搜索： a007331-编号：a007330
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,1
|
|
|
评论
|
这本质上是雅可比θ函数θ_2（q）的q展开。（在θ2中，必须忽略初始因子2*q^（1/4），然后用q^代替q（1/2）。另请参阅A005369号）-N.J.A.斯隆2014年8月3日
拉马努扬的θ函数f（a，b）=Sum_{n=-inf.inf}a^（n*（n+1）/2）*b^（n*（n-1）/2）。
该序列是序列b^n中以b为底的数字的串联，对于任何以b>=2为底的数字。-Davis Herring（Herring（AT）lanl.gov），2004年11月16日
带交替符号的Polcoeff逆=A006950型: (1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, ...). -加里·亚当森2010年3月15日
这个序列与Ramanujan的二元θ函数有关，因为这个序列也是广义六边形数的特征函数-奥马尔·波尔2012年6月8日
D.Zagier在《模块形式的1-2-3》第30页列出的14个原始eta-products中的第3个，它们是重量为1/2的全纯模块形式-迈克尔·索莫斯2016年5月4日
将n划分为包含1的连续部分的数量，n>=1-奥马尔·波尔2020年11月27日
|
|
|
参考文献
|
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球面封装、格和群”，Springer Verlag，第103页。
M.D.Hirschhorn，《q的力量》，施普林格出版社，2017年。见Psi第9页。
J.Tannery和J.Molk，Eléments de la Théorie des Fonctions Elliptiques，第2卷，Gauthier-Villars，巴黎，1902年；切尔西，纽约，1972年，见第27页。
E.T.Whittaker和G.N.Watson，《现代分析课程》，剑桥大学出版社，第4版，1963年，第464页。
|
|
|
链接
|
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，关于整数作为三角数和的表示《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页，命题1。
Franck Ramaharo，椒盐卷饼结的生成多项式，arXiv:1805.10680[math.CO]，2018年。
|
|
|
配方奶粉
|
f（x，x^3）的x次幂展开式，其中f（，）是Ramanujan的一般θ函数。
q^（-1）*（φ（q）-phi（q^4））/2的q^8次幂展开-迈克尔·索莫斯2014年7月1日
q^（-1/8）*eta（q^2）^2/eta（q）的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2005年4月13日
周期2序列的欧拉变换[1，-1，…]-迈克尔·索莫斯2003年3月24日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^8）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年4月13日
a（n）=b（8*n+1），其中b（）=A098108号（）与b（2^e）=0^e相乘，如果p>2，b（p^e）=（1+（-1）^e）/2-迈克尔·索莫斯2005年6月6日
G.f.：θ_2（sqrt（q））/（2*q^（1/8））。
G.f.：1/（1-x/（1+x/（1+x^1/（1-x/（1A+x^2/（1-x/（1+x^3/…））））-迈克尔·索莫斯，2012年5月11日
G.f.：产品{k>0}（1-x^（2*k））/（1-xneneneeh（2*k-1））-弗拉德塔·乔沃维奇2002年5月2日
G.f.：总和{j>=0}产品{k=0..j}x ^j-乔恩·佩里2004年3月30日
a（n）=楼层（1-cos（Pi*sqrt（8*n+1））/2）-卡尔·R·怀特2006年3月18日
a（n）=f（n，0），f（x，y）=如果x>0，则f（x-y，y+1），否则0^（-x）-莱因哈德·祖姆凯勒2008年9月27日
由于s角数的特征函数是由floor（sqrt（2n/（s-2）+（（s-4）/（2s-4））^2）+1/2）。
（结束）
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（16t））=2^（-1/2）（t/i）^（1/2）G（t），其中q=exp（2Pi i t），G（）是A002448号. -迈克尔·索莫斯2016年5月5日
G.f.：和{n>=0}x^（n*（n+1）/2）=Product_{n>=1}（1-x^n）*（1+x^n）^2=Product_}n>=1{（1-x^（2*n））*。从theta_2（0，sqrt（q））/（2*q^（1/8））函数的和和积表示。最后一个产品，由弗拉德塔·乔沃维奇通过将第二个乘积的奇诱导因子移动到第一个乘积，通过f（x）：=Product_{n>=1}（1-x^（2*n-1））*Product_{n>=1}（1+x^n）=f（x^2）证明了从第二个到最后一个的欧拉恒等式。这导致f（x）=f（0）=1-沃尔夫迪特·朗2016年7月5日
a（0）=1，a（n）=（1/n）*和{k=1..n}A002129号（k） *a（n-k），对于n>0-满山圣一2017年4月8日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+x+x^3+x^6+x^10+x^15+x^21+x^28+x^36+x^45+x^55+x^66+。。。
B（q）的G.f=q*A（q^8）：q+q^9+q^25+q^49+q^81+q^121+q^169+q^225+q^289+qq^361+。。。
以三角形开始：
1；
1，0；
1, 0, 0;
1, 0, 0, 0;
1, 0, 0, 0, 0;
1, 0, 0, 0, 0, 0;
…（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
如果issqr（1+8*n），那么
1；
其他的
0;
结束条件：；
结束进程：
|
|
|
数学
|
a[n_]：=平方R[1,8n+1]/2；(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，系列系数[（系列[EllipticTheta[3，Log[y]/（2I），x^2]，{x，0，n+Floor@Sqrt[n]}]//Normal//TrigToExp）/。{y->x}，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*）
