%I#63 2022年9月8日08:44:58

%S 1,3,2,6,5,3,10,9,7,4,15,14,12,9,5,21,20,18,15,15,11,6,28,27,25,22,18,13，

%电话：7,36,35,33,30,26,21,15,8,45,44,42,39,35,30,24,17,9,55,54,52,49,45,40，

%U 34,27,19,10,66,65,63,60,56,51,45,38,30,21,11,78,77,75,72,68,63,57,50

%N行读取的三角形数组：T（m，N）=N+N+1+…+m=（m+n）（m-n+1）/2。

%C按行读取的三角形，T（n，k）=A000217（n）-A000217（k），0<=k<n.-Philippe Deléham_，2013年3月7日

%C A049780中三角形的副三角形。-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2013年3月7日

%C在这个序列的方形数组的前两列之后，不会生成素数和所有复合数（除了2^x）。换句话说，当m-n>=2时，不生成素数和除2^x以外的所有复合数_Bob Selcoe，2013年6月18日

%C平方数组中的对角线和等于部分平方和（A000330）_Bob Selcoe，2014年2月14日

%C来自Bob Selcoe，2014年10月27日：（开始）

%C除非另有规定，否则以下内容适用于按行读取的正方形数组形式的三角形（见表格链接）；

%C猜想：区间[T（n，k），T（n、k+1）]中至少有一个素数。由于T（n，k+1）/T（n，k）随着n的增加而减小到（k+1）/k，这对于k=1（“伯特兰假设”，首先由P.切比雪夫证明）、k=2（由El Bachraoui证明）和k=3（由Loo证明）都是正确的。

%C从T（1,1）开始，每列中前2个数字的下降对角线（按列读取）是广义五边形数（A001318）。也就是说，T（1,1）、T（2,1）、T2,2、T3,2、T（3,3）、T4,3、T（4,4）等的系数是广义五边形数。它们是A000326和A005449（五角和二角数字：分别为n*（3*n+1）/2），相互交织。

%C设D（n，k）表示从T（n，k）开始的下降对角线：

%C将n视为常数：形式为n*k+3*k*（k-1）/2的五边形数为D（n，1）；序列A000326、005449、A045943、A115067、A140090、A140091、A059845、A140672、A140663、A140644、A140695、A151542分别由n=1到12构成。

%C将k视为常数：D（1，k）为（3*n^2+（4k-5）*n+（k-1）*（k-2））/2。当k=2（mod3）时，D（1，k）与D（k+1，1）相同，省略序列中的第一个（k-2）/3数字。因此D（1,2）与D（3,1）相同；D（1,5）与D（6,1）相同，省略了6；D（1,8）与D（9,1）相同，省略了9和21；等。

%C D（1,3）和D（1,4）分别为序列A095794和A140229。

%C（结束）

%H Vincenzo Librandi，n的表，n=1..5000的a（n）</a>

%H M.El Bachraoui，<a href=“http://www.m-hikari.com/ijcms-password/ijcms-password13-16-2006/elbachraouiIJCMS13-16-2006.pdf“>区间内的素数[2n，3n]</a>，《国际数学科学杂志》1:13（2006），第617-621页。

%H A.Loo，<A href=“http://www.m-hikari.com/ijcms-2011/37-40-2011/looIJCMS37-40-2011.pdf“>关于区间[3n，4n]中的素数。

%H S.Ramanujan，<a href=“http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram24.html“>贝特朗假设的证明，《印度数学学会期刊》，11（1919），181-182。

%H Vladimir Shevelev，Charles R.Greathouse IV，Peter J.C.Moses，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Moses/moses1.html“>关于包含所有n>1的素数的区间（kn，（k+1）n），《整数序列杂志》，第16卷（2013年），第13.7.3条<a href=“http://arxiv.org/abs/1212.2785“>arXiv</a>，arXiv:1212.2785[math.NT]，2012年。

%F A002260行项的部分总和，从右侧开始；例如，A002260的第3行=（1，2，3），给出（6，5，3）_Gary W.Adamson_，2007年10月23日

%F和{k=0..n-1}（-1）^k*（2*k+1）*A000203（T（n，k））=（-1）*（n-1）*A000330（n）.-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2013年3月7日

%F读取为方形数组：T（n，k）=k*（k+2n-1）/2.-_Bob Selcoe，2014年10月27日

%e行：{1}；{3,2}; {6,5,3}; ...

%e三角形开始：

%e 1；

%e 3，2；

%e第6、5、3条；

%e 10、9、7、4；

%e第15、14、12、9、5条；

%e 21、20、18、15、11、6；

%e第28、27、25、22、18、13、7条；

%e第36、35、33、30、26、21、15、8页；

%e第45、44、42、39、35、30、24、17、9页；

%e 55、54、52、49、45、40、34、27、19、10。。。

%t压扁[表[（n+k）（n-k+1）/2，{n，15}，{k，n}]]（*哈维·P·戴尔，2012年2月27日*）

%o（PARI）{T（n，k）=如果（k<1||n<k，0，（n+k）*（n-k+1）/2）}/*_Michael Somos_，2007年10月6日*/

%o（Magma）/*作为三角形*/[（m+n）*（m-n+1）div 2:n in[1.m]]：m in[1.15]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2014年10月27日

%Y行总和=A000330。

%Y参考A001318（广义五边形数）。

%Y参见A000217、A002260、A049780、A094728、A095794、A140229。

%Y参见A000326、005449、A045943、A115067、A140090、A140091、A059845、A140672、A14067、A140664、A140775、A151542（五角数字形式n*k+3*k*（k-1）/2）。

%K nonn，表

%O 1,2号机组

%百灵鸟金伯利_