用于上图，我们有一个新的图表，如下所示：
.
级别“Ziggurat”图
. _
6 |1|
7 _ | | _
8 _|1| _| |_ |1|_
9 _|1 | |1 1| | 1|_
10 _|1 | | | | 1|_
11 _|1 | _| |_ | 1|_
12 _|1 | |1 1| | 1|_
13 _|1 | | | | 1|_
14 _|1 | _| _ |_ | 1|_
15 |1 | |1 |1| 1| | 1|
.
第15排
其中：[1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,2,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
第15排
属于A237270型: [ 8, 8, 8 ]
第15排
属于A296508型: [ 8, 7, 1, 0, 8 ]
第15排
属于A280851型[ 8, 7, 1, 8 ]
.
上图连续列中的水平步数（或1）表示该三角形的第15行。
有关sigma（n）对称表示部分的更多信息，请参见A237270型有关子部分的更多信息，请参见239387英镑,A296508型,A280851型.
更普遍地说，西格玛（n）对称表示的原始图和n的“Ziggurat”图之间似乎有相同的对应关系。（完）
数学
（*功能段定义于A237270型*)
a249351[n_]：=展平[映射[分段，范围[n]]]
a249351[10](*哈特穆特·F·W·霍夫特2022年7月20日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A003056号,A067742号,A071562号,A165513型,A196020型,A235791型,A236104型,A237048型,A237270型,237271元,A237591型,A237593型,A238443型,A239660型,A239932型-A239934型,240542美元,A241008型,A241010型,A245092型,245685英镑,A246955型,A246956型,A247687型,A249223型,2500元,A250070型,A250071型,A262626型,A280850型,A280851型,A296508型,A235616型,A347186型.
关键字
非n,标签
作者
奥马尔·波尔2014年10月26日
状态
经核准的
A286001型
划分为连续部分的分区表（有关定义，请参见注释行）。
+10
50
1, 2, 3, 1, 4, 2, 5, 2, 6, 3, 1, 7, 3, 2, 8, 4, 3, 9, 4, 2, 10, 5, 3, 1, 11, 5, 4, 2, 12, 6, 3, 3, 13, 6, 4, 4, 14, 7, 5, 2, 15, 7, 4, 3, 1, 16, 8, 5, 4, 2, 17, 8, 6, 5, 3, 18, 9, 5, 3, 4, 19, 9, 6, 4, 5, 20, 10, 7, 5, 2, 21, 10, 6, 6, 3, 1, 22, 11, 7, 4, 4, 2, 23, 11, 8, 5, 5, 3, 24, 12, 7, 6, 6, 4, 25, 12, 8, 7, 3, 5
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
这是一个按行读取的三角形：T（n，k），n>=1，k>=1。其中，k列列出了k个连续项的连续块，其中第m个块以m开始，m>=1；k列的第一个元素位于k*（k+1）/2行。
n到连续部分的分区从第n行到第n行表示A288529型（n） 作为最大值，但按递增顺序，仅在块开始的列中。
更准确地说，将n划分为k个连续部分（如果存在这样的划分）在k列中表示，从第n行到第n+k-1行（参见示例）。
A288772型（n） 是在此表中表示所有正整数<=n到连续部分的分区所需的最小行数。
A288773型（n） 是所有正整数中最大的整数，其划分为连续部分的部分可以在该表的前n行中完全表示。
A288774型（n） 是最大的正整数，其划分为连续部分的部分可以在该表的前n行中完全表示。
有关此表的定理，请参见A286000型.