表[If[IntegerQ[（Sqrt[8n+1]-1）/2]，1，0]，{n，0，110}](*哈维·P·戴尔2012年10月29日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[2,0，q^（1/2）]/（2q ^（1/8）），{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年7月1日*）
模块[｛tr=累加[Range[20]]｝，如果[MemberQ[tr，#]，1，0]和/@范围[Max[tr]](*哈维·P·戴尔2023年3月13日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^2/eta（x+a），n））}/*迈克尔·索莫斯2011年3月14日*/
（PARI）{a（n）=发行方（8*n+1）}/*迈克尔·索莫斯2000年4月27日*/
（PARI）a（n）=异多角形（n，3）\\米歇尔·马库斯2015年1月22日
（哈斯克尔）
a010054=a010052。(+ 1) . (* 8)
a010054_list=concatMap（\x->1:复制x 0）[0..]
（岩浆）基础（模块形式（Gamma0（16），1/2），362）[2]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/
（Python）
从症状导入整数
定义A010054号（n） ：返回int（integer_ntroot（（n<<3）+1，2）[1]）#柴华武，2022年11月15日
b=二进制递归序列（-1，0）
a=欧拉变换（b）
打印（[a（n）代表范围（88）中的n]）#彼得·卢施尼2022年11月17日
（克洛朱尔）
|
|
|
交叉参考
|
将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443美元,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号.
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A004009号
|
| Eisenstein级数E_4（q）的展开（交替约定E_2（q））；E_8格的θ级数。
（原名M5416）
|
|
+10
186
|
|
|
|
1, 240, 2160, 6720, 17520, 30240, 60480, 82560, 140400, 181680, 272160, 319680, 490560, 527520, 743040, 846720, 1123440, 1179360, 1635120, 1646400, 2207520, 2311680, 2877120, 2920320, 3931200, 3780240, 4747680, 4905600, 6026880
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
E_8也是8维Barnes-Wall晶格。
E_8格是积分的、幺模的、偶数的。晶格中的240个最短非零向量的范数平方为2。在这些向量中，128个都是半整数，112个都是整数-迈克尔·索莫斯2019年6月10日
|
|
|
参考文献
|
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第123页。
W.Ebeling，《格与码》，Vieweg；2002年第2版，见第53页。
R.C.Gunning，模块化形式讲座。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1962年，第53页。
N.Koblitz，《椭圆曲线和模形式介绍》，Springer-Verlag，1984年，见第111页。
S.Ramanujan，《某些算术函数》，信使数学。，45（1916），11-15（等式（25））。Srinivasa Ramanujan的论文集，第16章，编辑G.H.Hardy等人，纽约州切尔西，1962年。
S.Ramanujan，《某些算术函数》，信使数学。，45（1916），11-15（等式（25））。Ramanujan的论文，第196页，编辑B.J.Venkatachala等人，Prism Books，班加罗尔，2000年。
Jean-Pierre Serre，“算术课程”，施普林格出版社，1978年
约瑟夫·西尔弗曼（Joseph H.Silverman），“椭圆曲线算法的高级主题”，斯普林格出版社，1994年
N.J.A.Sloane，《七个错开的序列》，《向一个花脸拼图机致敬》，E.Pegg Jr.、A.H.Schoen和T.Rodgers（编辑），A.K.Peters、Wellesley，马萨诸塞州，2009年，第93-110页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/0407061[math.NT]，2004年。
H.S.M.Coxeter，积分Cayley数杜克大学数学系。J.13（1946），561-578；再版于《十二几何论文》，第20-39页。
D.de Laat和F.Vallenton，球形封装的突破：寻找魔法函数，arXiv预印本arXiv：1607.02111[math.MG]，2016。
杨辉和约翰·麦凯，零星和例外，arXiv:1505.06742[math.AG]，2015年。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006；J.组合理论，A辑，113（2006），1732-1745。
小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
Robert V.Moody和Jiri Patera，权重重数的快速递推公式，《美国数学学会公报》7.1（1982）：237-242。
玛丽娜·维亚佐夫斯卡，8维球体堆积问题，arXiv预印本arXiv:1603.04246[math.NT]，2016。
|
|
|
配方奶粉
|
也可以表示为E4（q）=1+240*Sum_｛i>=1｝i^3 q^i/（1-q^i）-吉恩·沃德·史密斯2006年8月22日
E_8晶格的Theta级数=1+240*Sum_{m>=1}sigma_3（m）*q^（2*m），其中sigma_2（m）是m的除数的立方体之和(A001158号).
