搜索: a036378-编号:a036376
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2, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
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评论
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链接
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例子
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a(7)=2在128和256之间有2个术语(A036378号)即137和255。
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数学
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getterm[n2_]:=PrimePi[2^(n2+1)]-PrimePi[2^n2];
术语计数[n3_]:=(m1=0;而[getterm[m1]<=2^n3,m1++];m1);
表[termcount[p+1]-termcount[p],{p,0,39}]
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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作者
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状态
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经核准的
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A000720号
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| pi(n),素数<=n。有时称为PrimePi(n。。。 (原名M0256 N0090)
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+10 1919
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0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21
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评论
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等效于黎曼假设:abs(a(n)-li(n))<sqrt(n)*log(n)/(8*Pi),对于n>=2657,其中li(n)是对数积分(Lowell Schoenfeld)-伊利亚·古特科夫斯基,2016年7月5日
Hardy-Littlewood的第二个猜想是,对于整数x和最小值为{x,y}>=2的y,π(x)+pi(y)>=pi(x+y),已知它适用于足够大的(x,y)(Udrescu 1975)-彼得·卢施尼2021年1月12日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准局应用数学。1964年第55辑(以及各种重印本),第870页。
Tom M.Apostol,《解析数论导论》,Springer-Verlag,1976年,第8页。
雷蒙德·阿尤布(Raymond Ayoub),《数字分析理论导论》(Introduction to the Analytic Theory of Numbers),美国。数学。Soc.,1963年;第129页。
Richard Crandall和Carl Pomerance,《素数:计算视角》,纽约州施普林格,2001年;见第5页。
G.H.Hardy和E.M.Wright,《数论导论》,第5版,牛津大学出版社,1979年,定理6、7、420。
G.J.O.Jameson,素数定理,剑桥。大学出版社,2003年。[另请参阅D.M.Bressoud的评论(链接如下)。]
Władys \322]aw Narkiewicz,素数理论的发展,Springer-Verlag,2000年。
József Sándor、Dragoslav S.Mitrinovic和Borislav Crstic,《数论手册I》,Springer科学与商业媒体,2005年,第VII.1节。(针对不平等等)。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Gerald Tenenbaum和Michel Mendès France,《素数及其分布》,AMS Providence RI出版社,1999年。
V.Udrescu,关于猜想pi(x+y)<=pi(x)+pi(y)的一些注记。数学。Pures应用程序。20 (1975), 1201-1208.
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十次印刷,1972年[替代扫描副本]。
保罗·贝特曼和哈罗德·戴蒙德,素数的百年,美国。数学。月份。,第103卷,第9期(1996年11月),第729-741页,MAA华盛顿特区。
Claudio Bonanno和Mirko S.Mega,素数的动力学模型《混沌、孤子与分形》,第20卷,第1期(2004年),第107-118页;arXiv预印本,arXiv:cond-mat/03092512003年。
D.M.Bressoud和Stan Wagon,计算数论:基本算法,Springer/Key,2000年(含计算数论的Mathematica软件包)。
皮埃尔·杜萨尔,大会首映式法国利摩日大学,塞塞分校(1998年)。
大英百科全书,素数定理[web.archive.org的一份不再提供的百科全书文章个人副本]
R.Gray和J.D.Mitchell,全变换幺半群的最大子半群,离散数学。,308 (2008), 4801-4810.
Y.C.Kim,关于素数定理的注记,arXiv:math/0502062[math.NT],2005年。
约翰·洛奇,素数的分布,B.S.本科生数学交换,第3卷,第1期(2005年秋季)。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
J.Barkley Rosser,一些素数函数的显式界《美国数学杂志》,第63卷,第1期(1941年),第211-232页。
J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld,一些素数函数的近似公式,伊利诺伊州。数学。6 (1962) 64-94.
