搜索： a094728-编号：a094729
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1, 2, 4, 3, 6, 4, 9, 8, 5, 12, 10, 6, 16, 15, 12, 7, 20, 18, 14, 8, 25, 24, 21, 16, 9, 30, 28, 24, 18, 10, 36, 35, 32, 27, 20, 11, 42, 40, 36, 30, 22, 12, 49, 48, 45, 40, 33, 24, 13, 56, 54, 50, 44, 36, 26, 14, 64, 63, 60, 55, 48, 39, 28, 15
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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通过乘法分解，即a（n）=b（n）*c（n）乘以不规则三角形：
1, 1 1,
2, 1 2,
4, 3, 2, 1, 2, 3,
6, 4, = 2, 1, * 3, 4,
9, 8, 5, 3, 2, 1, 3, 4, 5,
12, 10, 6, 3, 2, 1, 4, 5, 6,
16, 15, 12, 7, 4, 3, 2, 1, 4, 5, 6, 7,
等。
通过减法分解，a（n）=d（n）-e（n）：
1, 1 0,
2, 2, 0,
4, 3, 4, 3, 0, 0,
6, 4, = 6, 5, - 0, 1,
9, 8, 5, 9, 8, 7, 0, 0, 2,
12, 10, 6, 12, 11, 10, 0, 1, 4,
16, 15, 12, 7, 16, 15, 14, 13, 0, 0, 2, 6,
20, 18, 14, 8, 20, 19, 18, 17, 0, 1, 4, 9,
等。
对角线a（n）之和：1，5，13，27，48。第三个区别是周期2：重复2，1。请参见A002717号。
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链接
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数学
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表[（n+1）^2-k^2，{n，15}，{k，0，n-1}]/4/_有理->无//平坦(*迈克尔·德弗利格，2016年3月7日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000027号,A000034号,A002717号,A004736号,A094728号,A122197号,138099英镑,A167430号,A239873型,2006年2月,A264798号。
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关键词
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非n,选项卡
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 9, 5, 15, 7, 25, 21, 9, 35, 27, 11, 49, 45, 33, 13, 63, 55, 39, 15, 81, 77, 65, 45, 17, 99, 91, 75, 51, 19, 121, 117, 105, 85, 57, 21, 143, 135, 119, 95, 63, 23, 169, 165, 153, 133, 105, 69, 25, 195, 187, 171, 147, 115, 75, 27, 225, 221, 209, 189, 161, 125, 81, 29, 255, 247
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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例子
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不规则三角形开始于：
1,
三，
9, 5,
15, 7,
25, 21, 9,
35, 27, 11,
49, 45, 33, 13,
63, 55, 39, 15,
...
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数学
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表[n^2-k^2，{n，14}，{k，0，n-1}]/。n/；EvenQ@n->无//压扁(*迈克尔·德弗利格2015年11月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=1，20，对于（k=0，n-1，s=n^2-k^2；如果（s%2，print1（s，“，”））\\德里克·奥尔2015年12月24日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,选项卡
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作者
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状态
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经核准的
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A002412号
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| 六边形金字塔数字，或蔬菜水果商的数字。
（原名M4374 N1839）
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0, 1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925, 2360, 2856, 3417, 4047, 4750, 5530, 6391, 7337, 8372, 9500, 10725, 12051, 13482, 15022, 16675, 18445, 20336, 22352, 24497, 26775, 29190, 31746, 34447, 37297, 40300
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
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评论
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（1，6，9，4，0，0，…）的二项式变换-加里·亚当森2007年10月16日
a（n）是{（m，n）：m，n上正整数m≤n}的最大值（m，n）之和-杰弗里·克雷策2009年10月11日