链接
n=1..100时的n，a（n）表。
例子
三角形开始：
1;
2;
3, 1;
4, 2;
5, 2;
6, 3, 1;
7, 3, 2;
8, 4, 3;
9, 4, 2;
10, 5, 3, 1;
11, 5, 4, 2;
12, 6, 3, 3;
13, 6, 4, 4;
14, 7, 5, 2;
15, 7, 4, 3, 1;
16, 8, 5, 4, 2;
17, 8, 6, 5, 3;
18, 9, 5, 3, 4;
19, 9, 6, 4, 5;
20, 10, 7, 5, 2;
21, 10, 6, 6, 3, 1;
22, 11, 7, 4, 4, 2;
23, 11, 8, 5, 5, 3;
24, 12, 7, 6, 6, 4;
25, 12, 8, 7, 3, 5;
26, 13, 9, 5, 4, 6;
27, 13, 8, 6, 5, 2;
28, 14, 9, 7, 6, 3, 1;
...
图A.G显示了n=1..7（分别）划分为连续部分的位置（在表的列中）：
. ------------------------------------------------------------------------
图：A B C D E F G
. ------------------------------------------------------------------------
编号：1 2 3 4 5 6 7
行------------------------------------------------------------------------
1 | [1];| 1; | 1; | 1; | 1; | 1; | 1; |
2 | | [2];| 2; | 2; | 2; | 2; | 2; |
3 | | | [3],[1];| 3, 1;| 3, 1; | 3, 1; | 3, 1; |
4 | | | 4 ,[2];| [4], 2;| 4, 2; | 4, 2; | 4, 2; |
5 | | | | | [5],[2]; | 5, 2; | 5, 2; |
6 | | | | | 6, [3], 3;| [6], 3, [1];| 6, 3, 1;|
7 | | | | | | 7, 3, [2];| [7],[3], 2;|
8 | | | | | | 8, 4, [3];| 8, [4], 3;|
. ------------------------------------------------------------------------
图F：对于n=6，将6划分为连续部分（但部分按递增顺序）为[6]和[1，2，3]。这些分区分别有1个和3个连续部分。另一方面，我们可以在该表的第1列和第3列中找到提到的分区，从第6行开始。
.
图H.K显示了8..11（分别）划分为连续部分的位置（在表中的列中）：
. --------------------------------------------------------------------
图：H I J K
. --------------------------------------------------------------------
编号：8 9 10 11
行--------------------------------------------------------------------
1 | 1; | 1; | 1; | 1; |
1 | 2; | 2; | 2; | 2; |
3 | 3, 1; | 3, 1; | 3, 1; | 3, 1; |
4 | 4, 2; | 4, 2; | 4, 2; | 4, 2; |
5 | 5, 2; | 5, 2; | 5, 2; | 5, 2; |
6 | 6, 3, 3;| 6, 3, 1; | 6, 3, 1; | 6, 3, 1; |
7 | 7, 3, 2;| 7, 3, 2; | 7, 3, 2; | 7, 3, 2; |
8 | [8], 4, 1;| 8, 4, 3; | 8, 4, 3; | 8, 4, 3; |
9 | | [9],[4],[2]; | 9, 4, 2; | 9, 4, 2; |
10 | | 10, [5],[3], 1;| [10], 5, 3, [1];| 10, 5, 3, 1;|
11 | | 11, 5, [4], 2;| 11, 5, 4, [2];| [11],[5], 4, 2;|
12 | | | 12, 6, 3, [3];| 12, [6], 3, 3;|
13 | | | 13, 6, 4, [4];| 13, 6, 4, 4;|
. --------------------------------------------------------------------
图J：对于n=10，将10划分为连续的部分（但部分按递增顺序）为[10]和[1，2，3，4]。这些分区分别有1个和4个连续部分。另一方面，我们可以在该表的第1列和第4列中找到提到的分区，从第10行开始。
.
