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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A010054号 如果n是三角形数,则a(n)=1,否则为0。 1566

%I#208 2023年7月27日19:21:41

%S 1,1,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,

%T 0,0,1,0,0,0,0,0'0,00,0',0,0,

%U 0,0,00,0,1,0,0,0,0',0,0

%如果N是三角形数,则N a(N)=1,否则为0。

%这本质上是雅可比θ函数θ_2(q)的q展开式。(在θ2中,必须忽略初始因子2*q^(1/4),然后用q^代替q(1/2)。另见A005369。)-N.J.A.Sloane,2014年8月3日

%C Ramanujan theta函数:f(q)(见A121373)、phi。

%C Ramanujan的θ函数f(a,b)=Sum_{n=-inf.inf}a^(n*(n+1)/2)*b^(n*(n-1)/2)。

%C此序列是序列b^n中以b为基数的数字的串联,对于任何基数b>=2。-Davis Herring(Herring(AT)lanl.gov),2004年11月16日

%C将n分为不同部分的分区数,以便最大部分等于所有部分的数量,另见A047993;当n>0时,a(n)=A117195(n,0);对于n>1,a(n)=1-A117195(n,1)。-_Reinhard Zumkeller,2006年3月3日

%C三角形T(n,k),0≤k≤n,按行读取,由A000007 DELTA A000004给出,其中DELTA是A084938中定义的运算符_Philippe Deléham,2009年1月3日

%C卷积为A000041=A022567,卷积平方为A000009_Gary W.Adamson_,2009年6月11日

%C A008441(n)=和{k=0..n}a(k)*a(n-k).-_Reinhard Zumkeller_,2009年11月3日

%C Polcoeff逆符号=A006950:(1,1,1、2、3、4、5、7…)_Gary W.Adamson_,2010年3月15日

%这个序列与Ramanujan的二元θ函数有关,因为这个序列也是广义六边形数的特征函数_Omar E.Pol,2012年6月8日

%C由D.Zagier在“模形式的1-2-3”第30页列出的14个原始eta-products中的第3个,它们是重量为1/2的全纯模形式_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2016年5月4日

%C将n划分为包含1作为一部分的连续部分的数量,n>=1。-_Omar E.Pol_,2020年11月27日

%D J.H.Conway和N.J.A.Sloane,“球形填料、晶格和群”,Springer-Verlag,第103页。

%D M.D.Hirschhorn,《q的力量》,施普林格出版社,2017年。见Psi第9页。

%D J.Tannery和J.Molk,Eléments de la Théorie des Fonctions Elliptiques,第2卷,Gauthier-Villars,巴黎,1902年;切尔西,纽约,1972年,见第27页。

%D E.T.Whittaker和G.N.Watson,《现代分析课程》,剑桥大学出版社,第4版,1963年,第464页。

%H Reinhard Zumkeller,<a href=“/A010054/b010054.txt”>n的表,a(n)表示n=0.-10000</a>

%H Mohammad K.Azarian,<a href=“https://doi.org/10.12988/imf.2022.912321“>关于离散部分函数组合数学的备注和猜想,国际数学论坛(2022)第17卷,第3期,129-141。见推测4.4,第137页。

%H S.Cooper和M.D.Hirschorn,<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X(03)00079-7“>三个正方形的Hurwitz型结果,《离散数学》274(2004),编号1-3,9-24。见psi(q)。

%H Shishuo Fu和Yaling Wang,<a href=“https://arxiv.org/abs/1908.03912“>关于两个Schröder三角形的双投射复发</a>,arXiv:1908.03912[math.CO],2019。

%H M.D.Hirschorn和J.A.Sellers,<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL17/Sellers/sellers32.html“>A Conjuence Modulo 3 for Partitions into Distinct Non-Multiples of Four,Article 14.9.6,Journal of Integer Sequences,Vol.17(2014)。