我们得到了恒等式n*（n*（d*n-d+2）/2）-和（k*（d*k-d+2，k=0..n-1）=n*（n+1）*（2*d*n-2*d+3）/6中d=2的这些数字（参见公式行中的克劳斯·斯特拉斯伯格）-布鲁诺·贝塞利2010年4月21日，2010年11月16日
q^a（n）是q-Catalan数的Hankel变换-保罗·巴里2010年12月15日
对于n>0，此序列的数字根A010888型(A002412号（n） ）形成纯周期27周期{1,7,4,5,5,8,9,3,3,4,1,7,8,2,3,6,6,7,4,12,2,5,6,9,9}。
对于n>0，此序列的单位数字A010879号(A002412号（n） ）形成纯周期20周期{1,7,2,0,5,1,2,5,5,6,2,7,5,0,6,7,0,0}。
（结束）
当轨道基数等于40320时，Aut（Z^7）的轨道数作为轨道的代表整数格点的无穷范数（n+1）的函数-菲利普·谢瓦利埃2015年12月28日
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参考文献
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A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第194页。
E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第93页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第2页。
T.A.Gulliver，整数数组序列，国际数学。《期刊》，第1卷，第4期，第323-3322002页。
I.Siap，F_2+u*F_2上的线性码及其完整的权重枚举器，载于《代码与设计》（俄亥俄州，2000年5月18日），第259-271页。De Gruyter，2002年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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阿卜杜拉·阿塔马卡和A.亚武兹·奥鲁索，关于两族未标记二部图的大小，AKCE国际图形与组合学杂志，弗吉尼亚州。16，第2期（2019年），第222-229页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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a（n）=n（n+1）（4n-1）/6。
G.f.:x*（1+3*x）/（1-x）^4-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=n^3-总和_{i=1.n-1}i^2.-克劳斯·斯特拉斯伯格（斯特拉斯（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de）
n个奇诱导三角数的部分和，例如，a（3）=t（1）+t（3）+t（5）=1+6+15=22-乔恩·佩里2003年7月23日
a（n）=和{i=0..n-1}（n-i）*（n+i）-乔恩·佩里2004年9月26日
a（n）=Sum_{i=0..n}（2i^2+3i+1），对于n>=0（省略前导的0）-威廉·特德斯基2010年8月25日
a（n）=4×a（n-1）-6*a（n-2）+4×a（n-3）-a（n-4），其中a（0）=0，a（1）=1，a（2）=7，a（3）=22-哈维·P·戴尔2011年7月16日
a（n）=和a*b，其中求和覆盖所有无序分区2*n=a+b-弗拉基米尔·舍维列夫，2012年5月11日
a（n）=a（n-1）+n*（2*n-1）。
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+4。
a（n）=二项式（n+2,3）+3*二项式。
和{n>=1}1/a（n）=6*（12*log（2）-2*Pi-1）/5=1.2414。。。
（结束）
a（n）=求和{i=1..n}求和{j=1..n{max（i，j）=求并{i=1.n}i*（2*n-i）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年1月15日
求和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=6*（1+2*sqrt（2）*Pi-2*（3+sqrt（2））*log（2）+4*sqert（2）*log（2-sqrt））/5-阿米拉姆·埃尔达尔2022年1月4日
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例子
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设n=5，2*n=10。由于10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，a（5）=1*9+2*8+3*7+4*6+5=95-弗拉基米尔·舍维列夫，2012年5月11日
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MAPLE公司
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seq（总和（i*（2*k-i），i=1..k），k=0..100）#韦斯利·伊万·赫特2013年9月25日
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数学
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图[ngon_，rank_，dim_]：=二项式[rank+dim-2，dim-1]（（rank-1）*（ngon-2）+dim）/dim；表[图[6，r，3]，{r，0，40}](*罗伯特·威尔逊v2010年8月22日*）
表[n（n+1）（4n-1）/6，{n，0，40}]（*或*）线性递归[{4，-6，4，-1}，{0，1，7，22}，40](*哈维·P·戴尔2011年7月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）v=矢量（40，i，（i*（i+1）））；s=0；print1（s“，”）；对于步骤（i=1，40，2，s+=v[i]；打印1（s“，”））
（岩浆）[0..40]]中的[n*（n+1）*（4*n-1）/6:n//文森佐·利班迪，2015年11月28日
（GAP）列表（[0..40]，n->n*（n+1）*（4*n-1）/6）#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月18日