（φ（-q）^8-（2*phi（-q。
（eta（q）^24+256*eta（q^2）^24）/（eta-迈克尔·索莫斯2008年12月30日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u^2+33*v^2+256*w^2-18*u*v+16*u*w-288*v*w-迈克尔·索莫斯2006年1月5日
G.f.A（x）满足0=f（A（x），A（x^2），A（x^3），A（x^6）），其中f（u1，u2，u3，u6）=u1^2+16*u2^2+81*u3^2+1296*u6^2-14*u1*u2-18*u1*u3+30*u1*u6+30*u2*u3-288*u2*u6-1134*u3*u6-迈克尔·索莫斯2007年4月15日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^3），A（x ^9）），其中f（u，v，w）=u^3*v+9*w*u^3-84*u^2*v^2+246*u*v^3-253*v^4-675*w*u^2*v+729*w^2*u^2-4590*w*u*v^2+19926*w*v^3-54675*w ^2*u*v+59049*w ^3*u+531441*w^ 3*v-551124*w^2*v^2-迈克尔·索莫斯2007年4月15日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/t）=（t/i）^4*f（t），其中q=exp（2 Pi it）-迈克尔·索莫斯2008年12月30日
Ramanujan函数Q（Q^2）=12（omega/Pi）^4 g2（Weierstrass不变量）的Q^2次幂展开。
（q）*（a（q）^3+8*c（q）*3）的q次幂展开式，其中a（），c（）是三次AGMθ函数-迈克尔·索莫斯2015年1月14日
Sum_｛k=1..n｝a（k）~2*Pi^4*n^4/3-瓦茨拉夫·科泰索维奇2024年1月14日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+240*x+2160*x^2+6720*x^3+17520*x^4+30240*x^5+60480*x^6+。。。
G.f.=1+240*q^2+2160*q^4+6720*q^6+17520*q^8+3020*q^10+60480*q^12+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
带有（数字理论）；E:=程序（k）局部n，t1；t1:=1-（2*k/bernoulli（k））*加（σ[k-1]（n）*q^n，n=1..60）；系列（t1、q、60）；结束；E（4）；
|
|
|
数学
|
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，240 DivisorSigma[3，n]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
a[n_]：=系列系数[With[{t2=EllipticTheta[2，0，q]^4，t3=EllipaticTheta[3，0，q]^4}，t2^2+14 t2t3+t3^2]，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月4日*）
a[n_]：=系列系数[With[{t2=EllipticTheta[2，0，q]^4，t3=EllipaticTheta[3，0，q]^4}，t2^2-t2t3+t3^2]，{q，0，2n}]；(*迈克尔·索莫斯，2016年7月31日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，240*sigma（n，3））}；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n/*迈克尔·索莫斯2008年12月30日*/
（PARI）q='q+O（'q^50）；Vec（（eta（q）^24+256*q*eta（q^2）^24）/（eta\\阿尔图·阿尔坎2018年9月30日
（Sage）模块形式（Gamma1（1），4，prec=30）.0#迈克尔·索莫斯，2013年6月4日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma1（1），4），29）[1]/*迈克尔·索莫斯2015年5月11日*/
（岩浆）L:=晶格（“E”，8）；A<q>：=θ系列（L，57）；A/*迈克尔·索莫斯2019年6月10日*/
（Python）
从symy导入divisorsigma
定义a（n）：如果n==0，则返回1，否则返回240*除数sigma（n，3）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 4, 6, 8, 13, 12, 14, 24, 18, 20, 32, 24, 31, 40, 30, 32, 48, 48, 38, 56, 42, 44, 78, 48, 57, 72, 54, 72, 80, 60, 62, 104, 84, 68, 96, 72, 74, 124, 96, 80, 121, 84, 108, 120, 90, 112, 128, 120, 98, 156, 102, 104, 192, 108, 110, 152, 114, 144, 182, 144, 133, 168
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
将n写成4个三角形数之和的方法。
a（n）也是2*n+1划分为相等部分的所有部分的总数-奥马尔·波尔，2021年2月14日
|
|
|
参考文献
|
B.C.Berndt，Ramanujan的笔记本第三部分，Springer-Verlag，见第139页，Ex.（III）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第19页，等式（6）和第283页，等量（8）。
W.Dunham，Euler：《我们所有人的主人》，美国数学协会，华盛顿特区，1999年，第12页。
H.M.Farkas，I.Kra，余弦和三角数，《鲁梅因数学评论》。Pures应用。，46 (2001), 37-43.