J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld,一些素数函数的近似公式(扫描古代带注释影印件中的一些关键页面)。
Sebastian Martin Ruiz和Jonathan Sondow,π(n)和第n素数的公式,arXiv:math/0210312[math.NT],2002年,2014年。
伊戈尔·图尔卡诺夫,素数计数函数,arXiv:1603.02914[math.NT],2016年。
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配方奶粉
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素数定理给出了a(n)~n/log(n)的渐近表达式。
对于x>1,pi(x)<(x/log x)*(1+3/(2 log x))。对于x>=59,pi(x)>(x/log x)*(1+1/(2 log x))。[Rosser和Schoenfeld]
对于x>=355991,pi(x)<(x/log(x。对于x>=599,pi(x)>(x/log(x。[杜萨特]
对于x>=55,x/(log(x)+2)<pi(x,<x/(对数(x)-4)。[罗瑟]
对于n>=33,a(n)=1+和{j=3..n}((j-2)!-j*地板((j-2)/j) )(哈迪和赖特);对于n>=1,a(n)=n-1+总和{j=2..n}(floor(2-总和{i=1..j}(loor(j/i)-地板(j-1)/i))(Ruiz和Sondow 2000)-Benoit Cloitre公司2003年8月31日
设pf(n)表示整数n的素因子集,则a(n)=card(pf(n!/floor(n/2)!)-彼得·卢施尼2011年3月13日
a(n)=(1/2)*Sum_{p<=n}(mu(p)*d(p)*sigma(p)*1phi(p-韦斯利·伊万·赫特2013年1月4日
a(n)=n/(log(n)-1-和{k=1..m}A233824型(k) /log(n)^k+O(1/log(n-乔纳森·桑多2013年12月19日
a(n)=Sum_{j=2.n}H(-sin^2(Pi*(Gamma(j)+1)/j)),其中H(x)是Heaviside阶跃函数,取H(0)=1-凯沙夫·拉加万,2016年6月18日
a(n)=和{m=1..n}A137851号(m) /m*H(floor(n/m)),其中H(n)=Sum_。
(结束)
求和{k=2..n}1/a(k)~(1/2)*log(n)^2+O(log(n))(de Koninck and Ivić,1980)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月8日
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例子
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有3个素数<=6,即2、3和5,所以pi(6)=3。
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MAPLE公司
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数学
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数组[PrimePi[#]&,100]
累加[Table[Boole[PrimeQ[n]],{n,100}]](*哈维·P·戴尔2015年1月17日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)向量(300,j,素数(j))\\乔格·阿恩特2008年5月9日
(鼠尾草)[范围(1,79)中n的prime_pi(n)]#零入侵拉霍斯,2009年6月6日
(岩浆)[1..200]]中的[#PrimesUpTo(n):n//布鲁诺·贝塞利2011年7月6日
(哈斯克尔)
a000720 n=a000720_列表!!(n-1)
a000720_list=扫描1(+)a010051_list--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月15日
(Python)
从sympy导入primepi
对于范围(1100)中的n:打印(primepi(n),end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年11月30日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A048989号,A000040型,A132090型,137588澳元,A139328号,A104272号,A143223号,A143224号,A143225号,A143226号,A143227号.
囊性纤维变性。A143538号,A036234号,A033844号,A034387号,A034386号,A179215号,A010051型,A212210型-A212213型,A233824型,A056171美元,A304483型.
囊性纤维变性。A036378号:2的幂之间的素数p,2^n<p<=2^(n+1)。
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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编辑人M.F.哈斯勒,2018年4月27日和2018年12月21日(恢复链接)
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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或者,天花板(log_2(n))。
二进制搜索的最坏情况成本。
等于n中的二进制数,除非n是2的幂,而n是1的幂。
因此,a(n)给出了n-1(n>=2)的二进制表示的长度,也就是A070939号(n-1)。
当从n到1的除法步骤数是奇数加1,偶数除2-西诺·希利亚德2003年3月25日
将一个物体划分为n个(可能不相等)部分的最小切割次数。-Karl Ove Hufthammer(卡尔(AT)huftis.org),2010年3月29日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《混凝土数学》,Addison-Wesley出版社,1989年,第70页。
G.J.E.罗林斯,与什么相比?《算法分析导论》,W.H.Freeman,1992年;见第108、118页。
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链接
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莱昂内尔·莱文,分形序列与限制Nim,arXiv:math/0409408[math.CO],2004年。
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配方奶粉
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a(n)=上限(log2(n))。
a(1)=0;对于n>1,a(2n)=a(n)+1,a(2 n+1)=a。或者,a(1)=0;对于n>1,a(n)=a(上限(n/2))+1。[更正人伊利亚·古特科夫斯基2020年3月21日]
a(n)=k,使得n^(1/k-1)>2>n^。a(n)=k表示所有n,从而2^(k-1)<n<2^k-阿玛纳斯·穆尔西2001年5月6日
G.f.:x/(1-x)*和{k>=0}x^2^k-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月13日
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例子
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a(1)=0,因为log_2(1)=0。
a(2)=1,因为log2(2)=1。
a(3)=2,因为log_2(3)=1.58。。。
n=65,66,…,a(n)=7。。。,127, 128.