（Python）打印（[n*（n+1）*（4*n-1）//6表示范围（40）内的n）]）#迈克尔·布拉尼基2022年3月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A220084型对于形式为n*P（k，n）-（n-1）*P（k，n-1）的数字列表，其中P（k、n）是第n个k角锥体数（参见亚当森公式）。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 3, 0, 1, 3, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 3, 3, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 1, 3, 3, 0, 1, 2, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 2, 4, 1, 0, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,9
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评论
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此外，n的次数可以表示为一个或多个连续奇数的和。（例如，45=45=13+15+17=5+7+9+11+13，因此a（45）=3。）-野本直弘，2002年2月26日
似乎可以通过将n的除数对相加并求偶数结果的数目来找到a（n）。例如：n=9具有除数对（1,9）和（3,3）；相加：1+9=10是偶数，3+3=6是偶数。因此a（9）=2。另一个例子：n=90有除数对（1,96）（2,48）（3,32）（4,24）（6,16）（8,12）；每对相加有4个偶数结果，因此a（96）=4-格里戈尔·布莱恩特2016年12月6日
似乎a（n）是非负整数k的数量，其中sqrt（k）+sqrt。例如：a（2015）=4，因为只有四个非负整数k，其中sqrt（k）+sqrt-约瑟夫·巴雷拉2020年11月29日
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链接
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M.A.Nyblom，关于整数的平方差表示，斐波纳契夸脱。，第40卷（2002），第3期，243-246。
爱德华·T·H·王，问题1717《数学关键》，第30页，第19卷，93年1月。
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配方奶粉
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发件人伯纳德·肖特2019年4月11日：（开始）（参见Crux链接）
如果n==2（mod 4），a（n）=0
a（n）=地板((A000005号（n） +1）/2）如果n==1或n==3（mod 4）
a（n）=楼层((A000005号（n/4）+1）/2），如果n==0（mod 4）。（结束）
G.f.：求和{i>=1}求和{j>=i}产品{k=i.j}x^（2*k-1）-伊利亚·古特科夫斯基2019年4月18日
G.f.：和{n>=1}x^（n^2）/（1-x^）（2*n））（猜想）-约尔格·阿恩特2024年1月4日
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例子
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G.f.=x+x ^3+x ^4+x ^5+x ^7+x ^8+2*x ^9+x ^11+x ^12+x ^13+2*x^15+。。。
a（8）=地板((A000005号（2） +1）/2）=楼层（3/2）=1，8=3^2-1^2。
a（9）=地板((A000005号（9） +1）/2）=楼层（4/2）=2和9=3^2-0^2=5^2-4^2。
a（10）=0和a^2-b^2=10没有解。
a（11）=地板(A000005号（11） +1）/2=楼层（3/2）=1和11=6^2-5^2。（结束）
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数学
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nn=100；t=表[0，{nn}]；做[n=a^2-b^2；如果[n<=nn，t[[n]]++]，{a，nn}，{b，0，a-1}]；t吨(*T.D.诺伊2011年5月4日*）
表[Length[FindInstance[a^2-b^2==n&&a>b>=0，{a，b}，Integers，10]]，{n，100}](*哈维·P·戴尔2021年7月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=1，平方（n），（n-k^2）%（2*k）==0）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月27日
（PARI）a（n）=总和（n，d，n>=d^2&&（n-d^2）%（2*d）==0）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月27日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A094727号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）=n+k，0<=k<n，n>=1。 |
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22
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1, 2, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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LászlóNémeth，关于二项式插值三角形《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.7.8条。
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配方奶粉
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T（n+1，k）=T（n，k）+1=T（n，k+1）；T（n+1，k+1）=T（n，k）+2。
作为序列而不是表格：如果m=楼层（（sqrt（8n-7）+1）/2），a（n）=n-m*（m-3）/2-1-卡尔·R·怀特2009年7月30日
a（n）=i+t，其中i=n-t*（t+1）/2，t=楼层（（-1+sqrt（8*n-7））/2）。（结束）
和{k=0..n-1}（-1）^k*T（n，k）=A319556型（n） ●●●●。
求和{k=0..层（（n-1）/2）}T（n-k，k）=A093005号（n） ●●●●。
和{k=0..层（（n-1）/2）}（-1）^k*T（n-k，k）=A078112号（n-1）。