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第79页，等式（32.31）。
N.Koblitz，《椭圆曲线和模形式介绍》，Springer-Verlag，1984年，见第184页，Prop。4，F（z）。
G.Polya，《数学中的归纳与类比》，《数学与合理推理》第一卷，普林斯顿大学出版社，1954年，第92页及其后。
|
|
|
链接
|
小池正雄，非紧算术三角群上的模形式，未出版手稿【N.J.A.Sloane用OEIS A-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，关于整数作为三角数和的表示《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。定理3[Legendre]。
|
|
|
配方奶粉
|
q^（-1/2）*（eta（q^2）^2/eta（q））^4=psi（q）^4的q次幂展开式，其中psi（）是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2004年4月11日
雅可比θ_2（q）^4/（16*q）的q^2次幂展开-迈克尔·索莫斯2004年4月11日
周期2序列的欧拉变换[4，-4，-4，…]-迈克尔·索莫斯2004年4月11日
a（n）=b（2*n+1），其中b（）是乘法的，b（2^e）=0^n，b（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1），如果p>2-迈克尔·索莫斯2004年7月7日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^2）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年4月8日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^2）满足0=f（B（q。
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^2）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年5月30日
通用公式：和{k>=0}（2k+1）*x^k/（1-x^（2k+1））。
G.f.：（产品_｛k>0｝（1-x^k）*（1+x^k）^2）^4-迈克尔·索莫斯2004年4月11日
G.f.求和{k>=0}a（k）*x^（2k+1）=x（*Prod_{k>0}（1-x^（4*k））-迈克尔·索莫斯2004年7月7日
正奇整数中2*n+1=（x^2+y^2+z^2+w^2）/4的解的个数-迈克尔·索莫斯2004年4月11日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4 t））=（1/4）（t/i）^2 G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A096727型.迈克尔·索莫斯2014年6月12日
a（0）=1，a（n）=（4/n）*和{k=1..n}A002129号（k） *a（n-k），对于n>0-满山圣一2017年5月6日
通用公式：exp（总和{k>=1}4*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
通用公式：和{n>=0}x^n*（1+x^（2*n+1））/（1-x^。（结束）
|
|
|
例子
|
9的除数是1,3,9，因此a（4）=1+3+9=13。
F_2（z）=eta（4z）^8/eta（2z）^4=q+4q^3+6q^5+8q^7+13q^9+。。。
G.f.=1+4*x+6*x^2+8*x^3+13*x^4+12*x^5+14*x^6+24*x^7+18*x^8+20*x^9+。。。
B（q）=q+4*q^3+6*q^5+8*q^7+13*q^9+12*q^11+14*q^13+24*q^15+18*q^17+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
除数Sigma[1，2#+1]&/@范围[0，61](*蚂蚁王，2010年12月2日*）
a[n_]：=系列系数[D[Series[Log[QPochhammer[-x]/QPochharmer[x]]，{x，0，2 n+1}]，x]，{x，0，2n}]；(*迈克尔·索莫斯2019年10月15日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，σ（2*n+1））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=2*n；polceoff（总和（k=1，（平方（4*n+1）+1）\2，x^（k^2-k），x*O（x^n））^4，n））}/*迈克尔·索莫斯2004年9月17日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，n=2*n；a=x*O（x^n）；波尔科夫（（eta（x^4+a）^2/eta（x^2+a））^4，n））}/*迈克尔·索莫斯2004年9月17日*/
（Sage）模块形式（Gamma0（4），2，prec=124）.1#迈克尔·索莫斯2014年6月12日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma0（4），2），124）[2]/*迈克尔·索莫斯2014年6月12日*/
（哈斯克尔）
a008438=a000203。a005408号--莱因哈德·祖姆凯勒2014年9月22日
（岩浆）[DivisorSigma（1,2*n+1）：[0..70]]中的n//文森佐·利班迪2017年8月1日
|
|
|
交叉参考
|