三角形图中排列的初始项的图解237591加元:
. _
. _|1|
. _|2 _|
. _|3 |1|
. _|4 _|2|
. _|5 |2 _|
. _|6 _|3|1|
. _|7 |3 |2|
. _|8 _|4 _|3|
. _|9 |4 |2 _|
. _|10 _|5 |3|1|
. _|11 |5 _|4|2|
. _|12 _|6 |3 |3|
. _|13 |6 |4 _|4|
. _|14 _|7 _|5|2 _|
. _|15 |7 |4 |3|1|
. _|16 _|8 |5 |4|2|
. _|17 |8 _|6 _|5|3|
. _|18 _|9 |5 |3 |4|
. _|19 |9 |6 |4 _|5|
. _|20 _|10 _|7 |5|2 _|
. _|21 |10 |6 _|6|3|1|
. _|22 _|11 |7 |4 |4|2|
. _|23 |11 _|8 |5 |5|3|
. _|24 _|12 |7 |6 _|6|4|
. _|25 |12 |8 _|7|3 |5|
. _|26 _|13 _|9 |5 |4 _|6|
. _|27 |13 |8 |6 |5|2 _|
. |28 |14 |9 |7 |6|3|1|
...
图表第n行中水平线段的数量等于A001227号（n） ，将n划分为连续部分的数量。
.
发件人奥马尔·波尔2020年12月15日：（开始）
三角形之间的连接（逐步描述）A299765型上述几何图如下：
.
[1]; [1];
[2]; [2];
[3], [2, 1]; [3], [2, 1];
[4]; [4];
[5], [3, 2]; [5], [3, 2];
[6], [3, 2, 1]; [6], [3, 2, 1];
[7], [4, 3]; [7], [4, 3];
[8]; [8];
[9], [5, 4], [4, 3, 2]; [9], [5, 4], [4, 3, 2];
.
图1。图2。
.
我们从不规则开始，然后写相同的三角形
三角形A299765型其中，但按列排序，其中
第n行列出分区第k列列出的分区
将n分成连续的部分。n变成k个连续的部分。
.
. _ _
1| |1
_ _
2| |2
_ _ _ _ _
3| 2,1| |3 |1
_ _ |2
4| |4
_ _ _ _ _
5| 3,2| |5 |2
_ _ _ _ _ |3 _
6| 3,2,1| |6 |1
_ _ _ _ _ |2
7| 4,3| |7 |3 |3
_ _ |4
8| |8
_ _ _ _ _ _ _ _ _
9| 5,4| 4,3,2| |9 |4 |2
|5 |3
|4
.
图3。图4。
.
然后我们画到右边，然后旋转每个子图
每个隔墙逆时针垂直90度。
牙签及其上方每个水平牙签代表
我们画了一根水平牙签。分割的存在。
.垂直牙签的数量
.等于零件数。
.
. _ _
_|1 _|1
_|2 _ _|2 _
_|3 |1 _|3 |1
_|4 _|2 _|4 _|2
_|5 |2 _ _|5 |2 _
_|6 _|3|1 _|6 _|3|1
_|7 |3 |2 _|7 |3 |2
_|8 _|4 _|3 _|8 _|4 _|3
|9 |4 |2 |9 |4 |2
|5 |3
|4
.
图5。图6。
.
然后我们加入子图最后我们删除那些
形成楼梯（或之字形）超过一定高度（in
路径），表示超出第9级的情况）
具有相同功能的分区，使图表更加标准。
零件数量。
.
第k个楼梯中的数字（从左到右）是三角形数组第k列的元素。
请注意，此图与用于表示三角形的图基本相同A237048型,A235791型,A237591型，以及其他相关序列，例如A001227号,A060831型和A204217型.
这类三角形有一个无穷族，它与多边形数有关，并划分为相差d的连续部分。有关更多信息，请参阅中的定理A285914型和A303300型.
请注意，如果我们拍摄两张相互镜像的图，其中y轴位于中间，则会形成一个对称的新图，它表示序列A237593型作为等腰三角形。然后，如果我们折叠等腰三角形的每一层（或每一行），我们基本上就得到了A245092型其在第n级的阶地的总面积等于西格玛（n）=A000203号（n） ●●●●。（结束）
交叉参考
的另一个版本A286000型.
连续部件相差d的同一系列的表为A010766号（d=0），该序列（d=1），A332266（d=2），A334945型（d=3），A334618飞机（d=4）。
囊性纤维变性。A000217号,A001227号,A003056号,A109814号,A196020型,2017年2月17日,A211343型,A235791型,A236104型,A237048型,A237591型,A237593型,A245092型,A262626型,A280850型,A280851型,A285914型,A286013型,A288529型,A288772型,A288773型,A288774型,A296508型,A299765型,A303300型.