求和{j=1..n}（求和{k=0..n-1}T（j，k））=A002411号（n） （n行之和）。（结束）
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例子
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三角形开始：
1;
2, 3;
3, 4, 5;
4、5、6、7；
5, 6, 7, 8, 9;
6, 7, 8, 9, 10, 11;
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13;
8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15;
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17;
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数学
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表[n+范围[0，n-1]，{n，12}]//展平(*迈克尔·德弗利格2016年12月16日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）z:=12&cat[[m+n-1:m在[1..n]]中：n在[1..z]]中；
（哈斯克尔）
a094727 n k=n+k
a094727_row n=a094727 _ tabl！！（n-1）
a094727_tabl=迭代（\row@（h:_）->（h+1）：映射（+2）行）[1]
（SageMath）扁平化（[[n+k代表范围（n）中的k]代表范围（1，16）中的n]）#G.C.格鲁贝尔2024年3月10日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A049777号
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| 按行读取的三角形数组：T（m，n）=n+n+1+…+m=（m+n）（m-n+1）/2。 |
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+10
15
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1, 3, 2, 6, 5, 3, 10, 9, 7, 4, 15, 14, 12, 9, 5, 21, 20, 18, 15, 11, 6, 28, 27, 25, 22, 18, 13, 7, 36, 35, 33, 30, 26, 21, 15, 8, 45, 44, 42, 39, 35, 30, 24, 17, 9, 55, 54, 52, 49, 45, 40, 34, 27, 19, 10, 66, 65, 63, 60, 56, 51, 45, 38, 30, 21, 11, 78, 77, 75, 72, 68, 63, 57, 50
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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在这个序列的方形数组的前两列之后，不会生成素数和所有复合数（除了2^x）。换句话说，当m-n>=2时，除了2^x外，没有生成素数和所有合成-鲍勃·塞尔科2013年6月18日
除非另有规定，否则以下内容适用于按行读取的方形数组形式的三角形（见表链接）；
推测：区间[T（n，k），T（n、k+1）]中至少有一个素数。由于T（n，k+1）/T（n，k）随着n的增加而减小到（k+1）/k，这对于k=1（“伯特兰假设”，首先由P.切比雪夫证明）、k=2（由El Bachraoui证明）和k=3（由Loo证明）都是正确的。
从T（1,1）开始，每列中前2个数字的下降对角线（按列读取）是广义五边形数(A001318号). 也就是说，T（1,1）、T（2,1）、T2,2、T3,2、T（3,3）、T4,3、T（4,4）等的系数是广义五边形数。这些是A000326号和A005449号（五边形和第二五边形数字：分别为n*（3*n+1）/2），相互交织。
设D（n，k）表示从T（n，k）开始的下降对角线：
将n视为常数：形式为n*k+3*k*（k-1）/2的五边形数为D（n，1）；序列A000326号, 005449,A045943号,15067英镑,A140090型,A140091号,A059845号,A140672号,A140673号,140674英镑,A140675号,A151542号分别由n=1到12构成。
将k视为常数：D（1，k）为（3*n^2+（4k-5）*n+（k-1）*（k-2））/2。当k=2（mod3）时，D（1，k）与D（k+1，1）相同，省略了序列中的第一个（k-2）/3数字。因此D（1,2）与D（3,1）相同；D（1,5）与D（6,1）相同，省略了6；D（1,8）与D（9,1）相同，省略了9和21；等。
（结束）
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链接
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M.El Bachraoui，区间[2n，3n]中的素数《国际法学杂志》。数学。《科学》1:13（2006），第617-621页。
S.Ramanujan，贝特朗假设的证明，J.印度数学。《社会学杂志》，11（1919），181-182。
弗拉基米尔·舍维列夫（Vladimir Shevelev）、查尔斯·R·格里塔斯四世（Charles R.Greathouse IV）、彼得·J·C·摩西（Peter J.C.Moses）、，关于所有n>1都包含素数的区间（kn，（k+1）n）《整数序列杂志》，第16卷（2013年），第13.7.3条。arXiv公司，arXiv:1212.2785[math.NT]，2012年。
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配方奶粉
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读取为方形数组：T（n，k）=k*（k+2n-1）/2-鲍勃·塞尔科2014年10月27日
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例子
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行：{1}；{3,2}; {6,5,3}; ...
三角形开始：
1;
3、2；
6, 5, 3;
10, 9, 7, 4;
15, 14, 12, 9, 5;
21, 20, 18, 15, 11, 6;
28, 27, 25, 22, 18, 13, 7;
36, 35, 33, 30, 26, 21, 15, 8;
45, 44, 42, 39, 35, 30, 24, 17, 9;
55, 54, 52, 49, 45, 40, 34, 27, 19, 10; ...