G.f.=x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^5+3*x^6+3*x^7+3*x^8+4*x^9+-迈克尔·索莫斯2019年6月2日
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MAPLE公司
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a: =n->(p->p+`如果`(2^p<n,1,0))(ilog2(n)):
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数学
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a[n_]:=天花板[Log[2,n]];数组[a,105](*罗伯特·威尔逊v2005年12月9日*)
表[整数长度[n-1,2],{n,1,105}](*彼得·卢施尼2017年12月2日*)
a[n_]:=如果[n<1,0,比特长度[n-1]];(*迈克尔·索莫斯2018年7月10日*)
联接[{0},整数长度[Range[130],2]](*文森佐·利班迪2019年6月14日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<1,0,ceil(log(n)/log(2)))};
(PARI)/*设置p=1,然后:*/
xpcount(n,p)=(x=1,n,p1=x;ct=0;而(p1>1,如果(p1%2==0,p1/=2;ct++,p1=p1*p+1));打印1(ct,“,”)
(PARI){a(n)=如果(n<2,0,指数(n-1)+1)}/*迈克尔·索莫斯2018年7月10日*/
(哈斯克尔)
a029837 n=a029837_列表!!(n-1)
a029837_list=扫描1(+)a209229_list
(岩浆)[天花板(Log(2,n)):n in[1..100]]//文森佐·利班迪2019年6月14日
(Scala)(1到80).map(n=>Math.ceil(Math.log(n)/Math.log(2)).toInt)//阿隆索·德尔·阿特2020年2月19日
(Python)
s=箱(n)[2:]
return len(s)-(如果s.count('1')==1,则返回1,否则返回0)#柴华武2020年7月9日
(Python)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 4, 6, 11, 18, 31, 54, 97, 172, 309, 564, 1028, 1900, 3512, 6542, 12251, 23000, 43390, 82025, 155611, 295947, 564163, 1077871, 2063689, 3957809, 7603553, 14630843, 28192750, 54400028, 105097565, 203280221, 393615806, 762939111, 1480206279, 2874398515, 5586502348, 10866266172, 21151907950, 41203088796, 80316571436, 156661034233, 305761713237, 597116381732, 1166746786182, 2280998753949, 4461632979717, 8731188863470, 17094432576778, 33483379603407, 65612899915304, 128625503610475
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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推测:数字4是这个序列中唯一的完美幂。换句话说,对于某些整数n>3、m>1和x>1,a(n)=x^m是不可能的-孙志伟2015年9月30日
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参考文献
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Jens Franke et al.,pi(10^24),发布到数论邮件列表,2010年7月29日。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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David Baugh,n=0..92时的n,a(n)表(使用Kim Walisch的素数程序发现的术语n=87.92,Charles R Greathouse IV和Douglas B.Staple的术语n=0..86,Tomás Oliveira e Silva的术语a(0)-a(75),Jens Franke等人的a(76)-a道格拉斯·B·史泰博)
托马斯·奥利维拉·席尔瓦,计算pi(x):组合方法《Revista Do Detua》,第4卷,第6期,2006年3月。
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配方奶粉
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例子
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pi(2^3)=4,因为前4个素数都是2,3,5,7,全部<=2^3=8。
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数学
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=素数(1<<n)\\约翰·尼克尔森2011年5月16日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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扩展到n=52沃伦·史密斯2000年12月11日,使用他在1985年编写的Meissel-Lehmer-Legendre包含排除公式代码计算,最近重新运行。
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状态
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经核准的
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2, 3, 7, 13, 31, 61, 127, 251, 509, 1021, 2039, 4093, 8191, 16381, 32749, 65521, 131071, 262139, 524287, 1048573, 2097143, 4194301, 8388593, 16777213, 33554393, 67108859, 134217689, 268435399, 536870909, 1073741789, 2147483647, 4294967291, 8589934583, 17179869143, 34359738337, 68719476731, 137438953447
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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参考文献
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D.E.Knuth,《计算机程序设计的艺术》。Addison-Wesley,雷丁,马萨诸塞州,第2卷,第390页。
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链接
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MAPLE公司
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a: =n->预素数(2^n+1):
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数学
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PrevPrim[n_]:=块[{k=n-1},而[!PrimeQ[k],k--];k] ;表[Abs[PrevPrim[2^n]],{n,1,30}]
联接[{2},NextPrime[2^范围[2,40],-1]](*哈维·P·戴尔2011年6月26日*)
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黄体脂酮素
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(C++)//请参阅上面的链接
(PARI)a(n)=预备素数(2^n)\\米歇尔·马库斯2013年8月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,改变
