%I#132 2023年11月3日10:44:10

%S 1,4,6,8,13,12,14,24,18,20,32,24,31,40,30,32,48,38,56,42,44,78,48，

%电话57,72,54,72,80,60,62104,84,68,96,72,74124,96,80121,84108120,90，

%电话：112128120,9815610210419210811015211414418244133168

%N 2*N+1的除数之和。

%C Ramanujan theta函数：f（q）（见A121373）、phi。

%C将n写成4个三角形数之和的方式。

%A000203.-的C剖分_Omar E.Pol_，2012年3月14日

%C a（n）也是2*n+1分成相等部分的所有分区中的总部分数_奥马尔·波尔，2021年2月14日

%D B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第三部分，Springer-Verlag，见第139页，Ex.（III）。

%D J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。

%D·L·E·迪克森，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第19页，等式（6）和第283页，等量（8）。

%D W.Dunham，Euler:The Master of Us All，美国数学协会，华盛顿特区，1999年，第12页。

%D H.M.Farkas，I.Kra，余弦和三角数，《鲁梅因数学评论》。Pures应用。，46 (2001), 37-43.

%D N.J.Fine，《基本超几何系列与应用》，美国运通。数学。Soc.，1988年；第79页，等式（32.31）。

%D N.Koblitz，《椭圆曲线和模形式介绍》，Springer-Verlag，1984年，见第184页，Prop。4，F（z）。

%D G.Polya，《数学归纳与类比》，《数学与合理推理》第1卷，普林斯顿大学出版社，1954年，第92页及其后。

%H N.J.A.Sloane，N的表格，A（N）表示N=0..20000（前10000个术语来自T.D.Noe）

%H H.Cohen，<a href=“http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/？PPN=GDZPPN002311860“>涉及二次字符L函数负整数值的和</a>，《数学年鉴》217（1975），第3期，271-285。MR0382192（52号3080）

%H M.D.Hirschorn，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2004.08.045“>数的各种形式表示的数量，《离散数学》298（2005），205-211

%小池正雄，<a href=“https://oeis.org/A004016/A004016.pdf“>非紧算术三角形群上的模形式</a>，未出版手稿[N.J.a.Sloane用OEIS a-numbers广泛注释，2021年2月14日。我在第一页写的是2005年，但内部证据表明是1997年。]

%H K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/BF01831114“>关于整数表示为三角数之和，Aequationes mathematicae，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。定理3[Legendre]。

%H H.Rosengren，<a href=“http://arXiv.org/abs/math.NT/0504272“>Frobenius行列式的三角数和</a>，arXiv:math/0504272[math.NT]，2005。

%H Michael Somos，《Ramanujan theta函数简介》</a>

%H Min Wang，Zhi-Hong Sun，<a href=“http://arxiv.org/abs/1511.00478“>关于n作为四个三角数II的线性组合的表示数，arXiv:1511.00478[math.NT]，2015。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.html“>Ramanujan Theta函数</a>

%H K.S.Williams，<a href=“http://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.120.04.329“>Jacobi四平方定理的父类是唯一的</a>，Amer.Math.Monthly，120（2013），329-345。

%F q^（-1/2）*（eta（q^2）^2/eta（q））^4=psi（q）^4的q次幂展开式，其中psi（）是Ramanujanθ函数_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年4月11日

%F雅可比θ_2（q）^4/（16*q）的q^2次幂展开_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年4月11日

%周期2序列的F Euler变换[4，-4，-4，…]_Michael Somos，2004年4月11日

%F a（n）=b（2*n+1），其中b（）是乘法的，b（2^e）=0^n，b（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1），如果p>2。-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年7月7日

%F给定g.F.A（x），则B（q）=q*A（q^2）满足0=F（B（q

%F给定g.F.A（x），则B（q）=q*A（q^2）满足0=F（B（q。

%F给定g.F.A（x），则B（q）=q*A（q^2）满足0=F（B（q_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年5月30日