将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443美元,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 2, 1, 2, 2, 0, 3, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 2, 0, 2, 4, 0, 2, 0, 1, 4, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 4, 0, 0, 2, 0, 4, 2, 2, 2, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 4, 0, 2, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 3, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 4, 2, 0, 2, 2, 0, 3, 2, 0, 0, 4, 0, 2, 2, 0, 6, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 4, 2, 2, 4, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
方程x^2+y^2=8*n+2的正奇解的个数-满山圣一2017年5月28日
|
|
|
参考文献
|
B.C.Berndt，Ramanujan的笔记本第三部分，Springer-Verlag。见第139页示例（iv）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
R.W.Gosper，《19世纪数学中废弃矿区的条形采矿》，《数学中的计算机》（D.V.Chudnovsky和R.D.Jenks编辑）。纽约：Dekker，1990年。见第279页。
R.W.Gosper，q三角学、符号计算、数论、特殊函数、物理学和组合数学的实验和发现。编辑：F.G.Garvan和M.E.H.Ismail。Kluwer，Dordrecht，荷兰，2001年，第79-105页。[参见图片。]
P.A.MacMahon，《组合分析》，剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷。见第2卷，第31页，第272条。
Ivan Niven、Herbert S.Zuckerman和Hugh L.Montgomery，《数字理论导论》，第五版，John Wiley and Sons，Inc.，纽约，1991年，第165页。
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。55系列，第十次印刷，1972年，第575、16.23.1和16.23.2页。
R.P.阿加瓦尔，兰伯特级数和拉马努扬印度科学院产品。科学。（《数学科学》），第103卷，第3期，1993年，第269-293页（见第285页）。
新泽西州罚款，基本超几何级数及其应用，美国。数学。Soc.，1988年；第72页，等式（31.2）；第78页，等式如下（32.25）。
J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n）《纯粹与应用数学季刊》，20（1884），97-167。见第108页。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数第n根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006；《组合理论》，A辑，113（2006），1732-1745。
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，关于整数作为三角数和的表示《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
|
|
|
配方奶粉
|
这个序列是许多序列的四分之一。以下是两个例子：
a（n）=b（4*n+1），其中b（n）是乘法的，b（2^e）=0^e，b（p^e）=（1+（-1）^e）/2如果p==3（mod 4），b（p ^e）=1如果p==1（mod4）-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
通用公式：（和{k>=0}x^（（k^2+k）/2））^2=（和{k>=0{x^。
雅可比θ（θ_2（0，sqrt（q）））^2/（4*q^（1/4））的展开。
求和[d|（4n+1），（-1）^（（d-1）/2）]。
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q，B（q^2），B（q ^4）），其中f（u，v，w）=v^3+4*v*w^2-u^2*w-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
雅可比k/（4*q^（1/2））*（2/Pi）*k（k）的q^2次幂展开-迈克尔·索莫斯2005年9月14日。的卷积A001938号和A004018号这出现在Abramowitz-Stegun参考文献第575、16.23.1和16.23.2页中给出的Jacobi sn和cn公式的分母中，其中m=k^2-沃尔夫迪特·朗，2016年7月5日
通用公式：和{k>=0}a（k）*x^（2*k）=和{k>=0}x^k/（1+x^，2*k+1））。
通用公式：Z}x^k/（1-x^（4*k+1））中的和{k-迈克尔·索莫斯2005年11月3日
psi（x）^2=phi（x）*psi（x^2）的x次幂展开，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数。
莫比乌斯变换是周期8序列[1，-1，-1，0，1，1，-1，0-…]-迈克尔·索莫斯2008年1月25日
G.f.是满足f（-1/（8t））=1/2（t/i）G（t）的周期1傅立叶级数，其中q=exp（2pi i t），G（）是A104794号.
