的值表π(x)和,共像素2(x)



介绍

我的一些计算项目需要对每个素数的函数进行求值在给定的间隔内。为了防止随机计算错误(通常源于内存子系统),每个间隔内的计算应该至少进行两次,并且应该如果结果不一致,将被丢弃。一个不太可靠且成本较低的替代方案是验证被分析区间内的素数是否与独立的通过其他方法获得的计数。如果有一个值表,这个素数可以很容易地计算出来素数计数函数的π(x),它计算不大于的素数x个,包含间隔的两个端点的条目。

什么时候?第页第+2页都是质数,据说它们形成了一对孪生质数对。与…形成对比π(x),计算孪生素数对的唯一已知方法p<=x,表示为像素2(x)就是生成它们。

因为免费提供的大量数值表π(x)和,共像素2(x)非常罕见(除了我自己的桌子,托马斯·尼克利的表是唯一广泛的我知道的),为了能够检查我的计算,我制作了下面描述的表格。对于π(x),这些表是由于我对描述了Meissel-Lehmer方法的Lagarias-Miller-Odlyzko变体英寸[1]以及我对Deléglise-Rivat的高效实施相同方法的变体,如[2]和中[3].对于像素2(x),桌子是我的副产品哥德巴赫猜想验证项目。

的值表π(x)

(数据库中有6330224个条目;一些条目由Thomas Nicely计算。)

警告:的一些价值观π(x)通过运行相同的通常在同一台机器上使用相同的内部参数进行两次编程。因此,他们已经针对随机机器错误进行了双重检查,但不针对算法或一致性机器错误(例如臭名昭著的Pentium-fdiv硬件错误)。尽管如此,我是99.99%相信这些表中的所有结果都是正确的。所有交叉检查(不同机器和/或不同的内部参数)到目前为止生产的产品完全相同结果。

比较π(x)li(x)

素数定理指出π(x)与所谓的对数积分 li(x),由定义

x日期li(x)=P.V.积分-----。0日志(t)

众所周知li(x)-pi(x)经常无限地改变符号。然而,我们也知道的负值li(x)-pi(x)非常罕见[4].让

li(x)-pi(x)H(x)=2-------------。li(平方(x))

我们冒昧地更换了pi(平方码(x))通过其近似值li(平方(x))在里面的定义高(x); 这样做只是为了简化计算。它被展示了英寸[5]高(x)可以很好地近似为

sin(t对数(x))H(x,L)=1+2和------------,0<t<L t

其中总和超过上半部分根部的虚部,直至高度L(左),zeta函数的临界线。有一个更精确的公式,其中零只需要在临界带上。第一个10^13零是已知的位于临界线上,如2004年Xavier Gourdon所示。下图显示了功能高(x)使用我们的π(x)表格(蓝色曲线),以及仅使用前10和前100的近似值的零zeta函数在临界线的上部(黄色曲线和白色曲线,分别)。从图中可以看出,近似值很好地捕捉到了“低频”行为高(x)当使用更多的零(未示出)时曲线变得几乎无法区分。

H(x)和H(x,50)的图

的值表像素2(x)

(数据库中有6152527个条目;一些条目由Thomas Nicely计算。)

警告:的值像素2(x)对于x> 357425·10^12在2008年3月1日之前,这些表格中报告的数字太小(按一)。

的值表π(x)模2

使用[6],可以计算π(x)模2快速使用一个非常简单的程序。可能使用该文件第2.1节的观点结合一种快速计算Möbius求和的几个值的方法功能[7],将使程序更快。呈现的结果下面是我们最初的简单实现产生的,它具有计算复杂性属于O(x^(0.5+ε)).

估计π(x)对于“大”值x个

使用黎曼精确公式π(x)和第一个10^9zeta的零关键线上的函数,精确到20小数点后的数字表示能够估计π(x)对于x个高达关于10^30假设t对数(x)均匀分布,其中和以前一样,是零的虚部,这是可能的将公式中未使用的项建模为具有零均值和近似标准偏差,易于计算。不幸的是,这个标准偏差随着使用的零点数的增加而缓慢减少,直至数值的100倍零的值给我们的精度增加了不到一位数。下表中的估计值应与上表中的精确值进行比较(当然,对于x个精确值已知)。

工具书类

[1] J.C.拉加里亚斯,V.S.米勒、和安德鲁·奥德里兹科,计算pi(x):Meissel-Lehmer方法,计算数学第44卷,第170号,第537-560页,1985年4月。
[2] 德莱格利什先生J.里瓦特,计算pi(x):Meissel、Lehmer、Lagarias、Miller、Odlyzko方法,计算数学第65卷,第213号,第235-245页,1996年1月。
[3] 托马斯·奥利维拉·席尔瓦,计算pi(x):组合方法,DETUA修订版,第4卷,第6期,第759-768页,2006年3月。
[4] 卡特·贝斯理查德·哈德森,pi(x)>li(x)的最小x的一个新界,计算数学2000年,第69卷,第231号,第1285-1296页。
[5] 卡特·贝斯理查德·哈德森,Dirichlet L-函数的零点与素数分布的不规则性,计算数学2000年,第69卷,第230号,第861-866页。
[6] 陶哲轩,欧内斯特·克罗特三世、和哈拉尔德·赫尔夫戈特,求素数的决定论方法,计算数学,于2011年8月23日以电子方式发布。
[7] 马克·德雷格利什乔尔·里瓦特,计算莫比乌斯函数的求和,《实验数学》,第5卷,第4期,第291-295页,1996年。

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