%H K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl,<a href=“http://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/006.pdf“>关于整数表示为三角数之和的问题,Aequationes mathematicae,1995年8月,第50卷,第1-2期,第73-94页,命题1。

%H Franck Ramaharo,<a href=“https://arxiv.org/abs/1805.10680“>椒盐卷饼结的生成多项式,arXiv:1805.10680[math.CO],2018。

%H Michael Somos,《Ramanujan theta函数简介》。

%H Michael Somos,q-Series的多部分</a>

%H Eric Weisstein的数学世界,<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.html“>Ramanujan Theta函数</a>

%H Wolfram挑战,<a href=“https://challenges.wolframcloud.com/challenge/separate-ones-by-zeros网站“>以零分隔一个</a>

%特征函数的索引项</a>

%F(x,x^3)的x次幂展开式,其中F(,)是Ramanujan的广义θ函数。

%F q^(-1)*(phi(q)-phi(q^4))/2以q^8的幂展开_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2014年7月1日

%F q^(-1/8)*eta(q^2)^2/eta(q)以q.-Michael Somos_的幂展开,2005年4月13日

%周期2序列的F Euler变换[1,-1,…].-_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2003年3月24日

%F给定g.F.A(x),则B(q)=q*A(q^8)满足0=F(B(q),B(q^2),B(q^3),B(q^6)),其中F(u1,u2,u3,u6)=u1*u6^3+u2*u3^3-u1*u2^2*u6。-_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2005年4月13日

%F a(n)=b(8*n+1),其中b()=A098108()与b(2^e)=0^e相乘,如果p>2,b(p^e)=(1+(-1)^e)/2_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2005年6月6日

%F a(n)=A005369(2*n)-_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2003年4月29日

%F G.F.:θ_2(sqrt(q))/(2*q^(1/8))。

%传真:1/(1-x/(1+x/(1+x^1/(1-x/((1+x/(1+x^2/(1-x/(1+x^3/…))))_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2012年5月11日

%F G.F.:产品{k>0}(1-x^(2*k))/(1-xneneneeh(2*k-1))_Vladeta Jovovic_,2002年5月2日

%F a(0)=1;对于n>0,a(n)=A002024(n+1)-A002024(n)_Benoit Cloitre_,2004年1月5日

%F G.F:总和{j>=0}产品{k=0..j}x ^j.-_Jon Perry_,2004年3月30日

%F a(n)=楼层((1-cos(Pi*sqrt(8*n+1)))/2)_Carl R.White,2006年3月18日

%F a(n)=圆形(sqrt(2n+1))-圆形(squart(2n))_Hieronymus Fischer,2007年8月6日

%F a(n)=天花板(2*sqrt(2n+1))-地板(2*m2(2n))-1.-_Hieronymus Fischer,2007年8月6日

%F a(n)=F(n,0),其中F(x,y)=如果x>0,则F(x-y,y+1),否则为0^(-x)。-_Reinhard Zumkeller,2008年9月27日

%F a(n)=A035214(n)-1。

%F来自Mikael Aaltonen,2015年1月22日:(开始)

%F由于s角数的特征函数是由floor(sqrt(2n/(s-2)+((s-4)/(2s-4))^2)+-1/2)。

%F(结束)

%F a(n)=(-1)^n*A106459(n).-_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2016年5月4日

%F G.F.是周期1傅里叶级数,满足F(-1/(16 t))=2^(-1/2)(t/i)^(1/2)G(t),其中q=exp(2 Pi it),G()是A002448的G.F_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2016年5月5日

%F G.F.:和{n>=0}x^(n*(n+1)/2)=Product_{n>=1}(1-x^n)*(1+x^n)^2=Product_}n>=1{(1-x ^(2*n))*(1+x^n。从theta_2(0,sqrt(q))/(2*q^(1/8))函数的和和积表示。上面的_Vladeta Jovovic_给出的最后一个乘积是由一个欧拉恒等式从第二个到最后一个得到的,通过将第二个乘积的奇诱导因子移动到第一个乘积,通过f(x):=product_{n>=1}(1-x^(2*n-1)))*product_{n>=1}(1+x^n)=f(x^2)证明了这个恒等式。这导致f(x)=f(0)=1_Wolfdieter Lang,2016年7月5日