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作者
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扩展
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Fred Curtis(Fred(AT)f2.org)于2009年12月8日添加了n=31,n=32的术语
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状态
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经核准的
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A120041年
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| 10-几乎素数k的个数,使得2^n<k<=2^(n+1)。 |
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+10 27
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 8, 22, 47, 103, 233, 487, 1072, 2246, 4803, 10202, 21440, 45115, 94434, 197891, 412010, 858846, 1783610, 3700698, 7665755, 15853990, 32750248, 67564405, 139238488, 286625278, 589472979, 1211146741, 2486322304
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,12
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评论
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部分和等于Pi_10(2^n)的数字。
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链接
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配方奶粉
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例子
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(2^10,2^11]有一个半素数,即1536。在前一项中计算了1024个。
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数学
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AlmostPrimePi[k_Integer,n_]:=模块[{a,i},a[0]=1;如果[k==1,PrimePi[n],Sum[PrimePi[n/Times@@Prime[Array[a,k-1]]-a[k-1]+1,Evaluate[Sequence@@Table[{a[i],a[i-1],PrimePi[(n/Times@@Prime[Array[a,i-1]])^(1/(k-i+1))]},{i,k-1}]]]];(*埃里克·韦斯特因2006年2月7日*)
t=表[AlmostPrimePi[10,2^n],{n,0,39}];休息@t - 最多@t
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交叉参考
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囊性纤维变性。A046314号,A036378号,A120033号,A120034号,A120035号,A120036号,A120037号,A120038号,A120039号,A120040年,2004年1月1日,A120042年,A120043年.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A077643号
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| 闭区间[2^n,-1+2*2^n]中的无平方整数个数,即从2^n开始的2^n个连续数中。 |
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+10 25
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1, 2, 3, 5, 9, 19, 39, 79, 157, 310, 621, 1246, 2491, 4980, 9958, 19924, 39844, 79672, 159365, 318736, 637457, 1274916, 2549816, 5099651, 10199363, 20398663, 40797299, 81594571, 163189087, 326378438, 652756861, 1305513511, 2611026987
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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a(n)=总和{j=0..-1+2^n}abs(mu(2^n+j))。
a(n)/2^n接近1/Zeta(2),所以极限序列是floor(2^n/Zeta(2中)),n>=0-沃特·梅森2003年5月25日
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例子
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n=4:在{16,…,31}的16个数中,有9个是平方的[17,19,21,22,23,26,29,30,31],所以a(4)=9。
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数学
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表[Apply[Plus,Table[Abs[MoebiusMu[2^w+j]],{j,0,2^w-1}],{w,0,15}]
(*第二个节目*)
长度/@Split[IntegerLength[Select[Range[10000],SquareFreeQ],2]//大多数(*古斯·怀斯曼2024年6月2日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=和(m=1,平方(2^(n+1)-1),莫比乌斯(m)*\\马克斯·阿列克塞耶夫2008年10月18日
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交叉参考
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对于2次幂之间的素数:
对于素数之间的无平方数:
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关键词
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非n,改变
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作者
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扩展
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来自Mark Hudson(mrmarkhdson(AT)hotmail.com)的更多条款,2003年2月12日
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状态
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经核准的
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1, 3, 5, 7, 12, 19, 32, 55, 98, 173, 310, 565, 1029, 1901, 3513, 6543, 12252, 23001, 43391, 82026, 155612, 295948, 564164, 1077872, 2063690, 3957810, 7603554, 14630844, 28192751, 54400029, 105097566, 203280222, 393615807, 762939112, 1480206280, 2874398516, 5586502349