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数学
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扁平[表[（n+k）（n-k+1）/2，{n，15}，{k，n}]](*哈维·P·戴尔2012年2月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<1|n<k，0，（n+k）*（n-k+1）/2）}/*迈克尔·索莫斯2007年10月6日*/
（岩浆）/*作为三角形*/[[（m+n）*（m-n+1）div 2:n in[1..m]]:m in[1..15]]//文森佐·利班迪2014年10月27日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000326号, 005449,A045943号,A115067型,A140090型,A140091号,A059845号,A140672号,A140673号,A140674号,140675英镑,A151542号（形式为n*k+3*k*（k-1）/2的五边形数）。
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 12, 24, 45, 72, 112, 160, 225, 300, 396, 504, 637, 784, 960, 1152, 1377, 1620, 1900, 2200, 2541, 2904, 3312, 3744, 4225, 4732, 5292, 5880, 6525, 7200, 7936, 8704, 9537, 10404, 11340, 12312, 13357, 14440, 15600, 16800, 18081, 19404, 20812, 22264, 23805
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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还有所有项都在{0，…，n-1}和w<=R<=x中的（w，x，y）的个数，其中R=max（w，x，y）-min（w，x-y），请参见A212959型. -克拉克·金伯利2012年6月10日
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链接
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配方奶粉
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通用格式：x*（1+2*x+3*x^2）/（（1+x）^2*（1-x）^4）-R.J.马塔尔2012年6月27日
a（n）=n*（2*n^2+4*n+1-（-1）^n）/8。
a（n）=n^2*（n+2）/4表示n偶数。
a（n）=n*（n^2+2*n+1）/4表示n奇数。（结束）
例如：（1/8）*x*（exp（-x）+（7+10*x+2*x^2）*exp（x））。（结束）
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数学
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表[n*（n^2+2*n+Mod[n，2]）/4，{n，50}](*G.C.格鲁贝尔2024年3月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（x*（1+2*x+3*x^2）/（（1-x）^4*（1+x）^2）+O（x^100））\\科林·巴克2016年1月31日
（岩浆）[1..50]]中的[n*（（n+1）^2-1+（n mod 2））/4:n//G.C.格鲁贝尔2024年3月12日
（SageMath）[n*（（n+1）^2-1+（n%2））//4表示范围（1，51）内的n]#G.C.格鲁贝尔，2024年3月12日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A370707型
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| 行读取的三角形：T（n，k）=（-1）^k*Product_{j=0..k-1}（j-n）*（j+n），对于0<=k<=n。 |
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+10
三
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1, 1, 1, 1, 4, 12, 1, 9, 72, 360, 1, 16, 240, 2880, 20160, 1, 25, 600, 12600, 201600, 1814400, 1, 36, 1260, 40320, 1088640, 21772800, 239500800, 1, 49, 2352, 105840, 4233600, 139708800, 3353011200, 43589145600, 1, 64, 4032, 241920, 13305600, 638668800, 24908083200, 697426329600, 10461394944000
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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定义以及表示形式T（n，k）=ff（n，k）*rf（n，k-）（参见第一个公式）使得将这个三角形称为中心阶乘数很自然。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=下降阶乘（n，k）*上升阶乘（n，k）。
T（n，k）=（n*（n+k-1）！）/（n-k）！如果k>0，且T（n，0）=1。
调用第二个公式cf中的数字可以得到令人难忘的形式cf（n，k）=ff（n，k）*rf（n，c）。这个恒等式推广到函数
cf（x，n）=x*伽马（x+n）/伽马（x-n+1），对于n>0且cf（x、0）=1。
最后一个等式表明，变量“n”不一定是整数，但可以是任何复数，前提是只定义了商（通常可以通过取极限来实现）。事实上，在经典的Steffensen-Riordan案例中，n/2被用来代替n，这导致了Sloane在A008955号。
当n>0时，T（n，k）=-n*Pochhammer（1-n-k，2*k-1）。
T（n，k）=k*二项式（n，k）*Pochhammer（n，k）=k*A370706型（n，k）。
T（n，n）=n*Pochhammer（n，n）（对n>=0有效，而T（n，n）=（2*n）/2 =A002674号（n） 仅对n>=1有效）。