%F G.F.：和{k>=0}（2k+1）*x^k/（1-x^（2k+1））。

%F G.F.：（产品{k>0}（1-x^k）*（1+x^k）^2）^4_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年4月11日

%F G.F.求和{k>=0}a（k）*x^（2k+1）=x（*Prod_{k>0}（1-x^ ^（4*k））_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年7月7日

%F正奇整数中2*n+1=（x^2+y^2+z^2+w^2）/4的解的个数_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年4月11日

%F 8*a（n）=A005879（n）=A000118（2*n+1）。16*a（n）=A129588（n）。a（n）=A000593（2*n+1）=A115607（2*n+1）。

%F a（n）=A000203（2*n+1）_Omar E.Pol_，2012年3月14日

%F G.F.是周期1傅里叶级数，满足F（-1/（4 t））=（1/4）（t/i）^2 G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A096727的G.F_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年6月12日

%F a（0）=1，a（n）=（4/n）*和{k=1..n}A002129（k）*a（n-k）对于n>0.-_Seiichi Manyama，2017年5月6日

%F G.F.：exp（总和=1｝4*（x^k/k）/（1+x^k））。-_伊利亚·古特科夫斯基，2017年7月31日

%F From _Peter Bala，2021年1月10日：（开始）

%F a（n）=A002131（2*n+1）。

%F G.F.：和{n>=0}x^n*（1+x^（2*n+1））/（1-x^。（结束）

%F和{k=1..n}a（k）~Pi^2*n^2/8_瓦茨拉夫·科特索维奇，2022年8月7日

%F A125061和A138741的卷积。-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2023年3月4日

%e 9的除数是1,3,9，因此a（4）=1+3+9=13。

%e F_2（z）=eta（4z）^8/eta（2z）^4=q+4q^3+6q^5+8q^7+13q^9+。。。

%e.G.f.=1+4*x+6*x^2+8*x^3+13*x^4+12*x^5+14*x^6+24*x^7+18*x^8+20*x^9+。。。

%e B（q）=q+4*q^3+6*q^5+8*q^7+13*q^9+12*q^11+14*q^13+24*q^15+18*q^17+。。。

%p A008438：=过程（n）数量理论[sigma]（2*n+1）；结束程序：#R.J.Mathar，2011年3月23日

%t除法西格玛[1，2#+1]和/@范围[0，61]（*_Ant King_，2010年12月2日*）

%t a[n_]：=系列系数[D[Series[Log[QPochhammer[-x]/QPochharmer[x]]，{x，0，2 n+1}]，x]，{x，0，2n}]；（*迈克尔·索莫斯，2019年10月15日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，σ（2*n+1））}；

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=2*n；polceoff（总和（k=1，（平方（4*n+1）+1）\2，x^（k^2-k），x*o（x^n））^4，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年9月17日*/

%o（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，n=2*n；a=x*o（x^n）；波尔科夫（（eta（x^4+a）^2/eta（x^2+a））^4，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年9月17日*/

%o（Sage）模块形式（Gamma0（4），2，prec=124）。1；#_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年6月12日

%o（岩浆）基础（模块形式（伽马射线（4），2），124）[2]；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年6月12日*/

%o（哈斯克尔）

%o a008438=a000203。a005408---Reinhard Zumkeller，2014年9月22日

%o（岩浆）[DivisorSigma（1,2*n+1）：[0..70]]中的n；//_Vincenzo Librandi_，2017年8月1日

%Y参见A000118、A000593、A005879、A096727、A115607、A129588、A225699/A225700。

%Y将n写成k个三角形数之和的方式数量，对于k=1，…：A010054、A008441、A00844、A008438、A00843、A008440、A226252、A007331、A22626253、A226255、A014787、A014809。

%Y参见A000203、A002131、A005408、A062731、A099774、A125061、A138741。

%不，简单，好

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自_Len Smiley，_Enoch Haga的评论_