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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配方奶粉
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例子
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素数(a(n))及其二进制展开式和二进制索引开始于:
2: 10 ~ {2}
5: 101 ~ {1,3}
11: 1011 ~ {1,2,4}
17: 10001 ~ {1,5}
37: 100101 ~ {1,3,6}
67: 1000011 ~ {1,2,7}
131: 10000011 ~ {1,2,8}
257: 100000001 ~ {1,9}
521: 1000001001 ~ {1,4,10}
1031: 10000000111 ~ {1,2,3,11}
2053: 100000000101 ~ {1,3,12}
4099: 1000000000011 ~ {1,2,13}
8209: 10000000010001 ~ {1,5,14}
16411:100000000011011至{1,2,4,5,15}
32771: 1000000000000011 ~ {1,2,16}
65537: 10000000000000001 ~ {1,17}
131101: 100000000000011101 ~ {1,3,4,5,18}
262147: 1000000000000000011 ~ {1,2,19}
524309:10000000000000010101至{1,3,5,20}
1048583: 100000000000000000111 ~ {1,2,3,21}
2097169: 1000000000000000010001 ~ {1,5,22}
4194319: 10000000000000000001111 ~ {1,2,3,4,23}
8388617: 100000000000000000001001 ~ {1,4,24}
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数学
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表[PrimePi[If[n==1,2,NextPrime[2^n]],{n,30}]
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=素数(下一素数(2^n))\\米歇尔·马库斯2024年5月31日
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交叉参考
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对于2次幂之间的素数:
对于2次方之间的平方数:
对于素数之间的无平方数:
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关键词
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非n,新的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A120040年
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| 9-几乎素数9ap的个数,使得2^n<9ap<=2^(n+1)。 |
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+10 17
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 8, 22, 47, 102, 232, 482, 1062, 2217, 4738, 10051, 21083, 44315, 92608, 193824, 402936, 838879, 1739794, 3605077, 7457977, 15404202, 31781036, 65481376, 134777594, 277096118, 569173839, 1168002568, 2394834166
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,11
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评论
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部分和等于Pi_9(2^n)的数字。
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链接
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例子
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(2^9,2^10]有一个半素数,即768。前一项中计算了512。
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数学
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AlmostPrimePi[k_Integer,n_]:=模块[{a,i},a[0]=1;如果[k==1,PrimePi[n],Sum[PrimePi[n/Times@@Prime[Array[a,k-1]]-a[k-1]+1,Evaluate[Sequence@@Table[{a[i],a[i-1],PrimePi[(n/Times@@Prime[Array[a,i-1]])^(1/(k-i+1))]},{i,k-1}]]]];(*埃里克·韦斯特因2006年2月7日*)
t=表[AlmostPrimePi[9,2^n],{n,0,30}];休息@t - 最多@t
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交叉参考
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囊性纤维变性。A046312号,A036378号,A120033号,A120034号,A120035号,A120036号,A120037号,A120038号,A120039号,A120040年,A120041年,A120042年,A120043年.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 4, 4, 12, 20, 40, 75, 147, 285, 535, 1062, 2006, 3918, 7548, 14595, 28293, 54761, 106452, 206421, 401522, 780966, 1520543, 2962226, 5777162, 11272279, 22009839, 43006972, 84077384, 164482781, 321944211, 630487562, 1235382703
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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链接
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例子
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(2^2,2^3]有一个半素数,即6。在上一条记录中计算了4个。
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数学
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半素数Pi[n_]:=和[PrimePi[n/Prime[i]]-i+1,{i,PrimePi[Sqrt[n]]}];t=表[SemiPrimePi[2^n],{n,0,35}];休息@t - 最多@t
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黄体脂酮素
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(PARI)pi2(n)=我的(s,i);对于素数(p=2,sqrt(n),s+=primepi(n\p);i++);s-i*(i-1)/2
(Perl)使用理论“:all”;打印0..48的“$_”、semiprime_count(1+(1<<$_)、1<<($_+1))、“\n”#达娜·雅各布森2019年3月4日
(Perl)使用理论“:all”;我的$1=0;对于(0..48){my$c=semiprime_count(1<<($_+1));打印“$_”,$c-$l,“\n”;$l=$c;}#达娜·雅各布森2019年3月4日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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