如果k>0，则T（n，k）=T（n，k-1）*（n^2-（k-1）^2），否则为1。（重复）
cf（n，k）是多项式Pcf（n、x）=Product_{k=0..n-1}（x^2-k^2）的值，其系数对于奇幂为零，对于偶幂为零A269944型。
T（n，k）=Pcf（k，n），其中Pcf（k，x）=总和{j=0..k）（-1）^（k-j）*269944加元（k，j）*x^（2*j）。
中心阶乘可以用三种不同的方式来描述：通过乘积T（n，k）=f（n，k）*rf（n，k-），通过复函数cf（x，n），以及通过多项式Pcf（n，x）。尽管这些关系是自包含的，但它们仅被视为更一般概念的一半，即第一类中心因子。
第一类斯特林数有一个基本的联系(A048994号). 看到这一点最简单的方法是推广定义：让CF（z，s）=Product_{j=0..n-1}（z-s（j）），其中s（j）是一些复杂序列。如果s=0，1，2，…，则CF（z，s）的系数等于Stirling_1数。。。，n、 。。。，如果s=0，1，4，…，它们等于Pcf（n，z）多项式的系数。。。，n^2。。。。（这也是为什么A269944型称为“2阶斯特林循环数”。对于完整性，如果s=1，1，1。。。，那么CF（z，s）的系数，即“0阶斯特林循环数”，就是有符号的帕斯卡三角形A130595型。请参阅A269947型用于订单3。）
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例子
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三角形起点：
[0] 1;
[1] 1, 1;
[2] 1, 4, 12;
[3] 1, 9, 72, 360;
[4] 1, 16, 240, 2880, 20160;
[5] 1, 25, 600, 12600, 201600, 1814400;
[6] 1, 36, 1260, 40320, 1088640, 21772800, 239500800;
[7] 1, 49, 2352, 105840, 4233600, 139708800, 3353011200, 43589145600;
。
T（n，k）是一个产品，其中“n”是“中心”，“k”是产品的“半长”。例如，T（5，4）=（5-3）*（5-2）*（5-1）*5*5*（5+1）*（5+2）*（5+3）=201600。现在考虑多项式P（4，x）=-36*x^2+49*x^4-14*x^6+x^8。在x=5时计算该多项式，结果表明P（4,5）=201600=T（5,4）。多项式的系数是A269944型。
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MAPLE公司
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T:=（n，k）->局部j；（-1）^k*mul（（j-n）*（j+n），j=0..k-1）：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..8）；
#中心阶乘数：
cf:=（n，k）->ifelse（k=0，1，n*（n+k-1）！/（n-k）！）：
对于从0到6的n，做seq（cf（n，k），k=0..n）od；
#备选方案（重复）：
T:=proc（n，k）选项记忆；
如果k=0，则1其他T（n，k-1）*（n^2-（k-1）^2）fi结束：
对于从0到7的n，做序列（T（n，k），k=0..n）od；
#说明与cf-多项式及其系数的关系：
cfpoly:=（n，x）->局部k；mul（x^2-k^2，k=0..n-1）：
A370707行：=n->local k；[seq（cfpoly（k，n），k=0..n）]：
A204579行：=n->local k；[seq（系数（cfpoly（n，x），x，2*k），k=0..n）]：
对于从0到5的n，进行lprint（[n]，A370707行（n），A204579行（n））od；
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数学
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T[n_，k_]：=如果[n==0，1，-n Pochhammer[1-n-k，2k-1]]；
表[T[n，k]，{n，0，8}，{k，0，n}]//展平
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黄体脂酮素
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（SageMath）
定义T（n，k）：返回falling_factorial（n，k）*rising_factorical（n，克）
对于范围（9）中的n：打印（[T（n，k）对于范围（n+1）中的k]）
（Python）
从数学导入prod
定义T（n，k）：返回（-1）**k*prod（（j-n）*（j+n），对于范围（k）中的j）
打印（[T（n，k）表示范围（8）中的n，k表示范围（n+1）中的k]）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A101447号
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| 按行读取三角形：T（n，k）=（2*k+1）*（n+1-k），0<=k<n。 |
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+10
2
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1, 2, 3, 3, 6, 5, 4, 9, 10, 7, 5, 12, 15, 14, 9, 6, 15, 20, 21, 18, 11, 7, 18, 25, 28, 27, 22, 13, 8, 21, 30, 35, 36, 33, 26, 15, 9, 24, 35, 42, 45, 44, 39, 30, 17, 10, 27, 40, 49, 54, 55, 52, 45, 34, 19, 11, 30, 45, 56, 63, 66, 65, 60, 51, 38, 21, 12, 33, 50, 63, 72, 77, 78, 75, 68
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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三角形由矩阵A和矩阵B的乘积生成，即A*B，其中A=无限下三角矩阵：
1 0 0 0 0 ...