周期2序列的欧拉变换[2，-2，…]。
通用格式：q^（-1/4）*eta（q^2）^4/eta（q）^2。另请参见精细参考。
G.f.：产品{k>0}（1-x^（2*k））^2/（1-x ^（2*k-1））^2。
通用公式：exp（总和{n>=1}2*（x^n/n）/（1+x^n））-保罗·D·汉纳2016年3月1日
a（n）=A001826号（2+8*n）-A001842号（2+8*n），2+8*n的除数1（mod 4）和3（mod 4）之间的差。参见Ono等人的链接，推论1，或直接参见Niven等人的参考文献，第165页，推论（3.23）-沃尔夫迪特·朗2017年1月11日
连分式1/（1-x^1+x^1*（1-x^1）^2/以x^2的幂-迈克尔·索莫斯2017年4月20日
a（0）=1，a（n）=（2/n）*和{k=1..n}A002129号（k） *a（n-k），对于n>0-满山圣一2017年5月6日
G.f.：求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（2*n+1）-x^。
G.f.：求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（2*n+1）+x^。（结束）
通用公式：求和{n=-oo..oo}x^（4*n^2+2*n）*（1+x^。见阿加瓦尔，第285页，方程6.20，i=j=1，mu=4。
对于形式为4*k+3的素数p，a（n*p^2+（p^2-1）/4）=a（n）。
对于形式为4*k+1的素数p和不等于（p-1）/4（mod p）的n，我们有a（n*p^2+（p^2-1）/4）=3*a（n）（因为b（n），其中b（4*n+1）=a（n，是乘法的）。（结束）
G.f.A（q）满足：
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^n/（1-q^（4*n+2））（Agarwal中的集合z=q，alpha=q^2，mu=4，方程式6.15）。
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^（2*n）/（1-q^。
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^n/（1+q^（2*n+1））^2=Sum_{n=-oo..oo}q^。（结束）
通用公式：求和{k>=0}a（k）*q^k=Sum_{k>=0.}（-1）^k*q^-马穆卡·吉卜拉泽2021年5月17日
通用公式：求和{k>=0}a（k）*q^k=Sum_{k>=0.}（-1）^k*q^（k*（k+1））*（1+q^-马穆卡·吉卜拉泽，2021年6月6日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+2*x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^6+2*x^7+2*x^9+2*x^10+2*x^11+。。。
B（q）的G.f=q*A（q^4）=q+2*q^5+q^9+2*q*13+2*q^17+3*q^25+2*q~29+2*q ^37+2*qq^41+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
sigmamr：=过程（n，m，r）局部a，d；a:=0；对于numtheory[除数]（n）中的d，如果modp（d，m）=r，那么a:=a+1；结束条件：；结束do:a；结束进程：
|
|
|
数学
|
加号@@（（-1）^（1/2（除数[4#+1]-1））(*蚂蚁王2010年12月2日*）
a[n_]：=级数系数[（1/2）椭圆Theta[2，0，q]椭圆Theta[3，0，q]，{q，0，n+1/4}]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月19日*）
a[n_]：=系列系数[（1/4）椭圆Theta[2，0，q]^2，{q，0，2n+1/2}]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月19日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，除数和[4 n+1，（-1）^商[#，2]&]]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月8日*）
三角形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[8n+1]；表[Count[FrobeniusSolve[{1，1}，n]，{__？TriangeQ}]，{n，0，104}](*罗伯特·威尔逊v2017年4月15日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，polceoff（和（k=0，（平方（8*n+1）-1）\2，x^（k*（k+1）/2），x*O（x^n））^2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=4*n+1；sumdiv（n，d，（-1）^（d\2）））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月2日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^4/eta（x+a）*2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=4*n+1；sumdiv（n，d，（d%4==1）-（d%4=3））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月14日*/
（PARI）{my（q='q+O（'q^166））；Vec（eta（q^2）^4/eta（q）^2）}\\乔格·阿恩特2017年4月16日
（Sage）模块形式（Gamma1（8），1，prec=420）.1#迈克尔·索莫斯，2014年6月8日
（哈斯克尔）
a052343=（翻转div 2）。(+ 1) . a008441号
（岩浆）A:=基础（模块形式（伽马1（8），1），420）；A[2]/*迈克尔·索莫斯2015年1月31日*/
|
|
|
交叉参考
|
将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443美元,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1、3、3、4、6、3、9、3、7、9、6、9、9、6、6、15、9、7、12、3、15、15、6、12、9、12、15、6、13、21、12、6、15、9、12、24、9、18、12、9、18、9、18、15、12、13、24、9、15、24、6、18、27、6、12、15、18、24、21、15、12、27、9、13、18、15、27、9、12、27、15、24、21、12，15，30，15，12
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
费马断言，每个数字都是三个三角形数字的和。高斯证明了这一点，他在1796年7月10日的塔格布作品中写道：EYPHEKA！num=三角形+三角形+三角形。另见戴安娜王妃高斯，第293条。
|
|
|
参考文献
|
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
C.F.Gauss，《算术研究》，耶鲁大学出版社，1966年，纽黑文和伦敦，第342页，第293条。
M.Nathanson，《加法数理论：经典基础》，《数学研究生教材》，第165卷，Springer-Verlag出版社，1996年。见第1章。
|
|
|
链接
|
乔治·安德鲁斯，埃夫卡！num=增量+增量+增量，J.数论23（1986），285-293。[标题中的Y实际上是希腊字母Upsilon，Delta实际上是该名称的希腊字母。]
M.Doring、J.Haidenbauer、U.-G.Meissner和A.Rusetsky，动量晶格上的动力学耦合通道方法，arXiv预印本arXiv:1108.0676[hep-lat]，2011年。
M.D.Hirschorn和J.A.Sellers，分成三个三角形数《澳大利亚组合数学杂志》，第30卷（2004年），第307-318页；提交.