%F a(0)=1,a(n)=(1/n)*和{k=1..n}A002129(k)*a(n-k)对于n>0.-_Seiichi Manyama,2017年4月8日

%e总重量=1+x+x^3+x^6+x^10+x^15+x^21+x^28+x^36+x^45+x^55+x^66+。。。

%e B(q)的G.f.=q*A(q^8):q+q^9+q^25+q^49+q^81+q^121+q^169+q^225+q^289+q^361+。。。

%e摘自2008年1月4日的《菲利普·德雷厄姆》(_Philippe Deléham):(开始)

%e作为三角形开始:

%e 1;

%e 1,0;

%e 1,0,0;

%e 1,0,0,零;

%e 1,0,0,0,0;

%e 1,0,0,0,0,0;

%e。。。(结束)

%p A010054:=程序(n)

%p如果issqr(1+8*n),则

%第1页;

%p其他

%p 0;

%p end if;

%p端程序:

%p序列(A010054(n),n=0..80);#_R.J.Mathar,2021年2月22日

%t a[n_]:=平方R[1,8 n+1]/2;(*迈克尔·索莫斯,2011年11月15日*)

%t a[n_]:=如果[n<0,0,SeriesCoefficient[(Series[EllipticTheta[3,Log[y]/(2I),x^2],{x,0,n+Floor@Sqrt[n]}]//Normal//TrigToExp)/。{y->x},{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯,2011年11月15日*)

%t表[If[InterQ[(Sqrt[8n+1]-1)/2],1,0],{n,0110}](*_Harvey P.Dale_,2012年10月29日*)

%t a[n_]:=级数系数[EllipticTheta[2,0,q^(1/2)]/(2q ^(1/8)),{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯,2014年7月1日*)

%t模[{tr=Accumulate[Range[20]]},如果[MemberQ[tr,#],1,0]&/@Range[Max[tr]]](*_哈维P.Dale_,2023年3月13日*)

%o(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*o(x^n);polceoff(eta(x^2+a)^2/eta(x+a),n))};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2011年3月14日*/

%o(PARI){a(n)=发行方(8*n+1)};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2000年4月27日*/

%o(PARI)a(n)=等边形(n,3);\\_米歇尔·马库斯,2015年1月22日

%o(哈斯克尔)

%o a010054=a010052。(+ 1) . (*8)

%o a010054_list=concatMap(\x->1:复制x 0)[0..]

%o——Reinhard Zumkeller,2012年2月12日,2011年10月22日,2011月4月2日

%o(岩浆)基础(模块形式(伽马射线(16),1/2),362)[2];/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2014年6月10日*/

%o(Python)

%o从sympy导入integer_ntroot

%o定义A010054(n):返回int(integer_ntroot((n<<3)+1,2)[1])#_Chai Wah Wu_,2022年11月15日

%o(Sage)#使用[EulerTransform from A166861]

%o b=二进制递归序列(-1,0)

%o a=欧拉变换(b)

%o打印([a(n)代表范围(88)内的n)]#_Peter Luschny_,2022年11月17日

%o(Clojure)

%o(定义A010054(mapcat#(cons 1(复制%0))(范围))_托尼·佐曼,2023年4月3日

%Y参见A000217、A002448、A005369、A023531、A035214、A022567、A052343、A006950、A106459、A127648。

%Y将n写成k个三角形数之和的方式数量,对于k=1,…:A010054、A008441、A00844、A008438、A00843、A008440、A226252、A007331、A22626253、A226255、A014787、A014809。

%Y参见A106507(倒数系列)。

%K non,tabl,简单

%0、1

%A _N.J.A.斯隆_

%E迈克尔·索莫斯的补充意见,2000年4月27日

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