1 1 0 0 0 ...
1 1 1 0 0 ...
1 1 1 1 0 ...
1 1 1 1 1。。。
…和B=无限下三角矩阵：
1 0 0 0 0 ...
1 3 0 0 0 ...
1 3 5 0 0 ...
1 3 5 7 0 ...
1 3 5 7 9 ...
...
考虑以下数组，签名如下：
...
1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
2, -6, 10, -14, 18, -22, ...
3, 9, 15, 21, 27, 33, ...
4, -12, 20, -28, 36, -44, ...
5, 15, 25, 35, 45, 55, ...
6, -18, 30, -42, 54, -66, ...
7, 21, 35, 49, 63, 77, ...
...
设每个项（+，-）k=（+，–）φ^（-k）。
考虑Lucas级数的反项（1/1，1/3，1/4，1/7，…）。
举例来说，设q=phi=1.6180339。。。；然后
...
1/1=q^（-1）+q^。。。
1/3=q^（^2）-q^。。。
1/4=q^（-3）+q^。。。
1/7=q^（-4）-q^-12）+q^。。。
1/11=q^（-5）+q^-15。。。
...
关于Pell系列，相应的“Lucas”类系列为（2，6，14，34，82，198，…），因此，q=2.414213…=（1+sqrt（2））。
然后与前一组类似，
...
1/2=q^（-1）+q^。。。
1/6=q^（-2）-q^（-6）+q^（-10）-q^（-14）+q^（-18）+。。。
…（结束）
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链接
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例子
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三角形开始：
1;
2, 3;
3, 6, 5;
4, 9, 10, 7;
5, 12, 15, 14, 9;
6、15、20、21、18、11；
7, 18, 25, 28, 27, 22, 13;
8, 21, 30, 35, 36, 33, 26, 15;
9, 24, 35, 42, 45, 44, 39, 30, 17;
10, 27, 40, 49, 54, 55, 52, 45, 34, 19;
11, 30, 45, 56, 63, 66, 65, 60, 51, 38, 21;
等。
（结束）
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数学
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t[n_，k_]：=如果[n<k，0，（2*k+1）*（n-k+1）]；扁平[表[t[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*罗伯特·威尔逊v2005年1月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=如果（n<k，0，（2*k+1）*（n-k+1））对于（i=0，15，对于（j=0，i，print1（T（i，j），“，”））；打印（））
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交叉参考
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关键词
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作者
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Lambert Klasen（Lambert.Klasen（AT）gmx.de）和加里·亚当森2005年1月19日
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状态
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经核准的
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A261046型
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| 行读取的不规则三角形：第一列由重复的奇数组成，但没有第一个1。第n行（n>=0）包含楼层（n/2）=1个术语。每行包含连续的奇数。 |
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+10
2
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1, 3, 3, 5, 5, 7, 5, 7, 9, 7, 9, 11, 7, 9, 11, 13, 9, 11, 13, 15, 9, 11, 13, 15, 17, 11, 13, 15, 17, 19, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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1、1、1，
3, 1, 3,
3, 5, 3, 1, 9, 5,
5, 7, * 3, 1, = 15, 7,
5, 7, 9, 5, 3, 1, 25, 21, 9
7, 9, 11, 5, 3, 1, 35, 27, 11,
等。
1,
4, 3,
9, 8, 5,
16, 15, 12, 7,
25, 24, 21, 16, 9,
等。
如果没有第一列，三角形是A120070号（n+2）。这给出了氢原子谱线频率和元素珍妮特周期表之间的联系。
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链接
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例子
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三角形开始：
1,
三，
3, 5,
5, 7,
5, 7, 9,
7, 9, 11,
7, 9, 11, 13,
9, 11, 13, 15,
9, 11, 13, 15, 17,
。。。。
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交叉参考
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关键词
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非n,选项卡
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作者
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状态
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经核准的
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