关键字
非n,表
作者
奥马尔·波尔2017年4月30日
状态
经核准的
A296508型
按行读取的不规则三角形：T（n，k）是与σ（n）对称表示的最大Dyck路径的第k个峰值相邻的子段的大小，或者，如果所提及的子段已经与前一个峰值相关，或者如果第k个峰附近没有子段，且n>=1，k>=1时，T（n、k）=0。
+10
43
1, 3, 2, 2, 7, 0, 3, 3, 11, 1, 0, 4, 0, 4, 15, 0, 0, 5, 3, 5, 9, 0, 9, 0, 6, 0, 0, 6, 23, 5, 0, 0, 7, 0, 0, 7, 12, 0, 12, 0, 8, 7, 1, 0, 8, 31, 0, 0, 0, 0, 9, 0, 0, 0, 9, 35, 2, 0, 2, 0, 10, 0, 0, 0, 10, 39, 0, 3, 0, 0, 11, 5, 0, 5, 0, 11, 18, 0, 0, 0, 18, 0, 12, 0, 0, 0, 0, 12, 47, 13, 0, 0, 0, 0, 13, 0, 5, 0, 0, 13
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
猜想：第n行由第n行三角形的奇数诱导项构成A280850型以及同一行的均匀诱导项，但顺序相反。示例：第15行A280850型是[8,8,7,0,1]，所以这个三角形的第15行是[8,1,7,1,0,8]。第75行A280850型是[38，38，21，0，3，3，0，0，21，0]，所以这个三角形的第75行是[38、21、3、0，0、0、21、0，3、0、38]。
有关“子部分”的定义，请参见A279387型.
有关上述Dyck路径的更多信息，请参阅A237593型.
T（n，k）可以称为σ（n）对称表示的最大Dyck路径第k个峰值的“电荷”。
第n行中的零数为A238005型（n） ●●●●-奥马尔·波尔2021年9月11日
链接
n=1..100时的n，a（n）表。
与sigma（n）相关的序列的索引项
例子
三角形开始（第1..28行）：
1;
三；
2, 2;
7, 0;
3, 3;
11, 1, 0;
4, 0, 4;
15, 0, 0;
5, 3, 5;
9, 0, 9, 0;
6, 0, 0, 6;
23, 5, 0, 0;
7, 0, 0, 7;
12, 0, 12, 0;
8, 7, 1, 0, 8;
31, 0, 0, 0, 0;
9, 0, 0, 0, 9;
35, 2, 0, 2, 0;
10, 0, 0, 0, 10;
39, 0, 3, 0, 0;
11, 5, 0, 5, 0, 11;
18, 0, 0, 0, 18, 0;
12, 0, 0, 0, 0, 12;
47, 13, 0, 0, 0, 0;
13, 0, 5, 0, 0, 13;
21, 0, 0, 0 21, 0;
14, 6, 0, 6, 0, 14;
55, 0, 0, 1, 0, 0, 0;
...
对于n=15，我们有第14行三角形A237593型是[8,3,1,2,2,1,3,8]，同一三角形的第15行是[8,1,3,2,1,1,1,1,2,8]，因此sigma（15）的对称表示图在第三象限中构造，如图1所示：
. _ _
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. 8 | | | |
. | | | |
. | | | |
. | | | |
. |_|_ _ _ |_|_ _ _
. | |_ _ 8 | |_ _
. |_ | |_ _ |
. |_ |_ 7 |_| |_
. 8 |_ _| 1 |_ _|
. | 0 |
. |_ _ _ _ _ _ _ _ |_ _ _ _ _ _ _ _
. |_ _ _ _ _ _ _ _| |_ _ _ _ _ _ _ _|
. 8 8
.