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，关于整数作为三角数和的表示《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
|
|
|
配方奶粉
|
q^（-3/8）*（eta（q^2）^2/eta（q））^3的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2012年5月29日
周期2序列的欧拉变换[3，-3，…]-迈克尔·索莫斯2006年10月25日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（16t））=2^（-3/2）（t/i）^（3/2）G（t），其中q=exp（2Pi it），G（）是A213384型. -迈克尔·索莫斯2012年6月23日
通用公式：（和{k>0}x^（（k^2-k）/2））^3=（乘积{k>0}（1+x^k）*（1-x^2（2*k））^3-迈克尔·索莫斯2012年5月29日
a（0）=1，a（n）=（3/n）*和{k=1..n}A002129号（k） *a（n-k），对于n>0-满山圣一2017年5月6日
|
|
|
例子
|
5可以写成3+1+1、1+3+1、1+1+3，因此a（5）=3。
G.f.=1+3*x+3*x^2+4*x^3+6*x^4+3*x*x^5+6*x^6+9*x^7+3*x^8+。。。
G.f.=q^3+3*q^11+3*q^19+4*q^27+6*q^35+3*q*q^43+6*qq^51+9*q^59+3*q ^67+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
s1:=总和（q^（n*（n+1）/2），n=0..30）：s2:=级数（s1^3，q，250）：对于从0到200的i，执行打印f（`%d，`，系数（s2，q，i））od：
|
|
|
数学
|
a[n_]：=级数系数[（1/8）椭圆Theta[2，0，q]^3，{q，0，2n+3/4}]；(*迈克尔·索莫斯2012年5月29日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（和（k=0，（sqrtint（8*n+1）-1）\2，x^（（k^2+k）/2），x*O（x^n））^3，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年10月25日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）^2/eta（x+a））^3，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年10月25日*/
（岩浆）基础（模块形式（伽马射线（16），3/2），630）[4]/*迈克尔·索莫斯2015年8月26日*/
|
|
|
交叉参考
|
将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443美元,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号.
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 5, 10, 15, 25, 31, 35, 55, 60, 60, 90, 90, 95, 135, 125, 126, 170, 180, 175, 215, 220, 195, 285, 280, 245, 340, 300, 320, 405, 350, 351, 450, 465, 415, 515, 480, 425, 620, 590, 505, 655, 625, 590, 755, 660, 650, 805, 770, 755, 855, 841, 730, 1045, 960, 770, 1100
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
参考文献
|
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
|
|
|
链接
|
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，关于整数作为三角数和的表示《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
|
|
|
配方奶粉
|
a（0）=1，a（n）=（5/n）*和{k=1..n}A002129号（k） *a（n-k），对于n>0-满山圣一2017年5月6日
通用公式：exp（总和{k>=1}5*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
|
|
|
数学
|
a002129[n_]：=-总和[（-1）^d*d，{d，除数[n]}]；a[n_]：=a[n]=如果[n==0，1，5和[a002129[k]a[n-k]，{k，n}]/n]；表[a[n]，{n，0，100}](*因德拉尼尔·戈什2017年8月2日*）
|
|
|
交叉参考
|
将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443美元,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号.