图1。对称图2。解剖后
对称表示的sigma（15）表示
将sigma（15）大小为8的三个部分分成
.因为每个部分都包含宽度1，所以我们可以看到四个子部分，
.8个单元格，所以三角形的第15行是
.三角形A237270型是[8,8,8]。[8, 7, 1, 0, 8]. 另请参见下文。
.
不规则螺旋中前50项（三角形的第1..16行）的图示，可在中所述金字塔的顶视图中找到A244050型:
.
. 12 _ _ _ _ _ _ _ _
. | _ _ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ _ _ 7
. | | |_ _ _ _ _ _ _|
. 0 _| | |
. |_ _|9 _ _ _ _ _ _ |_ _ 0
. 12 _ _| | _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ 5 |_ 0
. 0 _ _ _| | 0 _| | |_ _ _ _ _| |
. | _ _ _| 9 _|_ _| |_ _ 3 |_ _ _ 7
. | | 0 _ _| | 11 _ _ _ _ |_ | | |
. | | | _ _| 1 _| _ _ _|_ _ _ 3 |_|_ _ 5 | |
. | | | | 0 _|_| | |_ _ _| | | | |
. | | | | | _ _| |_ _ 3 | | | |
. | | | | | | 3 _ _ | | | | | |
. | | | | | | | _|_ 1 | | | | | |
. _|_| _|_| _|_| _|_| |_| _|_| _|_| _|_| _
. | | | | | | | | | | | | | | | |
. | | | | | | |_|_ _ _| | | | | | | |
. | | | | | | 2 |_ _|_ _| _| | | | | | |
. | | | | |_|_ 2 |_ _ _| 0 _ _| | | | | |
. | | | | 4 |_ 7 _| _ _|0 | | | |
. | | |_|_ _ 0 |_ _ _ _ | _| _ _ _| | | |
. | | 6 |_ |_ _ _ _|_ _ _ _| | 0 _| _ _ _|0 | |
. |_|_ _ _ 0 |_ 4 |_ _ _ _ _| _| _| | _ _ _| |
. 8 | |_ _ 0 | 15| _| _| | _ _ _|
. |_ _ | |_ _ _ _ _ _ | |_ _| 0 _| | 0
. 7 |_| |_ |_ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ _| | 5 _| _|
. 1 |_ _| 6 |_ _ _ _ _ _ _| _ _| _| 0
. 0 | 23| _ _| 0
. |_ _ _ _ _ _ _ _ | | 0
. |_ _ _ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ _ _ _| |
. 8 |_ _ _ _ _ _ _ _ _|
. 31
.
该图包含30个子部分，等于A060831号（16） ，将所有小于等于16的正整数划分为连续部分的总数。
有关螺旋线的构造，请参见A239660型.
发件人奥马尔·波尔2020年11月26日：（开始）
还要考虑中定义的无限双楼梯图A335616飞机（见定理）。对于n=15，前15级的图如下所示：
.
级别“双空箱”图
. _
1 _|1|_
2 _|1 _ 1|_
3 _|1 |1| 1|_
4 _|1 _| |_ 1|_
5 _|1 |1 _ 1| 1|_
6 _|1 _| |1| |_ 1|_
7 _|1 |1 | | 1| 1|_
8 _|1 _| _| |_ |_ 1|_
9 _|1 |1 |1 _ 1| 1| 1|_
10 _|1 _| | |1| | |_ 1|_
11 _|1 |1 _| | | |_ 1| 1|_
12 _|1 _| |1 | | 1| |_ 1|_
13 _|1 |1 | _| |_ | 1| 1|_
14 _|1 _| _| |1 _ 1| |_ |_ 1|_
15 |1 |1 |1 | |1| | 1| 1| 1|
.
从开始A196020型并且在算法描述后nA280850型应用于上图的猜想，我们得到了一个新的图，如下所示：
.
级别“Ziggurat”图
. _
6 |1|
7 _ | | _
8 _|1| _| |_ |1|_
9 _|1 | |1 1| | 1|_
10 _|1 | | | | 1|_
11 _|1 | _| |_ | 1|_
12 _|1 | |1 1| | 1|_
13 _|1 | | | | 1|_
14 _|1 | _| _ |_ | 1|_
15 |1 | |1 |1| 1| | 1|
.
第15排
属于A249351型: [1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,2,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1]
第15排
属于A237270型: [ 8, 8, 8 ]
第15排
其中：[8，7，1，0，8]
第15排
属于A280851型: [ 8, 7, 1, 8 ]
.
（结束）
交叉参考
行总和给出A000203号.
第n行具有长度A003056号（n） ●●●●。
第k列从第行开始A000217号（k） ●●●●。
非零项给出A280851型.
第n行中非零项的数量为A001227号（n） ●●●●。
n行三角形包含A060831型（n） 非零项。
囊性纤维变性。A024916号,A196020型,A235791型,A236104型,A237048型,237270英镑,A237591型,A237593型,A238005型,A239657型,A239660型,A239931型-A239934型,240542美元,A244050型,A245092型,A250068型,250070英镑,A261699型,A262626型,A279387型,A279388型,A279391型,A280850型.
关键字
非n,标签
作者
奥马尔·波尔2018年2月10日
状态
经核准的
A280850型
行读取的不规则三角形，其中第n行由使用第n行三角形的算法构造A196020型（精确定义见注释）。
+10
34
1, 3, 2, 2, 7, 0, 3, 3, 11, 0, 1, 4, 4, 0, 15, 0, 0, 5, 5, 3, 9, 0, 0, 9, 6, 6, 0, 0, 23, 0, 5, 0, 7, 7, 0, 0, 12, 0, 0, 12, 8, 8, 7, 0, 1, 31, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 0, 0, 0, 35, 0, 2, 2, 0, 10, 10, 0, 0, 0, 39, 0, 0, 0, 3, 11, 11, 5, 0, 0, 5, 18, 0, 0, 18, 0, 0, 12, 12, 0, 0, 0, 0, 47, 0, 13, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
对于这个三角形的第n行的构造，从三角形的第n行的副本开始A196020型.
然后将第m对正整数（x，y）中的每个元素替换为值（x-y）/2，其中“y”是该行的第m个偶数诱导项，“x”是其之前最接近的奇数诱导项（如果存在该对的话），而不是在同一行的另一对中使用。否则T（n，k）=A196020型（n，k）。（参见示例）。
观察结果1：至少对于三角形的前28行，第n行中的非零项也是sigma（n）对称表示的子部分，假设同一行中子部分的顺序无关紧要。
问题1：第n行的非零项总是与sigma（n）对称表示的所有子部分相同吗？如果不是，出现第一个反例的行的索引是什么？
注意，“子部分”是将sigma（n）的对称表示分解为宽度为1的连续层后出现的区域。
有关“子部分”的更多信息，请参见A279387型和A237593型.
关于问题1，似乎三角形的第n行A280851型这个三角形的第n行包含相同的非零数，尽管顺序不同；检查n=250000-哈特穆特·F·W·霍夫特，2018年1月31日
发件人奥马尔·波尔，2018年2月2日：（开始）
观察2：至少对于三角形的前28行，我们发现在第n行中，从左到右的奇数诱导项和从右到左的偶数诱导项形成了一个有限序列，其中非零项与三角形的第n行相同A280851型，其中列出了sigma（n）对称表示的子部分。
问题2：所有行都是相同的吗？如果不是，出现第一个反例的行的索引是什么？（结束）
猜想：第n行的奇数诱导项与同一行但按相反顺序列出的偶数诱导项一起构成第n行三角形A296508型（这与A296508型). -奥马尔·波尔2018年4月20日
链接
n，a（n）的表，n=1..94。
与sigma（n）相关的序列的索引项
例子
三角形开始（第1..28行）：
1;
三；
2, 2;
7, 0;
3, 3;
11, 0, 1;
4, 4, 0;
15, 0, 0;
5, 5, 3;
9, 0, 0, 9;
6, 6, 0, 0;
23, 0, 5, 0;
7, 7, 0, 0;
12, 0, 0, 12;
8, 8, 7, 0, 1;
31, 0, 0, 0, 0;
9, 9, 0, 0, 0;
35, 0, 2, 2, 0;
10, 10, 0, 0, 0;
39, 0, 0, 0, 3;
11, 11, 5, 0, 0, 5;
18, 0, 0, 18, 0, 0;
12, 12, 0, 0, 0, 0;
47, 0, 13, 0, 0, 0;
13, 13, 0, 0, 5, 0;
21, 0, 0, 21, 0, 0;
14, 14, 6, 0, 0, 6;
55, 0, 0, 0, 0, 0, 1;
...