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A008440型
|
| 雅可比θ常数θ_2^6/（64q^（3/2））的展开式。 |
|
+10
19
|
|
|
|
1, 6, 15, 26, 45, 66, 82, 120, 156, 170, 231, 276, 290, 390, 435, 438, 561, 630, 651, 780, 861, 842, 1020, 1170, 1095, 1326, 1431, 1370, 1716, 1740, 1682, 2016, 2145, 2132, 2415, 2550, 2353, 2850, 3120, 2810, 3321, 3486, 3285, 3906, 4005, 3722, 4350
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
n表示为6个三角形数之和的次数-米歇尔·马库斯2012年10月24日。请参阅Ono等人的链接。
|
|
|
参考文献
|
B.C.Berndt，Ramanujan关于Lambert级数的片段，《数论及其应用》，K.Gyory和S.Kanemitsu编辑，Kluwer，Dordrecht，1999年，第35-49页，见条目6。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
|
|
|
链接
|
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，关于整数作为三角数和的表示《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。定理4。
|
|
|
配方奶粉
|
Ramanujanφ^6（q）的q次幂展开。
q^（-3/4）（eta（q^2）^2/eta（q））^6的q次幂展开。
周期2序列的欧拉变换[6，-6，…]-迈克尔·索莫斯，2006年5月23日
通用公式：（和{n>=0}x^（（n^2+n）/2））^6。
a（n）=（-1/8）*Sum_{d除以（4n+3）}Chi_2（4；d）*d^2-米歇尔·马库斯2012年10月24日。请参阅Ono等人的链接。定理4。
a（0）=1，a（n）=（6/n）*和{k=1..n}A002129号（k） *a（n-k），对于n>0-满山圣一2017年5月6日
G.f.：exp（Sum_{k>=1}6*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+6*x+15*x^2+26*x^3+45*x^4+66*x^5+82*x^6+-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
G.f.=q^3+6*q^7+15*q^11+26*q^15+45*q^19+66*q^23+82*q^27+。。。
|
|
|
数学
|
a[n_]：=如果[n<0，0，-除数和[4 n+3，Re[I^（#-1）]#^2&]/8]；(*迈克尔·索莫斯，2019年6月25日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（和（k=0，（sqrtint（8*n+1）-1）\2，x^（（k^2+k）/2），x*O（x^n））^6，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年5月23日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x^2+a）^2/eta（x+a））^6，n））}/*迈克尔·索莫斯2006年5月23日*/
（PARI）{a（n）=-sumdiv（4*n+3，d，real（I^（d-1））*d^2）/8}/*迈克尔·索莫斯2012年10月24日*/
|
|
|
交叉参考
|
将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443美元,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号,A002173号.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 7, 21, 42, 77, 126, 175, 253, 357, 434, 567, 735, 833, 1057, 1302, 1400, 1708, 2037, 2191, 2597, 3003, 3151, 3619, 4242, 4389, 4935, 5691, 5740, 6594, 7434, 7371, 8400, 9303, 9506, 10626, 11592, 11585, 12761, 14427, 14203, 15519, 17241, 16808, 18788, 20559, 19950, 21882, 23898, 23786
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
链接
|
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，关于整数作为三角数和的表示《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
|
|
|
配方奶粉
|
a（0）=1，a（n）=（7/n）*Sum_｛k=1..n｝A002129号（k） *a（n-k），对于n>0-满山圣一2017年5月6日
通用公式：exp（总和{k>=1}7*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
|
|
|
交叉参考
|
将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443美元,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号.
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 9, 36, 93, 198, 378, 633, 990, 1521, 2173, 2979, 4113, 5370, 6858, 8955, 11055, 13446, 16830, 20031, 23724, 28836, 33381, 38520, 45729, 52203, 59121, 68922, 77461, 86283, 99747, 110547, 121500, 138870, 152034, 166725, 188568, 204156, 221760, 248310, 268713, 289422, 321786, 345570, 369036
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
链接
|
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，关于整数作为三角数和的表示《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
|
|
|
配方奶粉
|
a（0）=1，a（n）=（9/n）*和{k=1..n}A002129号（k） *a（n-k），对于n>0-满山圣一2017年5月6日
通用公式：exp（总和{k>=1}9*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
|
|
|
交叉参考
|
将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443美元,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号.
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 10, 45, 130, 300, 612, 1105, 1830, 2925, 4420, 6341, 9000, 12325, 16290, 21645, 27932, 34980, 44370, 54900, 66430, 81702, 98050, 115440, 138330, 162565, 187800, 220545, 254800, 289265, 334890, 382058, 427350, 488700, 550420, 609960, 691812, 770185, 845750, 949365, 1049400, 1145580, 1274580
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
链接
|
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，关于整数作为三角数和的表示《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。情况k=10，定理6。
|
|
|
配方奶粉
|
a（0）=1，a（n）=（10/n）*和{k=1..n}A002129号（k） *a（n-k），对于n>0-满山圣一2017年5月6日
G.f.：exp（Sum_{k>=1}10*（x^k/k）/（1+x^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年7月31日
|
|
|
交叉参考
|
将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443美元,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号.
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.024秒内完成
|