算法示例。
对于n=75，该三角形第75行的构造如下所示：
.
第75行A196020型: [149, 73, 47, 0, 25, 19, 0, 0, 0, 5, 0]
.
奇数索引项：149 47 25 0 0
均匀项：73 0 19 0 5
.
第一个均匀诱导非零项：73
第一对：149 73
. *----*
差值：149-73=76
76/2 = 38 *----*
新的第一对：38 38
.
第二个偶数诱导非零项：19
第二对：25 19
. *---*
差异：25-19=6
6/2 = 3 *---*
新的第二对：3 3
.
第三个偶数诱导非零项：5
第三对：47 5
. *----------------------*
差值：47-5=42
42/2 = 21 *----------------------*
新第三对：21 21
.
所以第75排
这个三角形的是[38，38，21，0，3，3，0，0，0，21，0]
.
另一方面，第75排A237593型是[38，13，7，4，3，3，2，1，1，2，1,1，2A237593型和A279387型)共有六个子部分：[38、38、21、21、3、3]。（sigma（75）的对称表示图太大，无法包含在内。）至少在这种情况下，三角形第75行的非零项与σ（75）对称表示的子部分重合。元素的顺序无关紧要。
继续原来的例子，在这个三角形的第75行，我们有从左到右的奇数诱导项和从右到左的偶数诱导项，形成了有限序列[38，21，3，0，0，21，0，3，0,38]，这是三角形的第七十五行。至少在这种情况下，非零项与第75行三角形重合A280851型：[38,21,3,21,3，38]，它列出了sigma（75）对称表示的六个子部分，按从左到右的顺序排列-奥马尔·波尔2018年2月2日
根据Comments部分的推测，上面提到的有限序列[38，21，3，0，0，0,21，0，3，0,38]应该是第75行三角形A296508型. -奥马尔·波尔2018年4月20日
数学
（*函数行[]、行[]及其支持定义于A196020型*)
（*维护具有非零项的奇数索引堆栈以进行匹配*）
a280850[n_]：=模块[{a=行[n]，r=行[n]，堆栈={1}，i，j，b}，对于[i=2，i<=r，i++，如果[a[i]]=0，如果[OddQ[i]，AppendTo[stack，i]，j=最后一个[stack]；b=（a[[j]]-a[[i]]）/2；a[[i]]=b；a[[j]]=b；stack=丢弃[stack，-1]]]；【a】
展平[地图[a280850，范围[24]]（*数据*）
TableForm[Map[a280850，Range[28]]，TableDepth->2]（*示例中的三角形*）
(*哈特穆特·F·W·霍夫特2018年1月31日*）
交叉参考
行总和给出A000203号.
第n行中的正项数量为A001227号（n） ●●●●。
第n行具有长度A003056号（n） ●●●●。
第k列从第行开始A000217号（k） ●●●●。
囊性纤维变性。A196020型,A235791型,A236104型,A237048型,A237270型,A237591型,A237593型,A239657型,A239660型,A244050型,A245092型,A250068型,A250070型,A261699型,A262626型,A279387型,279988英镑,A279391型,A280851型,A296508型.
关键字
非n,标签
作者
奥马尔·波尔2017年1月9日
扩展
姓名编辑人奥马尔·波尔2018年11月11日
状态
经核准的
第页12 三 4

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